2024屆吉林省長(zhǎng)春市七中數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末聯(lián)考試題含解析

2024屆吉林省長(zhǎng)春市七中數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末聯(lián)考試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．某班共有52人，現(xiàn)根據(jù)學(xué)生的學(xué)號(hào)，用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個(gè)容量為4的樣本．已知3號(hào)、29號(hào)、42號(hào)同學(xué)在樣本中，那么樣本中還有一個(gè)同學(xué)的學(xué)號(hào)是()A．10 B．11 C．12 D．162．以，為端點(diǎn)的線段的垂直平分線方程是A． B． C． D．3．的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為，設(shè)，則（）A． B． C． D．4．在極坐標(biāo)系中,已知點(diǎn),則過(guò)點(diǎn)且平行于極軸的直線的方程是()A．B．C．D．5．“四邊形是矩形，四邊形的對(duì)角線相等”補(bǔ)充以上推理的大前提是（）A．正方形都是對(duì)角線相等的四邊形 B．矩形都是對(duì)角線相等的四邊形C．等腰梯形都是對(duì)角線相等的四邊形 D．矩形都是對(duì)邊平行且相等的四邊形6．展開(kāi)式中x2的系數(shù)為（）A．15 B．60 C．120 D．2407．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(

)A． B． C． D．8．如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線(a＞0，b＞0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，|OF1|為半徑的圓與該雙曲線左支交于A，B兩點(diǎn)，若△F2AB是等邊三角形，則雙曲線的離心率為()A． B．2C． D．9．設(shè)集合，集合，則（）A． B． C． D．10．化簡(jiǎn)的結(jié)果是（）A． B． C． D．11．函數(shù)的最大值為（）A． B．1 C． D．12．設(shè)x＝－2與x＝4是函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx的兩個(gè)極值點(diǎn)，則常數(shù)a－b的值為()A．21 B．－21C．27 D．－27二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)第二、三、四象限，，則的取值范圍是_______．14．(文科學(xué)生做)若，則______．15．在空間中，已知一個(gè)正方體是12條棱所在的直線與一個(gè)平面所成的角都等于，則______．16．已知實(shí)數(shù)，滿足條件，復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則的最小值是_______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)．（Ⅰ）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（Ⅱ）若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．18．（12分）山西省2021年高考將實(shí)施新的高考改革方案.考生的高考總成績(jī)將由3門統(tǒng)一高考科目成績(jī)和自主選擇的3門普通高中學(xué)業(yè)水平等級(jí)考試科目成績(jī)組成，總分為750分.其中，統(tǒng)一高考科目為語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)，自主選擇的3門普通高中學(xué)業(yè)水平等級(jí)考試科目是從物理、化學(xué)、生物、歷史、政治、地理6科中選擇3門作為選考科目，語(yǔ)、數(shù)、外三科各占150分，選考科目成績(jī)采用“賦分制”，即原始分?jǐn)?shù)不直接用，而是按照學(xué)生分?jǐn)?shù)在本科目考試的排名來(lái)劃分等級(jí)并以此打分得到最后得分。根據(jù)高考綜合改革方案，將每門等級(jí)考試科目中考生的原始成績(jī)從高到低分為共8個(gè)等級(jí).參照正態(tài)分布原則，確定各等級(jí)人數(shù)所占比例分別為3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%.等級(jí)考試科目成績(jī)計(jì)入考生總成績(jī)時(shí)，將A至E等級(jí)內(nèi)的考生原始成績(jī)，依照等比例轉(zhuǎn)換法則，分別轉(zhuǎn)換到八個(gè)分?jǐn)?shù)區(qū)間，得到考生的等級(jí)成績(jī)。舉例說(shuō)明1：甲同學(xué)化學(xué)學(xué)科原始分為65分，化學(xué)學(xué)科等級(jí)的原始分分布區(qū)間為，則該同學(xué)化學(xué)學(xué)科的原始成績(jī)屬等級(jí)，而等級(jí)的轉(zhuǎn)換分區(qū)間為那么，甲同學(xué)化學(xué)學(xué)科的轉(zhuǎn)換分為：設(shè)甲同學(xué)化學(xué)科的轉(zhuǎn)換等級(jí)分為，求得.四舍五入后甲同學(xué)化學(xué)學(xué)科賦分成績(jī)?yōu)?6分。舉例說(shuō)明2：乙同學(xué)化學(xué)學(xué)科原始分為69分，化學(xué)學(xué)科等級(jí)的原始分分布區(qū)間為則該同學(xué)化學(xué)學(xué)科的原始成績(jī)屬等級(jí).而等級(jí)的轉(zhuǎn)換分區(qū)間為這時(shí)不用公式，乙同學(xué)化學(xué)學(xué)科賦分成績(jī)直接取下端點(diǎn)70分?，F(xiàn)有復(fù)興中學(xué)高一年級(jí)共3000人，為給高一學(xué)生合理選科提供依據(jù)，對(duì)六個(gè)選考科目進(jìn)行測(cè)試，其中物理考試原始成績(jī)基本服從正態(tài)分布。且等級(jí)為所在原始分分布區(qū)間為，且等級(jí)為所在原始分分布區(qū)間為，且等級(jí)為所在原始分分布區(qū)間為（1）若小明同學(xué)在這次考試中物理原始分為84分，小紅同學(xué)在這次考試中物理原始分為72分，求小明和小紅的物理學(xué)科賦分成績(jī)；（精確到整數(shù)）.（2）若以復(fù)興中學(xué)此次考試頻率為依據(jù)，在學(xué)校隨機(jī)抽取4人，記這4人中物理原始成績(jī)?cè)趨^(qū)間的人數(shù)，求的數(shù)學(xué)期望和方差.（精確到小數(shù)點(diǎn)后三位數(shù)）.附：若隨機(jī)變量滿足正態(tài)分布，給出以下數(shù)據(jù)，19．（12分）已知函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）若不等式的解集非空，求的取值范圍．20．（12分）已知函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)在上的最大值和最小值；21．（12分）如圖，已知單位圓上有四點(diǎn)，，，，其中，分別設(shè)的面積為和.（1）用表示和；（2）求的最大值及取最大值時(shí)的值．22．（10分）某種證件的獲取規(guī)則是：參加科目A和科目B的考試，每個(gè)科目考試的成績(jī)分為合格與不合格，每個(gè)科目最多只有2次考試機(jī)會(huì)，且參加科目A考試的成績(jī)?yōu)楹细窈?，才能參加科目B的考試；參加某科目考試的成績(jī)?yōu)楹细窈?，不再參加該科目的考試，參加兩個(gè)科目考試的成績(jī)均為合格才能獲得該證件．現(xiàn)有一人想獲取該證件，已知此人每次參加科目A考試的成績(jī)?yōu)楹细竦母怕适?，每次參加科目B考試的成績(jī)?yōu)楹细竦母怕适?，且各次考試的成?jī)?yōu)楹细衽c不合格均互不影響．假設(shè)此人不放棄按規(guī)則所給的所有考試機(jī)會(huì)，記他參加考試的次數(shù)為X.（1）求X的所有可能取的值；（2）求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】

由題計(jì)算出抽樣的間距為13，由此得解．【題目詳解】由題可得，系統(tǒng)抽樣的間距為13，則在樣本中．故選D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了系統(tǒng)抽樣知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．2、B【解題分析】

求出的中點(diǎn)坐標(biāo)，求出的垂直平分線的斜率，然后求出垂直平分線方程．【題目詳解】因?yàn)?，，所以的中點(diǎn)坐標(biāo)，直線的斜率為，所以的中垂線的斜率為：，所以以，為端點(diǎn)的線段的垂直平分線方程是，即．故選：B【題目點(diǎn)撥】本題考查直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系，直線方程的求法，考查計(jì)算能力．3、B【解題分析】

先求出的值，再根據(jù)，利用通項(xiàng)公式求出的值.【題目詳解】令，可得的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為，，設(shè)，則.故選：B【題目點(diǎn)撥】本題考查了二項(xiàng)式定理求多項(xiàng)式的系數(shù)和，二項(xiàng)式定理展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.4、A【解題分析】

將點(diǎn)化為直角坐標(biāo)的點(diǎn)，求出過(guò)點(diǎn)且平行于軸的直線的方程，再轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程，屬于簡(jiǎn)單題?！绢}目詳解】因?yàn)辄c(diǎn)的直角坐標(biāo)為，此點(diǎn)到軸的距離是，則過(guò)點(diǎn)且平行于軸的直線的方程是，化為極坐標(biāo)方程是故選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化，屬于簡(jiǎn)單題。5、B【解題分析】

根據(jù)題意，用三段論的形式分析即可得答案．【題目詳解】根據(jù)題意，用演繹推理即三段論形式推導(dǎo)一個(gè)結(jié)論成立，大前提應(yīng)該是結(jié)論成立的依據(jù)，∵由四邊形是矩形，得到四邊形的對(duì)角線相等的結(jié)論，∴大前提一定是矩形都是對(duì)角線相等的四邊形，故選B．【題目點(diǎn)撥】本題考查演繹推理的定義，關(guān)鍵是掌握演繹推理的形式，屬于基礎(chǔ)題.6、B【解題分析】

∵展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令6-r=2得r=4，∴展開(kāi)式中x2項(xiàng)為，所以其系數(shù)為60,故選B7、D【解題分析】

先求出函數(shù)的定義域，然后根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性滿足“同增異減”的結(jié)論求解即可．【題目詳解】由可得或，∴函數(shù)的定義域?yàn)椋O(shè)，則在上單調(diào)遞減，又函數(shù)為減函數(shù)，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．故選D．【題目點(diǎn)撥】（1）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性滿足“同增異減”的結(jié)論，即對(duì)于函數(shù)來(lái)講，它的單調(diào)性依賴于函數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性相同時(shí)，則函數(shù)為增函數(shù)；否則函數(shù)為減函數(shù)．（2）解答本題容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是忽視函數(shù)的定義域，誤認(rèn)為函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．8、D【解題分析】

連接，利用三角形邊之間的關(guān)系得到，，代入離心率公式得到答案.【題目詳解】連接，依題意知：，，所以.【題目點(diǎn)撥】本題考查了雙曲線的離心率，利用三角形邊之間的關(guān)系和雙曲線性質(zhì)得到的關(guān)系式是解題的關(guān)鍵.9、B【解題分析】

求解出集合，根據(jù)并集的定義求得結(jié)果.【題目詳解】本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查集合運(yùn)算中的并集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.10、A【解題分析】

根據(jù)平面向量加法及數(shù)乘的幾何意義，即可求解，得到答案．【題目詳解】根據(jù)平面向量加法及數(shù)乘的幾何意義，可得，故選A．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了平面向量的加法法則的應(yīng)用，其中解答中熟記平面向量的加法法則是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．11、A【解題分析】

由題意求得導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)單調(diào)性，即可求解函數(shù)的最大值，得到答案.【題目詳解】由題意，可得，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)單調(diào)遞減，所以函數(shù)的最大值為，故選A.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值問(wèn)題，其中解答中求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得出函數(shù)的單調(diào)性是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.12、A【解題分析】

求出導(dǎo)數(shù)f′(x)．利用x＝－2與x＝4是函數(shù)f(x)兩個(gè)極值點(diǎn)即為f′(x)＝0的兩個(gè)根．即可求出a、b．【題目詳解】由題意知，－2，4是函數(shù)f′(x)＝0的兩個(gè)根，f′(x)＝3x2＋2ax＋b，所以?所以a－b＝－3＋24＝21.故選A【題目點(diǎn)撥】f′(x)＝0的解不一定為函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)．（需判斷此解兩邊導(dǎo)數(shù)值的符號(hào)）函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)一定是f′(x)＝0的解．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

利用函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)第二、三、四象限可得：，整理可得：，再利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【題目詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖像經(jīng)過(guò)第二、三、四象限，所以，解得：又又，所以，所以所以，所以的取值范圍是【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及計(jì)算能力、分析能力，還考查了轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．14、.【解題分析】分析：觀察條件和問(wèn)題的角度關(guān)系可得：=，故=],然后按正切的和差公式展開(kāi)即可.詳解：由題可得：=]=故答案為.點(diǎn)睛：考查三角函數(shù)的計(jì)算，能發(fā)現(xiàn)=是解題關(guān)鍵，此題值得好好積累，屬于中檔題.15、【解題分析】

畫出幾何圖形,可知面與12條棱所在的直線與一個(gè)平面所成的角都等于,在可求得.【題目詳解】畫出幾何圖形,可知面與12條棱所在的直線與一個(gè)平面所成的角都等于正方體面,與面所成的角為不妨設(shè)正方體棱長(zhǎng)為,故在中由勾股定理可得:故答案為:.【題目點(diǎn)撥】本題考查了線面角求法,根據(jù)體積畫出幾何圖形,掌握正方體結(jié)構(gòu)特征是解本題的關(guān)鍵.屬于基礎(chǔ)題.16、【解題分析】

先作出不等式組對(duì)應(yīng)的區(qū)域，再利用復(fù)數(shù)的幾何意義將的最小值轉(zhuǎn)化成定點(diǎn)與區(qū)域中的點(diǎn)的距離最小的問(wèn)題利用圖形求解．【題目詳解】如圖，作出對(duì)應(yīng)的區(qū)域，由于為虛數(shù)單位），所以表示點(diǎn)與兩點(diǎn)之間的距離，由圖象可知的最小值為到直線的距離，即，故答案為．【題目點(diǎn)撥】本題考查一定點(diǎn)與區(qū)域中的一動(dòng)點(diǎn)距離最值的問(wèn)題，考查復(fù)數(shù)的幾何意義，利用線性規(guī)劃的知識(shí)進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（Ⅰ）（Ⅱ）【解題分析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)求得斜率，再求得切點(diǎn)坐標(biāo)，由此求得切線方程.（II）將原不等式分離常數(shù)得，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得，由此求得的取值范圍.【題目詳解】解：（Ⅰ）的導(dǎo)數(shù)為，可得切線的斜率為1，切點(diǎn)為，切線方程為，即；（Ⅱ）若在上恒成立，可得在上恒成立，令，則，，可得在上單調(diào)遞增，則，可得在上單調(diào)遞增，則，則．【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查切線方程的求法，考查利用導(dǎo)數(shù)求解不等式恒成立問(wèn)題，屬于中檔題.18、(1)小明82分，小紅70分；(2)1.504，0.938【解題分析】

（1）根據(jù)題意列式求解（2）先確定區(qū)間，再根據(jù)正態(tài)分布求特定區(qū)間概率，最后根據(jù)二項(xiàng)分布求期望與方差.【題目詳解】解（1）小明同學(xué)且等級(jí)為,設(shè)小明轉(zhuǎn)換后的物理等級(jí)分為，求得．小明轉(zhuǎn)換后的物理成績(jī)?yōu)?2小紅同學(xué)且等級(jí)為，且等級(jí)為所在原始分分布區(qū)間為，小紅為本等級(jí)最低分72,則轉(zhuǎn)換后的物理成績(jī)?yōu)?0分。（2）物理考試原始成績(jī)等級(jí)為所在原始分分布區(qū)間為，人數(shù)所占比例為24%，又因?yàn)槲锢砜荚囋汲煽?jī)基本服從正態(tài)分布，當(dāng)原始分時(shí)，人數(shù)所占比例為則隨機(jī)抽取一個(gè)物理原始成績(jī)?cè)趨^(qū)間的概率為由題可得【題目點(diǎn)撥】本題考查新定義理解、利用正態(tài)分布求特定區(qū)間概率以后利用二項(xiàng)分布求期望與方差，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.19、（1）；（2）【解題分析】

將函數(shù)寫出分段函數(shù)形式，再分段解不等式。不等式的解集非空即?！绢}目詳解】(1)或或無(wú)解或或或原不等式的解集為(2)若要的解集非空只要即可故的取值范圍為【題目點(diǎn)撥】本題考查含絕對(duì)值的不等式，考查邏輯推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題。20、(1)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.(2)最大值為0，最小值為.【解題分析】

通過(guò)求導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而判