北京東城區(qū)2024屆高二數學第二學期期末質量跟蹤監(jiān)視模擬試題含解析

北京東城區(qū)2024屆高二數學第二學期期末質量跟蹤監(jiān)視模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設，若，則=（）A． B． C． D．2．已知定圓，，定點，動圓滿足與外切且與內切，則的最大值為（）A． B． C． D．3．已知橢圓的右焦點為．短軸的一個端點為，直線交橢圓于兩點．若，點到直線的距離不小于，則橢圓的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．4．袋中裝有完全相同的5個小球，其中有紅色小球3個，黃色小球2個，如果不放回地依次摸出2個小球，則在第一次摸出紅球的條件下，第二次摸出紅球的概率是（）A．310B．35C．15．“人機大戰(zhàn)，柯潔哭了，機器贏了”，2017年5月27日，19歲的世界圍棋第一人柯潔0:3不敵人工智能系統(tǒng)AlphaGo，落淚離席.許多人認為這場比賽是人類的勝利，也有許多人持反對意見，有網友為此進行了調查.在參與調查的2600男性中，有1560人持反對意見，2400名女性中，有1118人持反對意見.再運用這些數據說明“性別”對判斷“人機大戰(zhàn)是人類的勝利”是否有關系時，應采用的統(tǒng)計方法是（）A．分層抽樣 B．回歸分析 C．獨立性檢驗 D．頻率分布直方圖6．歐拉公式（為虛數單位）是由瑞士著名數學家歐拉發(fā)現的，它將指數函數的定義域擴大到復數，建立了三角函數和指數函數的關系，它在復變函數論里非常重要，被譽為“數學中的天橋”.根據歐拉公式可知，表示的復數位于復平面中的（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．直線與曲線所圍成的曲邊梯形的面積為（）A．9 B． C． D．278．下列關于回歸分析的說法中，正確結論的個數為（）（1）回歸直線必過樣本點中；（2）殘差圖中殘差點所在的水平帶狀區(qū)域越寬，則回歸方程的預報精度越高；（3）殘差平方和越小的模型，擬合效果越好；（4）用相關指數來刻畫回歸效果，越大，說明模型的擬合效果越好．A．4 B．3 C．2 D．19．實驗女排和育才女排兩隊進行比賽，在一局比賽中實驗女排獲勝的概率是，沒有平局.若采用三局兩勝制，即先勝兩局者獲勝且比賽結束，則實驗女排獲勝的概率等于（）A． B． C． D．10．某班數學課代表給全班同學出了一道證明題.甲說：“丙會證明.”乙說：“我不會證明.”丙說：“丁會證明.”丁說：“我不會證明.”以上四人中只有一人說了真話，只有一人會證明此題.根據以上條件，可以判定會證明此題的人是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁11．在復平面內，復數（為虛數單位）對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限12．設函數，則滿足的x的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在平面直角坐標系中,已知,,兩曲線與在區(qū)間上交點為.若兩曲線在點處的切線與軸分別相交于兩點,則線段的為____________.14．下圖三角形數陣為楊輝三角：按照圖中排列的規(guī)律，第行（）從左向右的第3個數為______（用含的多項式表示）．15．曲線在點處的切線方程為________．16．劉徽是中國古代最杰出的數學家之一，他在中國算術史上最重要的貢獻就是注釋《九章算術》，劉徽在割圓術中提出的“割之彌細，所失彌少，割之又割以至于不可割，則與圓合體而無所失矣”，體現了無限與有限之間轉化的思想方法，這種思想方法應用廣泛.如數式是一個確定值(數式中的省略號表示按此規(guī)律無限重復)，該數式的值可以用如下方法求得：令原式，則，即，解得，取正數得.用類似的方法可得_____________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在三棱錐中，，，為的中點．（1）證明：平面；（2）若點在棱上，且，求點到平面的距離．18．（12分）已知.（1）當時，求的展開式中含項的系數；（2）證明：的展開式中含項的系數為.19．（12分）已知函數，，若且對任意實數均有成立．（1）求表達式；（2）當時，是單調函數，求實數的取值范圍．20．（12分）已知函數.（1）討論函數的單調性；（2）若不等式在時恒成立，求實數的取值范圍；（3）當時，證明：．21．（12分）已知函數.（1）當時，求的極值；（2）當時，討論的單調性；（3）若對任意的，，恒有成立，求實數的取值范圍.22．（10分）已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，離心率等于，它的一個頂點恰好是拋物線的焦點．（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；（Ⅱ）若直線與橢圓C相交于A、B兩點，在y軸上是否存在點D，使直線AD與BD關于y軸對稱？若存在，求出點D坐標；若不存在，請說明理由．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

先計算，帶入，求出即可?！绢}目詳解】對求導得將帶入有?！绢}目點撥】本題考查函數求導，屬于簡單題。2、A【解題分析】

將動圓的軌跡方程表示出來：,利用橢圓的性質將距離轉化,最后利用距離關系得到最值.【題目詳解】定圓，，動圓滿足與外切且與內切設動圓半徑為，則表示橢圓，軌跡方程為：故答案選A【題目點撥】本題考查了軌跡方程，橢圓的性質，利用橢圓性質變換長度關系是解題的關鍵.3、A【解題分析】試題分析：設是橢圓的左焦點，由于直線過原點，因此兩點關于原點對稱，從而是平行四邊形，所以，即，，設，則，所以，，即，又，所以，．故選A．考點：橢圓的幾何性質．【名師點睛】本題考查橢圓的離心率的范圍，因此要求得關系或范圍，解題的關鍵是利用對稱性得出就是，從而得，于是只有由點到直線的距離得出的范圍，就得出的取值范圍，從而得出結論．在涉及到橢圓上的點到焦點的距離時，需要聯想到橢圓的定義．4、C【解題分析】試題分析：因為第一次摸到紅球的概率為35，則第一次摸出紅球且第二次摸出紅球的概率為35×考點：1、條件概率；2、獨立事件．5、C【解題分析】

根據“性別”以及“反對與支持”這兩種要素，符合2×2，從而可得出統(tǒng)計方法。【題目詳解】本題考查“性別”對判斷“人機大戰(zhàn)是人類的勝利”這兩個變量是否有關系，符合獨立性檢驗的基本思想，因此，該題所選擇的統(tǒng)計方法是獨立性檢驗，故選：C.【題目點撥】本題考查獨立性檢驗適用的基本情形，熟悉獨立性檢驗的基本思想是解本題的概念，考查對概念的理解，屬于基礎題。6、B【解題分析】,對應點,位于第二象限,選B.7、A【解題分析】直線x=0,x=3,y=0與曲線y=x2所圍成的曲邊梯形的面積為：.本題選擇A選項.8、B【解題分析】

利用回歸分析的相關知識逐一判斷即可【題目詳解】回歸直線必過樣本點中，故（1）正確殘差圖中殘差點所在的水平帶狀區(qū)域越窄，則回歸方程的預報精度越高，故（2）錯誤殘差平方和越小的模型，擬合效果越好，故（3）正確用相關指數來刻畫回歸效果，越大，說明模型的擬合效果越好，故（4）正確所以正確結論的個數為3故選：B【題目點撥】本題考查的是回歸分析的相關知識，較簡單.9、B【解題分析】試題分析：實驗女排要獲勝必須贏得其中兩局，可以是1,2局，也可以是1,3局，也可以是2,3局.故獲勝的概率為:,故選B.考點：獨立事件概率計算.10、B【解題分析】如果甲會證明，乙與丁都說了真話，與四人中只有一人說了真話相矛盾，不合題意；排除選項；如果丙會證明，甲乙丁都說了真話，與四人中只有一人說了真話相矛盾，不合題意，排除選項；如果丁會證明，丙乙都說了真話，與四人中只有一人說了真話相矛盾，不合題意，排除選項，故選B.11、B【解題分析】

對復數進行整理化簡，從得到其在復平面所對應的點，得到答案.【題目詳解】復數，所以復數在復平面對應的點的坐標為，位于第二象限.故選：B.【題目點撥】本題考查復數的乘法運算，考查復數在復平面對應點所在象限，屬于簡單題.12、A【解題分析】

討論和兩種情況，分別解不等式得到答案.【題目詳解】當時，，故，即；當時，，解得，即.綜上所述：.故選：.【題目點撥】本題考查了分段函數不等式，分類討論是常用的數學技巧，需要熟練掌握.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】分析：求出點坐標，然后分別求出和在A處切線方程，即可求出兩點坐標詳解：由可得，所以又因為所以所以在A點處切線方程為：令解得，所以又因為所以所以在A點處切線方程為：令解得，所以所以線段BC的長度為點睛：熟練記憶導函數公式是解導數題的前提條件，導數的幾何意義是在曲線上某一點處的導數就等于該點處切線斜率，是解決曲線切線的關鍵，要靈活掌握.14、【解題分析】

按照如圖排列的規(guī)律，第行（）從左向右的第3個數分別為，1,3,6,10,15,21，…找到規(guī)律及可求出。【題目詳解】按照如圖排列的規(guī)律，第行（）從左向右的第3個數分別為，1,3,6,10,15,21，…由于，，，，則第行（）從左向右的第3個數為?！绢}目點撥】本題考查了歸納推理的問題，關鍵找到規(guī)律，屬于基礎題。15、【解題分析】

求出函數的導數，可得切線的斜率，運用斜截式方程可得切線的方程．【題目詳解】曲線y＝（1﹣3a）ex在點（1，1），可得：1＝1﹣3a，解得a＝1，函數f（x）＝ex的導數為f′（x）＝ex，可得圖象在點（1，1）處的切線斜率為1，則圖象在點（1，1）處的切線方程為y＝x+1，即為x﹣y+1＝1．故答案為：x﹣y+1＝1．【題目點撥】本題考查導數的運用：求切線的方程，正確求導和運用斜截式方程是解題的關鍵，屬于基礎題．16、3【解題分析】

根據題干中給出的提示，利用和自身的相似性列出方程求解。【題目詳解】由題得，令原式，則，化簡為，解得：.故答案為：3【題目點撥】本題考查了知識遷移能力，是一道中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）詳見解析（1）．【解題分析】分析：（1）連接，欲證平面，只需證明即可；（1）過點作，垂足為，只需論證的長即為所求，再利用平面幾何知識求解即可.詳解：（1）因為AP=CP=AC=4，O為AC的中點，所以OP⊥AC，且OP=．連結OB．因為AB=BC=，所以△ABC為等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB==1．由知，OP⊥OB．由OP⊥OB，OP⊥AC知PO⊥平面ABC．（1）作CH⊥OM，垂足為H．又由（1）可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM．故CH的長為點C到平面POM的距離．由題設可知OC==1，CM==，∠ACB=45°．所以OM=，CH==．所以點C到平面POM的距離為．點睛：立體幾何解答題在高考中難度低于解析幾何，屬于易得分題，第一問多以線面的證明為主，解題的核心是能將問題轉化為線線關系的證明；本題第二問可以通過作出點到平面的距離線段求解，也可利用等體積法解決.18、（1）84；（2）證明見解析【解題分析】

（1）當時，根據二項展開式分別求出每個二項式中的項的系數相加即可；（2）根據二項展開式，含項的系數為，又，再結合即可得到結論．【題目詳解】（1）當時，，的展開式中含項的系數為．（2），，故的展開式中含項的系數為因為，所以項的系數為：.【題目點撥】本題考查二項式定理、二項展開式中項的系數的求法、組合數的計算，考查函數與方程思想，考查邏輯推理能力、運算求解能力．19、（1）；（2）【解題分析】試題分析：（1）根據可以得到與的關系，將中代換成表示，再根據對任意實數均有成立，列出關于的不等式，求解得到的值，進而得到的值，即可求得的表達式；（2）為二次函數，利用二次函數的單調性與開口方向和對稱軸的關系，列出關于的不等關系，求解即可得到實數的取值范圍.試題解析：(1）∵,∴．∵，∴，∴，∴．∵恒成立，∴∴∴，從而，∴．(2）．∵在上是單調函數，∴或，解得，或．∴的取值范圍為．點睛：本題考查了求導公式求函數的導函數，考查了函數的恒成立問題，一般選用參變量分離法、最值法，數形結合法解決，同時考查了二次函數的單調性問題，二次函數的單調性與開口方向和對稱軸有關，試題有一定的綜合性，屬于中檔試題.20、（1）見解析；（2）；（3）見解析【解題分析】分析：（1）求出的導函數，由得增區(qū)間，由得減區(qū)間，注意在解不等式時要按的值分類討論；（2）由（1）的結論知當時，，題中不等式成立，而當時，題中不等式不恒成立；（3）時，由（2）知上有，從而，令，然后所有不等式相加可證．詳解：(1)∵y＝f(x)－g(x)＝ln(ax＋1)－，y′＝－＝，當a≥1時，y′≥0，所以函數y＝f(x)－g(x)是[0，＋∞)上的增函數；當0<a<1時，由y′>0得x>2，所以函數y＝f(x)－g(x)在上是單調遞增函數，函數y＝f(x)－g(x)在上是單調遞減函數；(2)當a≥1時，函數y＝f(x)－g(x)是[0，＋∞)上的增函數．所以f(x)－g(x)≥f(0)－g(0)＝1，即不等式f(x)≥g(x)＋1在x∈[0，＋∞)時恒成立，當0<a<1時，函數y＝f(x)－g(x)是上的減函數，存在，使得f(x0)－g(x0)<f(0)－g(0)＝1，即不等式f(x0)≥g(x0)＋1不成立，綜上，實數a的取值范圍是[1，＋∞)．(3)當a＝1時，由(2)得不等式f(x)>g(x)＋1在x∈(0，＋∞)時恒成立，即ln(x＋1)>，所以，即<[ln(k＋1)－lnk]．所以<(ln2－ln1)，<(ln3－ln2)，<(ln4－ln3)，…，<[ln(n＋1)－lnn]．將上面各式相加得到，＋＋＋…＋<[(ln2－ln1)＋(ln3－ln2)＋(ln4－ln3)＋…＋(ln(n＋1)－lnn)]＝ln(n＋1)＝f(n)．∴原不等式成立．點睛：本題考查用導數研究函數的單調性，研究函數的最值，利用導數證明不等式．在證明函數不等式時，一般要把不等式進行轉化，把不等式的證明轉化為求函數的最值．另外在函數問題出現與數列求和有關的不等式證明，一般是利用前面小題中的函數結論，在函數的特殊結論中令變量取特殊值后，再結合數列求和的方法進行證明．象本題先賦值后相加．21、（1）極小值，無極大值；（2）參考解析；（3）【解題分析】

試題分析：第一問，將