2024屆云南省宣威市第八中學數(shù)學高二第二學期期末聯(lián)考模擬試題含解析

2024屆云南省宣威市第八中學數(shù)學高二第二學期期末聯(lián)考模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．四大名著是中國文學史上的經典作品，是世界寶貴的文化遺產.在某學校舉行的“文學名著閱讀月”活動中，甲、乙、丙、丁、戊五名同學相約去學校圖書室借閱四大名著《紅樓夢》、《三國演義》、《水滸傳》、《西游記》（每種名著至少有5本），若每人只借閱一本名著，則不同的借閱方案種數(shù)為（）A． B． C． D．2．用數(shù)學歸納法證明（，）時，第一步應驗證（）A． B． C． D．3．某學習小組有名男生和名女生，現(xiàn)從該小組中先后隨機抽取兩名同學進行成果展示，則在抽到第個同學是男生的條件下，抽到第個同學也是男生的概率為（）A． B． C． D．4．6把椅子擺成一排，3人隨機就座，任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為（）A．144 B．120 C．72 D．245．在二項式的展開式中，各項系數(shù)之和為，二項式系數(shù)之和為，若，則（）A． B． C． D．6．若，則等于（）A．2 B．0 C．-2 D．-47．已知正三棱柱的所有頂點都在球的球面上，且該正三棱柱的底面邊長為，體積為，則球的表面積為（）A． B． C． D．8．函數(shù)在上單調遞減，且為奇函數(shù)，若，則滿足的的取值范圍是（）A． B． C． D．9．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則程序輸出的結果為（）A． B． C． D．10．已知兩個不同的平面α，β和兩條不同的直線a，b滿足a?α,b?β，則“a∥b”是“α∥β”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件11．把18個人平均分成兩組，每組任意指定正副組長各1人，則甲被指定為正組長的概率為（）A． B． C． D．12．已知函數(shù)，若有兩個極值點，，且，則的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．正項等差數(shù)列的前n項和為，已知，且，則__________.14．已知函數(shù)為的極值點，則關于的不等式的解集為________.15．設實數(shù)滿足約束條件,則目標函數(shù)的最大值為________.16．某種產品每箱裝6個,其中有4個合格,2個不合格,現(xiàn)質檢人員從中隨機抽取2個進行檢測,則檢測出至少有一個不合格產品的概率是_______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知二次函數(shù)滿足，且.（1）求的解析式；（2）設函數(shù)，當時，求的最小值；（3）設函數(shù)，若對任意，總存在，使得成立，求m的取值范圍.18．（12分）某啤酒廠要將一批鮮啤酒用汽車從所在城市甲運至城市乙，已知從城市甲到城市乙只有兩條公路，運費由廠家承擔．若廠家恰能在約定日期（×月×日）將啤酒送到，則城市乙的銷售商一次性支付給廠家40萬元；若在約定日期前送到，每提前一天銷售商將多支付給廠家2萬；若在約定日期后送到，每遲到一天銷售商將少支付給廠家2萬元．為保證啤酒新鮮度，汽車只能在約定日期的前兩天出發(fā)，且只能選擇其中的一條公路運送．已知下表內的信息：汽車行駛路線在不堵車的情況下到達城市乙所需時間（天）在堵車的情況下到達城市乙所需時間（天）堵車的概率運費（萬元）公路1142公路2231（1）記汽車選擇公路1運送啤酒時廠家獲得的毛收入為X（單位：萬元），求X的分布列和EX；（2）若，，選擇哪條公路運送啤酒廠家獲得的毛收人更多？（注：毛收入=銷售商支付給廠家的費用-運費）．19．（12分）老師要從7道數(shù)學題中隨機抽取3道考查學生，規(guī)定至少能做出2道即合格，某同學只會做其中的5道題．（I）求該同學合格的概率；（II）用X表示抽到的3道題中會做的題目數(shù)量，求X分布列及其期望．20．（12分）（1）集合，或，對于任意，定義，對任意，定義，記為集合的元素個數(shù)，求的值；（2）在等差數(shù)列和等比數(shù)列中，，，是否存在正整數(shù)，使得數(shù)列的所有項都在數(shù)列中，若存在，求出所有的，若不存在，說明理由；（3）已知當時，有，根據(jù)此信息，若對任意，都有，求的值.21．（12分）已知數(shù)列，…的前項和為.（1）計算的值，根據(jù)計算結果，猜想的表達式；（2）用數(shù)學歸納法證明（1）中猜想的表達式.22．（10分）已知.（1）求及；（2）試比較與的大小，并用數(shù)學歸納法證明.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】

通過分析每人有4種借閱可能，即可得到答案.【題目詳解】對于甲來說，有4種借閱可能，同理每人都有4種借閱可能，根據(jù)乘法原理，故共有種可能，答案為A.【題目點撥】本題主要考查乘法分步原理，難度不大.2、B【解題分析】

直接利用數(shù)學歸納法寫出時左邊的表達式即可．【題目詳解】解：用數(shù)學歸納法證明，時，第一步應驗證時是否成立，即不等式為：；故選：．【題目點撥】在數(shù)學歸納法中，第一步是論證時結論是否成立，此時一定要分析不等式左邊的項，不能多寫也不能少寫，否則會引起答案的錯誤．3、C【解題分析】

設事件A表示“抽到個同學是男生”，事件B表示“抽到的第個同學也是男生”，則，，由此利用條件概率計算公式能求出在抽到第個同學是男生的條件下，抽到第個同學也是男生的概率.【題目詳解】設事件A表示“抽到個同學是男生”，事件B表示“抽到的第個同學也是男生”，則，，則在抽到第個同學是男生的條件下，抽到第個同學也是男生的概率.故選：C【題目點撥】本題考查了條件概率的求法、解題的關鍵是理解題干，并能分析出問題，屬于基礎題.4、D【解題分析】試題分析：先排三個空位，形成4個間隔，然后插入3個同學，故有種考點：排列、組合及簡單計數(shù)問題5、A【解題分析】分析：先根據(jù)賦值法得各項系數(shù)之和，再根據(jù)二項式系數(shù)性質得，最后根據(jù)解出詳解：因為各項系數(shù)之和為，二項式系數(shù)之和為,因為，所以,選A.點睛：“賦值法”普遍適用于恒等式，是一種重要的方法，對形如的式子求其展開式的各項系數(shù)之和，常用賦值法，只需令即可；對形如的式子求其展開式各項系數(shù)之和，只需令即可.6、D【解題分析】

先求導，算出，然后即可求出【題目詳解】因為，所以所以，得所以，所以故選：D【題目點撥】本題考查的是導數(shù)的計算，較簡單.7、C【解題分析】

正三棱柱的底面中心的連線的中點就是外接球的球心，求出球的半徑即可求出球的表面積．【題目詳解】由題意可知，正三棱柱的底面中心的連線的中點就是外接球的球心，底面中心到頂點的距離為，設正三棱柱的高為，由，得，∴外接球的半徑為，∴外接球的表面積為：．故選C．【題目點撥】本題主要考查了正三棱柱的外接球的表面積的求法，找出球的球心是解題的關鍵，考查空間想象能力與計算能力，是中檔題．8、C【解題分析】

先由函數(shù)是奇函數(shù)求出，化原不等式為，再由函數(shù)的單調性，即可得出結果.【題目詳解】因為為奇函數(shù)，若，則，所以不等式可化為，又在上單調遞減，所以，解得.故選C【題目點撥】本題主要考查由函數(shù)的單調性與奇偶性解不等式，熟記函數(shù)基本性質即可，屬于?？碱}型.9、C【解題分析】依次運行如圖給出的程序，可得；，所以輸出的的值構成周期為4的數(shù)列．因此當時，．故程序輸出的結果為．選C．10、D【解題分析】

分別判斷充分性和必要性得到答案.【題目詳解】如圖所示：既不充分也不必要條件.故答案選D【題目點撥】本題考查了充分必要條件，舉出反例可以簡化運算.11、B【解題分析】

把18個人平均分成2組，再從每組里任意指定正、副組長各1人，即從9人中選一個正組長，甲被選定為正組長的概率，與組里每個人被選中的概率相等．【題目詳解】由題意知，把18個人平均分成2組，再從每組里任意指定正、副組長各1人，即從9個人中選一個正組長，∴甲被選定為正組長的概率是．故選B．【題目點撥】本題考查了等可能事件的概率應用問題，是基礎題目．12、C【解題分析】

由可得，根據(jù)極值點可知有兩根，等價于與交于兩點，利用導數(shù)可求得的最大值，同時根據(jù)的大小關系構造方程可求得臨界狀態(tài)時的取值，結合單調性可確定的取值范圍.【題目詳解】，，令可得：.有兩個極值點，有兩根令，則，當時，；當時，，在上單調遞增，在上單調遞減，，令，則，解得：，此時.有兩根等價于與交于兩點，，即的取值范圍為.故選：.【題目點撥】本題考查根據(jù)函數(shù)極值點個數(shù)及大小關系求解參數(shù)范圍的問題，關鍵是明確極值點和函數(shù)導數(shù)之間的關系，將問題轉化為直線與曲線交點問題的求解.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解題分析】

由等差數(shù)列的通項公式求出公差，再利用等差數(shù)列前項和的公式，即可求出的值【題目詳解】在等差數(shù)列中，所以，解得或（舍去）.設的公差為，故，即.因為，所以，故，或（舍去）.【題目點撥】本題考查等差數(shù)列通項公式與前項和的公式，屬于基礎題。14、【解題分析】

首先利用為的極值點求出參數(shù)，然后利用符號法則解分式不等式即可?！绢}目詳解】，由題意，，經檢驗，當時，為的極值點.所以.或，的解集為.【題目點撥】本題主要考查導數(shù)在函數(shù)中的應用，以及分式不等式的解法，意在考查學生的數(shù)學運算能力。15、2【解題分析】分析：由題意，作出約束條件所表示的平面區(qū)域，結合圖象得到目標函數(shù)過點時，取得最大值，即可求解.詳解：由題意，作出約束條件所表示的平面區(qū)域，如圖所示，目標函數(shù)，即，當直線在上的截距最大值，此時取得最大值，結合圖象可得，當直線過點時，目標函數(shù)取得最大值，由，解得，所以目標函數(shù)的最大值為.點睛：本題主要考查簡單線性規(guī)劃求解目標函數(shù)的最值問題．解決此類問題的關鍵是正確畫出不等式組表示的可行域，將目標函數(shù)賦予幾何意義；求目標函數(shù)的最值的一般步驟為：一畫二移三求，其關鍵是準確作出可行域，理解目標函數(shù)的意義是解答的關鍵，著重考查了數(shù)形結合法思想的應用．16、【解題分析】

首先明確試驗發(fā)生包含的事件是從6個產品中抽2個，共有種結果，滿足條件的事件是檢測出至少有一個不合格產品，共有種結果，根據(jù)古典概型概率公式得到結果.【題目詳解】由題意知本題是一個等可能事件的概率，因為試驗發(fā)生包含的事件是6個產品中抽取2個，共有種結果，滿足條件的事件是檢測出至少有一個不合格產品，共有種結果，所以檢測出至少有一個不合格產品的概率是，故答案是：.【題目點撥】該題考查的是有關等可能事件的概率的求解問題，在解題的過程中，注意對試驗所包含的基本事件數(shù)以及滿足條件的基本事件數(shù)，以及概率公式，屬于簡單題目.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）；（3）【解題分析】

(1)根據(jù)二次函數(shù),則可設,再根據(jù)題中所給的條件列出對應的等式對比得出所求的系數(shù)即可.(2)根據(jù)(1)中所求的求得,再分析對稱軸與區(qū)間的位置關系進行分類討論求解的最小值即可.(3)根據(jù)題意可知需求與在區(qū)間上的最小值.再根據(jù)對數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的單調性求解最小值即可.【題目詳解】(1)設.①∵,∴,又∵,∴,可得,∴解得即.(2)由題意知,,,對稱軸為.①當,即時,函數(shù)h(x)在上單調遞增,即；②當,即時,函數(shù)h(x)在上單調遞減,在上單調遞增,即.綜上,(3)由題意可知,∵函數(shù)在上單調遞增,故最小值為,函數(shù)在上單調遞減,故最小值為,∴,解得.【題目點撥】本題主要考查利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)解析式的方法,二次函數(shù)對稱軸與區(qū)間關系求解最值的問題,以及恒成立和能成立的問題等.屬于中等題型.18、（1）分布列見解析，；（2）選擇公路2運送啤酒有可能讓啤酒廠獲得的毛收入更多．【解題分析】

（1）若汽車走公路1，不堵車時啤酒廠獲得的毛收人（萬元），堵車時啤酒廠獲得的毛收入（萬元），然后列出分布列和求出（2）當時，由（1）知（萬元），然后求出，比較二者的大小即可得出結論.【題目詳解】解：（1）若汽車走公路1，不堵車時啤酒廠獲得的毛收人（萬元），堵車時啤酒廠獲得的毛收入（萬元），所以汽車走公路1時啤酒廠獲得的毛收入X的分布列為4034∴．（2）當時，由（1）知（萬元），當時，設汽車走公路2時啤酒廠獲得的毛收入為Y，則不堵車時啤酒廠獲得的毛收入9（萬元），堵車時啤酒廠獲得的毛收入（萬元），∴汽車走公路2時啤酒廠獲得的毛收入Y的分布列為3937∴（萬元），由得選擇公路2運送啤酒有可能讓啤酒廠獲得的毛收入更多．【題目點撥】本題考查的是隨機變量的分布列和期望，較簡單，屬于基礎題；由于文字太多，解答本題的關鍵是讀懂題意.19、(1).（2）分布列見解析；.【解題分析】分析：（1）設“該同學成績合格”為事件；（2）可能取的不同值為1，2,3，時，時，時.詳解：(1)設“該同學成績合格”為事件（2）解：可能取的不同值為1，2,3當時當時=當時=的分布列為123點睛：求解離散型隨機變量的數(shù)學期望的一般步驟為：第一步是“判斷取值”，即判斷隨機變量的所有可能取值，以及取每個值所表示的意義；第二步是“探求概率”，即利用排列組合、枚舉法、概率公式，求出隨機變量取每個值時的概率；第三步是“寫分布列”，即按規(guī)范形式寫出分布列，并注意用分布列的性質檢驗所求的分布列或某事件的概率是否正確；第四步是“求期望值”，一般利用離散型隨機變量的數(shù)學期望的定義求期望的值，對于有些實際問題中的隨機變量，如果能夠斷定它服從某常見的典型分布則此隨機變量的期望可直接利用這種典型分布的期望公式求得.20、（1），；（2）為正偶數(shù)；（3）；【解題分析】

（1）由題意得：集合表示方程解的集合，由于或，即可得到集合的元素個數(shù)；利用倒序相加法及，即可得到答案；（2）假設存在，對分奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況進行討論；（3）利用類比推理和分類計數(shù)原理可得的值.【題目詳解】（1）由題意得：集合表示方程解的集合，由于或，所以方程中有個，個，從而可得到解的情況共有個，所以.令，所以，所以，所以，即.（2）當取偶數(shù)時，中所有項都是中的項.由題意：均在數(shù)列中，當時，，說明數(shù)列的第項是數(shù)列中的第項.當取奇數(shù)時，因為不是整數(shù)，所以數(shù)列的所有項都不在數(shù)列中.綜上所述：為正偶數(shù).（3）當時，有①當時，②又對任意，都有③所以即為的系數(shù)，可?、僦?、②中的1；或①中、②中的；或①中、②中的；或①中的、②中的；所以.【題目點撥】本題第（1）問考查對集合新定義的理解