2023年湖南省湘潭市中考數(shù)學(xué)真題試卷(解析版)

2023年湖南省湘潭市中考數(shù)學(xué)真題試卷及答案考試時量：120分鐘滿分：120分考生注意：本試卷分試題卷和答題卡兩部分，全卷共四道大題，26道小題．請考生將解答過程全部填（涂）寫在答題卡上，寫在試題卷上無效，考試結(jié)束后，將試題卷和答題卡一并上交．一、選擇題（本大題共8個小題，每小題3分，共24分．在每小題給出的4個選項中，只有一項符合題目要求，請將正確答案的選項代號涂在答題卡相應(yīng)的位置上）1.中國的漢字既象形又表意，不但其形美觀，而且寓意深刻，觀察下列漢字，其中是軸對稱圖形的是（）A.愛 B.我 C.中 D.華【答案】C【解析】根據(jù)軸對稱圖形的定義逐項判斷即可． 解：將選項A，B，D中的漢字沿某直線折疊后不能與本身重合，所以不符合題意；將圖C中的漢字沿過中心的豎直方向的直線折疊直線兩旁的部分能夠重合，所以符合題意．故選：C．【點撥】本題主要考查了軸對稱圖形的判斷，掌握定義是解題的關(guān)鍵．即將一個圖形沿某直線折疊，直線兩旁的部分能夠重合，這樣的圖形是軸對稱圖形．2.若代數(shù)式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的取值范圍是A.x<1 B.x≤1 C.x>1 D.x≥1【答案】D【解析】根據(jù)二次根式有意義的條件列出關(guān)于x的不等式，求出x的取值范圍即可．解：由題意得，x－1≥0，解得x≥1．故選：D．【點撥】本題主要考查二次根式有意義的條件，解題的關(guān)鍵是掌握要使二次根式有意義，其被開方數(shù)應(yīng)為非負數(shù)．3.下列計算正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法，同底數(shù)冪的除法，冪的乘方，合并同類項，逐項分析判斷即可求解．解：A.，故該選項不正確，不符合題意；B.，故該選項不正確，不符合題意；C.，故該選項不正確，不符合題意；D.，故該選項正確，符合題意；故選：D．【點撥】本題考查了同底數(shù)冪的乘法，同底數(shù)冪的除法，冪的乘方，合并同類項，熟練掌握以上運算法則是解題的關(guān)鍵．4.某校組織青年教師教學(xué)競賽活動，包含教學(xué)設(shè)計和現(xiàn)場教學(xué)展示兩個方面．其中教學(xué)設(shè)計占，現(xiàn)場展示占．某參賽教師的教學(xué)設(shè)計分，現(xiàn)場展示分，則她的最后得分為（）A.分 B.分 C.分 D.分【答案】B【解析】根據(jù)加權(quán)平均數(shù)進行計算即可求解．解：依題意，她的最后得分為分，故選：B．【點撥】本題考查了加權(quán)平均數(shù)，熟練掌握加權(quán)平均數(shù)的求法是解題的關(guān)鍵．5.如圖，菱形中，連接，若，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，則，進而即可求解．解：∵四邊形是菱形∴，∴，∵，∴,故選：C．【點撥】本題考查了菱形的性質(zhì)，熟練掌握是菱形的性質(zhì)解題的關(guān)鍵．6.如圖，平面直角坐標系中，O是坐標原點，點A是反比例函數(shù)圖象上的一點，過點A分別作軸于點M，軸于直N，若四邊形的面積為2．則k的值是（）A.2 B. C.1 D.【答案】A【解析】證明四邊形是矩形，根據(jù)反比例函數(shù)的值的幾何意義，即可解答．解：軸于點M，軸于直N，，四邊形是矩形，四邊形的面積為2，，反比例函數(shù)在第一、三象限，，故選：A．【點撥】本題考查了矩形的判定，反比例函數(shù)的值的幾何意義，熟知在一個反比例函數(shù)圖象上任取一點，過點分別作x軸，y軸的垂線段，與坐標軸圍成的矩形面積為是解題的關(guān)鍵．7.如圖，圓錐底面圓的半徑為4，則這個圓錐的側(cè)面展開圖中的長為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根據(jù)底面周長等于的長，即可求解．解：依題意，的長，故選：C．【點撥】本題考查了圓錐的側(cè)面展開圖的弧長，熟練掌握圓錐底面周長等于的長是解題的關(guān)鍵．8.某校組織九年級學(xué)生赴韶山開展研學(xué)活動，已知學(xué)校離韶山50千米，師生乘大巴車前往，某老師因有事情，推遲了10分鐘出發(fā)，自駕小車以大巴車速度的倍前往，結(jié)果同時到達．設(shè)大巴車的平均速度為x千米/時，則可列方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)大巴車的平均速度為x千米/時，則老師自駕小車的平均速度為千米/時，根據(jù)時間的等量關(guān)系列出方程即可．解：設(shè)大巴車的平均速度為x千米/時，則老師自駕小車的平均速度為千米/時，根據(jù)題意列方程：，故答案為：A．【點撥】本題考查了分式方程的應(yīng)用，找到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．二、選擇題（本題共4小題，每小題3分，共12分．在每小題給出的4個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得3分，部分選對的得2分，有選錯的得0分，請將正確答案的選項代號涂在答題卡相應(yīng)的位置上）9.下列選項中正確的是（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】根據(jù)零次冪可判斷A，根據(jù)絕對值的意義可判斷B，化簡多重符號可判斷C，根據(jù)二次根式的性質(zhì)可判斷D，從而可得答案．解：，故A符合題意，，故B符合題意；，故C符合題意；，故D不符合題意；故選ABC【點撥】本題考查的是零次冪的含義，絕對值的含義，化簡多重符號，二次根式的性質(zhì)，熟記運算法則是解本題的關(guān)鍵．10.2023年湘潭中考體育考查了投擲實心球的項目，為了解某校九年級男生投擲實心球水平．隨機抽取了若干名男生的成績（單位：米），列出了如下所示的頻數(shù)分布表并繪制了扇形圖：類別ABCDE成績頻數(shù)2625125則下列說法正確的是（）A.樣本容量為50 B.成績在米的人數(shù)最多C.扇形圖中C類對應(yīng)圓心角為 D.成績在米的頻率為0.1【答案】AC【解析】結(jié)合扇形統(tǒng)計圖和統(tǒng)計表格，對選項逐一判斷，即可解答．解：樣本容量為，故A正確；根據(jù)統(tǒng)計表，可得成績在米的人數(shù)最多，故B錯誤；扇形圖中C類對應(yīng)的圓心角為，故C正確；根據(jù)統(tǒng)計表，可得成績在米的頻率為，故D錯誤，故選：AC．【點撥】本題考查了扇形統(tǒng)計圖和統(tǒng)計表的結(jié)合，能通過統(tǒng)計表格準確地得到所需數(shù)據(jù)是解題的關(guān)鍵．11.如圖，是的直徑，為弦，過點的切線與延長線相交于點，若，則下列說法正確的是（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】根據(jù)是的直徑，可得，根據(jù)是的切線，可得，根據(jù)，可得是等腰直角三角形，進而可得，即可判斷A，B，D選項，根據(jù)是直角三角形，是斜邊，則，即可判斷C選項．解：∵是的直徑，∴，故A選項正確，∵是的切線，∴，∴，故B選項正確，∵∴是等腰直角三角形，∵，∴，∴，故D選項正確∵是直角三角形，是斜邊，則，故C選項錯誤，故選：ABD．【點撥】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，直徑所對的圓周角是直角，切線的性質(zhì)，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．12.如圖，拋物線與x軸交于點，則下列結(jié)論中正確的是（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】根據(jù)圖象的開口方向可判斷選項A；根據(jù)圖象與y軸的交點位置，可判斷選項B；根據(jù)拋物線和x軸的交點個數(shù)可判斷選項C；時函數(shù)值的情況，可判斷選項D．解：A.由函數(shù)圖象得，拋物線開口向下，故，故A錯誤；B.圖象與y軸的交點在原點上方，故，故B正確；C.因為拋物線和x軸有兩個交點，故，故C錯誤．D.當時，，故D正確；故選：BD．【點撥】本題考查了二次函數(shù)的圖象和系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)、以及二次函數(shù)的圖象的特點．三、填空題（本題共4個小題，每小題3分，共12分．請將答案寫在答題卡相應(yīng)的位置上）13.數(shù)軸上到原點的距離小于的點所表示的整數(shù)有__________．（寫出一個即可）【答案】2（答案不唯一）【解析】根據(jù)實數(shù)與數(shù)軸的對應(yīng)關(guān)系，得出所求數(shù)的絕對值小于，且為整數(shù)，再利用無理數(shù)的估算即可求解．解：設(shè)所求數(shù)為a，由于在數(shù)軸上到原點的距離小于，則，且為整數(shù)，則，∵，即，∴a可以是或或0．故答案為：2（答案不唯一）．【點撥】本題考查了實數(shù)與數(shù)軸，無理數(shù)的估算，掌握數(shù)軸上的點到原點距離的意義是解題的關(guān)鍵．14.已知實數(shù)a，b滿足，則_________．【答案】【解析】由非負數(shù)的性質(zhì)可得且，求解a，b的值，再代入計算即可．解：∵，∴且，解得：，；∴；故答案為：．【點撥】本題考查的是絕對值的非負性，偶次方的非負性的應(yīng)用，負整數(shù)指數(shù)冪的含義，理解非負數(shù)的性質(zhì)，熟記負整數(shù)指數(shù)冪的含義是解本題的關(guān)鍵．15.如圖，在中，，按以下步驟作圖：①以點為圓心，以小于長為半徑作弧，分別交于點，；②分別以，為圓心，以大于的長為半徑作弧，在內(nèi)兩弧交于點；③作射線，交于點．若點到的距離為，則的長為__________．【答案】【解析】根據(jù)作圖可得為的角平分線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可求解．解：如圖所示，過點作于點，依題意，根據(jù)作圖可知為的角平分線，∵∴，故答案為：．【點撥】本題考查了作角平分線，角平分線的性質(zhì)，熟練掌握基本作圖以及角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16.七巧板是我國民間廣為流傳的一種益智玩具，某同學(xué)用邊長為的正方形紙板制作了一副七巧板（如圖），由5個等腰直角三角形，1個正方形和1個平行四邊形組成．則圖中陰影部分的面積為__________．【答案】【解析】根據(jù)正方形的性質(zhì)，以及七巧板的特點，求得的長，即可求解．解：如圖所示，依題意，，∴圖中陰影部分的面積為故答案為：．【點撥】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，七巧板，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．四、解答題（本大題共10個小題，共72分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．請將解答過程寫在答題卡相應(yīng)位置上）17.解不等式組：，并把它的解集在數(shù)軸上表示出來．【答案】不等式組的解集為：．畫圖見解析【解析】先解不等式組中的兩個不等式，再在數(shù)軸上表示兩個不等式的解集，從而可得答案．解：，由①得：，由②得：，∴，在數(shù)軸上表示其解集如下：∴不等式組的解集為：．【點撥】本題考查的是一元一次不等式組的解法，在數(shù)軸上表示不等式組的解集，掌握不等式組的解法與步驟是解本題的關(guān)鍵．18.先化簡，再求值：，其中．【答案】；2【解析】先將括號部分通分相加，相乘時，將兩個分式的分子和分母因式分解，進行化簡，最后代入求值即可．解：，，，當時，原式．【點撥】本題考查了分式的化簡求值，熟練將分式化簡是解題的關(guān)鍵．19.在中，是斜邊上的高．（1）證明：；（2）若，求的長．【答案】（1）見解析（2）【解析】（1）根據(jù)三角形高的定義得出，根據(jù)等角的余角相等，得出，結(jié)合公共角，即可得證；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，利用相似三角形的性質(zhì)即可求解．（1）證明：∵是斜邊上的高．∴，∴，∴又∵∴，（2）∵∴，又∴．【點撥】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．20.為落實“雙減”政策要求，豐富學(xué)生課余生活，某校七年級根據(jù)學(xué)生需求，組建了四個社團供學(xué)生選擇：A（合唱社團）、B（硬筆書法社團）、C（街舞社團）、D（面點社團）．學(xué)生從中任意選擇兩個社團參加活動．（1）小明對這4個社團都很感興趣，如果他隨機選擇兩個社團，請列舉出所有的可能結(jié)果；（2）小宇和小江在選擇過程中，首先都選了社團C（街舞社團），第二個社團他倆決定隨機選擇，請用列表法或樹狀圖求他倆選到相同社團的概率．【答案】（1）（2）【解析】（1）根據(jù)題意列舉出所有可能結(jié)果；（2）根據(jù)列表法求概率即可求解．（1）解：依題意，他隨機選擇兩個社團，所有的可能結(jié)果為；（2）解：列表如下，共有9種等可能結(jié)果，其中符合題意的有3種，∴他倆選到相同社團的概率為．【點撥】本題考查的是根據(jù)概率公式求概率，用列表法求概率．解題時要注意此題是放回試驗還是不放回試驗．用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．21.教育部正式印發(fā)《義務(wù)教育勞動課程標準（2022年版）》，勞動課成為中小學(xué)的一門獨立課程，湘潭市中小學(xué)已經(jīng)將勞動教育融入學(xué)生的日常學(xué)習(xí)和生活中，某校倡導(dǎo)同學(xué)們從幫助父母做一些力所能及的家務(wù)做起，培養(yǎng)勞動意識，提高勞動技能．小明隨機調(diào)查了該校10名學(xué)生某周在家做家務(wù)的總時間，并對數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計分析，過程如下：收集數(shù)據(jù)：在家做家務(wù)時間：（單位：小時）1541a32b34整理數(shù)據(jù)：時間段人數(shù)36m分析數(shù)據(jù)：統(tǒng)計量平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)數(shù)據(jù)3.43.54請結(jié)合以上信息回答下列問題：（1）__________，并補全頻數(shù)直方圖；（2）數(shù)據(jù)統(tǒng)計完成后，小明發(fā)現(xiàn)有兩個數(shù)據(jù)不小心丟失了．請根據(jù)圖表信息找回這兩個數(shù)據(jù)．若，則__________，__________；（3）根據(jù)調(diào)查結(jié)果，請估計該校2000名學(xué)生在這一周勞動時間不少于3小時的人數(shù)．【答案】（1）1；頻數(shù)直方圖見解析（2）4；7（3）1400人【解析】（1）用被調(diào)查的總?cè)藬?shù)減去其余兩個時間段的人數(shù)，補全頻數(shù)直方圖即可；（2）通過（1）可得在家做家務(wù)時間段為有1人，故，則，利用眾數(shù)為4，可知，再利用平均數(shù)求得即可；（3）用2000乘調(diào)查的學(xué)生中勞動時間不少于3小時的人數(shù)的占比，即可解答．（1）解：根據(jù)題意，可得，故答案為：1，補全頻數(shù)直方圖，如圖所示：（2）解：在家做家務(wù)時間段為有1人，且，，觀察數(shù)據(jù)，可得在家做家務(wù)時間段為的是3，3，4，4，5，有5人，比表格中的數(shù)據(jù)少一人，故，眾數(shù)為4，在已知數(shù)據(jù)中在家做家務(wù)時間為和的各有2人，，根據(jù)平均數(shù)，可得方程，解得，故答案為：4；7；（3）解：（人），答：該校2000名學(xué)生在這一周勞動時間不少于3小時的人數(shù)約為1400人．【點撥】本題考查了頻數(shù)直方圖，平均數(shù)的概念，眾數(shù)的概念，用樣本估計總量，熟知上述概念是解題的關(guān)鍵．22.我國航天事業(yè)發(fā)展迅速，2023年5月30日9時31分，神舟十六號載人飛船成功發(fā)射，某玩具店抓住商機，先購進了1000件相關(guān)航天模型玩具進行試銷，進價為50元/件．（1）設(shè)每件玩具售價為x元，全部售完的利潤為y元．求利潤y（元）關(guān)于售價x（元/件）的函數(shù)表達式；（2）當售價定為60元/件時，該玩具銷售火爆，該店繼續(xù)購進一批該種航天模型玩具，并從中拿出這兩批玩具銷售利潤的20%用于支持某航模興趣組開展活動，在成功銷售完畢后，資助經(jīng)費恰好10000元，請問該商店繼續(xù)購進了多少件航天模型玩具？【答案】（1）；（2）該商店繼續(xù)購進了件航天模型玩具．【解析】（1）根據(jù)總利潤=單件利潤×銷售量，可求得利潤y（元）關(guān)于售價x（元/件）的函數(shù)表達式；（2）設(shè)商店繼續(xù)購進了m件航天模型玩具，根據(jù)“銷售利潤的20%恰好10000元”列一元一次方程，解之即可．（1）解：因每件玩具售價為x元，依題意得；（2）解：設(shè)商店繼續(xù)購進了m件航天模型玩具，則總共有件航天模型玩具，依題意得：，解得，答：該商店繼續(xù)購進了件航天模型玩具．【點撥】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，一元一次方程的應(yīng)用，理解題意找到題目蘊含的相等關(guān)系，并據(jù)此列出方程或函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．23.如圖，點A的坐標是，點B的坐標是，點C為中點，將繞著點B逆時針旋轉(zhuǎn)得到．（1）反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，求該反比例函數(shù)的表達式；（2）一次函數(shù)圖象經(jīng)過A.兩點，求該一次函數(shù)的表達式．【答案】（1）（2）【解析】（1）由點B的坐標是，點C為中點，可得，，由旋轉(zhuǎn)可得：，，可得，可得，從而可得答案；（2）如圖，過作于，則，而，，證明，可得，，，設(shè)直線為，再建立方程組求解即可．（1）解：∵點B的坐標是，點C為中點，∴，，由旋轉(zhuǎn)可得：，，∴，∴，∴反比例函數(shù)的表達式為；（2）如圖，過作于，則，而，，∴，∴，∴，∴，，∴，∴，設(shè)直線為，∴，解得：，∴直線為．【點撥】本題考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，利用待定系數(shù)法求解一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練的求解是解本題的關(guān)鍵．24.問題情境：筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，既經(jīng)濟又環(huán)保，明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理（如圖①）．假定在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都按逆時針做勻速圓周運動，每旋轉(zhuǎn)一周用時120秒．問題設(shè)置：把筒車抽象為一個半徑為r的．如圖②，始終垂直于水平面，設(shè)筒車半徑為2米．當時，某盛水筒恰好位于水面A處，此時，經(jīng)過95秒后該盛水筒運動到點B處．（參考數(shù)據(jù)，）問題解決：（1）求該盛水筒從A處逆時針旋轉(zhuǎn)到B處時，的度數(shù)；（2）求該盛水筒旋轉(zhuǎn)至B處時，它到水面的距離．（結(jié)果精確到米）【答案】（1）；（2）該盛水筒旋轉(zhuǎn)至B處時，它到水面的距離為米．【解析】（1）先求得該盛水筒的運動速度，再利用周角的定義即可求解；（2）作于點C，在中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理求得的長，在中，利用勾股定理求得的長，據(jù)此即可求解．（1）解：∵旋轉(zhuǎn)一周用時120秒，∴每秒旋轉(zhuǎn)，當經(jīng)過95秒后該盛水筒運動到點B處時，，∵，∴；（2）解：作于點C，設(shè)與水平面交于點D，則，在中，，，∴，，在中，，，∴，∴(米)，答：該盛水筒旋轉(zhuǎn)至B處時，它到水面的距離為米．【點撥】本題考查了圓的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．25.問題情境：小紅同學(xué)在學(xué)習(xí)了正方形的知識后，進一步進行以下探究活動：在正方形的邊上任意取一點G，以為邊長向外作正方形，將正方形繞點B順時針旋轉(zhuǎn)．特例感知：（1）當在上時，連接相交于點P，小紅發(fā)現(xiàn)點P恰為的中點，如圖①．針對小紅發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，請給出證明；（2）小紅繼續(xù)連接，并延長與相交，發(fā)現(xiàn)交點恰好也是中點P，如圖②，根據(jù)小紅發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，請判斷的形狀，并說明理由；規(guī)律探究：（3）如圖③，將正方形繞點B順時針旋轉(zhuǎn)，連接，點P是中點，連接，，，的形狀是否發(fā)生改變？請說明理由．【答案】（1）見解析；（2）是等腰直角三角形，理由見解析；（3）的形狀不改變，見解析【解析】（1）連接，，，根據(jù)正方形的性質(zhì)求出，證明，推出，再利用余角的性質(zhì)求出，推出即可；（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)直接得到，推出，得到是等腰直角三角形；（3）延長至點M，使，連接，證明，得到，推出，設(shè)交于點H，交于點N，得到，由得到，推出，進而得到，再證明，得到，，證得，再由，根據(jù)等腰三角形的三線合一的性質(zhì)求出，即可證得是等腰直角三角形．（1）證明：連接，，，如圖，∵四邊形，都是正方形，∴，∴，∵四邊形是正方形，∴，又∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即點P恰為的中點；（2）是等腰直角三角形，理由如下：∵四邊形，都是正方形，∴∴，∴是等腰直角三角形；（3）的形狀不改變，延長至點M，使，連接，∵四邊形、四邊形都是正方形，∴，，∵點P為的中點，∴，∵，∴，∴，∴，，∴，設(shè)交于點H，交于點N，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，又∵，∴