二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)-完整版課件

二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)-完整版課件匯報(bào)人：XXX2024-01-29BIGDATAEMPOWERSTOCREATEANEWERA目錄CONTENTS二次函數(shù)基本概念二次函數(shù)圖像特征二次函數(shù)性質(zhì)探討典型例題分析與解答實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)景舉例說(shuō)明總結(jié)回顧與拓展延伸BIGDATAEMPOWERSTOCREATEANEWERA01二次函數(shù)基本概念形如$y=ax^2+bx+c$（$aneq0$）的函數(shù)稱為二次函數(shù)。定義二次函數(shù)可以用一般式$y=ax^2+bx+c$，頂點(diǎn)式$y=a(x-h)^2+k$，或交點(diǎn)式$y=a(x-x_1)(x-x_2)$來(lái)表示。表示方法二次函數(shù)定義及表示方法

二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)二次項(xiàng)系數(shù)$a$決定拋物線的開(kāi)口方向和開(kāi)口大小。當(dāng)$a>0$時(shí)，拋物線開(kāi)口向上；當(dāng)$a<0$時(shí)，拋物線開(kāi)口向下。一次項(xiàng)系數(shù)$b$與二次項(xiàng)系數(shù)$a$共同決定拋物線的對(duì)稱軸。對(duì)稱軸方程為$x=-frac{2a}$。常數(shù)項(xiàng)$c$決定拋物線與$y$軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)。當(dāng)$x=0$時(shí)，$y=c$。一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$aneq0$）的解即為二次函數(shù)$y=ax^2+bx+c$與$x$軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。當(dāng)$Delta=b^2-4ac>0$時(shí)，二次函數(shù)與$x$軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)$Delta=0$時(shí)，有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)$Delta<0$時(shí)，沒(méi)有交點(diǎn)。二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)$(h,k)$可以通過(guò)一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系求得，即$h=frac{-b}{2a}$，$k=c-frac{b^2}{4a}$。二次函數(shù)與一元二次方程關(guān)系BIGDATAEMPOWERSTOCREATEANEWERA02二次函數(shù)圖像特征當(dāng)二次函數(shù)的一般式$y=ax^2+bx+c$中$a>0$時(shí)，拋物線開(kāi)口向上。當(dāng)$a<0$時(shí)，拋物線開(kāi)口向下。拋物線開(kāi)口的大小由$|a|$決定，$|a|$越大，開(kāi)口越??；$|a|$越小，開(kāi)口越大。拋物線開(kāi)口方向判斷

拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)求解對(duì)于一般式$y=ax^2+bx+c$，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為$(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)$。對(duì)于頂點(diǎn)式$y=a(x-h)^2+k$，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為$(h,k)$。拋物線的最值出現(xiàn)在頂點(diǎn)處，當(dāng)$a>0$時(shí)，頂點(diǎn)為最小值點(diǎn)；當(dāng)$a<0$時(shí)，頂點(diǎn)為最大值點(diǎn)。010405060302對(duì)于一般式$y=ax^2+bx+c$，其對(duì)稱軸為直線$x=-b/2a$。拋物線與$y$軸的交點(diǎn)為$(0,c)$。若拋物線與$x$軸有交點(diǎn)，則交點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿足方程$ax^2+bx+c=0$。根據(jù)判別式$Delta=b^2-4ac$的值，可以判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)當(dāng)$Delta>0$時(shí)，有兩個(gè)不同的交點(diǎn)。當(dāng)$Delta=0$時(shí)，有一個(gè)重根，即一個(gè)交點(diǎn)。當(dāng)$Delta<0$時(shí)，無(wú)交點(diǎn)。拋物線對(duì)稱軸及與坐標(biāo)軸交點(diǎn)BIGDATAEMPOWERSTOCREATEANEWERA03二次函數(shù)性質(zhì)探討單調(diào)性定義對(duì)于任意x1,x2∈D，若x1<x2時(shí)，f(x1)≤f(x2)（或f(x1)≥f(x2)），則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)增加（或單調(diào)減少）。二次函數(shù)單調(diào)性判斷方法通過(guò)求導(dǎo)，判斷導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，從而確定原函數(shù)的單調(diào)性。對(duì)于二次函數(shù)f(x)=ax^2+bx+c，其導(dǎo)函數(shù)為f'(x)=2ax+b。當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)在(-∞,-b/2a)上單調(diào)減少，在(-b/2a,+∞)上單調(diào)增加；當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)在(-∞,-b/2a)上單調(diào)增加，在(-b/2a,+∞)上單調(diào)減少。證明方法利用定義法或求導(dǎo)法均可證明二次函數(shù)的單調(diào)性。定義法需要選取任意兩點(diǎn)進(jìn)行比較，而求導(dǎo)法則是通過(guò)判斷導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)來(lái)確定函數(shù)的單調(diào)性。單調(diào)性區(qū)間判斷及證明最大值、最小值定義對(duì)于函數(shù)f(x)，若存在x0∈D，使得對(duì)于任意x∈D，都有f(x)≤f(x0)（或f(x)≥f(x0)），則稱f(x0)為函數(shù)f(x)在區(qū)間D上的最大值（或最小值）。二次函數(shù)最值求解方法對(duì)于二次函數(shù)f(x)=ax^2+bx+c，其最值出現(xiàn)在對(duì)稱軸x=-b/2a上。當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)在對(duì)稱軸上取得最小值；當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)在對(duì)稱軸上取得最大值。具體最值為f(-b/2a)=c-b^2/4a。求解策略首先確定二次函數(shù)的開(kāi)口方向及對(duì)稱軸位置，然后計(jì)算對(duì)稱軸上的函數(shù)值即可得到最值。最大值、最小值問(wèn)題求解策略零點(diǎn)定義對(duì)于函數(shù)f(x)，若存在x0∈D，使得f(x0)=0，則稱x0為函數(shù)f(x)的零點(diǎn)。通過(guò)判別式Δ=b^2-4ac來(lái)判斷。當(dāng)Δ>0時(shí)，二次函數(shù)有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)；當(dāng)Δ=0時(shí)，二次函數(shù)有兩個(gè)相等的零點(diǎn)（即一個(gè)重根）；當(dāng)Δ<0時(shí)，二次函數(shù)無(wú)零點(diǎn)。除了通過(guò)判別式判斷外，還可以通過(guò)觀察二次函數(shù)的圖像來(lái)判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)。當(dāng)二次函數(shù)的圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，說(shuō)明有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)圖像與x軸相切時(shí)，說(shuō)明有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)圖像在x軸上方或下方且無(wú)交點(diǎn)時(shí)，說(shuō)明無(wú)零點(diǎn)。二次函數(shù)零點(diǎn)存在性判斷方法個(gè)數(shù)判斷方法零點(diǎn)存在性及個(gè)數(shù)判斷方法BIGDATAEMPOWERSTOCREATEANEWERA04典型例題分析與解答示例1已知二次函數(shù)$y=ax^2+bx+c$，其中$a>0$，$b<0$，$c>0$，且$b^2-4ac>0$，請(qǐng)繪制該函數(shù)的圖像。示例2已知二次函數(shù)$y=x^2-2x-3$，請(qǐng)繪制該函數(shù)的圖像。分析由于$a>0$，拋物線開(kāi)口向上；$b<0$，對(duì)稱軸在$y$軸左側(cè)；$c>0$，拋物線與$y$軸交點(diǎn)在正半軸；$b^2-4ac>0$，拋物線與$x$軸有兩個(gè)交點(diǎn)。分析該函數(shù)可以改寫(xiě)為$y=(x-1)^2-4$，因此對(duì)稱軸為直線$x=1$，頂點(diǎn)坐標(biāo)為$(1,-4)$，與$y$軸交點(diǎn)為$(0,-3)$，與$x$軸交點(diǎn)為$(-1,0)$和$(3,0)$。圖像（請(qǐng)?jiān)诖颂幉迦雸D像）圖像（請(qǐng)?jiān)诖颂幉迦雸D像）繪制給定條件下拋物線圖像示例示例1已知二次函數(shù)$y=x^2-2x+2$，求該函數(shù)在區(qū)間$[0,3]$上的最小值。示例2已知二次函數(shù)$y=-x^2+4x-3$，求該函數(shù)在區(qū)間$[2,5]$上的最大值。分析由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，該函數(shù)在區(qū)間$[2,5]$上的最大值為圖像在該區(qū)間內(nèi)的最高點(diǎn)。將函數(shù)改寫(xiě)為頂點(diǎn)式$y=-(x-2)^2+1$，可知頂點(diǎn)坐標(biāo)為$(2,1)$，因此最大值為1。分析由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，該函數(shù)在區(qū)間$[0,3]$上的最小值為頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)。將函數(shù)改寫(xiě)為頂點(diǎn)式$y=(x-1)^2+1$，可知頂點(diǎn)坐標(biāo)為$(1,1)$，因此最小值為1。利用圖像解決最值問(wèn)題示例示例1：已知二次函數(shù)$y=x^2+bx+c$與直線$y=kx+m$相交于兩點(diǎn)，且這兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為$-1$和$3$，求二次函數(shù)的解析式。分析：根據(jù)題意設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為$(-1,y_1)$和$(3,y_2)$，代入直線方程可得兩個(gè)方程。又因?yàn)檫@兩個(gè)點(diǎn)也在拋物線上，所以代入拋物線方程也可得兩個(gè)方程。聯(lián)立這四個(gè)方程即可求出二次函數(shù)的解析式。示例2：已知二次函數(shù)$y=ax^2+bx+c(aeq0)$的圖像與直線$y=x+m(meq0)$相交于兩點(diǎn)，且這兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，求二次函數(shù)的解析式。分析：根據(jù)題意設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$，由于兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以有$x_1=-x_2$和$y_1=-y_2$。代入直線方程可得兩個(gè)方程。又因?yàn)檫@兩個(gè)點(diǎn)也在拋物線上，所以代入拋物線方程也可得兩個(gè)方程。聯(lián)立這四個(gè)方程即可求出二次函數(shù)的解析式。復(fù)雜情境下零點(diǎn)求解技巧展示BIGDATAEMPOWERSTOCREATEANEWERA05實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)景舉例說(shuō)明投擲運(yùn)動(dòng)在物理學(xué)中，二次函數(shù)常被用來(lái)描述物體的拋物線運(yùn)動(dòng)，如投擲鉛球、標(biāo)槍等項(xiàng)目的運(yùn)動(dòng)軌跡。通過(guò)分析二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，可以預(yù)測(cè)物體的落點(diǎn)、最大高度等關(guān)鍵信息。彈道學(xué)在軍事和航空航天領(lǐng)域，彈道學(xué)是研究射彈飛行軌跡的學(xué)科。二次函數(shù)在該領(lǐng)域具有重要應(yīng)用，可以幫助分析射彈的飛行距離、飛行時(shí)間以及命中精度等關(guān)鍵參數(shù)。物理學(xué)中拋物線運(yùn)動(dòng)規(guī)律探討在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，二次函數(shù)常被用來(lái)描述企業(yè)的成本曲線。通過(guò)分析二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，企業(yè)可以了解生產(chǎn)過(guò)程中的固定成本、變動(dòng)成本以及總成本的變化趨勢(shì)，從而制定合理的成本控制策略。成本分析二次函數(shù)也可以用來(lái)描述企業(yè)的收益曲線。通過(guò)構(gòu)建收益模型，企業(yè)可以預(yù)測(cè)不同銷售量下的收益情況，為制定銷售策略和價(jià)格策略提供重要依據(jù)。收益預(yù)測(cè)經(jīng)濟(jì)學(xué)中成本收益模型構(gòu)建與分析建筑學(xué)在建筑學(xué)中，二次函數(shù)可以用來(lái)描述建筑物的拋物線形狀，如拱門、拱頂?shù)取Ｍㄟ^(guò)分析二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，建筑師可以設(shè)計(jì)出既美觀又實(shí)用的建筑造型。圖像處理在計(jì)算機(jī)圖像處理領(lǐng)域，二次函數(shù)可以用來(lái)描述圖像的拋物線形狀特征。通過(guò)提取圖像的拋物線特征，可以實(shí)現(xiàn)圖像識(shí)別、目標(biāo)檢測(cè)等任務(wù)，為智能安防、智能交通等領(lǐng)域提供技術(shù)支持。生活中其他相關(guān)領(lǐng)域應(yīng)用拓展BIGDATAEMPOWERSTOCREATEANEWERA06總結(jié)回顧與拓展延伸123$y=ax^2+bx+c$，其中$a$、$b$、$c$為常數(shù)，且$aneq0$。二次函數(shù)的一般形式$(-frac{2a},c-frac{b^2}{4a})$，對(duì)稱軸為直線$x=-frac{2a}$。二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式當(dāng)$a>0$時(shí)，函數(shù)有最小值，最小值為頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)；當(dāng)$a<0$時(shí)，函數(shù)有最大值，最大值為頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)。二次函數(shù)的最值關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)總結(jié)回顧注意區(qū)分二次函數(shù)與一元二次方程：二次函數(shù)是描述變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，而一元二次方程則是求解特定數(shù)值的方程。在求解二次函數(shù)的最值時(shí)，要注意自變量的取值范圍，避免因?yàn)槿≈捣秶划?dāng)而導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)果。在繪制二次函數(shù)圖像時(shí)，要注意標(biāo)出頂點(diǎn)和與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，以便更準(zhǔn)確地把握函數(shù)的性質(zhì)。易錯(cuò)易混點(diǎn)辨析提示高階多項(xiàng)式的一般形式：$y=a