浙江省嘉興市2021年中考數(shù)學(xué)真題卷（含答案與解析）

嘉興市2021年初中畢業(yè)生學(xué)業(yè)考試

數(shù)學(xué)試卷

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)

條形碼貼在答題卡指定位置。

2.答題時(shí)，選擇題答案，用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選

擇題答案，用0.5毫米黑色墨水簽字筆，直接寫在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。

答案答在試題卷上無效。

3.考生必須保持答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題（本題有10小題，每題3分，共30分，請(qǐng)選出各題中唯一的正確選項(xiàng)，不選、

多選錯(cuò)選，均不得分）

1.2021年5月22日，我國(guó)自主研發(fā)的“祝融號(hào)”火星車成功到達(dá)火星表面.已知火星與

地球的最近距離約為55000000千米，數(shù)據(jù)55000000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.55X106B.5.5X107C.5.5X108D.0.55X108

2.如圖是由四個(gè)相同的小正方體組成的立體圖形，它的俯視圖為（）

主視方向

4.己知三個(gè)點(diǎn)（xi，yi）,（X2,”），（X3，y3）在反比例函數(shù)y=2的圖象上，其中x\<X2

x

<0<X3,下列結(jié)論中正確的是（）

A.>,2<yi<0<^3B.yi<〉2<0<y3C.D.

5.將一張三角形紙片按如圖步驟①至④折疊兩次得圖⑤，然后剪出圖⑤中的陰影部分，則

陰影部分展開鋪平后的圖形是（）

6.5月1日至7日，我市每日最高氣溫如圖所示，則下列說法錯(cuò)誤的是（）

B.眾數(shù)是33℃

C.平均數(shù)是儂。C

7

D.4日至5日最高氣溫下降幅度較大

7.已知平面內(nèi)有。0和點(diǎn)A,B,若。0半徑為線段0A=3C〃?，OB=2cm,則直線

AB與。。的位置關(guān)系為（）

A.相離B.相交C.相切D.相交或相切

8.為迎接建黨一百周年，某校舉行歌唱比賽.901班啦啦隊(duì)買了兩種價(jià)格的加油棒助威，

其中繽紛棒共花費(fèi)30元，熒光棒共花費(fèi)40元，繽紛棒比熒光棒少20根，繽紛棒單價(jià)是

熒光棒的1.5倍.若設(shè)熒光棒的單價(jià)為x元，根據(jù)題意可列方程為（）

A.?-9=20B.9__，。_=20

1.5xxx1.5x

C.毀-4°=20D.一.亞--絲=20

x1.5x1.5xx

9.如圖，在△ABC中，NB4C=90°,A8=AC=5,點(diǎn)。在AC上，且AO=2,點(diǎn)￡是

A8上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)OE,點(diǎn)F,G分別是8c和。E的中點(diǎn)，連結(jié)AG,FG,當(dāng)AG=FG

時(shí)，線段QE長(zhǎng)為（）

A.^/13B.c.2/HD.4

22

10.已知點(diǎn)PQi,b）在直線y=-3x-4上，且2a-5b^0,則下列不等式一定成立的是（）

A.且B.至25c.0力2D.電w2

b2b2a5a5

二、填空題（本題有6小題，每題4分，共24分）

11.（4分）已知二元一次方程x+3y=14,請(qǐng)寫出該方程的一組整數(shù)

解.

12.（4分）如圖，在直角坐標(biāo)系中，△ABC與△ODE是位似圖形，則它們位似中心的坐標(biāo)

是.

13.（4分）觀察下列等式：1=/-。2,3=22-12,5=32-22,…按此規(guī)律，則第〃個(gè)等式

為2〃-1-.

14.（4分）如圖，在oABCD中，對(duì)角線AC,8。交于點(diǎn)0,AB1AC,AHLBD于點(diǎn)H,

若AB=2,BC=2娟，則AH的長(zhǎng)為.

15.（4分）看了《田忌賽馬》故事后，小楊用數(shù)學(xué)模型來分析：齊王與田忌的上中下三個(gè)

等級(jí)的三匹馬記分如表，每匹馬只賽一場(chǎng)，兩數(shù)相比，大數(shù)為勝，三場(chǎng)兩勝則贏.已知

齊王的三匹馬出場(chǎng)順序?yàn)?0,8,6.若田忌的三匹馬隨機(jī)出場(chǎng)，則田忌能贏得比賽的概

率為__________________

馬匹下等馬中等馬上等馬

姓名

齊王6810

田忌579

16.（4分）如圖，在△ABC中，NBAC=30°,ZACB=45°,AB=2,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)

沿A8方向運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)8時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，連結(jié)CP,點(diǎn)A關(guān)于直線CP的對(duì)稱點(diǎn)為A',

連結(jié)A'C,A'P.在運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)A'到直線AB距離的最大值

是________________________;點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，線段A'P掃過的面積

三、解答題（本題有8小題，第17?19題每題6分，第20,21題每題8分，第22,23題

每題10分，第24題12分，共66分）

17.（6分）（1）計(jì)算：2-1+^/72-sin30°：

（2）化簡(jiǎn)并求值：1其中〃=-』.

a+12

18.（6分）小敏與小霞兩位同學(xué)解方程3（x-3）=（x-3）2的過程如下框：

小敏：小霞：

兩邊同除以G-3）,得移項(xiàng)，得3(1-3)-(x-3)2=0,

3=x-3,提取公因式，得(x-3)(3-x-3)=0.

貝x=6.則x-3=0或3-x-3=0,

解得k=3,%2=0.

你認(rèn)為他們的解法是否正確？若正確請(qǐng)?jiān)诳騼?nèi)打“J”；若錯(cuò)誤請(qǐng)?jiān)诳騼?nèi)打“X”，并寫

出你的解答過程.

19.（6分）如圖，在7X7的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)，點(diǎn)A,B在格點(diǎn)上，

每一個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1.

（1）以AB為邊畫菱形，使菱形的其余兩個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上（畫出一個(gè)即可）.

(2)計(jì)算你所畫菱形的面積.

20.(8分)根據(jù)數(shù)學(xué)家凱勒的“百米賽跑數(shù)學(xué)模型”，前30米稱為“加速期”，30米~80米

為“中途期”，80米~100米為“沖刺期”.市田徑隊(duì)把運(yùn)動(dòng)員小斌某次百米跑訓(xùn)練時(shí)速度

y(mis)與路程x(/?)之間的觀測(cè)數(shù)據(jù)，繪制成曲線如圖所示.

(1)y是關(guān)于x的函數(shù)嗎？為什么？

(2)“加速期”結(jié)束時(shí)，小斌的速度為多少？

(3)根據(jù)如圖提供的信息，給小斌提一條訓(xùn)練建議.

y(m's)

O1530SO100x(m)

21.(8分)某市為了解八年級(jí)學(xué)生視力健康狀況，在全市隨機(jī)抽查了400名八年級(jí)學(xué)生2021

年初的視力數(shù)據(jù)，并調(diào)取該批學(xué)生2020年初的視力數(shù)據(jù)，制成如圖統(tǒng)計(jì)圖(不完整)：

400名八年級(jí)學(xué)生2021該批400名學(xué)生2020年

年初視力統(tǒng)計(jì)圖初視力統(tǒng)計(jì)圖

青少年視力健康標(biāo)準(zhǔn)

類別視力健康狀況

4視力25.0視力正常

B4.9輕度視力不

良

C4.6W視力W中度視力不

4.8良

D視力W4.5重度視力不

良

根據(jù)以上信息，請(qǐng)解答：

（1）分別求出被抽查的400名學(xué)生2021年初輕度視力不良（類別B）的扇形圓心角度

數(shù)和2020年初視力正常（類別A）的人數(shù).

（2）若2021年初該市有八年級(jí)學(xué)生2萬人，請(qǐng)估計(jì)這些學(xué)生2021年初視力正常的人數(shù)

比2020年初增加了多少人？

（3）國(guó)家衛(wèi)健委要求，全國(guó)初中生視力不良率控制在69%以內(nèi).請(qǐng)估計(jì)該市八年級(jí)學(xué)生

2021年初視力不良率是否符合要求？并說明理由.

22.（10分）一酒精消毒瓶如圖1,AB為噴嘴，△BCQ為按壓柄，CE為伸縮連桿，BE和

EF為導(dǎo)管,其示意圖如圖2,ZDBE=ZBEF=108°,BD=6cm,BE=4cm.當(dāng)按壓柄

△BCD按壓到底時(shí)，BO轉(zhuǎn)動(dòng)到80',此時(shí)3。'（如圖3）.

（1）求點(diǎn)。轉(zhuǎn)動(dòng)到點(diǎn)的路徑長(zhǎng)；

（2）求點(diǎn)。到直線E尸的距離（結(jié)果精確到O.lcM.

（參考數(shù)據(jù)：sin36°=0.59,cos36°-0.81,tan36°心0.73,sin72°—.95,cos72°y

0.31,tan72°-3.08)

圖1圖2圖3

23.(10分)已知二次函數(shù)y=-7+6x-5.

(1)求二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)當(dāng)1WXW4時(shí)，函數(shù)的最大值和最小值分別為多少？

(3)當(dāng)fWxWf+3時(shí)，函數(shù)的最大值為抗，最小值為〃，若桃-〃=3,求r的值.

24.(12分)小王在學(xué)習(xí)浙教版九上課本第72頁例2后，進(jìn)一步開展探究活動(dòng)：將一個(gè)矩

形ABCQ繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a(0°VaW90°),得到矩形AB'CD',連結(jié)BD

［探究1］如圖1,當(dāng)a=90°時(shí)，點(diǎn)C'恰好在延長(zhǎng)線上.若AB=1,求8c的長(zhǎng).

［探究2］如圖2,連結(jié)AC',過點(diǎn)。‘作M//AC交BD于點(diǎn)、M.線段。'M與DM

相等嗎？請(qǐng)說明理由.

［探究3］在探究2的條件下，射線QB分別交A。'，AC于點(diǎn)尸，N(如圖3),發(fā)現(xiàn)線

段DMMN,PN存在一定的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)寫出這個(gè)關(guān)系式，并加以證明.

圖1圖2圖3

參考答案

一、選擇題（本題有10小題，每題3分，共30分，請(qǐng)選出各題中唯一的正確選項(xiàng)，不選、

多選錯(cuò)選，均不得分）

1.2021年5月22日，我國(guó)自主研發(fā)的“祝融號(hào)”火星車成功到達(dá)火星表面.已知火星與

地球的最近距離約為55000000千米，數(shù)據(jù)55000000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.55X106B.5.5X107C.5.5X108D.0.55X108

【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為aXl0n的形式，其中IW|a|V10,〃為整數(shù).當(dāng)原數(shù)絕

對(duì)值210時(shí)，〃是正數(shù).

【解答】解：55000000=5.5XI07.

故選：B.

2.如圖是由四個(gè)相同的小正方體組成的立體圖形，它的俯視圖為（）

主視方向

RB.cSc.F,中

【分析】找到從上面看所得到的圖形即可，注意所有的看到的棱都應(yīng)表現(xiàn)在主視圖中.

【解答】解：從上面看，底層右邊是一個(gè)小正方形，上層是兩個(gè)小正方形，右齊.

故選：C.

3.能說明命題“若x為無理數(shù)，則，也是無理數(shù)”是假命題的反例是（）

A.》=圾-1B.x=V^+lC.x=3啦D.x=M-如

【分析】根據(jù)題意，只要/是有理數(shù)，即求出各個(gè)選項(xiàng)中/的值，再判斷即可.

【解答】解：（后-1）2=3-2近，是無理數(shù)，不符合題意；

（揚(yáng)1）2=3+2加，是無理數(shù)，不符合題意；

（3班）2=18,是有理數(shù)，符合題意；

（蟲-血）2=5-2加，是無理數(shù)，不符合題意；

故選：C.

4.已知三個(gè)點(diǎn)（xi，yi）,（X2，”），（X3，>3）在反比例函數(shù)y=2的圖象上，其中x\<X2

<0<X3,下列結(jié)論中正確的是（）

A.>2<yi<0<y3B.yi<y2VoC.y3<0<”<yiD.y3<0<yi<”

【分析】先根據(jù)反比例函數(shù)的解析式判斷出函數(shù)圖象所在的象限，再根據(jù)X1<X2<0<X3

即可得出結(jié)論

【解答】解：?.?反比例函數(shù)y=2中，％=2>0,

，函數(shù)圖象的兩個(gè)分支分別位于一、三象限，且在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而減小.

Vxi<x2<0<x3，

...A、8兩點(diǎn)在第三象限，C點(diǎn)在第一象限，

<0<”.

故選：A.

5.將一張三角形紙片按如圖步驟①至④折疊兩次得圖⑤，然后剪出圖⑤中的陰影部分，則

陰影部分展開鋪平后的圖形是（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.矩形D.菱形

【分析】對(duì)折是軸對(duì)稱得到的圖形，根據(jù)最后得到的圖形可得是沿對(duì)角線折疊2次后,

剪去一個(gè)三角形得到的，按原圖返回即可.

【解答】解：如圖，由題意可知，剪下的圖形是四邊形BACQ,

.?.△ABC是等腰三角形,

又△48C和△BCD關(guān)于直線CD對(duì)稱,

二四邊形8AC。是菱形,

故選：D.

6.5月1日至7日，我市每日最高氣溫如圖所示，則下列說法錯(cuò)誤的是（）

B.眾數(shù)是33℃

C.平均數(shù)是儂。C

7

D.4日至5日最高氣溫下降幅度較大

【分析】分別確定7個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)、眾數(shù)及平均數(shù)后即可確定正確的選項(xiàng).

【解答】解：4、7個(gè)數(shù)排序后為23,25,26,27,30,33,33,位于中間位置的數(shù)為

27,所以中位數(shù)為27℃,故A錯(cuò)誤，符合題意；

B、7個(gè)數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的為33,所以眾數(shù)為33℃,正確，不符合題意；

C、平均數(shù)為工（23+25+26+27+30+33+33）正確，不符合題意；

77

。、觀察統(tǒng)計(jì)表知：4日至5日最高氣溫下降幅度較大，正確，不符合題意，

故選：A.

7.己知平面內(nèi)有和點(diǎn)A,B,若。0半徑為2。”，線段。4=3。"，OB=2cm,則直線

與00的位置關(guān)系為（）

A.相離B.相交C.相切D.相交或相切

【分析】根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判定方法進(jìn)行判斷.

【解答】解：。。的半徑為2a”，線段OA=3cro,OH=2cm,

即點(diǎn)A到圓心O的距離大于圓的半徑，點(diǎn)B到圓心。的距離等于圓的半徑，

...點(diǎn)A在。。外，點(diǎn)8在上，

，直線AB與的位置關(guān)系為相交或相切，

故選：D.

8.為迎接建黨一百周年，某校舉行歌唱比賽.901班啦啦隊(duì)買了兩種價(jià)格的加油棒助威，

其中繽紛棒共花費(fèi)30元，熒光棒共花費(fèi)40元，繽紛棒比熒光棒少20根，繽紛棒單價(jià)是

熒光棒的1.5倍.若設(shè)熒光棒的單價(jià)為x元，根據(jù)題意可列方程為（）

A.-30=20B.理2。一.=20

1.5xxx1.5x

C.迦-4°=20D.40=20

x1.5x1.5xx

【分析】若設(shè)熒光棒的單價(jià)為x元，則繽紛棒單價(jià)是1.5X元，根據(jù)等量關(guān)系“繽紛棒比

熒光棒少20根”可列方程即可.

【解答】解：若設(shè)熒光棒的單價(jià)為x元，則繽紛棒單價(jià)是1.5x元，

根據(jù)題意可得：絲-速匚=20.

x1.5x

故選：B.

9.如圖，在△ABC中，NB4c=90°,AB^AC=5,點(diǎn)。在AC上，且4。=2,點(diǎn)E是

A8上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)。E,點(diǎn)F,G分別是BC和。E的中點(diǎn)，連結(jié)AG,FG,當(dāng)AG=FG

時(shí)，線段OE長(zhǎng)為（）

A.V73B.^2c.D.4

22

【分析】分別過點(diǎn)G,F作的垂線，垂足為M,N,過點(diǎn)G作GP_LFN于點(diǎn)尸，由中

位線定理及勾股定理可分別表示出線段4G和FG的長(zhǎng)，建立等式可求出結(jié)論.

【解答】解：如圖，分別過點(diǎn)G,尸作AB的垂線，垂足為例，N,過點(diǎn)G作GPJ_尸N于

點(diǎn)P，

MNEB

，四邊形GMNP是矩形，

：.GM=PN,GP=MN,

'：ZBAC^9Q°,AB=AC=5,

：.CALAB,

又：點(diǎn)G和點(diǎn)尸分別是線段DE和8C的中點(diǎn)，

GM和FN分別是△4OE和△ABC的中位線，

.,.GA7=A-^J)=1,AM=^.AE,

尸N=LC=5,AN=LB=§,

2222

：.MN=AN-AM=S-IAE,

22

：.PN=1,FP=3,

2

設(shè)AE=加，

：.AM=ljn,GP=MN=^--Ijn,

222

在RtZXAGM中，AG2=(Xn)2+l2,

2

在RtZkGPG中,GF2=(A-Am)2+(旦)2,

222

"：AG=GF,

C—m')2+l2=(--A/M)2+(3)2,

2222

解得m=3,BPDE=3,

在RtAA￡>￡中,DE=JAD?+AE2=

故選：A.

10.已知點(diǎn)PCa,b)在直線y--3x-4上，且2a-5bW0,則下列不等式一定成立的是()

A.且W至B.至eAC.旦》2D.

b2b2a5a5

【分析】結(jié)合選項(xiàng)可知，只需要判斷出。和人的正負(fù)即可，點(diǎn)尸(a,b)在直線y=-3x

-4上，代入可得關(guān)于a和b的等式，再代入不等式2a-56W0中，可判斷出a與b正負(fù)，

即可得出結(jié)論.

【解答】解：：點(diǎn)P(a,b)在直線y=-3x-4上，

.*?-3a-4=b,

又2。-58<0,

2a-5（-3。-4）<0,

解得aW-20<o,

17

當(dāng)。=-20時(shí)，得6=

1717

：.b^-A,

17

■2a-5bW0,

:.2aW5〃，

?

??b<~~~~~~2.

a5

故選：D.

二、填空題（本題有6小題，每題4分，共24分）

11.（4分）已知二元一次方程x+3y=14,請(qǐng)寫出該方程的一組整數(shù)解卜=11（答案不

1y=l

唯一）.

【分析】把y看做已知數(shù)求出x,確定出整數(shù)解即可.

【解答】解：x+3y=14,

x=14-3y,

當(dāng)y=1時(shí)，y=11,

則方程的一組整數(shù)解為fx=".

1y=l

故答案為：fx=ll（答案不唯一）.

1y=l

12.（4分）如圖，在直角坐標(biāo)系中，△ABC與△0￡>E是位似圖形，則它們位似中心的坐標(biāo)

是（4,2）.

【分析】根據(jù)圖示，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線都經(jīng)過同一點(diǎn)，該點(diǎn)就是位似中心.

【解答】解：如圖，

點(diǎn)G(4,2)即為所求的位似中心.

故答案是：(4,2).

2

13.(4分)觀察下列等式：1=P-。2,3=22-i,5=32-2,…按此規(guī)律，則第〃個(gè)等式

為2"一]="2-("-1)2.

【分析】根據(jù)題目中的式子可以發(fā)現(xiàn)：等號(hào)左邊是一些連續(xù)的奇數(shù)，等號(hào)右邊第一個(gè)數(shù)

是和左邊是第幾個(gè)奇數(shù)一樣，第二個(gè)數(shù)比第一個(gè)數(shù)少1,然后即可寫出第”個(gè)等式.

【解答】解：?.?1=3-02,3=22-I2,5=32-22,…，

.,.第n個(gè)等式為2〃-1=〃2-(“-1)2,

故答案為：n2-("-I#.

14.(4分)如圖，在。ABCC中，對(duì)角線AC,交于點(diǎn)O,AB±AC,于點(diǎn)”，

若AB=2,BC=2?則AH的長(zhǎng)為

【分析】在RtaABC和RtAO/lB中，分別利用勾股定理可求出8c和0B的長(zhǎng)，又A”

L0B,可利用等面積法求出AH的長(zhǎng).

【解答】解：如圖,

'：AB±AC,AB=2,BC=2?,

.".AC=^22+(2V3)2=2V2>

在。48。中，OA=OC,OB=OD,

：.0A=0C=近,

在RtZXOAB中，

。仁正+的)2=近,

又AHLBD,

：.10B-AH^10A-AB,即/xQ?黜=/x2X后，

解得AH=&Z1

3

故答案為：也.

3

15.（4分）看了《田忌賽馬》故事后，小楊用數(shù)學(xué)模型來分析：齊王與田忌的上中下三個(gè)

等級(jí)的三匹馬記分如表，每匹馬只賽一場(chǎng)，兩數(shù)相比，大數(shù)為勝，三場(chǎng)兩勝則贏.已知

齊王的三匹馬出場(chǎng)順序?yàn)?0,8,6.若田忌的三匹馬隨機(jī)出場(chǎng)，則田忌能贏得比賽的概

率為1.

【解答】解：由于田忌的上、中等馬分別比齊王的中、下等馬強(qiáng)，當(dāng)齊王的三匹馬出場(chǎng)

順序?yàn)?0,8,6時(shí)，田忌的馬按5,9,7的順序出場(chǎng)，田忌才能贏得比賽，

當(dāng)田忌的三匹馬隨機(jī)出場(chǎng)時(shí)，雙方馬的對(duì)陣情況如下：

齊王的馬上中下上中下上中下上中下上中下上中下

田忌的馬上中下上下中中上下中下上下上中下中上

雙方馬的對(duì)陣中，只有一種對(duì)陣情況田忌能贏，

，田忌能贏得比賽的概率為1.

6

16.（4分）如圖，在△ABC中，ZBAC=30°,/ACB=45°,AB=2,點(diǎn)尸從點(diǎn)A出發(fā)

沿A3方向運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)8時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，連結(jié)CP,點(diǎn)A關(guān)于直線CP的對(duì)稱點(diǎn)為A',

昌1

連結(jié)A'C,A'P.在運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)A'到直線AB距離的最大值是~T；點(diǎn)尸

到達(dá)點(diǎn)8時(shí)，線段A'P掃過的面積為。+亍）"&

【分析】如圖1中，過點(diǎn)8作B//L4C于H.解直角三角形求出C4,當(dāng)CA'J_AB時(shí)，

點(diǎn)A'到直線AB的距離最大，求出C4',CK.可得結(jié)論.如圖2中，點(diǎn)尸到達(dá)點(diǎn)B時(shí),

線段A'P掃過的面積=S扇形⑷a-2szvlBC，由此求解即可.

【解答】解：如圖1中，過點(diǎn)B作B/7LAC于從

圖1

在RtZ\A8〃中，BH=A8?sin30°=1,AH=V^BH=?,

在RtZXBCH中，NBCH=45°,

：.CH=BH=\,

；?AC=CA'1+5y3,

當(dāng)CA'LAB時(shí)，點(diǎn)4'到直線4B的距離最大，

設(shè)CA'交A8的延長(zhǎng)線于K.

在RtZ\4CK中，CK=AC?sin30°-

_2

K=CA'-CK=l+&-二+^=。避..

22

如圖2中，點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，線段A'P掃過的面積=SCA-2S^ABC=

9。二步）Lx六gx『喏）一一百

三、解答題（本題有8小題，第17?19題每題6分，第20,21題每題8分，第22,23題

每題10分，第24題12分，共66分）

17.（6分）（1）計(jì)算：2-1+Vl2-sin30°；

（2）化簡(jiǎn)并求值：1--其中。=-工.

a+12

【分析】（1）根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)募、算術(shù)平方根、特殊角的三角函數(shù)值可以解答本題；

（2）先通分，然后根據(jù)分式的減法法則即可化簡(jiǎn)題目中的式子，然后將。的值代入化簡(jiǎn)

后的式子即可解答本題.

【解答】解：（1）2'+Vi2-sin30°

=工+2?-1

22

=2遮；

(2)1--2-

a+1

=a+1_a

a+1a+1

_a+l-a

a+1

---1--,

a+1

當(dāng)a=-▲時(shí)，原式=—J—=2.

2上+1

2

18.(6分)小敏與小霞兩位同學(xué)解方程3(x-3)=(X-3)2的過程如下框:

小敏：小霞：

兩邊同除以G-3),得移項(xiàng)，得3(1-3)-(x-3)2=0,

3=x-3,提取公因式，得(x-3)(3-x-3)=0.

貝ijx=6.則x-3=0或3-x-3=0,

解得用=3,X2=0.

你認(rèn)為他們的解法是否正確？若正確請(qǐng)?jiān)诳騼?nèi)打“J”；若錯(cuò)誤請(qǐng)?jiān)诳騼?nèi)打“X”，并寫

出你的解答過程.

【分析】小敏：沒有考慮x-3=0的情況；

小霞：提取公因式時(shí)出現(xiàn)了錯(cuò)誤.

利用因式分解法解方程即可.

【解答】解：小敏：X；

小霞：X.

正確的解答方法：移項(xiàng)，得3(x-3)-(x-3)2=0,

提取公因式，得(x-3)(3-X+3)=0.

貝I]x-3=0或3-x+3=0,

解得xi=3,X2=6.

19.(6分)如圖，在7X7的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)，點(diǎn)A,B在格點(diǎn)上,

每一個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1.

(1)以A8為邊畫菱形，使菱形的其余兩個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上(畫出一個(gè)即可).

(2)計(jì)算你所畫菱形的面積.

【分析】(1)先以AB為邊畫出一個(gè)等腰三角形，再作對(duì)稱即可;

(2)根據(jù)菱形的面積等于對(duì)角線乘積的一半可求得.

【解答】解：（1）如下圖所示:

（2）圖1菱形面積S=1X2X6=6,

2

圖2菱形面積S=1X272X472=8,

2

圖3菱形面積5=（丁元）2=10.

20.（8分）根據(jù)數(shù)學(xué)家凱勒的“百米賽跑數(shù)學(xué)模型”，前30米稱為“加速期”，30米~80米

為“中途期”，80米~100米為“沖刺期”.市田徑隊(duì)把運(yùn)動(dòng)員小斌某次百米跑訓(xùn)練時(shí)速度

y（機(jī)/s）與路程x（/?）之間的觀測(cè)數(shù)據(jù)，繪制成曲線如圖所示.

（1）y是關(guān)于x的函數(shù)嗎？為什么？

（2）“加速期”結(jié)束時(shí)，小斌的速度為多少？

（3）根據(jù)如圖提供的信息，給小斌提一條訓(xùn)練建議.

v(tn.'s)

O1530SO100x(m)

【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的定義，可直接判斷；

（2）由圖象可知，“加速期”結(jié)束時(shí),即跑30米時(shí)，小斌的速度為10.4加s.

（3）答案不唯一.建議合理即可.

【解答】解：（1）y是x的函數(shù)，在這個(gè)變化過程中，對(duì)于x的每一個(gè)確定的值，y都有

唯一確定的值與之對(duì)應(yīng).

（2）“加速期”結(jié)束時(shí)，小斌的速度為\OAm/s.

（3）答案不唯一.例如：根據(jù)圖象信息，小斌在80米左右時(shí)速度下降明顯，建議增加

耐力訓(xùn)練，提高成績(jī).

21.（8分）某市為了解八年級(jí)學(xué)生視力健康狀況，在全市隨機(jī)抽查了400名八年級(jí)學(xué)生2021

年初的視力數(shù)據(jù)，并調(diào)取該批學(xué)生2020年初的視力數(shù)據(jù)，制成如圖統(tǒng)計(jì)圖（不完整）：

400名八年級(jí)學(xué)生2021該批400名學(xué)生2020年

年初視力統(tǒng)計(jì)圖初視力統(tǒng)計(jì)圖

青少年視力健康標(biāo)準(zhǔn)

類別視力健康狀況

A視力25.0視力正常

B4.9輕度視力不

良

C4.6W視力《中度視力不

4.8良

D視力W4.5重度視力不

良

根據(jù)以上信息，請(qǐng)解答:

（1）分別求出被抽查的400名學(xué)生2021年初輕度視力不良（類別B）的扇形圓心角度

數(shù)和2020年初視力正常（類別A）的人數(shù).

（2）若2021年初該市有八年級(jí)學(xué)生2萬人，請(qǐng)估計(jì)這些學(xué)生2021年初視力正常的人數(shù)

比2020年初增加了多少人？

（3）國(guó)家衛(wèi)健委要求，全國(guó)初中生視力不良率控制在69%以內(nèi).請(qǐng)估計(jì)該市八年級(jí)學(xué)生

2021年初視力不良率是否符合要求？并說明理由.

【分析】（1）利用2021年初視力不良的百分比乘360°即可求解.

（2）分別求出2021、2020年初視力正常的人數(shù)即可求解.

（3）用1-31.25%即可得該市八年級(jí)學(xué)生2021年視力不良率，即可判斷.

【解答】解：（1）被抽查的400名學(xué)生2021年初輕度視力不良的扇形圓心角度數(shù)=360°

X（1-31.25%-24.5%-32%）=44.1°.

該批400名學(xué)生2020年初視力正常人數(shù)=400-48-91-148=113（人）.

（2）該市八年級(jí)學(xué)生221年初視力正常人數(shù)=20000X31.25%=6250（人）.

這些學(xué)生2020年初視力正常的人數(shù)=20000x』1±=5650（人）?

400

,增力口的人數(shù)=6250-5650=600（人）.

（3）該市八年級(jí)學(xué)生2021年視力不良率=1-31.25%=68.75%.

V68.75%<69%.

...該市八年級(jí)學(xué)生2021年初視力良率符合要求.

22.（10分）一酒精消毒瓶如圖1.AB為噴嘴，△BC。為按壓柄，CE為伸縮連桿，8E和

EF為導(dǎo)管,其示意圖如圖2,ZDBE=ZBEF=108°,BD=6cm,BE=4cm.當(dāng)按壓柄

△BCD按壓到底時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)到8?！藭r(shí)2。'〃所（如圖3）.

（1）求點(diǎn)。轉(zhuǎn)動(dòng)到點(diǎn)￡>'的路徑長(zhǎng)；

（2）求點(diǎn)。到直線E尸的距離（結(jié)果精確到0.1c%）.

（參考數(shù)據(jù):sin36°=0.59,cos36°-0.81,tan36°七0.73,sin72°20.95,cos720弋

0.31,tan72°-3.08）

【分析】（1）由8/）,〃后尸,求出ND'BE=72°,可得NDBD'=36°,根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可求

出點(diǎn)D轉(zhuǎn)動(dòng)到點(diǎn)D'的路徑長(zhǎng)為36'X6=為；

1805

(2)過。作￡)G_LB。于G,過萬作￡77_1_8。于H,RtABDG中，求出￡)G=8O?sin36°

=3.54,Rt△aH中，HE=3.8O,故DG+HE27.3,即點(diǎn)D到直線EF的距離為73cm,

【解答】解：,:BD〃EF,NBEF=1O80,

AZDfBE=180°-ZBEF=12°,

VZDB￡=108°,

/.ZDBD'=ZDBE-ZD,BE=108°-72°=36°,

?；BD=6,

：.點(diǎn)D轉(zhuǎn)動(dòng)到點(diǎn)D'的路徑長(zhǎng)為36兀X6=g1T；

1805

(2)過。作。G_L8。于G,過E作EH_L8￡>'于H,如圖：

Rt/XBEH中，/7E=B￡*sin72°心4X0.95=3.80,

，OG+HE=3.54+3.80=7.3—7.3,

'：BD'//EF,

：.點(diǎn)D到直線EF的距離約為1.3cm,

答：點(diǎn)D到直線EF的距離約為1.3cm.

23.(10分)已知二次函數(shù)y=-/+6x-5.

(1)求二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)當(dāng)1WXW4時(shí)，函數(shù)的最大值和最小值分別為多少？

(3)當(dāng)fWxWf+3時(shí)，函數(shù)的最大值為相，最小值為"，若〃?-“=3,求f的值.

【分析】(1)解析式化成頂點(diǎn)式即可求得；

(2)根據(jù)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求得最大值和最小值；

(3)分三種情況討論，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到最大值，"和最小值小進(jìn)而根據(jù)機(jī)-八

=3得到關(guān)于t的方程，解方程即可.

【解答】解：(I)：y=-/+6x-5=(x-3)2+4,

頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3,4)；

(2)?.?頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3,4),

???當(dāng)x=3時(shí)，y最大值=4，

；當(dāng)時(shí)J)，隨著x的增大而增大，

*,?當(dāng)x=1時(shí)，y最小值=0,

?.?當(dāng)3<xW4時(shí)，y隨著x的增大而減小，

???當(dāng)x=4時(shí)，y疑小值=3.

...當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為4,最小值為0；

(3)當(dāng)時(shí)，對(duì)，進(jìn)行分類討論，

①當(dāng)什3<3時(shí)，即f<0,y隨著x的增大而增大，

當(dāng)x=f+3時(shí)，m=(f+3)2+6(f+3)-5=-?+4,

當(dāng)x=，時(shí)，n=-?+6f-5,

.,.in-n----P+4-(-P+6r-5)=-6f+9,

-6f+9=3,解得f=l(不合題意，舍去)，

②當(dāng)0Wf<3時(shí)，頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)在取值范圍內(nèi)，

??172~~4,

z)當(dāng)時(shí)，在時(shí)，〃=-P+6L5,

2

：.m-n=4-(-P+6/-5)=？-6r+9,

??/-6f+9=3,解得。=3-/2=3+正(不合題意，舍去);

ii)當(dāng)3v/V3時(shí)，在x=/+3時(shí)，〃=-尸+4,

2

*.m-n=4-(-P+4)=?，

???及=3,解得八=?，12=-道(不合題意，舍去)，

③當(dāng)/N3時(shí)，y隨著x的增大而減小，

當(dāng)兀=，時(shí)，m=-?+6r-5,

當(dāng)x=7+3時(shí)，n=-(r+3)2+6(r+3)-5=-q+4,

.tn-n=-P+6,-5-(-?+4)=6r-9,

A6Z-9=3,解得1=2(不合題意，舍去)，

綜上所述，1=3-'巧或

24.(12分)小王在學(xué)習(xí)浙教版九上課本第72頁例2后，進(jìn)一步開展探究活動(dòng)：將一個(gè)矩

形ABCO繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a(0°<aW90°),得到矩形AB'CD',連結(jié)BD

［探究1］如圖1,當(dāng)a=90°時(shí)，點(diǎn)C'恰好在延長(zhǎng)線上.若AB=1,求8c的長(zhǎng).

［探究2］如圖2,連結(jié)AC',過點(diǎn)。'作。M//AC交BD于點(diǎn)M.線段。M與DM

相等嗎？請(qǐng)說明理由.

［探究3］在探究2的條件下，射線。8分別交4。'，AC'于點(diǎn)尸，N(如圖3),發(fā)現(xiàn)線

段DN,MN,PN存在一定的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)寫出這個(gè)關(guān)系式，并加以證明.

【分析】(1)如圖1,設(shè)BC=x,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出A￡)'=AD=BC=x,D'C=AB'=AB

=1,證明由相似三角形的性質(zhì)得出匕Z—旦至，由比例線段得

ADAB

出方程上士1,求出x的值即可得出答案；

x1

(2)連接。。，證明△AC32Z\D4B(SAS),由全等三角形的性質(zhì)得出NAQB,

由等腰三角形的性質(zhì)得出/AZ)Zy=NA￡>7),證出則可得出結(jié)論；

(3)連接4",證明44￡)〃g/^4。加(555),由全等三角形的性質(zhì)得出NM4O,

得出MN=4V,證明△可以SANAD,由相似三角形的性質(zhì)得出更典，則可得出結(jié)論.

ANDN

?.?矩形ABC。繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到矩形AB'CD',

...點(diǎn)A,B,D'在同一直線上，

,,

：.AD'=AD=BC=xtDC=AB=AB=\f

：.D'B=AD,-AB=x-1,

VZBAD=ZD,=90Q,

：.D'C//DA,

又??,點(diǎn)C在DB的延長(zhǎng)線上，

?MDCBs/\ADB,

?7，，

?--D----C--=_DB，

ADAB

?

??—1—x-1>

X1

解得工1=上乜］也=上正(不合題意，舍去),

22

?,.3c=」r'5.

2

(2)DM=DM.

圖2

*M〃AC,

JZAD'M=ZD'AC9

9：AD,=AD,ZAD'C=ZDAB=90°,D'C=AB,

二.△AC。啜△DAB(SAS),

,

：.ZDAC=ZADB9

：.ZADB=ZAD'M9

u

：AD'=ADf

：.ZADD^ZAD'D,

：./MDD'=NMDD,

：.D'M=DM；

(3)關(guān)系式為MM=PN?QN.

圖3

9

：D'M=DMfAD'=ADfAM=AM,

J/\ADM(SSS),

???/MAD=/MAD,

■:NAMN=/MAD+/NDA,NNAM=/MAD*/NAP,

：./AMN=NNAM,

:?MN=AN,

在△NA尸和△ND4中，4ANP=/DNA,NNAP=/NDA,

???XNPAs赳NAD,

???—PN二AN,

ANDN

:.A