概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)說(shuō)講解

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)說(shuō)講解匯報(bào)人：AA2024-01-20BIGDATAEMPOWERSTOCREATEANEWERA目錄CONTENTS概率論基本概念隨機(jī)變量及其分布多維隨機(jī)變量及其分布數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本概念和方法方差分析與回歸分析初步隨機(jī)過(guò)程簡(jiǎn)介與馬爾可夫鏈初步BIGDATAEMPOWERSTOCREATEANEWERA01概率論基本概念所有可能結(jié)果的集合，一般用大寫字母S表示。樣本空間不包含任何樣本點(diǎn)的事件，其概率為0。不可能事件樣本空間的子集，即某些可能結(jié)果的組合。事件一般用大寫字母A、B、C等表示。事件只包含一個(gè)樣本點(diǎn)的事件，也稱為原子事件?；臼录瑯颖究臻g中所有樣本點(diǎn)的事件，其概率為1。必然事件0201030405樣本空間與事件概率定義在相同條件下，對(duì)某事件A進(jìn)行多次試驗(yàn)，事件A發(fā)生的頻率穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)p附近擺動(dòng)，則稱p為事件A發(fā)生的概率，記作P(A)=p。概率性質(zhì)非負(fù)性、規(guī)范性（必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0）、可加性（互斥事件的概率和等于它們各自概率的和）。概率定義及性質(zhì)條件概率在事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率，記作P(A|B)。條件概率的計(jì)算公式為P(A|B)=P(AB)/P(B)，其中P(AB)表示事件A和事件B同時(shí)發(fā)生的概率。事件的獨(dú)立性如果事件A的發(fā)生與否對(duì)事件B發(fā)生的概率沒有影響，則稱事件A與事件B相互獨(dú)立。對(duì)于相互獨(dú)立的事件A和B，有P(AB)=P(A)P(B)。條件概率與獨(dú)立性如果事件B1、B2、...、Bn構(gòu)成一個(gè)完備事件組，即它們兩兩互斥且其和為全集，則對(duì)任一事件A，有P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+...+P(A|Bn)P(Bn)。全概率公式在全概率公式的假定下，貝葉斯公式提供了根據(jù)新的信息更新先驗(yàn)概率的方法。具體地，對(duì)于任一事件A和任一完備事件組B1、B2、...、Bn，有P(Bi|A)=[P(A|Bi)P(Bi)]/∑[P(A|Bj)P(Bj)]，其中i,j=1,2,...,n。貝葉斯公式全概率公式與貝葉斯公式BIGDATAEMPOWERSTOCREATEANEWERA02隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量是定義在樣本空間上的實(shí)值函數(shù)，它將樣本空間中的每一個(gè)樣本點(diǎn)映射到一個(gè)實(shí)數(shù)。隨機(jī)變量可分為離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量。離散型隨機(jī)變量的取值是有限個(gè)或可列個(gè)，而連續(xù)型隨機(jī)變量的取值則充滿某個(gè)區(qū)間。隨機(jī)變量定義及分類分類定義離散型隨機(jī)變量的分布律描述了隨機(jī)變量取各個(gè)值的概率。對(duì)于離散型隨機(jī)變量X，其分布律可以用一個(gè)概率分布列{p(x)}來(lái)表示，其中p(x)表示X取值為x的概率。分布律定義二項(xiàng)分布、泊松分布、幾何分布等。常見離散型隨機(jī)變量分布離散型隨機(jī)變量分布律概率密度函數(shù)定義連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)是一個(gè)非負(fù)可積函數(shù)f(x)，它描述了隨機(jī)變量在某個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概率分布情況。對(duì)于任意實(shí)數(shù)a和b(a<b)，連續(xù)型隨機(jī)變量X在區(qū)間[a,b]內(nèi)取值的概率為∫f(x)dx(從a到b的定積分)。常見連續(xù)型隨機(jī)變量分布正態(tài)分布、均勻分布、指數(shù)分布等。連續(xù)型隨機(jī)變量概率密度函數(shù)隨機(jī)變量函數(shù)分布設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，g(X)是X的函數(shù)，那么g(X)也是一個(gè)隨機(jī)變量，稱為隨機(jī)變量X的函數(shù)。隨機(jī)變量函數(shù)的定義當(dāng)已知隨機(jī)變量X的分布時(shí)，可以通過(guò)一定的方法求出g(X)的分布。對(duì)于離散型隨機(jī)變量，可以通過(guò)列舉法或母函數(shù)法求出g(X)的分布；對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，可以通過(guò)變換法或公式法求出g(X)的分布。隨機(jī)變量函數(shù)的分布求法BIGDATAEMPOWERSTOCREATEANEWERA03多維隨機(jī)變量及其分布描述二維隨機(jī)變量$(X,Y)$在某一取值范圍內(nèi)的概率。聯(lián)合分布函數(shù)聯(lián)合分布律聯(lián)合概率密度函數(shù)對(duì)于離散型二維隨機(jī)變量，聯(lián)合分布律給出所有可能取值的概率。對(duì)于連續(xù)型二維隨機(jī)變量，聯(lián)合概率密度函數(shù)描述其在某一取值范圍內(nèi)的概率分布情況。030201二維隨機(jī)變量聯(lián)合分布由聯(lián)合分布函數(shù)推導(dǎo)出的關(guān)于單一隨機(jī)變量的分布函數(shù)。邊緣分布函數(shù)由聯(lián)合分布律推導(dǎo)出的關(guān)于單一隨機(jī)變量的分布律。邊緣分布律在已知一個(gè)隨機(jī)變量取值的條件下，另一個(gè)隨機(jī)變量的分布情況。條件分布邊緣分布與條件分布若兩個(gè)隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)等于各自分布函數(shù)的乘積，則稱這兩個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立。定義相互獨(dú)立的隨機(jī)變量在概率計(jì)算上具有簡(jiǎn)化性質(zhì)，如期望、方差等運(yùn)算可單獨(dú)進(jìn)行。性質(zhì)相互獨(dú)立隨機(jī)變量

多維隨機(jī)變量函數(shù)分布多維隨機(jī)變量的函數(shù)將多維隨機(jī)變量通過(guò)某一函數(shù)關(guān)系映射到新的隨機(jī)變量上。函數(shù)分布描述多維隨機(jī)變量函數(shù)取值情況的概率分布。變換法通過(guò)求解多維隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度函數(shù)或分布律，得到其函數(shù)分布情況。BIGDATAEMPOWERSTOCREATEANEWERA04數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本概念和方法研究對(duì)象的全體個(gè)體組成的集合，通常用一個(gè)分布函數(shù)來(lái)描述?？傮w從總體中隨機(jī)抽取的一部分個(gè)體，用于推斷總體的性質(zhì)。樣本由樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得到的用于描述樣本特征的量，如樣本均值、樣本方差等。統(tǒng)計(jì)量總體、樣本和統(tǒng)計(jì)量抽樣分布及性質(zhì)抽樣分布樣本統(tǒng)計(jì)量的概率分布，描述了樣本統(tǒng)計(jì)量取值的概率規(guī)律。性質(zhì)抽樣分布具有無(wú)偏性、一致性和有效性等性質(zhì)，這些性質(zhì)保證了樣本統(tǒng)計(jì)量能夠準(zhǔn)確地反映總體的特征。VS用一個(gè)具體的數(shù)值來(lái)估計(jì)總體參數(shù)的方法，如樣本均值估計(jì)總體均值。區(qū)間估計(jì)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)構(gòu)造一個(gè)置信區(qū)間來(lái)估計(jì)總體參數(shù)的方法，該區(qū)間以一定的概率包含總體參數(shù)的真值。點(diǎn)估計(jì)參數(shù)估計(jì)方法0102原理先對(duì)總體參數(shù)提出一個(gè)假設(shè)，然后利用樣本信息來(lái)判斷這個(gè)假設(shè)是否成立。1.提出假設(shè)包括原假設(shè)和備擇假設(shè)。2.構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量根據(jù)假設(shè)和樣本數(shù)據(jù)構(gòu)造一個(gè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。3.確定拒絕域根據(jù)顯著性水平和檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的分布確定拒絕域。4.計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的…將樣本數(shù)據(jù)代入檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量計(jì)算其值，然后根據(jù)該值和拒絕域作出是否拒絕原假設(shè)的決策。030405假設(shè)檢驗(yàn)原理及步驟BIGDATAEMPOWERSTOCREATEANEWERA05方差分析與回歸分析初步方差分析的應(yīng)用場(chǎng)景適用于多個(gè)總體均數(shù)差別的顯著性檢驗(yàn)，如醫(yī)學(xué)、農(nóng)學(xué)、心理學(xué)等領(lǐng)域。方差分析的基本步驟建立假設(shè)、構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量、確定顯著性水平、作出決策。方差分析的基本原理通過(guò)比較不同組別數(shù)據(jù)的方差，判斷各因素對(duì)結(jié)果的影響是否顯著。方差分析原理及應(yīng)用03回歸分析的基本步驟確定自變量和因變量、建立回歸模型、估計(jì)模型參數(shù)、檢驗(yàn)?zāi)Ｐ惋@著性。01回歸分析的基本原理通過(guò)建立因變量與自變量之間的回歸方程，描述變量間的依存關(guān)系。02回歸分析的應(yīng)用場(chǎng)景適用于預(yù)測(cè)、控制、優(yōu)化等問(wèn)題，如經(jīng)濟(jì)學(xué)、金融學(xué)、社會(huì)學(xué)等領(lǐng)域。回歸分析原理及應(yīng)用線性回歸模型的建立根據(jù)自變量和因變量的數(shù)據(jù)，選擇合適的線性回歸方程形式。線性回歸模型的檢驗(yàn)通過(guò)殘差分析、擬合優(yōu)度檢驗(yàn)等方法，評(píng)估模型的擬合效果和預(yù)測(cè)能力。線性回歸模型的優(yōu)化針對(duì)模型存在的問(wèn)題，如異方差性、自相關(guān)性等，采取相應(yīng)的優(yōu)化措施。線性回歸模型建立與檢驗(yàn)非線性回歸模型的概念01當(dāng)因變量與自變量之間的關(guān)系不能用線性方程描述時(shí)，需要采用非線性回歸模型。非線性回歸模型的類型02常見的非線性回歸模型包括指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等。非線性回歸模型的建立與檢驗(yàn)03與線性回歸模型類似，需要選擇合適的模型形式，進(jìn)行參數(shù)估計(jì)和模型檢驗(yàn)。同時(shí)，針對(duì)非線性模型的特性，還需注意一些特殊問(wèn)題，如參數(shù)的可識(shí)別性、模型的穩(wěn)定性等。非線性回歸模型簡(jiǎn)介BIGDATAEMPOWERSTOCREATEANEWERA06隨機(jī)過(guò)程簡(jiǎn)介與馬爾可夫鏈初步隨機(jī)過(guò)程是一族依賴于參數(shù)（通常是時(shí)間）的隨機(jī)變量，用于描述隨機(jī)現(xiàn)象隨時(shí)間的演變。根據(jù)隨機(jī)過(guò)程的性質(zhì)，可以將其分為平穩(wěn)過(guò)程、獨(dú)立增量過(guò)程、馬爾可夫過(guò)程等。隨機(jī)過(guò)程的定義隨機(jī)過(guò)程的分類隨機(jī)過(guò)程定義及分類馬爾可夫鏈的定義馬爾可夫鏈?zhǔn)且环N特殊的隨機(jī)過(guò)程，具有“無(wú)后效性”，即未來(lái)的狀態(tài)只與當(dāng)前狀態(tài)有關(guān)，而與過(guò)去的狀態(tài)無(wú)關(guān)。要點(diǎn)一要點(diǎn)二馬爾可夫鏈的性質(zhì)馬爾可夫鏈具有時(shí)齊性、遍歷性、常返性、周期性等性質(zhì)。馬爾可夫鏈基本概念和性質(zhì)馬爾可夫鏈狀態(tài)分類根據(jù)馬爾可夫鏈的性質(zhì)，可以將其狀態(tài)分為可達(dá)的、互通的、常返的、暫留的等類型。遍歷性定理對(duì)于不可約且非周期的馬爾可夫鏈，如果存在一個(gè)狀態(tài)是常返的，則所有狀態(tài)都是常返的，且該馬爾可夫鏈具有遍歷性。馬爾可夫鏈狀態(tài)分類和遍歷性定理