第八章 解析幾何 章節(jié)檢測(cè)（提高卷）教師講解版-2022年高考數(shù)學(xué)一輪（新高考專版）

文檔來源網(wǎng)絡(luò)整理侵權(quán)必刪第八章解析幾何章節(jié)檢測(cè)（提高卷）一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1．（2020·廣東揭陽市·高二期中）已知雙曲線的一條漸近線平行于直線，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．2【答案】B【分析】先求得雙曲線的漸近線方程，由平行得斜率，進(jìn)而可求離心率.【詳解】雙曲線的漸近線方程為：.由雙曲線的一條漸近線平行于直線，可得：.則該雙曲線的離心率為.故選：B.2．（2021·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）已知Q為直線與交點(diǎn)，且點(diǎn)在橢圓上，則=（）A． B．2 C． D．4【答案】C【詳解】解：聯(lián)立方程組，解得，代入橢圓方程得，整理可得，化簡(jiǎn)整理可得.故選：C.3．（2021·會(huì)澤縣茚旺高級(jí)中學(xué)高二月考（理））設(shè)斜率為1的直線過拋物線的焦點(diǎn)，且和軸交于點(diǎn)，若（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為2，則（）．A．4 B．8 C． D．【答案】D【詳解】由題意可知：拋物線的焦點(diǎn)，直線的方程為，將代入得，∴，∴，∴．故選：D4．（2021·江西高三月考（文））給定拋物線，F(xiàn)是其焦點(diǎn)，直線，它與相交于兩點(diǎn)，如果且，那么的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】直線與拋物線方程聯(lián)立得：，因?yàn)橹本€與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，所以，設(shè)，因此有，且，由，代入中得：且，解得：，函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞減，所以，因此，所以或故選：C5．（2021·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為l，直線，動(dòng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，記點(diǎn)到直線與的距離分別為d1，d2，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則當(dāng)最小時(shí)，＝（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由拋物線的定義可知，d1＝|MF|，設(shè)MN⊥l'，垂足為N，∴d1+d2＝|MF|+|MN|，當(dāng)M、F、N三點(diǎn)共線時(shí)，d1+d2最小，∵拋物線C：y2＝4x，∴焦點(diǎn)F（1，0），∴|FN|＝d＝，設(shè)直線l'與x軸的交點(diǎn)為D，令y＝0，得，即FD＝2+1＝3，在Rt△DNF中，cos∠MFO＝cos∠NFD＝．故選：A．6．（2021·黑龍江齊齊哈爾市·高三其他模擬（理））已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，過點(diǎn)作傾斜角為θ的直線交雙曲線的右支于、兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在第一象限，且．若，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】如下圖所示，設(shè)，由雙曲線的定義可得，則，所以，，

在中，，整理可得，即，，解得.故選：D.7．（2021·廣東高三月考）已知點(diǎn)在圓：上，橢圓：的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上，且圓上的所有點(diǎn)均在橢圓外，若的最小值為，且橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)恰與圓的直徑長(zhǎng)相等，過點(diǎn)作圓的切線，則切線斜率為（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)恰與圓的直徑長(zhǎng)相等，，可得，圓心坐標(biāo)為，，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)，則，所以，而取最小時(shí)為共線時(shí)，且為，解得，所以，所以橢圓的方程為，設(shè)過點(diǎn)點(diǎn)作圓的切線方程為，則，解得,即切線斜率為.故選：B.8．（2021·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是雙曲線右支上一點(diǎn)，滿足，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，滿足.現(xiàn)將沿折成直二面角，若使折疊后點(diǎn)，距離最小，則（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由雙曲線方程知，，，，設(shè)，則，，又，則，解得或-3（舍），設(shè)折疊后點(diǎn)達(dá)到F點(diǎn)，如圖所示，作于A點(diǎn)，易知平面，，，設(shè)，則，在中，，，在中，由余弦定理知，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，折疊后點(diǎn)，距離最小.此時(shí)MN為的角平分線，由角平分線定理知，，則，故選：C二?多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.）9．（2021·荊州市沙市第五中學(xué)高二期中）設(shè)是拋物線：的焦點(diǎn)，直線過點(diǎn)且與拋物線交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．若點(diǎn)，則的最小值是5D．若傾斜角為，且，則.【答案】ACD【詳解】拋物線的準(zhǔn)線為，焦點(diǎn)為.設(shè)，設(shè)直線的方程為，由消去并化簡(jiǎn)得，所以，，所以（時(shí)等號(hào)成立）.所以A選項(xiàng)正確.當(dāng)直線的方程為時(shí)，不妨設(shè)，此時(shí)，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.根據(jù)拋物線的定義可知，的最小值是到拋物線準(zhǔn)線的距離，也即的最小值為，所以C選項(xiàng)正確.當(dāng)傾斜角為時(shí)，，不妨設(shè)在第一象限，在第四象限.故，解得，所以，即，所以D選項(xiàng)正確.故選：ACD10．（2020·江蘇省板浦高級(jí)中學(xué)高三期末）點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，斜率為的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，且，設(shè)直線，的斜率分別為，，則下列結(jié)論成立的是（）A． B．C．直線過點(diǎn)（1，－2） D．直線過點(diǎn)（－1，2）【答案】AD【詳解】解：設(shè)，，則，，，所以.故A正確，B錯(cuò)誤；直線的方程為，即，因?yàn)?，所以，即，代入方程整理得，則直線l過點(diǎn)，故C錯(cuò)誤，D正確.故選：AD.11．（2020·南京市雨花臺(tái)中學(xué)高二月考）已知為拋物線的焦點(diǎn)，過的直線交拋物線于，（點(diǎn)A在第一象限），則下列結(jié)論正確的是（）A．B．若直線的傾斜角為60°，則的長(zhǎng)為C．D．【答案】ACD【詳解】拋物線的焦點(diǎn)，過的直線的方程設(shè)為，聯(lián)立拋物線方程可得，可得，又，，，故選項(xiàng)A、D正確；若直線的傾斜角為60°，所以，故選項(xiàng)B不正確；由拋物線的定義有，故選項(xiàng)C正確.故選：ACD12．（2021·湖南衡陽市八中高三其他模擬）已知橢圓，過拋物線焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)分別交于兩點(diǎn)，連接，則下列結(jié)論中，正確的為（）A． B．的面積是定值C．定值 D．設(shè)，則【答案】AC【詳解】設(shè)直線方程為，帶入可得，設(shè)，有，，A選項(xiàng)，，A正確；B選項(xiàng)，，根據(jù)三角換元設(shè)，，所以，，所以，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，由且，，正確；D選項(xiàng)，由對(duì)角，所以，故D錯(cuò)誤.故選：AC三?填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分，其中第16題第一空2分，第二空3分。）13．（2021·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓：＝1（）的左、右焦點(diǎn)分別為，若橢圓與坐標(biāo)軸分別交于四點(diǎn)，且從，這六點(diǎn)中，可以找到三點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)直角三角形，則橢圓的離心率的可能取值為__．①；②；③；④．【答案】①④【詳解】解：當(dāng)左右焦點(diǎn)和上下頂點(diǎn)構(gòu)成直角三角形時(shí)，，，離心率；當(dāng)長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)、短軸的一個(gè)端點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成直角三角形時(shí)，如圖所示：這時(shí)，即，整理可得：，解得或（舍去）．故答案為：①④．14．（2021·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓：＝1（）的焦距為4，直線：與橢圓相交于點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上異于點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，直線、的斜率分別為，且，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是__．【答案】＝1【詳解】設(shè)P（x0，y0），A（x1，y1），B（﹣x1，﹣y1），則，，兩式作差得．因?yàn)橹本€PA，PB的斜率都存在，所以≠0．所以＝﹣＝﹣＝﹣k1?k2＝，則，又因?yàn)榻咕酁?，則，聯(lián)立兩式可得所以該橢圓的方程為：＝1故答案為：＝115．（2021·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線過點(diǎn)交拋物線于兩點(diǎn)，且.直線分別過點(diǎn)，且與軸平行，在直線上分別取點(diǎn)（分別在點(diǎn)的右側(cè)），分別作和的角平分線相交于點(diǎn)，則的面積為__.【答案】8【詳解】解：由拋物線y2＝4x，得焦點(diǎn)F（1，0），當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x＝1，代入拋物線的方程，得y＝±2，所以A（1，2），B（1，﹣2），所以|AB|＝4，不合題意，當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y＝k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立，得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，所以x1+x2＝，所以|AB|＝x1++x2+＝x1+x2+p＝+2＝＝8，所以k＝±1，由對(duì)稱性不妨設(shè)k＝1，則∠AFB＝45°，∠ABF＝22.5°，因?yàn)椤螦BN和∠BAM的平分線相交于點(diǎn)P，AM∥BN，所以PA⊥PB，所以在Rt△ABP中，AP＝ABsin22.5°＝8sin22.5°，BP＝ABcos22.5°＝8cos22.5°，所以S△ABP＝?8sin22.5°?8cos22.5°＝32sin22.5°8cos22.5°＝16sin45°＝8，故答案為：8.16．（2020·江蘇省姜堰第二中學(xué)高二月考）阿基米德（公元前287年—公元前212年）不僅是著名的物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長(zhǎng)半軸與短半軸的乘積.已知平面直角坐標(biāo)系中，橢圓：的面積為，兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形.則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程___________.若過點(diǎn)的直線與交于不同的兩點(diǎn)，，則面積的最大值___________.【答案】【詳解】依題意有解得所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是;由題意直線的斜率不能為，設(shè)直線的方程為，由方程組得，設(shè)，，所以，，所以，所以，令（），則，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以當(dāng)，即時(shí)，面積取得最大值為.故答案為：，.四、解答題（本題共6小題，共70分，其中第16題10分，其它每題12分，解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟。）17．（2020·廣東揭陽市·高二期中）在直角坐標(biāo)系中，過動(dòng)點(diǎn)的直線與直線垂直，垂足為，點(diǎn)滿足．（1）求點(diǎn)的軌跡方程；（2）直線與（1）中的軌跡交于兩點(diǎn)，如果線段的中點(diǎn)為，求直線的方程．【答案】（1）；（2）．【詳解】解：（1）因?yàn)?，故由，得，即，整理得，此即點(diǎn)的軌跡方程；（2）（法一）顯然直線的斜率存在，設(shè)的方程為，聯(lián)立方程組，得，設(shè)，由韋達(dá)定理，，依題意，，直線的方程為，化簡(jiǎn)得．（法二）顯然直線的斜率存在，設(shè)，依題意，，且點(diǎn)在曲線上，故，兩式相減，得即，即，直線的方程為．18．（2021·北京牛欄山一中高二期中）已知橢圓（）的焦點(diǎn)是，，且，離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）過橢圓右焦點(diǎn)F2的直線交橢圓于，（）兩點(diǎn)，點(diǎn)是直線上異于的一點(diǎn)，且滿足.求證：點(diǎn)的橫坐標(biāo)是定值.【答案】（1）；（2）證明見解析.【詳解】（1）因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)是，，且，所以，因?yàn)殡x心率為，即，可得，所以，所以橢圓的方程是.（2）因?yàn)?，故直線AB存在斜率，設(shè)直線的斜率為，所以直線的方程可設(shè)為，聯(lián)立方程組消去，整理得，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是，則有，因?yàn)?，所以，可得，所以，可得，因?yàn)?，所以，所以點(diǎn)的坐標(biāo)是所以點(diǎn)在定直線上.19．（2021·荊州市沙市第五中學(xué)高二期中）已知橢圓：的離心率為，拋物線：的準(zhǔn)線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為.（1）求橢圓的方程；（2）如圖，點(diǎn)，分別是橢圓的左頂點(diǎn)、左焦點(diǎn)直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，（，都在x軸上方）.且.直線是否恒過定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若否，說明之.【答案】（1）；（2）直線過定點(diǎn).【詳解】解：（1）由題意可知，拋物線的準(zhǔn)線方程為，又拋物線的準(zhǔn)線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為.∴點(diǎn)在橢圓上.∴①又∵，∴，∴②，將①②聯(lián)立，解得，，∴橢圓的方程為（2）設(shè)直線的方程為，，，把直線和橢圓方程聯(lián)立，整理可得：.∵，即，∴，由（1）得，∴，，又，都在軸上方，且，∴，∴，即.整理可得∴，即，整理可得：.∴直線的方程為，∴直線過定點(diǎn).20．（2020·廣東揭陽市·高二期中）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，圓的面積為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)作互相垂直的兩條直線，其中與圓相交于兩點(diǎn)，與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為（不與重合），求的最大面積．【答案】（1）；（2）5．【詳解】（1）由圓的面積為，可得，即；又橢圓的右焦點(diǎn)為，故，聯(lián)立方程組，解得，所以橢圓的方程為.（2）當(dāng)直線的斜率存在且不為0時(shí)，可設(shè)，聯(lián)立方程組，整理得，解得，，所以，而圓心到直線的距離，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)；當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，可得，當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，重合，與題意不符；綜上，的最大面積為5．21．（2021·廣西玉林市·高二期中（理））已知橢圓：的離心率，左?右交點(diǎn)分別為，，拋物線的焦點(diǎn)恰好是該橢圓的一個(gè)頂點(diǎn).（1）求橢圓的方程：（2）已知圓：的切線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，那么以為直徑的圓是否經(jīng)過定點(diǎn)？如果是，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不是，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）；（2）過定點(diǎn)，定點(diǎn)為.【詳解】（1）因?yàn)闄E圓的離心率，所以，即，因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)恰好是該橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，所以，所以，，所以橢圓的方程為.（2）①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，因?yàn)橹本€與圓相切，故其中一條切線方程為，由，可得，，則以為直徑的圓的方程為.②當(dāng)直線的斜率為零時(shí)，因?yàn)橹本€與圓相切，故其中條切線方程為，由，可得，，則以為直徑的圓的方程為.顯然以上兩圓都經(jīng)過定點(diǎn).③當(dāng)直線的斜率存在且不為零時(shí)，設(shè)直線的方程為，由，消去并整理得，設(shè)，，則，，所以所以，因?yàn)橹本€和圓相切，所以圓心到直線的距離，整理得，于是，則以直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn).綜上可知，以直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn).22．（2021·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線與直線交于點(diǎn)，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線．（Ⅰ）求曲線的方程；（Ⅱ）設(shè)是分別過點(diǎn)的兩條平行直線，交曲線于兩個(gè)不同的點(diǎn)，交