人教版初中數(shù)學(xué)第二十八章第2節(jié)《解直角三角形及其應(yīng)用》提升訓(xùn)練 (18)(含答案解析)

第二十八章第2節(jié)《解直角三角形及其應(yīng)用》提升訓(xùn)練（18）

一、單選題

1.如圖，△ABC中，AB=BC,ZABC=nO°,AC=3,。。是△A3C的外接圓，點(diǎn)。是

優(yōu)弧AMC上任意一點(diǎn)（不包括點(diǎn)A,C）,記四邊形ABC。的周長(zhǎng)為y,3。的長(zhǎng)為X，則y關(guān)

于X的函數(shù)關(guān)系式是（）

A.y=—x+2^B.y=V3x+273C.產(chǎn)后+2后D.^=—X2+2N/3

44

3

2.如圖，ZEFG=90°,EF=10,OG=17,cosZFGO=-,則點(diǎn)尸的坐標(biāo)是（）

A.B.（8,12）C.^6,-^-ID.（6,10）

3.如圖，在半徑為6的0。中，點(diǎn)A是劣弧BC的中點(diǎn)，點(diǎn)。是優(yōu)弧BC上一點(diǎn)，柩〃。=立，

3

下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有：（）

①BC=66;②sin/A03=且：③四邊形ABOC是菱形；④劣弧8C的長(zhǎng)度為4萬(wàn).

2

A

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

4.如圖，在RtMBC中，ZC=90°,BC=y/3,AB=2,則E>8等于()

A.x=(x-30)tan28°B.x=(30+x)tan28。

C.x+30=xtan28°D.x-30=xtan28°

6.如圖，某河堤迎水坡AB的坡比i=tanZ.CAB=1：6,堤高BC=5加，則坡面AB的長(zhǎng)是（）

A.5mB.10mC.5GmD.8m

7.如圖，在△ABC中，A。平分44C,DE//AC交AB于點(diǎn)、E，DF//AB交.AC于點(diǎn)、F,且

AO交EF于點(diǎn)0,若AE=ER=8,則sinZDAC的值為（

二、解答題

8.已知等邊三角形A8C（如圖）.

BC

（1）用直尺和圓規(guī)作AABC的外接圓（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）.

（2）若A8=8&m，求△ABC的外接圓半徑.

9.如圖1是某校園運(yùn)動(dòng)場(chǎng)主席臺(tái)及遮陽(yáng)棚，其側(cè)面結(jié)構(gòu)示意圖如圖2所示.主席臺(tái)（矩形ABCO）

高A￡>=2米，直桿OE=5米，斜拉桿EG,￡”起穩(wěn)固作用，點(diǎn)”處裝有一射燈.遮陽(yáng)棚邊

緣曲線可近似看成拋物線的一部分，G為拋物線的最高點(diǎn)且位于主席臺(tái)邊緣BC的正上方，

若點(diǎn)E，H,。在同一直線上，且。尸=1米，EG=4米，NAEG=60°,則射燈“離地面的高

度為米.

圖1

10.李威在A處看一兜大樹(shù)的頂端。處的仰角是30。，向樹(shù)的方向前進(jìn)30米到B處看樹(shù)頂。處的

仰角是60°（李威的眼睛離地面高是1.5米），求樹(shù)高多少？（結(jié)果可帶根號(hào)）

11.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形。4BC與菱形ADE/在第一象限，且邊04,A。在x軸上.反

比例函y=-（x>0）的圖象經(jīng)過(guò)邊OC的中點(diǎn)M與邊4尸的中點(diǎn)N,已知菱形OABC的邊長(zhǎng)為4,

x

且NAOC=60°.

（1）求反比例函數(shù)的解析式；

（2）求菱形尸的周長(zhǎng).

12.如圖，實(shí)踐小組為了測(cè)量塔AB的高度，先從與塔底中心3在同一水平面上的點(diǎn)O出發(fā)，沿著

坡度為1：0.75的斜坡￡>￡行走10米至坡頂E處，再?gòu)腅處沿水平方向繼續(xù)前行若干米后至點(diǎn)尸

處，在尸點(diǎn)測(cè)得塔頂A的仰角為63。，塔底C的俯角為45。，B與C的水平距離為4米（圖中

AB、C、D、E、尸在同一平面內(nèi)，E、R和。、C、B分別在同一水平線上），根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù),

求塔的高度.（計(jì)算結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：sin63。，0.89,cos63°?0.45,tan63°?1.96）

13.一種升降熨燙臺(tái)如圖所示，其原理是通過(guò)改變兩根支撐桿夾角的度數(shù)來(lái)調(diào)整熨燙臺(tái)的高度.AB

和CO是兩根相同長(zhǎng)度的活動(dòng)支撐桿，點(diǎn)。是它們的連接點(diǎn)，Q4=OC,/z（刖）表示熨燙臺(tái)的高

度.

（1）如圖1,若NAOC=120°,h=60cm,求A3的長(zhǎng)度；

（2）小明發(fā)現(xiàn)，實(shí)際使用時(shí)將家里這種升降熨燙臺(tái)的兩根支撐桿的夾角NAOC由120。變?yōu)?0°

（如圖2）,使用起來(lái)才順手，請(qǐng)問(wèn)在（1）的條件下，該熨燙臺(tái)升高了多少？

14.生活中，我們經(jīng)常看到有的窗戶(hù)上安裝著遮陽(yáng)蓬，如圖1,現(xiàn)在要為一個(gè)面向正南方向的窗戶(hù)

安裝一個(gè)矩形遮陽(yáng)蓬.如圖2,AB表示窗戶(hù)的高，CO表示遮陽(yáng)蓮，且AB=1.5m,遮陽(yáng)蓮與窗

戶(hù)所在平面的夾角NBCD等于75°.已知該地區(qū)冬天正午太陽(yáng)最低時(shí)，光線與水平線的夾角為30°；

夏天正午太陽(yáng)最高時(shí)，光線與水平線的夾角為60°,若使冬天正午陽(yáng)光最低時(shí)光線最大限度的射入

室內(nèi)，而夏天正午陽(yáng)光最高時(shí)光線剛好不射入室內(nèi)，試求出遮陽(yáng)蓬的寬度CO.

圖1圖2

15.如圖1,AACD中，NADC=90°,NA=30°,CD=6cm,過(guò)AC的中點(diǎn)。作QB,AC

交AO于點(diǎn)3,連接3C、。。相交于點(diǎn)E.

AABBiD

(1)求3。的長(zhǎng)：

(2)求證：8c垂直平分QD；

(3)如圖2,若AABO以每秒百cm的速度沿射線AB向右平移，得到△4與。「當(dāng)點(diǎn)片與點(diǎn)。

重合時(shí)停止移動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，在這個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)。關(guān)于直線3。的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為。'，問(wèn)t

為何值時(shí)，CD=CO'.

16.如圖，AABC,以BC為直徑的。。交AB于點(diǎn)D,點(diǎn)E為弧80的中點(diǎn)，連結(jié)CE交AB于

點(diǎn)F,且AF=AC.

(1)判斷直線AC與。。的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由;

4

(2)若。。的半徑為2,sinA=《，求CE的長(zhǎng).

17.已知：拋物線y=a?+2交無(wú)軸于A(-l,0),B兩點(diǎn)

(1)如圖1,求拋物線的解析式；

(2)如圖2,點(diǎn)C是第二象限拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AC,3C,設(shè)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為1,AABC

的面積為S,求S與，之間的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫(xiě)出自變量/的取值范圍)：

(3)如圖3,在(2)的條件下，點(diǎn)。在第一象限，連接A。，BD，且=在的上

方作NEAD=NCBA,AE分別交8D的延長(zhǎng)線，V軸于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接OF，5LZAFO=ZDFE,

8c交AD于點(diǎn)G,若點(diǎn)G是A￡＞的中點(diǎn)，求S的值.

18.如圖1所示的是某款手機(jī)的平板支架，它由托板、支撐板和底座構(gòu)成，現(xiàn)將該款手機(jī)放置在托

板上.如圖2所示的是該款手機(jī)及平板支架的側(cè)面結(jié)構(gòu)示意圖，現(xiàn)量得托板QE=12cm,支撐板

AC=10cm,底座A3=9cvn,托板。E固定在支撐板頂端點(diǎn)C處，且CE=7cm,托板OE可

以繞著點(diǎn)C轉(zhuǎn)動(dòng)，支撐板AC可以繞著點(diǎn)A轉(zhuǎn)動(dòng).

(1)若NACE=55。，ZCAB=60°,求點(diǎn)。到AB的距離.

(2)為了觀看舒適，在(1)的情況下，將OE繞著點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)35。后，再將AC繞著點(diǎn)A順

時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)E落在直線A3上，求AC旋轉(zhuǎn)的角度.(參考數(shù)據(jù)：si〃65°a().91,

cos65°?0.42,tan65°?2.14,sin35°?0.57,cos35°?0.82,tan35°?0.70,V3?1.73)

19.問(wèn)題探究

(1)如圖①，O。的半徑為10,弦49=16,則圓心。到AB的距離為；

(2)如圖②，線段3c和動(dòng)點(diǎn)A構(gòu)成AABC，已知BC=9,Zfi4C=60°,過(guò)點(diǎn)A作BC邊上

的高線AD.若點(diǎn)。在線段8c上，求線段A0長(zhǎng)度的最小值；

問(wèn)題解決

（3）周老師為了增加數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的趣味性，設(shè)計(jì)了一個(gè)“尋寶”游戲：如圖③，在平面內(nèi)，線段43長(zhǎng)

為9cm,線段A8外有一動(dòng)點(diǎn)P，且線段PA長(zhǎng)為7cm,又有一點(diǎn)。滿(mǎn)足依=3。，且

NPBQ=90。，當(dāng)線段A。的長(zhǎng)度最大時(shí)，點(diǎn)。的位置即為藏寶地.請(qǐng)你確定藏寶地的位置及此

時(shí)藏寶地到點(diǎn)A的距離.

圖③

20.如圖，在平行四邊形A8CO中，AB=2,BC=4,ZABC=nO0,將平行四邊形繞點(diǎn)5順時(shí)

針旋轉(zhuǎn)?（0°<?<90°）得到平行四邊形BEFG.

（1）求點(diǎn)B到AO的距離；

（2）當(dāng)點(diǎn)E落在邊上時(shí)，求點(diǎn)。經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng).

21.某校''綜合與實(shí)踐”小組采用無(wú)人機(jī)輔助的方法測(cè)量一座橋的長(zhǎng)度.如圖，橋AB是水平并且筆

直的，測(cè)量過(guò)程中，小組成員遙控?zé)o人機(jī)飛到橋AB上方150米的點(diǎn)C處懸停，此時(shí)測(cè)得橋兩端AB

兩點(diǎn)的俯角分別為65。和45。，求橋AB的長(zhǎng)度.（參考數(shù)據(jù)：sin65°?0.91,cos650?0.42,

tan65°?2.14；結(jié)果精確到0.1米）

22.定義：三角形一邊上的點(diǎn)將該邊分為兩條線段，且這兩條線段的積等于這個(gè)點(diǎn)到這邊所對(duì)頂點(diǎn)

連線的平方，則稱(chēng)這個(gè)點(diǎn)為三角形該邊的“好點(diǎn)如圖1,AABC中，點(diǎn)。是8c邊上一點(diǎn)，連

接A￡＞，若4)2=8,則稱(chēng)點(diǎn)。是AABC中8c邊上的“好點(diǎn)”.

圖1圖:！圖3

(1)如圖2,AABC的頂點(diǎn)是4*3網(wǎng)格圖的格點(diǎn)，請(qǐng)僅用直尺畫(huà)出(或在圖中直接描出)AB邊

上的“好點(diǎn)”；

3

(2)AABC中，BC=14,tanB=-,tanC=L點(diǎn)。是8c邊上的“好點(diǎn)”，求線段8。的長(zhǎng)；

4

(3)如圖3,AABC是。0的內(nèi)接三角形，點(diǎn)”在A3匕連結(jié)CH并延長(zhǎng)交。0于點(diǎn)￡).若

點(diǎn)”是公BCD中C￡＞邊上的“好點(diǎn)

①求證：OH1AB,

②若OHHBD,。0的半徑為r,且r=3O",求器的值.

23.如圖，某海防哨所(。)發(fā)現(xiàn)在它的北偏西30。，距離哨所5()()加的A處有一艘船，該船向正

東方向航行，經(jīng)過(guò)3分鐘到達(dá)哨所東北方向的8處，求該船的航速.(精確到

北

24.如圖，小李從西邊山腳的點(diǎn)A走了3(X)m后到達(dá)山頂C,已知NA=30°,東邊山坡的坡度

3

tanB=—.

4

(1)求山頂C離地面的高度.

(2)求8、C的距離.

25.如圖在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)丁="+可左。0)的圖象與反比例函數(shù)

y=；（〃2W0）的圖象交于第二、四象限內(nèi)的A、8兩點(diǎn)，與X軸交于C點(diǎn)，點(diǎn)8的坐標(biāo)為（6,〃）.線

4

段。4=5,E為x軸上一點(diǎn)，且sin/AQE=1.

（1）求該反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；

（2）求AAOB的面積；

26.（問(wèn)題探究）

（1）如圖1,在矩形ABCD中，AB=3,8C=4,在8c邊上找一點(diǎn)P,使為等腰三

角形，請(qǐng)畫(huà)出所有滿(mǎn)足條件的點(diǎn)尸（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法），并直接寫(xiě)出相應(yīng)8尸的

長(zhǎng)；

⑵如圖2,在△MC中，=60°,BC=12,AD是邊上的高，E、尸分別為邊

A3、AC的中點(diǎn)，4。=6,在BC邊上是否存在點(diǎn)0,使NEQF=90°,若存在，求此時(shí)的

長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（解決問(wèn)題）

（3）有一場(chǎng)地，它的平面圖為如圖3所示的矩形ABC。，保衛(wèi)人員想在邊上選一點(diǎn)M安裝

監(jiān)控裝置，用來(lái)監(jiān)視邊AZ），當(dāng)NAMD=60。時(shí)監(jiān)控裝置的效果達(dá)到最佳，已知

A0=600m,AB=400m,請(qǐng)?jiān)?C邊上畫(huà)出滿(mǎn)足條件的點(diǎn)M（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不

寫(xiě)作法）.

（圖1）（圖2）（圖3）

27.今年由于防控疫情，師生居家隔離，進(jìn)行線上學(xué)習(xí)，A8和CO是社區(qū)兩棟鄰樓的示意圖，小

偉站在自家陽(yáng)臺(tái)的C點(diǎn),測(cè)得對(duì)面樓頂點(diǎn)A的仰角為22°，地面點(diǎn)E的俯角為45°,點(diǎn)E在線段BD

上，測(cè)得B、E間距離為8.7米，樓A8高12G米.

(1)求小偉家陽(yáng)臺(tái)距地面CD的高度(結(jié)果精確到1米,參考數(shù)據(jù)：sin22°?0.37,cos22°?0.93,

tan22°?0.40,73?1.73)

(2)在實(shí)際測(cè)量過(guò)程中，測(cè)量誤差可以避免嗎？并說(shuō)明理由.

三、填空題

3

28.如圖，已知在中，ZACB=90°,AC=6,sin8=M，點(diǎn)。在邊上，將

沿著過(guò)點(diǎn)。的一條直線翻折，使點(diǎn)B落在邊A8上的點(diǎn)E處，連結(jié)CE,DE，若NBDE=ZAEC,

則BE的長(zhǎng)是.

29.一運(yùn)動(dòng)員乘雪橇以10米/秒的速度沿坡比1：石的斜坡勻速滑下,若下滑的垂直高度為1000米,

則該運(yùn)動(dòng)員滑到坡底所需的時(shí)間是秒.

30.如圖，直角△ABC的直角邊長(zhǎng)AB=BC=4,。是A8中點(diǎn)，線段在邊AC上運(yùn)動(dòng),

PQ^-41,則四邊形尸。BQ面積的最大值為,周長(zhǎng)的最小值為

【答案與解析】

1.B

【解析】

作輔助線，構(gòu)建全等三角形和等邊三角形，證明RSAGBgRSCFB得：AG=CF,根據(jù)30。角的

性質(zhì)表示DF和DG的長(zhǎng)，計(jì)算四邊形ABCD的周長(zhǎng)，即可得出結(jié)論.

解：連接OB交AC于E,連接OC、OA,

過(guò)B作BG_LAD,BF1CD,交DA的延長(zhǎng)線于G,交CD于F,

AB=BC，

；./BDA=NBDC,

；.BG=BF,

在RtAAGB和RsCFB中，

VBG=BF,AB=BC,

ARtAAGB^RtACFB(HL),

；.AG=FC,

AB=BC>

AOB±AC,EC=—AC=—x3=-,

222

在^AOB和4COB中，

AO=OC

<OB=OB,

AB=BC

?,.△AOB^ACOB(SSS).

.*.ZABO=ZOBC=—ZABC=—xl20°=60°.

22

VOB=OC,

AAOBC是等邊三角形.

???NBOC=60。.

???NBDC=NADB=30。.

Rt2kBDF中，BD=x,

.5/3

??DF=----x.

2

同理得：DG=Y3X.

2

AD+DC=AD+DF+FC=DG+DF=^-x+—x=>/3x,

22

RSBEC中，/BCA=30°,

.\BE=—,BC=5

2

，AB=BC=G，

.?.AB+BC+AD+DC=G+g+底=瓜+25

***y=6尢+2月.

故選：B.

本題考查了三角形的外接圓、垂徑定理、圓周角定理等知識(shí)，熟練掌握?qǐng)A周角定理和垂徑定理是關(guān)

鍵，利用直角三角形30。角的性質(zhì)解決問(wèn)題.

2.B

【解析】

過(guò)點(diǎn)/作軸交y軸于點(diǎn)A,過(guò)點(diǎn)G作G3_LA3于8,根據(jù)余弦的定義求出AE,根據(jù)勾股定

理求出4F,進(jìn)而得出BF,根據(jù)余弦的定義求出FG,根據(jù)勾股定理計(jì)算，求出8G,根據(jù)坐標(biāo)與圖

形性質(zhì)解答即可.

解：過(guò)點(diǎn)尸作軸交y軸于點(diǎn)A,過(guò)點(diǎn)G作G5LA8于3,

,四邊形AOG3為矩形，：.AO=GB9AB=OG=llf

VAB/7OG,

???NBFG=NFGO,

〈NEFG=90。,

???ZAFE+ZBFG=90°,

ZAFE+ZAEF=90°,

???NAEF=NBFG=NFGO,

AE

在RSAEF中，cosZAEF=——,EF=10,

EF

.AE_3

??—―,

105

解得，AE=6,

由勾股定理得，”=4EF?-AE?=8，

，BF=AB-AF=17-8=9,

BF93

在RSBFG中，cosNBFG=——，即——=一，

FGFG5

解得，F(xiàn)G=15,

由勾股定理得，BG=NGF-BF?=12,

則點(diǎn)尸的坐標(biāo)是(8,12),

本題考查的是解直角三角形，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，掌握銳角三角函數(shù)的定義、矩形的性質(zhì)是解題

的關(guān)鍵.

3.A

【解析】

利用特殊角的三角函數(shù)值求得/D=30。，由點(diǎn)A是劣弧BC的中點(diǎn)，根據(jù)圓周角定理得到

ZAOC=ZAOB=2ZD=60°,可對(duì)②進(jìn)行判斷；證得△OAC、△OAB都為等邊三角形，根據(jù)等邊三

角形的性質(zhì)和垂徑定理可計(jì)算出BC,可對(duì)①進(jìn)行判斷；利用AB=AC=OA=OC=OB可對(duì)③進(jìn)行判

斷；利用弧長(zhǎng)公式，可對(duì)④進(jìn)行判斷.

..八百

?tanD——,

3

.\ZD=30o,

??,點(diǎn)A是劣弧3c的中點(diǎn),

.\OA1BC,

???ZAOC=ZAOB=2ZD=60°,

n

*'?sinAOB=sin60°=——，所以②正確；

2

而OA=OC=OB=6,

AAOAC.aOAB都為等邊三角形，

；.BC=2x6x走=6百，所以①正確；

2

?.?△OAC、△OAB都為等邊三角形，

AB=AC=OA=OC=OB,

四邊形ABOC是菱形，所以③正確；

???△OAC、△OAB都為等邊三角形，

AZCOB=120°,

；?劣弧3C的長(zhǎng)度為1=4萬(wàn),所以④正確.

180

綜上，正確的個(gè)數(shù)有4個(gè)，

故選：A.

本題考查了圓周角定理，弧長(zhǎng)公式，菱形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活

運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型.

4.C

【解析】

由銳角三角函數(shù)余弦的定義即可得出NB=30。.

解：VZC=90°,BC=GAB=2,

c°sB工直,

AB2

r.ZB=30°,

故選：c.

此題考查了解直角三角形，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

5.B

【解析】

根據(jù)/。=45。，得出8C=CO=x,再根據(jù)Na=28°,用它的正切列方程即可.

解：?.?/△=45。，

/.BC=CD=x,

?.?48=30,

.*.AC=x+30,

?3唉二心

x=(x+30)tan28°,

故選:B.

本題考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用銳角三角函數(shù)的定義，本題屬于基礎(chǔ)題型.

6.B

【解析】

根據(jù)坡比求出AC的長(zhǎng)度，再利用勾股定理求出AB即可.

Bej

解：...iutanNCABnKnF，BC=5m,

ACJ3

AC=56m,

；?AB=VAC2+BC2=7（5V3）2+52=10機(jī)，

故選：B.

此題考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，勾股定理，熟記坡比的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵.

7.C

【解析】

先證明四邊形AEDF是平行四邊形，在根據(jù)題意得到四邊形AEDF是菱形，即可得到結(jié)果;

由題意：DE//AC,DF//AB,

即DE//AF，DF//EA,

，四邊形AEDF是平行四邊形，

又：AO平分N3AC，

ABADACAD,

?：AE//DF,

/.ZBAD=ZADF,

"■力AF=/FDA，

FA=FD,

四邊形AEDF是菱形,

EFrAD,且。為EF的中點(diǎn)，EF=8,

O尸=4,

OF41

...在RsOAF中，sinZDAF=——=-=-；

AF82

sinNZX4C——；

2

故答案選C.

本題主要考查了菱形的判定與性質(zhì)，結(jié)合三角函數(shù)計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

8.(1)見(jiàn)解析；(2)8cm.

【解析】

(1)按尺規(guī)作圖方法，作出其中兩邊的垂直平分線，以此交點(diǎn)為圓心，圓心到三角形任意頂點(diǎn)的

距離為半徑畫(huà)圓即可；

(2)連接OB,利用等邊三角形的性質(zhì)，垂徑定理，再結(jié)合三角函數(shù)解直角三角形即可求出半徑.

(1)如圖：圓O即為所求

(2)如圖，連接OB,設(shè)AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)E,AC的垂直平分線交AC于點(diǎn)F,則點(diǎn)B、

0、F在同一條直線上，

..BE=LAB=4辰m,ZAFB=/BEO=9Q0,

2

vZA=60°,

??.ZEBO=30°,

BE

?t*在Rt/\BEO中，cos/LEBO=---,

BO

A/34百

--=----，

2BO

：.BO=8(c/n),

；.△ABC的外接圓半徑為8c機(jī).

本題考查了作圖一復(fù)雜作圖，等邊三角形的性質(zhì)，垂徑定理，解直角三角形等知識(shí)，靈活運(yùn)用所學(xué)

知識(shí)解決問(wèn)題是解題關(guān)鍵.

9.4.5

【解析】

首先建立以AB為x軸，以AD為y軸的直角坐標(biāo)系，過(guò)點(diǎn)G作GQ,AD交AE于Q,再得出拋

物線的解析式為y=-1(x-2V3)2+5及直線EC解析式為y=-f6x+7,最后求出H的縱坐標(biāo)即可

66

得解.

解：如圖所示，建立以AB為x軸，以AD為y軸的直角坐標(biāo)系，過(guò)點(diǎn)G作GQJ_AD交AE于Q,

Ez

D

AB

VAD=2,DE=5,DF=1,，D(0,2),E(0,7),F(0,3),

VGQ±AD,EG=4,ZAEG=60°,

GQ=sin60°xEG=走x4=28,

2

EQ=y/EG2-GQ2=V16-12=2，

；.AQ=AE-EQ=7-2=5,

:.GQ6,5),B(26,0),CQ6，2)，

,：GQ6，5)為拋物線頂點(diǎn)，

.?.設(shè)拋物線的解析式為：y=a(x-2V3)2+5(a#)),

1

將點(diǎn)F(0,3)代入解析式得:3=a(0-26)2+5，即12a+5=3,解得a=6-

故拋物線解析式為：y=-，(x-26)2+5,

6

設(shè)直線EC解析式為：y=kx+b(kr。)，

將E(0,7),C(26，2)代入解析式

1=b

聯(lián)立，得：<

2=2尿r+匕

b=1

解得：1,5k

k=——J3

6

直線解析式為：y=-*^x+7,

6

AH同時(shí)在拋物線與直線EC上

y=—1-2廚+5

聯(lián)立得16,

y=——6X+7

I6

解得：x=6或x=86>2百（舍去）

即H的橫坐標(biāo)為百，代入解析式y(tǒng)=-?瓜+7,

得H的縱坐標(biāo)為：—*百><6+7=4.5,

6

故射燈離地面高度4.5米.

故答案為：4.5.

本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確的構(gòu)造直角三角形并選擇正確的邊角關(guān)系解直

角三角形.

10.（156+1.5）米.

【解析】

樹(shù)的高度等于CG+DG,只需利用母子直角三角形求得DG的長(zhǎng)即可.

解：由題意知EF=30,GC=1.5,NE=30°,ZDFG=60°,ZDGF=90°

：.NE￡）F=/E=30。，

：.DF^EF=30,

又.在RW9GF中，

DG

sinZDGF=——，

DF

：.DG=DFsinZL>GF=30sin60°

=30x—=1573（米）；

2

：.DC=DG+GC=(156+1.5)(米),

.??樹(shù)的高是（15g+1.5）米.

D

本題考查了母子直角三角形的求解，熟練掌握解直角三角形的基本要領(lǐng)是解題的關(guān)鍵.

11.（1）y=—；（2）1675-32

x

【解析】

（1）過(guò)M點(diǎn)作MP_Lx軸于P點(diǎn)，由題意可直接求出M的坐標(biāo)，從而求出反比例函數(shù)的解析式;

（2）過(guò)N點(diǎn)作NQJ_x軸于Q點(diǎn)，設(shè)N的坐標(biāo)為分別表示出AQ與NQ的長(zhǎng)度，根據(jù)

特殊角的三角函數(shù)值求解。，從而得到AN的長(zhǎng)度，最終求得菱形的周長(zhǎng).

（1）如圖所示，過(guò)M點(diǎn)作MPJ_x軸于P點(diǎn)，

???菱形Q4BC的邊長(zhǎng)為4,M為OC的中點(diǎn)，

.".OM=2,

???NAOC=60。，

???在RSOMP中，NOMP二30。，

則：OP=1,PM

即：點(diǎn)M的坐標(biāo)為

二代入反比例函數(shù)解析式得：k=6

.??反比例函數(shù)的解析式為：y=—i

X

（2）過(guò)N點(diǎn)作NQLT軸于Q點(diǎn)，由題意可得：ZNAQ=60°,

：N在反比例函數(shù)圖象上,

，設(shè)N的坐標(biāo)為a,,即：AQ=a-4,yv（2=~~>

a

?/tanNNAQ=tan60。=黑，

a_m，解得：a-2+^5（舍負(fù)），

“一4

即：AQ=2+6-4=君-2,AN=2AQ=2舊-4,

???N為AF的中點(diǎn)，

AF=2AN=4V^-8，

/.菱形ADEF的周長(zhǎng)為4AF=1-32.

本題考查了反比例函數(shù)與幾何綜合問(wèn)題，理解反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)的特征以及菱形的性質(zhì)是解題

關(guān)鍵.

12.31.5米

【解析】

過(guò)點(diǎn)/作FGJ_AB于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)C作C”_LEG于點(diǎn)”，過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)P,可得

PE=CH=BG,GH=BC=4,由坡度和勾股定理可求出CH=BG=PE=8,再由△C/77

是等腰直角三角形，可得到切=C”=8,即戶(hù)G=FH+G”=12,最后通過(guò)三角函數(shù)求出結(jié)

果.

過(guò)點(diǎn)F作FG_LAB于一點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)C作CHLFG于點(diǎn)H,過(guò)點(diǎn)E作EP_LDB于點(diǎn)P,

由題意得：PE=CH=BG,GH=BC=4,

???斜坡DE的坡度為1：0.75,

PE14

???——=——=一，設(shè)PO=3x,則PE=4x,

PD0.753

在用APDE中，DE=,J(3X)2+(4X)2=5x=10

x—2,

二CH=BG=PE=8,

；NOT/=45°，

???△€777是等腰直角三角形，

:.FH=CH=8,

FG=FH+GH=T2,

AG

在RrAAFG中，tan/AFG=——,AAG=FGxtan630?12x1.96=23.52.

FG

/.AB=AG+BG=23.52+3=31.5(米)

即塔AB的高度約為31.5米.

本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握仰角俯角和坡度的有關(guān)內(nèi)容.

13.(1)120cm；(2)(60A/3-60)CW

【解析】

(1)過(guò)點(diǎn)8作既_LAC于E，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到NQ4C=NOC4=30°,根據(jù)三角

函數(shù)的定義即可得到結(jié)論；

(2)過(guò)點(diǎn)8作8E_LAC于E，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到NQ4C=NOC4=60°,根據(jù)三角

函數(shù)的定義即可得到結(jié)論;

.解：(1)過(guò)點(diǎn)8作于E

■：OA=OC,ZAOC=nO0,

:.ZOAC=ZOCA=30°,

BE

sinZOAC=

~AB

,：BE-h-60cm

BE60

=120cm

sinNOACsin30°

(2)過(guò)點(diǎn)8作8E1AC于E，

\OA=OC,ZA(?C=60°,

N<MC=NOC4=60。，

/.sinZOAC------

AB

vAB=120cm

BE=AB-sin60°=120x—=606cm

2

?1?該熨燙臺(tái)升高了(60>/3-60)c/n.

DB

正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵.

14.CD=9叵一3限

4

【解析】

如圖，為冬天的太陽(yáng)光線，Z￡￡>F=30°,7X為夏天的太陽(yáng)光線，NZ4N=60。，水平線

DF//AN,證明5A=80=1.5,NCO5=45°,過(guò)C作CHLBO于“，可得CH=DH,

BH=—CH=—DH,再列方程且。H+OH=1.5,求解。〃=匕3^,由

3334

cosZCDH=—=COS45°=—,從而可得答案.

CD2

解：如圖，E8為冬天的太陽(yáng)光線，NEDF=30。,

7X為夏天的太陽(yáng)光線，NZ4N=60。，水平線O/7/4V,

ZTDE=NBDA=30°,

■.AC±AN,

：.ZBAD=3Q°=ZBDA,

：.ZCBD=ZBAD+ABDA=60°,BA=BD=1.5,

?.?NBCD=75。，

ZCDB=45°,

過(guò)。作C”,8。于“，

：.ZHCD=ZCDH=45°,

：.CH=DH,

CHr~

由tanNCBH=J=tan60°=V3,

BH

BH=—CH=—DH,

33

:.—DH+DH=1.5,

3

:.DH=

4

r)i-jB

由cosNC￡W=——=cos45°=—,

CD2

44

經(jīng)檢驗(yàn)：CDJ拒-3面符合題意.

4

本題考查的是三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角的性質(zhì)，等腰三角形的判定，二次根式的運(yùn)算,

解直角三角形的應(yīng)用，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

15.(1)273cm；(2)見(jiàn)解析；(3)0秒或6秒

【解析】

(1)求出NCBD=60。，用正切求BD；

(2)證ABOC絲△BDC,根據(jù)垂直平分線的判定證明即可；

(3)根據(jù)CZ)=CO',CO,=CO'求OCh即可.

(1)在八！。。中，ZADC=90°,ZA=30°,C￡)=6cm.

又??.點(diǎn)0為AC中點(diǎn)，OBLAC,

ABA=BC,

AZACB=ZA=30°,

???ZCBD=60°,

CD

tanNCBD=—,

DB

6」，

DB

BD=2百(cm)

(2)由(1)知，ZBCD=ZACB=30°,ZBOC=ZBDC,

VBC=BC,

AABOC^ABDC,

.-.OB=OD,CO=CD

r.BC垂直平分OQ.

(3)①當(dāng)t=0時(shí)，即與AABO重合，此時(shí)由(2)知點(diǎn)。|關(guān)于直線BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。'與

點(diǎn)。重合.

此時(shí)CD=CO'

②由平移可知，0,0LCD,設(shè)垂足為尸，當(dāng)CO'=C￡>=6cm時(shí)，

:點(diǎn)。關(guān)于直線BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)O'

:.O,C=CO',

???CO'=CD,CO=CD,

co】=co

VCF100,,

AOF=OiF,

OF

sinZOCD=——，

OC

y/3OF

----=------，

26

OF=36(cm)

OO}=2x373=6x/3(cm)

00.66/利

.」=一^=—^=6秒

V3V3

綜上①②知，當(dāng)/=()秒或f=6秒時(shí)，CD=CO'.

本題考查解直角三角形，垂直平分線的證明和動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，解題關(guān)鍵是準(zhǔn)確把握已知，聯(lián)系相關(guān)知識(shí),

畫(huà)出正確圖形，進(jìn)行分類(lèi)討論，

OR

16.(1)AC與。O相切，理由見(jiàn)解析；(2)

5

【解析】

(1)連接BE,求出NEBD+NBFE=90。，推出NACE=/AFC,ZEBD=ZBCE,求出

ZACE+ZBCE=90°,根據(jù)切線的判定推出即可.

4BC

(2)根據(jù)BC=4,sinA=-=—,求出AB=5,AC=3,AF=3,BF=2,根據(jù)/EBD=/BCE,ZE=ZE

5AB

證ABEFs/\CEB,推出EC=2EB,設(shè)EB=x,EC=2x,由勾股定理得出x2+4x』16,求出即可.

解：(1)AC與。O相切，

證明：連接BE,

；BC是。O的直徑，

ZE=90°,

.,.ZEBD+ZBFE=90°,

VAF=AC,

.?./ACE=NAFC,

為弧BD中點(diǎn)，

ZEBD=ZBCE,

ZACE+ZBCE=90°,

；.ACJ_BC,

VBC為直徑，

.?.AC是。O的切線.

(2)；。0的半為2,

；.BC=4,

“?“4BC

在RtAABC中，sinA=—=-----,

5AB

AAB=5,

-'-AC=7AB2-BC2=3?

VAF=AC,

AAF=3,BF=5-3=2,

VZEBD=ZBCE,ZE=ZE,

AABEF^ACEB,

.EB_BF

AEC=2EB,

設(shè)EB=x,EC=2x,

由勾股定理得：x2+4x2=16,

??以=述(負(fù)數(shù)舍去)，

5

即CE=辿.

5

本題考查了切線的判定，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考

查學(xué)生的推理能力.

2

17.(1)y=-2x+2;(2)S=—2/+2；(3)5=^-—

550

【解析】

(1)把A(-l,0)代入拋物線y=o?+2,即可求解；

(2)過(guò)點(diǎn)C作CM軸于點(diǎn)M，CN_Ly軸于點(diǎn)N,先求出AB=2,再得出四邊形CMON是

矩形，最后利用三角形的面積公式得出結(jié)果；

(3)先得出NDBC=6()°,NE=60°,再得出△用?噲,ARAGmABDG,在RtaOEP

中，利用解直角三角形得出結(jié)果.

解：(1):?拋物線y=g2+2經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-1,0)

A0=ax(-l)2+2

解得。=一2

拋物線的解析式為y=-2x2+2

(2)如圖，過(guò)點(diǎn)。作軸于點(diǎn)M，。％，＞軸于點(diǎn)',

當(dāng)y=0時(shí)，0=-2^+2,解得x=±l,

,

AB=2

?.?點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為f,

.?.當(dāng)x=，時(shí)，y=-2r+2

軸，CNJ.y軸，

/.Z.CMO=ZCNO=90°=AMON,

...四邊形。WQV是矩形

???CM=NO=-2r+2

A5=^ABxCM=^x2x(-2r+2)=-2r+2

(3)如圖，在O尸的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)K,使FK=￡>F,連接AK

ZAFO=ADFE,

：.180°-ZAFO=1800-Z￡)fE,

，ZAFK=ZAFD,

又AF=AF,

：.^AKF^^ADF,

AK=AD，ZFAK^ZFAD,令公AK=a

'：AD=AB,

：.AK^AB=2,

在中，

cosZOAK=-=-,

AK2

，N(MA：=60°

ZZMfi=60°-ZAXF-ZMD=60°-2<z

又?:AB=AD,

：.ZABD=ZADB=60°+a,

又；ZCBA=ZFAD=a

：.ZDBC=ZDBA-ZCBA=60°,Z￡=Z4DB—ZZM￡=60°+a-a=60°

過(guò)點(diǎn)A作ARHBD交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R,

/.Z7?=NCB￡)=6O°

又=ZRBA=ZEAD

：./^ARB^^DEA,

AR=DE,

：G是A￡)的中點(diǎn)，

，AG=DG,

又：ZAGR=ZDGB,

△RAGR^BDG,

AR=BD,

???DE=BD，

過(guò)點(diǎn)A作A”LED于點(diǎn)〃，

又：AD=AB,

：.BH=DH，令BH=n,

：.DE=BD=2n

：.EH=DE+DH=3n,

在RtAAE〃中，ZE=60°

/.ZEAH=900-ZE=30°,AE=2EH=6n,

過(guò)點(diǎn)。作DPJLAC于點(diǎn)P,

在R3DEP中，

EP=n,PD=gn，

AP=AE-EP=5n,

；?tanZDAE--=—

AP5

tanZ.CBA=tanZDAE=—)

5

MB=BO+MO="t,

./…CM-2r+2\73

??tanZ.CAB=----=----------=2(1+/)=—，

BM1-tv75

?,GI

10

.3

??d=-----------.

550

本題考查了二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及的知識(shí)點(diǎn)有三角形全等、圖形的面積計(jì)算、解直角三角形等,

正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

18.（1）13.2cm；（2）25°

【解析】

（1）通過(guò)作垂線構(gòu)造直角三角形，利用直角三角形的邊角關(guān)系，求出CF、DH,即可求出點(diǎn)D到

AB的距離；

（2）畫(huà)出旋轉(zhuǎn)后的圖形，結(jié)合圖形，明確圖形中已知的邊角，再利用直角三角形的邊角關(guān)系求出

相應(yīng)的角度即可.

解：（1）如圖1,過(guò)點(diǎn)C作CF_LAB于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)D作DG_LAB于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)C作CH_LDG于點(diǎn)

H,

圖1

VAC=10cm,ZCAB=60°,

???CF=AC-sinNCAB=10xsin60°=10x—=573?5x1.73=8.65c〃z，

2

/.HG=CF=8.65cm,

VZACF=90°-60°=30°,ZACE=55°,

???ZECF=55°-30°=25°,

???ZDCH=180o-90°-25o=65°,

DC=DE-CE=12-7=5cm,

DH=DC-sinZDCH=DC-sin65°?5x0.91=4.55cm，

：.DG=DH+HG=4.55+8.65=13.2cm,

即點(diǎn)D到AB的距離為13.2cm,

答：點(diǎn)D到AB的距離為13.2cm；

(2)旋轉(zhuǎn)后的圖形如圖2所示，

圖2

根據(jù)題意得/ACB=55°+35°=90°,

7

在RtAACB中，CB=7,AC=10,tan/A=—=0.7,

10

二NA=35°,

AAC旋轉(zhuǎn)的角度約為60。-35。=25。，

答:AC旋轉(zhuǎn)的角度約為25。.

本題考查直角三角形的邊角關(guān)系、銳角三角函數(shù)的意義，解題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造直角三角形.

19.(1)6；(2)3g；(3)(90+7)cm

【解析】

(1)過(guò)點(diǎn)。作0C_LA3,連接OB,根據(jù)垂徑定理和勾股定理計(jì)算即可；

(2)作AABC的外接圓。0,由題意可得，AABC應(yīng)為銳角三角形或直角三角形，當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)

8或點(diǎn)。與點(diǎn)C重合時(shí)，長(zhǎng)度最小，此時(shí)NA"8C=NA'CB=90°,利用銳角三角函數(shù)即可

求出結(jié)論；

(3)由題意知：點(diǎn)Q隨點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，將△PAB繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到△QCB,此時(shí)

QC=PA=7cm,當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)0的運(yùn)動(dòng)路徑為以C為圓心、半徑為7cm的0C,則點(diǎn)Q

的運(yùn)動(dòng)軌跡可知，連接AC并延長(zhǎng)交0c于點(diǎn)。'，當(dāng)。與。'重合時(shí)，A。的長(zhǎng)度最大，即為A。'

的長(zhǎng)度，點(diǎn)。'即為藏寶地，利用勾股定理求出AC的長(zhǎng)度，即可求出結(jié)論.

解：(1)如圖，過(guò)點(diǎn)。作OCLA3,連接03,

A8=8,

2

...在RSOBC中，由勾股定理得oc=dOB?-BC?=6

故答案為：6；

VBC=9,Z?4C=60。，且點(diǎn)。在線段BC上，

；?△A3C應(yīng)為銳角三角形或直角三角形，

.??點(diǎn)A在劣弧A"A上，

,當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)3或點(diǎn)。與點(diǎn)C重合時(shí)，AO長(zhǎng)度最小，此時(shí)NA"BC=NA'C8=90°,

AAD=BC=3A/3,即AO的最小值為36；

tan60°

(3)如圖,

p

;PB=BQ,且NP8Q=90。，

二將△PAB繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,PB與QB重合,得到△QCB,則QC=24=7cm,

???當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)路徑為以C為圓心、半徑為7cm的G)C,QC=PA=7cm.

連接AC并延長(zhǎng)交OC于點(diǎn)。'，當(dāng)0與。'重合時(shí)，A。的長(zhǎng)度最大，即為A。'的長(zhǎng)度，點(diǎn)。'即

為藏寶地.

ZABC=ZPBQ=90°,A3=BC=9cm,

?*-AC=y]AB2+BC2=972,

AQ'=AC+CQ'=(9V2+7)cm,

；?藏寶地到點(diǎn)A的距離為(9&+7)cm.

此題考查的圓的綜合大題，難點(diǎn)在第(3)問(wèn)中如何求點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡，根