遼寧師附中2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末經(jīng)典模擬試題含解析

遼寧師附中2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末經(jīng)典模擬試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．某幾何體的三視圖如圖所示，當(dāng)時(shí)，這個(gè)幾何體的體積為（）A．1 B． C． D．2．已知函數(shù)在處取得極值，則的圖象在處的切線方程為（）A． B． C． D．3．某射手射擊所得環(huán)數(shù)的分布列如下：78910已知的數(shù)學(xué)期望，則的值為（）A． B． C． D．4．某程序框圖如圖所示，若運(yùn)行該程序后輸出（）A． B． C． D．5．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A． B． C． D．6．已知，則“”是“”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分又非必要條件7．中國詩詞大會的播出引發(fā)了全民讀書熱，某學(xué)校語文老師在班里開展了一次詩詞默寫比賽，班里40名學(xué)生得分?jǐn)?shù)據(jù)的莖葉圖如右圖，若規(guī)定得分不低于85分的學(xué)生得到“詩詞達(dá)人”的稱號，低于85分且不低于70分的學(xué)生得到“詩詞能手”的稱號，其他學(xué)生得到“詩詞愛好者”的稱號.根據(jù)該次比賽的成績按照稱號的不同進(jìn)行分層抽樣抽選10名學(xué)生，則抽選的學(xué)生中獲得“詩詞能手”稱號的人數(shù)為（）A．6 B．5 C．4 D．28．的展開式中，的系數(shù)為（）A．2 B．4 C．6 D．89．若直線（t為參數(shù)）與直線垂直，則常數(shù)k=（）A． B．6 C．6 D．10．下列各對函數(shù)中，圖象完全相同的是（）A．與 B．與C．與 D．與11．已知，且，函數(shù)的圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離等于，則的值為（）A． B． C． D．12．某研究機(jī)構(gòu)在對具有線性相關(guān)的兩個(gè)變量和進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析時(shí)，得到的數(shù)據(jù)如下表所示．由表中數(shù)據(jù)求得關(guān)于的回歸方程為，則在這些樣本點(diǎn)中任取一點(diǎn)，該點(diǎn)落在回歸直線上方的概率為（）4681012122.956.1A． B． C． D．無法確定二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，且，則__________．14．在圓中：半徑為的圓的內(nèi)接矩形中，以正方形的面積最大，最大值為.類比到球中：半徑為的球的內(nèi)接長方體中，以正方體的體積最大，最大值為__________．15．已知非零向量滿足，，且，則實(shí)數(shù)的值為______.16．若從甲乙丙丁4位同學(xué)中選出3位同學(xué)參加某個(gè)活動(dòng)，則甲被選中的概率為__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）選修4-5：不等式選講已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若的解集包含，求的范圍.18．（12分）已知點(diǎn)P(3，1)在矩陣變換下得到點(diǎn)P′(5，－1)．試求矩陣A和它的逆矩陣．19．（12分）在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為.（1）求直線和曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）過點(diǎn)作直線的垂線，交曲線于兩點(diǎn)，求.20．（12分）如圖，在四棱錐中，平面，，，且，，.（1）求證：；（2）在線段上,是否存在一點(diǎn),使得二面角的大小為，如果存在,求與平面所成角的正弦值；如果不存在,請說明理由.21．（12分）在某項(xiàng)娛樂活動(dòng)的海選過程中評分人員需對同批次的選手進(jìn)行考核并評分，并將其得分作為該選手的成績，成績大于等于60分的選手定為合格選手，直接參加第二輪比賽，不超過40分的選手將直接被淘汰，成績在內(nèi)的選手可以參加復(fù)活賽，如果通過，也可以參加第二輪比賽．（1）已知成績合格的200名參賽選手成績的頻率分布直方圖如圖，求a的值及估計(jì)這200名參賽選手的成績平均數(shù)；（2）根據(jù)已有的經(jīng)驗(yàn)，參加復(fù)活賽的選手能夠進(jìn)入第二輪比賽的概率為，假設(shè)每名選手能否通過復(fù)活賽相互獨(dú)立，現(xiàn)有3名選手進(jìn)入復(fù)活賽，記這3名選手在復(fù)活賽中通過的人數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．22．（10分）的展開式中若有常數(shù)項(xiàng)，求最小值及常數(shù)項(xiàng)．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】

三視圖復(fù)原幾何體是長方體的一個(gè)角，設(shè)出棱長，利用勾股定理，基本不等式，求出最大值．【題目詳解】解：如圖所示，可知．設(shè)，則，消去得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，此時(shí)，所以．故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題考查三視圖求體積，考查基本不等式求最值，是中檔題．2、A【解題分析】

利用列方程，求得的值，由此求得，進(jìn)而求得的圖象在處的切線方程.【題目詳解】，函數(shù)在處取得極值，，解得，，于是，可得的圖象在處的切線方程為，即．故選：A【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查根據(jù)極值點(diǎn)求參數(shù)，考查利用導(dǎo)數(shù)求切線方程，屬于基礎(chǔ)題.3、B【解題分析】

根據(jù)分布列的概率之和是，得到關(guān)于和之間的一個(gè)關(guān)系式，由變量的期望值，得到另一個(gè)關(guān)于和之間的一個(gè)關(guān)系式，聯(lián)立方程，解得的值.【題目詳解】由題意可知：，解得.故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查期望和分布列的簡單應(yīng)用，通過創(chuàng)設(shè)情境激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的情感，培養(yǎng)其嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)的態(tài)度，在學(xué)生分析問題、解決問題的過程中培養(yǎng)其積極探索的精神，屬于基礎(chǔ)題．4、D【解題分析】

通過分析可知程序框圖的功能為計(jì)算，根據(jù)最終輸出時(shí)的值，可知最終賦值時(shí)，代入可求得結(jié)果.【題目詳解】根據(jù)程序框圖可知其功能為計(jì)算：初始值為，當(dāng)時(shí)，輸出可知最終賦值時(shí)本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查根據(jù)程序框圖的功能計(jì)算輸出結(jié)果，關(guān)鍵是能夠明確判斷出最終賦值時(shí)的取值.5、C【解題分析】

根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可得出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo).【題目詳解】由題意可知，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)的求解，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.6、A【解題分析】

“a＞1”?“”，“”?“a＞1或a＜0”，由此能求出結(jié)果．【題目詳解】a∈R，則“a＞1”?“”，“”?“a＞1或a＜0”，∴“a＞1”是“”的充分非必要條件．故選A．【題目點(diǎn)撥】充分、必要條件的三種判斷方法．1．定義法：直接判斷“若則”、“若則”的真假．并注意和圖示相結(jié)合，例如“?”為真，則是的充分條件．2．等價(jià)法：利用?與非?非，?與非?非，?與非?非的等價(jià)關(guān)系，對于條件或結(jié)論是否定式的命題，一般運(yùn)用等價(jià)法．3．集合法：若?，則是的充分條件或是的必要條件；若＝，則是的充要條件．7、C【解題分析】

有莖葉圖，找出獲得“詩詞能手”的稱號的學(xué)生人數(shù)，求得概率，再利用分層抽樣求得答案.【題目詳解】由莖葉圖可得，低于85分且不低于70分的學(xué)生共有16人，所以獲得“詩詞能手”的稱號的概率為：所以分層抽樣抽選10名學(xué)生，獲得“詩詞能手”稱號的人數(shù)為：故選C【題目點(diǎn)撥】本題考查了莖葉圖以及分層抽樣，屬于基礎(chǔ)題.8、D【解題分析】

由題意得到二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，進(jìn)而可得出結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)榈恼归_式的第項(xiàng)為，令，則，所以的系數(shù)為8.故選D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查求指定項(xiàng)的系數(shù)問題，熟記二項(xiàng)式定理即可，屬于?？碱}型.9、B【解題分析】

由參數(shù)方程直接求出斜率，表示出另一直線的斜率，利用垂直的直線斜率互為負(fù)倒數(shù)即可求出參數(shù)k.【題目詳解】由參數(shù)方程可求得直線斜率為：，另一直線斜率為：，由直線垂直可得：，解得：.故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查參數(shù)方程求斜率與直線的位置關(guān)系，垂直問題一般有兩個(gè)方法：一是利用斜率相乘為-1，另一種是利用向量相乘得0.10、C【解題分析】

先判斷兩個(gè)函數(shù)的定義域是否是同一個(gè)集合，再判斷兩個(gè)函數(shù)的解析式是否可以化為一致．【題目詳解】解：對于A、∵的定義域?yàn)椋亩x域?yàn)椋畠蓚€(gè)函數(shù)的對應(yīng)法則不相同，∴不是同一個(gè)函數(shù)．對于B、∵的定義域，的定義域均為．∴兩個(gè)函數(shù)不是同一個(gè)函數(shù)．對于C、∵的定義域?yàn)榍遥亩x域?yàn)榍遥畬?yīng)法則相同，∴兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)．對于D、的定義域是，的定義域是，定義域不相同，∴不是同一個(gè)函數(shù)．故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查兩個(gè)函數(shù)解析式是否表示同一個(gè)函數(shù)，需要兩個(gè)條件：①兩個(gè)函數(shù)的定義域是同一個(gè)集合；②兩個(gè)函數(shù)的解析式可以化為一致．這兩個(gè)條件缺一不可，必須同時(shí)滿足．11、B【解題分析】試題分析：根據(jù)函數(shù)的圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離等于，可得．由，且，可得，∴，則，故選B．考點(diǎn)：正弦函數(shù)的圖象．12、B【解題分析】

求出樣本的中心點(diǎn)，計(jì)算出，從而求出回歸直線方程，個(gè)點(diǎn)中落在回歸直線上方的有三個(gè)，算出概率即可?！绢}目詳解】由題可得，因?yàn)榫€性回歸方程過樣本中心點(diǎn)，所以，所以，所以，故個(gè)點(diǎn)中落在回歸直線上方有，，，共個(gè)，所以概率為.故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查線性回歸方程和古典概型，解題的關(guān)鍵是求出線性回歸方程，屬于一般題。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、0.4【解題分析】分析：先根據(jù)正態(tài)分布曲線得，再求，最后求.詳解：根據(jù)正態(tài)分布曲線得,所以,所以0.5-0.1=0.4.故答案為：0.4.點(diǎn)睛：本題主要考查正態(tài)分布圖，意在考查學(xué)生對該基礎(chǔ)知識的掌握水平和數(shù)形結(jié)合的思想方法.14、【解題分析】分析：圓的內(nèi)接矩形中，以正方形的面積最大，當(dāng)邊長等于時(shí)，類比球中內(nèi)接長方體中，以正方體的體積最大，棱長為詳解：圓的內(nèi)接矩形中，以正方形的面積最大，當(dāng)邊長時(shí)，解得時(shí)，類比球中內(nèi)接長方體中，以正方體的體積最大，當(dāng)棱長,解得時(shí)，正方體的體積為點(diǎn)睛：類比推理，理會題意抓住題目內(nèi)在結(jié)構(gòu)相似的推導(dǎo)過程，不要僅模仿形式上的推導(dǎo)過程。15、【解題分析】

由已知，根據(jù)垂直向量的關(guān)系和向量的數(shù)量積公式，建立關(guān)于的方程，即可求解.【題目詳解】由，又由，得.，解得.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查向量垂直、向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.16、【解題分析】分析：先確定4位同學(xué)中選出3位同學(xué)事件數(shù)，再確定甲被選中事件數(shù)，最后根據(jù)古典概型概率公式求結(jié)果.詳解：因?yàn)?位同學(xué)中選出3位同學(xué)共有種，甲被選中事件數(shù)有,所以甲被選中的概率為.點(diǎn)睛：古典概型中基本事件數(shù)的探求方法(1)列舉法.(2)樹狀圖法：適合于較為復(fù)雜的問題中的基本事件的探求.對于基本事件有“有序”與“無序”區(qū)別的題目，常采用樹狀圖法.(3)列表法：適用于多元素基本事件的求解問題，通過列表把復(fù)雜的題目簡單化、抽象的題目具體化.(4)排列組合法：適用于限制條件較多且元素?cái)?shù)目較多的題目.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解題分析】分析：（1）當(dāng)時(shí)，將要解的不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的三個(gè)不等式組，求出每個(gè)不等式組的解集，再取并集，即得所求；（2）由題意得當(dāng)時(shí)，恒成立，化簡可得，即，由此求得a的取值范圍.詳解：（1）當(dāng)時(shí)，可化為：，①當(dāng)時(shí)，不等式為：，解得：，故，②當(dāng)時(shí)，不等式為：，解得：，故，③當(dāng)時(shí)，不等式為：，解得：，故.綜上，原不等式的解集為：.（2）∵的解集包含，∴在內(nèi)恒成立，∴在內(nèi)恒成立，∴在內(nèi)恒成立，∴，解得，即的取值范圍為.點(diǎn)睛：本題主要考查絕對值不等式的解法，絕對值三角不等式，函數(shù)的恒成立問題.18、．【解題分析】分析：由列方程求出a和b的值，求得矩陣A,|A|及,由即可求得.詳解：依題意得所以所以A＝．因?yàn)閨A|＝＝1×(－1)－0×2＝－1，所以＝．點(diǎn)睛：本題主要考查矩陣的變換和逆矩陣的求法，意在考查學(xué)生對這些基礎(chǔ)知識的掌握水平和基本的運(yùn)算能力.19、（1），；（2）16【解題分析】

（1）消去參數(shù)可得普通方程，由公式可化極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程；（2）可所作直線的參數(shù)方程為，代入拋物線方程，由的幾何意義易求得.【題目詳解】（1）直線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，消去參數(shù)可得，曲線的極坐標(biāo)方程為，即，化為.（2）過點(diǎn)與直線垂直的直線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，代入，可得，∴，故.【題目點(diǎn)撥】本題考查參數(shù)方程與普通方程的互化，極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，考查直線參數(shù)方程的應(yīng)用。(1)直線方程中參數(shù)t的幾何意義的應(yīng)用經(jīng)過點(diǎn)P(x0，y0)，傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．若A，B為直線l上的兩點(diǎn)，其對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，線段AB的中點(diǎn)為M，點(diǎn)M所對應(yīng)的參數(shù)為t0，則以下結(jié)論在解題中經(jīng)常用到：①t0＝；②|PM|＝|t0|＝；③|AB|＝|t2－t1|；④|PA|·|PB|＝|t1·t2|.[注意]在直線的參數(shù)方程中，參數(shù)t的系數(shù)的平方和為1時(shí)，t才有幾何意義，其幾何意義為：|t|是直線上任一點(diǎn)M(x，y)到M0(x0，y0)的距離，即|M0M|＝|t|.20、（1）見解析（2）在線段上,存在一點(diǎn),使得二面角的大小為，且與平面所成角正弦值為【解題分析】

（1）利用勾股定理得出，由平面，得出，利用直線與平面垂直的判定定理證明平面，于此得出；（2）設(shè)，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，由解出的值，得出的坐標(biāo)，則即為與平面所成角的正弦值.【題目詳解】（1）∵，，∴，∴∵平面，∴，∴平面，平面，∴；（2）以為原點(diǎn)，以過平行于的直線