湖南省湘東六校2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題含解析

湖南省湘東六校2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈A．1盞 B．3盞C．5盞 D．9盞2．雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為、，P在雙曲線C上，且是等腰三角形，其周長為22，則雙曲線C的離心率為（）A． B． C． D．3．從名男生和名女生中選出人去參加辯論比賽，人中既有男生又有女生的不同選法共有（）A．種 B．種 C．種 D．種4．設(shè)變量x，y滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為（）A．4 B．6 C．8 D．105．將函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位長度，再把圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），則所得到的圖象的解析式為（）A． B．C． D．6．兩個(gè)半徑都是的球和球相切，且均與直二面角的兩個(gè)半平面都相切，另有一個(gè)半徑為的小球與這二面角的兩個(gè)半平面也都相切，同時(shí)與球和球都外切，則的值為（）A． B． C． D．7．已知是四個(gè)互不相等的正數(shù)，滿足且，則下列選項(xiàng)正確的是（）A． B．C． D．8．正六邊形的邊長為，以頂點(diǎn)為起點(diǎn)，其他頂點(diǎn)為終點(diǎn)的向量分別為；以頂點(diǎn)為起點(diǎn)，其他頂點(diǎn)為終點(diǎn)的向量分別為．若分別為的最小值、最大值，其中，則下列對(duì)的描述正確的是（）A． B． C． D．9．已知復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則A． B． C．或 D．10．已知函數(shù)，函數(shù)有四個(gè)不同的零點(diǎn)，從小到大依次為，，，，則的取值范圍為（）A． B． C． D．11．已知函數(shù)，則使得成立的x的取值范圍是（）A． B． C． D．12．端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習(xí)俗，設(shè)一盤中裝有10個(gè)粽子，其中豆沙粽2個(gè)，肉粽3個(gè)，白粽5個(gè)，這三種粽子的外觀完全相同，從中任意選取3個(gè)，則三種粽子各取到1個(gè)的概率是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)，則______.14．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)__________．15．已知三棱錐的底面是等腰三角形，，底面，，則這個(gè)三棱錐內(nèi)切球的半徑為_______.16．下表提出了某廠節(jié)能耗技術(shù)改造后，在生產(chǎn)產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量（噸）與相應(yīng)的生產(chǎn)耗能（噸）的幾組相對(duì)數(shù)據(jù)．根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，求出關(guān)于的線性回歸直線方程，那么表中__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）觀察下列等式:；；；；；(1)猜想第n(n∈N*)個(gè)等式;(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想.18．（12分）如圖，一條小河岸邊有相距的兩個(gè)村莊（村莊視為岸邊上兩點(diǎn)），在小河另一側(cè)有一集鎮(zhèn)（集鎮(zhèn)視為點(diǎn)），到岸邊的距離為，河寬為，通過測量可知，與的正切值之比為．當(dāng)?shù)卣疄榉奖愦迕癯鲂?，擬在小河上建一座橋（分別為兩岸上的點(diǎn)，且垂直河岸，在的左側(cè)），建橋要求：兩村所有人到集鎮(zhèn)所走距離之和最短，已知兩村的人口數(shù)分別是人、人，假設(shè)一年中每人去集鎮(zhèn)的次數(shù)均為次．設(shè)．（小河河岸視為兩條平行直線）（1）記為一年中兩村所有人到集鎮(zhèn)所走距離之和，試用表示；（2）試確定的余弦值，使得最小，從而符合建橋要求．19．（12分）橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，與軸正半軸交于點(diǎn)，若為等腰直角三角形，且直線被圓所截得的弦長為2.（1）求橢圓的方程；（2）直線：與橢圓交于點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，射線與橢圓交于點(diǎn)，點(diǎn)為的重心，求證：的面積為定值.20．（12分）設(shè)（I）若的極小值為1，求實(shí)數(shù)的值；（II）當(dāng)時(shí)，記，是否存在整數(shù)，使得關(guān)于的不等式有解？若存在求出的最小值，若不存在，說明理由.21．（12分）已知函數(shù)，.（1）解關(guān)于的不等式；（2）若函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值之差為5，求實(shí)數(shù)的值；（3）若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.22．（10分）設(shè)是拋物線的焦點(diǎn)，是拋物線上三個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)，直線過點(diǎn)，，直線與交于點(diǎn).記點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為．（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）證明：點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】

設(shè)塔頂?shù)腶1盞燈，由題意{an}是公比為2的等比數(shù)列，∴S7==181，解得a1=1．故選B．2、B【解題分析】

根據(jù)雙曲線的定義和等腰三角形的性質(zhì)，即可得到c，化簡整理可得離心率．【題目詳解】雙曲線，可得a＝3，因?yàn)槭堑妊切?，?dāng)時(shí)，由雙曲線定義知|PF1|＝2a+|PF2|，在△F1PF2中，2c+2c+|PF2|＝22，即6c﹣2a＝22，即c，解得C的離心率e，當(dāng)時(shí)，由雙曲線定義知|PF1|＝2a+|PF2|=2a+2c，在△F1PF2中，2a+2c+2c+2c＝22，即6c＝22﹣2a=16，即c，解得C的離心率e<1（舍），故選B．【題目點(diǎn)撥】本題考查了雙曲線的簡單性質(zhì)，考查了運(yùn)算求解能力和推理論證能力，屬于中檔題．3、C【解題分析】

在沒有任何限制的情況下減去全是男生和全是女生的選法種數(shù)，可得出所求結(jié)果.【題目詳解】全是男生的選法種數(shù)為種，全是女生的選法種數(shù)為種，因此，人中既有男生又有女生的不同選法為種，故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查排列組合問題，可以利用分類討論來求解，本題的關(guān)鍵在于利用間接法來求解，可避免分類討論，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.4、C【解題分析】

先作出約束條件表示的平面區(qū)域，令，由圖求出的范圍，進(jìn)而求出的最大值.【題目詳解】作出可行域如圖：令，由得，點(diǎn)；由得，點(diǎn)，由圖知當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，最大值為4，當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，最小值為，所以的最大值為8.故選：C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了簡單線性規(guī)劃問題，考查了學(xué)生的作圖能力與數(shù)形結(jié)合的思想.5、B【解題分析】試題分析：函數(shù)，的圖象上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長度得，再把圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的2倍，得，選B.考點(diǎn)：三角函數(shù)圖像變換6、D【解題分析】

取三個(gè)球心點(diǎn)所在的平面，過點(diǎn)、分別作、，垂足分別為點(diǎn)，過點(diǎn)分別作，，分別得出、以及，然后列出有關(guān)的方程，即可求出的值．【題目詳解】因?yàn)槿齻€(gè)球都與直二面角的兩個(gè)半平面相切，所以與、、共面，如下圖所示，過點(diǎn)、分別作、，垂足分別為點(diǎn)，過點(diǎn)分別作，，則，，，，，，所以，，等式兩邊平方得，化簡得，由于，解得，故選D．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查球體的性質(zhì)，以及球與平面相切的性質(zhì)、二面角的性質(zhì)，考查了轉(zhuǎn)化思想與空間想象能力，屬于難題．轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)解題的靈魂，合理的轉(zhuǎn)化不僅僅使問題得到了解決，還可以使解決問題的難度大大降低，本題將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題是解題的關(guān)鍵.7、D【解題分析】

采用特殊值法，結(jié)合已知條件，逐項(xiàng)判斷，即可求得答案.【題目詳解】A．取???，則它們滿足且，但是：，，，故此時(shí)有，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；B．取???，則它們滿足且，但是：，，故此時(shí)有，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；C．取???，，，，，，故此時(shí)有，選項(xiàng)C錯(cuò)誤．綜上所述，只有D符合題意故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題解題關(guān)鍵是掌握不等式的基礎(chǔ)知識(shí)和靈活使用特殊值法，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.8、A【解題分析】

利用向量的數(shù)量積公式，可知只有，其余數(shù)量積均小于等于0，從而得到結(jié)論．【題目詳解】由題意，以頂點(diǎn)A為起點(diǎn)，其他頂點(diǎn)為終點(diǎn)的向量分別為，以頂點(diǎn)D為起點(diǎn)，其他頂點(diǎn)為終點(diǎn)的向量分別為，則利用向量的數(shù)量積公式，可知只有，其余數(shù)量積均小于等于0，又因?yàn)榉謩e為的最小值、最大值，所以，故選A．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算，其中解答中熟記向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，分析出向量數(shù)量積的正負(fù)是關(guān)鍵，著重考查了分析解決問題的能力，屬于中檔試題．9、B【解題分析】因?yàn)閺?fù)數(shù)為純虛數(shù)，，且，所以，故選B.10、B【解題分析】分析：通過f（x）的單調(diào)性，畫出f（x）的圖象和直線y=a，考慮四個(gè)交點(diǎn)的情況，得到x1=-2-x2，-1＜x2≤0，x3x4=4，再由二次函數(shù)的單調(diào)性，可得所求范圍．詳解：當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=，可得f（x）在x＞2遞增，在0＜x＜2處遞減，

由f（x）=e

(x+1)2，x≤0，

x＜-1時(shí)，f（x）遞減；-1＜x＜0時(shí)，f（x）遞增，

可得x=-1處取得極小值1，

作出f（x）的圖象，以及直線y=a，

可得e

(x1+1)2=e

(x2+1)2=，即有x1+1+x2+1=0，可得x1=-2-x2，-1＜x2≤0，可得x3x4=4，

x1x2+x3x4=4-2x2-x22=-（x2+1）2+5，在-1＜x2≤0遞減，

可得所求范圍為[4，5）．故選B.點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想，以及數(shù)形結(jié)合思想方法，考查二次函數(shù)的最值求法，化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．11、C【解題分析】

轉(zhuǎn)化函數(shù)，證明函數(shù)單調(diào)性，奇偶性，再轉(zhuǎn)化為，即，求解即可.【題目詳解】由題意，函數(shù)，定義域?yàn)镽，故為偶函數(shù)令，在單調(diào)遞增，且在單調(diào)遞增則因此故選：C【題目點(diǎn)撥】本題考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性在解不等式中的應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于較難題.12、C【解題分析】試題分析：由題可先算出10個(gè)元素中取出3個(gè)的所有基本事件為；種情況；而三種粽子各取到1個(gè)有種情況，則可由古典概率得；考點(diǎn)：古典概率的算法．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1.【解題分析】分析：首先求得復(fù)數(shù)z，然后求解其模即可.詳解：由復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則有：，則：.點(diǎn)睛：本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，復(fù)數(shù)模的計(jì)算等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.14、【解題分析】分析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則直接計(jì)算.詳解：點(diǎn)睛：本題考查基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)，考查基本求解能力.15、【解題分析】分析：利用等體積法，設(shè)內(nèi)切球半徑為r，則r（S△ABC+S△PAC+S△PAB+S△PCB）=×PA?S△ABC，解得求出r，再根據(jù)球的體積公式即可求出．詳解：∵AB⊥AC，PA⊥底面ABC，PA=AB=1，∴∴S△ABC=×AC×BC=×1×1=，S△PAC=×AC×PA=S△PAB=×AB×PA=，S△PCB==，∴VP﹣ABC=×PA?S△ABC=，設(shè)內(nèi)切球半徑為r，則r（S△ABC+S△PAC+S△PAB+S△PCB）=×PA?S△ABC，解得r=．故答案為．點(diǎn)睛：（1）本題主要考查幾何體的內(nèi)切球問題，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和空間想象能力分析推理能力.(2)求幾何體的內(nèi)切球的半徑一般是利用割補(bǔ)法和等體積法.16、【解題分析】試題分析：由題意可知，因?yàn)榛貧w直線方程，經(jīng)過樣本中心，所以=1．7×2．5+1．35，解得t=3考點(diǎn)：線性回歸方程三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)；(2)(i)當(dāng)時(shí),等式顯然成立；(ii)見證明；【解題分析】

（1）猜想第個(gè)等式為.（2）先驗(yàn)證時(shí)等式成立，再假設(shè)等式成立，并利用這個(gè)假設(shè)證明當(dāng)時(shí)命題也成立.【題目詳解】（1）猜想第個(gè)等式為.（2）證明：①當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，故原等式成立；②設(shè)時(shí)，有，則當(dāng)時(shí)，故當(dāng)時(shí)，命題也成立，由數(shù)學(xué)歸納法可以原等式成立.【題目點(diǎn)撥】數(shù)學(xué)歸納法可用于證明與自然數(shù)有關(guān)的命題，一般有2個(gè)基本的步驟：（1）歸納起點(diǎn)的證明即驗(yàn)證命題成立；（2）歸納證明：即設(shè)命題成立并證明時(shí)命題也成立，此處的證明必須利用假設(shè)，最后給出一般結(jié)論.18、（1），；（2）當(dāng)時(shí)，符合建橋要求.【解題分析】

（1）利用正切值之比可求得，；根據(jù)可表示出和，代入整理可得結(jié)果；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論可得，利用導(dǎo)數(shù)可求得時(shí)，取得最小值，得到結(jié)論.【題目詳解】（1）與的正切值之比為則，，，，（2）由（1）知：，，令，解得：令，且當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；時(shí)，函數(shù)取最小值，即當(dāng)時(shí)，符合建橋要求【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)解析式和最值的求解問題，關(guān)鍵是能夠通過根據(jù)題意建立起所求函數(shù)和變量之間的關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的最值.19、（1）；（2）【解題分析】分析：（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)分析可得，又由直線與圓的位置關(guān)系可得的值，進(jìn)而可得的值，將的值代入橢圓的方程即可得結(jié)論；（2）根據(jù)題意，分、兩種情況討論，若直線的斜率不存在，容易求出的面積，若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，設(shè)，聯(lián)立直線與橢圓的方程，結(jié)合一元二次方程中根與系數(shù)的關(guān)系，求出的面積消去參數(shù)，綜合兩種情況可得結(jié)論.詳解：（1）由為等腰直角三角形可得，直線：被圓圓所截得的弦長為2，所以，所以橢圓的方程為.（2）若直線的斜率不存在，則.若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，設(shè)，即，則，，，由題意點(diǎn)為重心，設(shè)，則，所以，，代入橢圓，得，整理得，設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為，則的面積.綜上可得的面積為定值.點(diǎn)睛：本題主要考查待定待定系數(shù)法求拋物線及橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程、圓錐曲線的定值問題以及點(diǎn)在曲線上問題，屬于難題.探索圓錐曲線的定值問題常見方法有兩種：①從特殊入手，先根據(jù)特殊位置和數(shù)值求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)；②直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值.20、（I）；（II）【解題分析】

（I）求出的定義域以及導(dǎo)數(shù)，討論的范圍，求出單調(diào)區(qū)間，再結(jié)合的極小值為1，即可求得實(shí)數(shù)的值；（II）求出的定義域以及導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究最小值的范圍，即可求出。【題目詳解】（I）①時(shí)，，故在上單增，故無