2024屆北京市第三十九中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末調(diào)研試題含解析

2024屆北京市第三十九中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末調(diào)研試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象（）A．向右平移個單位長度 B．向左平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度2．已知，若，則的值為（）A． B． C． D．3．已知，，則的最小值為（）A． B． C． D．4．內(nèi)接于半徑為的半圓且周長最大的矩形的邊長為（）．A．和 B．和 C．和 D．和5．甲乙丙丁4名師范院校的大學(xué)生分配至3所學(xué)校實習(xí)，每所學(xué)校至少分配一名大學(xué)生，且甲、乙兩人不能分配在同一所學(xué)校，則不同分配方法數(shù)為（）A．30 B．42 C．50 D．586．設(shè)復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是()A． B． C． D．7．已知實數(shù)，滿足，則與的關(guān)系是（）A． B． C． D．8．已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點關(guān)于實軸對稱，（為虛數(shù)單位），則（）A． B． C． D．9．函數(shù)在處的切線與雙曲線的一條漸近線平行，則雙曲線的離心率是（）A． B． C． D．10．已知關(guān)于的方程，，若對任意的，該方程總存在唯一的實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．11．將甲桶中的升水緩慢注入空桶乙中，后甲桶剩余的水量符合指數(shù)衰減曲線，假設(shè)過后甲桶和乙桶的水量相等，若再過甲桶中的水只有升，則的值為（）A．10 B．9 C．8 D．512．某食堂一窗口供應(yīng)2葷3素共5種菜，甲、乙兩人每人在該窗口打2種菜，且每人至多打1種葷菜，則兩人打菜方法的種數(shù)為（）A．64 B．81 C．36 D．100二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若圓柱的軸截面面積為2，則其側(cè)面積為___；14．二項式展開式中含項的系數(shù)是__________．15．設(shè)分別為橢圓的右頂點和上頂點，已知橢圓過點，當(dāng)線段長最小時橢圓的離心率為_______．16．一個圓柱的側(cè)面展開圖是一個正方形，這個圓柱的全面積與側(cè)面積的比是__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）有3名男生、4名女生，在下列不同條件下，求不同的排列方法總數(shù)．(1)全體站成一排，甲不站排頭也不站排尾；(2)全體站成一排，女生必須站在一起；(3)全體站成一排，男生互不相鄰．18．（12分）選修4-5：不等式選講已知函數(shù)，M為不等式的解集.（Ⅰ）求M；（Ⅱ）證明：當(dāng)a，b時，.19．（12分）已知函數(shù)，．（1）若不等式對任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（2）記表示中的最小值，若函數(shù)在內(nèi)恰有一個零點，求實的取值范圍．20．（12分）(1)設(shè)是兩個正實數(shù)，且，求證：；（2）已知是互不相等的非零實數(shù)，求證：三個方程，，中至少有一個方程有兩個相異實根．21．（12分）為了調(diào)查喜歡旅游是否與性別有關(guān)，調(diào)查人員就“是否喜歡旅游”這個問題，在火車站分別隨機調(diào)研了名女性或名男性，根據(jù)調(diào)研結(jié)果得到如圖所示的等高條形圖.（1）完成下列列聯(lián)表：喜歡旅游不喜歡旅游估計女性男性合計（2）能否在犯錯誤概率不超過的前提下認(rèn)為“喜歡旅游與性別有關(guān)”.附：參考公式：，其中22．（10分）設(shè)為實數(shù)，函數(shù)，（Ⅰ）若求的極小值.（Ⅱ）求證：當(dāng)且時，.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】因為把的圖象向右平移個單位長度可得到函數(shù)的圖象，所以，為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象，向右平移個單位長度故選D.2、B【解題分析】

分析：由定積分的幾何意義求得定積分，在二項展開式中令可求解．詳解：由積分的幾何意義知，在中，，令，則，∴．故選B．點睛：本題考查定積分的幾何意義，考查二項式定理的應(yīng)用．在二項展開式中求與系數(shù)和有關(guān)的問題通常用賦值法．根據(jù)所求和式的結(jié)構(gòu)對變量賦予不同的值可得對應(yīng)的恒等式．如本題賦值，如果只求系數(shù)和，則賦值等等．3、D【解題分析】

首先可換元，，通過再利用基本不等式即可得到答案.【題目詳解】由題意，可令，，則，，于是，而，，故的最小值為，故答案為D.【題目點撥】本題主要考查基本不等式的綜合應(yīng)用，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，計算能力，難度中等.4、D【解題分析】

作出圖像,設(shè)矩形,圓心為,,再根據(jù)三角函數(shù)關(guān)系表達(dá)矩形的長寬,進(jìn)而列出周長的表達(dá)式,根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【題目詳解】如圖所示：設(shè)矩形,,由題意可得矩形的長為,寬為,故矩形的周長為,其中,.故矩形的周長的最大值等于,此時,.即,再由可得,故矩形的長為,寬為,故選：D.【題目點撥】本題主要考查了根據(jù)角度表達(dá)幾何中長度的關(guān)系再求最值的問題,需要根據(jù)題意設(shè)角度,結(jié)合三角函數(shù)與圖形的關(guān)系求出邊長,再利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解.屬于中檔題.5、A【解題分析】

根據(jù)題意將4人分成3組，再進(jìn)行排列，兩步完成.【題目詳解】第一步，將甲乙丙丁4名同學(xué)分成3組，甲、乙兩人不在同一組，有5種分法第二步,將3組同學(xué)分配到3所學(xué)校，有種分法所以共有種分配方法故選：A【題目點撥】解決分組分配問題的基本指導(dǎo)思想是先分組，后分配.6、B【解題分析】分析：根據(jù)復(fù)數(shù)模的定義化簡復(fù)數(shù)，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)概念求結(jié)果.詳解：因為，所以,所以復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是,選B.點睛：首先對于復(fù)數(shù)的四則運算，要切實掌握其運算技巧和常規(guī)思路，如.其次要熟悉復(fù)數(shù)相關(guān)基本概念，如復(fù)數(shù)的實部為、虛部為、模為、對應(yīng)點為、共軛為7、C【解題分析】

設(shè)，，則，對進(jìn)行平方展開化簡得，代入得，兩式相加即可.【題目詳解】設(shè)，，則且，等式兩邊同時平方展開得：，即令等式中，化簡后可得：兩式相加可得故選：C【題目點撥】本題考查了代數(shù)式的計算化簡求值，考查了換元法，屬于中檔題8、A【解題分析】

由題意，求得，則，再根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算，即可求解．【題目詳解】由題意，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點關(guān)于實軸對稱，，則，則根據(jù)復(fù)數(shù)的運算，得.故選A.【題目點撥】本題主要考查了復(fù)數(shù)的表示，以及復(fù)數(shù)的除法運算，其中解答中熟記復(fù)數(shù)的運算法則，準(zhǔn)確運算是解答的關(guān)鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．9、D【解題分析】

計算函數(shù)在處的切線斜率，根據(jù)斜率計算離心率.【題目詳解】切線與一條漸近線平行故答案選D【題目點撥】本題考查了切線方程，漸近線，離心率，屬于?？碱}型.10、B【解題分析】由成立，得，設(shè)，，則則時，，函數(shù)單調(diào)遞減；時，，函數(shù)單調(diào)遞增；且，使得對于任意，對任意的，方程存在唯一的解，則，即，即，所以，所以實數(shù)得取值范圍是，故選B．點睛：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用問題，其中解得中涉及到利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值和函數(shù)與方程等知識點的綜合應(yīng)用，試題有一定的難度，屬于難題，解答中把方程存在唯一的解轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題是解答的關(guān)鍵．11、D【解題分析】由題設(shè)可得方程組，由，代入，聯(lián)立兩個等式可得，由此解得，應(yīng)選答案D。12、B【解題分析】

由題甲，乙均有兩種情況，一葷一素和兩素，再由分步原理可得種數(shù)。【題目詳解】甲有兩種情況：一葷一素，種；兩素，種.故甲共有種，同理乙也有9種，則兩人打菜方法的種數(shù)為種.故選B.【題目點撥】本題考查分類加法和分步乘法計數(shù)原理，屬于基礎(chǔ)題。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

根據(jù)題意得圓柱的軸截面為底邊為，高為的矩形，根據(jù)幾何性質(zhì)即可求解?！绢}目詳解】設(shè)圓柱的底面圓半徑為，高為，由題意知，圓柱的軸截面為底邊為，高為的矩形，所以，即。所以側(cè)面積?！绢}目點撥】本題考查圓柱的幾何性質(zhì)，表面積的求法，屬基礎(chǔ)題14、210.【解題分析】分析：先根據(jù)二項展開式通項公式得含項的項數(shù)，再代入得系數(shù)詳解：因為，所以因此含項的系數(shù)是.點睛：求二項展開式有關(guān)問題的常見類型及解題策略(1)求展開式中的特定項.可依據(jù)條件寫出第項，再由特定項的特點求出值即可.(2)已知展開式的某項，求特定項的系數(shù).可由某項得出參數(shù)項，再由通項寫出第項，由特定項得出值，最后求出其參數(shù).15、【解題分析】

將代入橢圓方程可得，從而，利用基本不等式可知當(dāng)時，線段長最小，利用橢圓的關(guān)系和可求得結(jié)果.【題目詳解】橢圓過得：由橢圓方程可知：，又（當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號）當(dāng)時，線段長最小本題正確結(jié)果：【題目點撥】本題考查橢圓離心率的求解問題，關(guān)鍵是能夠利用基本不等式求解和的最小值，根據(jù)等號成立條件可得到橢圓之間的關(guān)系，從而使問題得以求解.16、【解題分析】

利用側(cè)面展開圖是正方形得到圓柱的底面半徑與高的關(guān)系后可得圓柱的表面積與側(cè)面積之比.【題目詳解】設(shè)正方形的邊長為，圓柱的底面半徑為，則，，所以圓柱的全面積為，故側(cè)面積與全面積之比為，填.【題目點撥】圓柱的側(cè)面展開圖是矩形，其一邊的長為母線長，另一邊的長為底面圓的周長，利用這個關(guān)系可以得到展開前后不同的幾何量之間的關(guān)系.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）3600（2）576（3）1440【解題分析】分析：（1）根據(jù)特殊元素“優(yōu)先法”，由分步計數(shù)原理計算可得答案；(2)根據(jù)“捆綁法”將女生看成一個整體，考慮女生之間的順序，再將女生的整體與3名男生在一起進(jìn)行全排列即可；(3）利用“插空法”，先將4名女生全排列5個空位中任選3個空位排男生，分別求出每一步的情況數(shù)目，由分步計數(shù)原理計算可得答案.詳解：(1)甲為特殊元素．先排甲，有5種方法，其余6人有A種方法，故共有5×A＝3600種方法．(2)(捆綁法)將女生看成一個整體，與3名男生在一起進(jìn)行全排列，有A種方法，再將4名女生進(jìn)行全排列，有A種方法，故共有A×A＝576種方法．(3)(插空法)男生不相鄰，而女生不作要求，所以應(yīng)先排女生，有A種方法，再在女生之間及首尾空出的5個空位中任選3個空位排男生，有A種方法，故共有A×A＝1440種方法．點睛：本題主要考查排列的應(yīng)用，屬于中檔題.常見排列數(shù)的求法為：（1）相鄰問題采取“捆綁法”；（2）不相鄰問題采取“插空法”；（3）有限制元素采取“優(yōu)先法”；（4）特殊順序問題，先讓所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列數(shù).18、（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析.【解題分析】試題分析：（I）先去掉絕對值，再分，和三種情況解不等式，即可得；（II）采用平方作差法，再進(jìn)行因式分解，進(jìn)而可證當(dāng)，時，．試題解析：（I）當(dāng)時，由得解得；當(dāng)時，；當(dāng)時，由得解得.所以的解集.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當(dāng)時，，從而，因此【考點】絕對值不等式，不等式的證明.【名師點睛】形如（或）型的不等式主要有兩種解法：（1）分段討論法：利用絕對值號內(nèi)式子對應(yīng)的方程的根，將數(shù)軸分為，，（此處設(shè)）三個部分，在每個部分去掉絕對值號并分別列出對應(yīng)的不等式進(jìn)行求解，然后取各個不等式解集的并集．（2）圖象法：作出函數(shù)和的圖象，結(jié)合圖象求解．19、（1）；（2）【解題分析】

（1）利用分離參數(shù)，并構(gòu)造新的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，并求最值，可得結(jié)果.（2）利用對的分類討論，可得，然后判斷函數(shù)單調(diào)性以及根據(jù)零點存在性定理，可得結(jié)果.【題目詳解】（1）由，得，令，當(dāng)時，，，；當(dāng)時，，，，∴函數(shù)在上遞減，在上遞增，，，∴實數(shù)的取值范圍是（2）①由（1）得當(dāng)時，，，，函數(shù)在內(nèi)恰有一個零點，符合題意②當(dāng)時，i．若，，，故函數(shù)在內(nèi)無零點ii．若，，，，不是函數(shù)的零點；iii．若時，，故只考慮函數(shù)在的零點，，若時，，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，∴函數(shù)在上恰有一個零點若時，，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，，∴函數(shù)在上無零點，若時，，，∴函數(shù)在上遞減，在上遞增，要使在上恰有一個零點，只需，．綜上所述，實數(shù)的取值范圍是．【題目點撥】本題考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，難點在于對參數(shù)的分類討論，考驗理解能力以及對問題的分析能力，屬難題.20、（1）見解析；（2）見解析【解題分析】

(1)先證明，再在兩邊同時乘以正數(shù)(a+b),不等式即得證；（2）利用反證法證明即可.【題目詳解】(1)證明：∵，∴，∴，∴，而均為正數(shù)，∴，∴，∴成立．(2)證明：假設(shè)三個方程中都沒有兩個相異實根，則，，．相加有，．①則，與由題意、、互不相等矛盾．∴假設(shè)不成立，即三個方程中至少有一個方程有兩個相異實根．【題目點撥】本題主要考查不等式的證明，考查反證法，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.21、(1)答案見解析；(2)不能在犯錯誤概率不超過的前提下認(rèn)為“喜歡旅游與性別有關(guān)”.【解題分析】分析：（1）根據(jù)等高條形圖計算可得女生不喜歡打羽毛球的人數(shù)為，男性不喜歡打羽毛球的人數(shù)為.據(jù)此完成列聯(lián)表即可.（2）結(jié)合(1)中的列聯(lián)表計算可得，則不能在犯錯誤的概率不超過的前提下認(rèn)為喜歡打羽毛球與性別有關(guān).詳解：（1）根據(jù)等高條形圖，女生不喜歡打羽毛球的人數(shù)為，男性不喜歡打羽毛球的人數(shù)為.填寫列聯(lián)表如下：喜歡打羽毛球不喜歡打羽毛球總計女生男生總計（2）根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，計算，所以不能在犯錯誤的概率不超過的前提下認(rèn)為喜歡打羽毛球與性別有關(guān).點睛：獨立性檢驗得出的結(jié)論是帶有概率性質(zhì)的，