江西名校2024屆數學高二第二學期期末達標測試試題含解析

江西名校2024屆數學高二第二學期期末達標測試試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合，若，則實數的值為（）A．或 B．或 C．或 D．或或2．若數列是等比數列，則“首項，且公比”是“數列單調遞增”的（）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．非充分非必要條件3．設是邊長為的正三角形，是的中點，是的中點，則的值為（）A． B． C． D．4．設向量與向量垂直，且，，則下列向量與向量共線的是（）A． B． C． D．5．拋物線的準線方程為（）A． B． C． D．6．已知隨機變量的取值為，若，，則（）A． B． C． D．7．將曲線y=sin2x按照伸縮變換后得到的曲線方程為（）A． B． C． D．8．設，若直線與圓相切，則的取值范圍是（）A． B．C． D．9．拋物線的焦點為，點是上一點，，則（）A． B． C． D．10．在擲一枚圖釘的隨機試驗中，令，若隨機變量X的分布列如下：010.3則（）A．0.21 B．0.3 C．0.5 D．0.711．某同學通過英語聽力測試的概率為，他連續(xù)測試次，要保證他至少有一次通過的概率大于，那么的最小值是()A． B． C． D．12．設函數，則滿足的x的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．計算定積分-1114．6名同學派出一排照相，其中甲、乙兩人相鄰的排法共有________種（用數字表示）15．對于三次函數，定義：設是函數的導數的導數，若方程有實數解，則稱點為函數的“拐點”，有同學發(fā)現“任何一個三次函數都有‘拐點’；任何一個三次函數都有對稱中心；且‘拐點’就是對稱中心.”根據此發(fā)現，若函數，計算__________．16．如圖，在平面四邊形中，，，，.若點為上的動點，則的最小值為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某中學將100名高一新生分成水平相同的甲、乙兩個“平行班”，每班50人．陳老師采用A，B兩種不同的教學方式分別在甲、乙兩個班級進行教改實驗．為了解教學效果，期末考試后，陳老師分別從兩個班級中各隨機抽取20名學生的成績進行統(tǒng)計，作出莖葉圖如圖．記成績不低于90分者為“成績優(yōu)秀”．（1）在乙班樣本的20個個體中，從不低于86分的成績中隨機抽取2個，求抽出的2個均“成績優(yōu)秀”的概率；（2）由以上統(tǒng)計數據作出列聯表，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.1的前提下認為：“成績優(yōu)秀”與教學方式有關．0.4000.2500.1500.1000.0500.0250.7081.3232.0722.7063.8415.024參考公式：18．（12分）已知函數.（1）若恒成立，求的取值范圍；（2）在（1）的條件下，有兩個不同的零點，求證：.19．（12分）已知等比數列的前項和為，且，.（1）求數列的通項公式；（2）若，，求數列的前項和.20．（12分）已知在中，角，，的對邊分別為，，，的面積為.（1）求證：；（2）若，求的值.21．（12分）“初中數學靠練，高中數學靠悟”.總結反思自己已經成為數學學習中不可或缺的一部分，為了了解總結反思對學生數學成績的影響，某校隨機抽取200名學生，抽到不善于總結反思的學生概率是0.6.（1）完成列聯表（應適當寫出計算過程）；（2）試運用獨立性檢驗的思想方法分析是否有的把握認為學生的學習成績與善于總結反思有關.統(tǒng)計數據如下表所示：不善于總結反思善于總結反思合計學習成績優(yōu)秀40學習成績一般20合計200參考公式：其中22．（10分）已知，，.求與的夾角；若，，，，且與交于點，求.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】

就和分類討論即可.【題目詳解】因為當時，，滿足；當時，，若，所以或.綜上，的值為0或1或2.故選D.【題目點撥】本題考查集合的包含關系，屬于基礎題，解題時注意利用集合中元素的性質（如互異性、確定性、無序性）合理分類討論.2、B【解題分析】

證明由，可以得到數列單調遞增，而由數列單調遞增，不一定得到，，從而做出判斷，得到答案.【題目詳解】數列是等比數列，首項，且公比，所以數列，且，所以得到數列單調遞增；因為數列單調遞增，可以得到首項，且公比，也可以得到，且公比.所以“首項，且公比”是“數列單調遞增”的充分不必要條件.故選：B.【題目點撥】本題考查等比數列為遞增數列的判定和性質，考查充分不不必要條件，屬于簡單題.3、D【解題分析】

將作為基向量，其他向量用其表示，再計算得到答案.【題目詳解】設是邊長為的正三角形，是的中點，是的中點，故答案選D【題目點撥】本題考查了向量的乘法，將作為基向量是解題的關鍵.4、B【解題分析】

先根據向量計算出的值，然后寫出的坐標表示，最后判斷選項中的向量哪一個與其共線.【題目詳解】因為向量與向量垂直，所以，解得，所以，則向量與向量共線，故選：B.【題目點撥】本題考查向量的垂直與共線問題，難度較易.當，若，則，若，則.5、D【解題分析】

化簡拋物線方程為標準方程，然后求解準線方程．【題目詳解】拋物線的標準方程為：，準線方程．故選：D．【題目點撥】本題考查拋物線的簡單性質的應用，考查計算能力．6、C【解題分析】

設，，則由，，列出方程組，求出，，即可求得．【題目詳解】設，，①，又②由①②得，，，故選：C.【題目點撥】本題考查離散型隨機變量的方差的求法，考查離散型隨機變量的分布列、數學期望的求法等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查函數與方程思想，是中檔題．7、B【解題分析】

根據反解,代入即可求得結果.【題目詳解】由伸縮變換可得:代入曲線,可得:,即.故選:.【題目點撥】本題考查曲線的伸縮變換,屬基礎題,難度容易.8、C【解題分析】分析：由直線與圓相切，得，從而，進而，由此能求出的取值范圍.詳解：，直線與圓相切，圓心到直線的距離，解得，，，，的取值范圍是.故選C.點睛：本題考查代數和取值范圍的求法，考查直線方程、圓、點到直線的距離公式、基本不等式等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題.9、B【解題分析】

根據拋物線定義得，即可解得結果.【題目詳解】因為，所以.故選B【題目點撥】本題考查拋物線定義，考查基本分析求解能力，屬基礎題.10、D【解題分析】

先由概率和為1，求出，然后即可算出【題目詳解】因為，所以所以故選：D【題目點撥】本題考查的是離散型隨機變量的分布列的性質及求由分布列求期望，較簡單.11、B【解題分析】

由題意利用次獨立試驗中恰好發(fā)生次的概率計算公式以及對立事件發(fā)生的概率即可求得結果．【題目詳解】由題意可得，，求得，∴，故選B．【題目點撥】本題主要考查次獨立試驗中恰好發(fā)生次的概率計算公式的應用，屬于基礎題．12、A【解題分析】

討論和兩種情況，分別解不等式得到答案.【題目詳解】當時，，故，即；當時，，解得，即.綜上所述：.故選：.【題目點撥】本題考查了分段函數不等式，分類討論是常用的數學技巧，需要熟練掌握.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解題分析】試題分析：-1考點：定積分計算14、240【解題分析】

利用捆綁法可得排法總數.【題目詳解】解：6名同學派出一排照相，其中甲、乙兩人相鄰，用捆綁法可得排法數有種.故答案為：240.【題目點撥】本題考查捆綁法解決排列問題，是基礎題.15、1【解題分析】分析：求出二階導數，再求出的拐點，即對稱點，利用對稱性可求值．詳解：，，由得，，即的圖象關于點對稱，∴，∴．故答案為1．點睛：本題考查導數的計算，考查新定義，解題關鍵是正確理解新概念，轉化新定義．通過求出的拐點，得出對稱中心，從而利用配對法求得函數值的和．16、【解題分析】

建立直角坐標系，得出，，利用向量的數量積公式即可得出，結合，得出的最小值.【題目詳解】因為，所以以點為原點，為軸正方向，為軸正方向，建立如圖所示的平面直角坐標系，因為，所以，又因為，所以直線的斜率為，易得，因為，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，令，解得，所以，設點坐標為，則，則，，所以又因為，所以當時，取得最小值為．【題目點撥】本題主要考查平面向量基本定理及坐標表示、平面向量的數量積以及直線與方程．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）見解析【解題分析】分析：（1）不低于86的成績有6個，可用列舉法列出任取2個的所有事件，計算出概率．（2）由莖葉圖中數據得出列聯表中數據，再根據計算公式計算出得知結論．詳解：(1)由題意知本題是一個等可能事件的概率，試驗發(fā)生包含的事件是從不低于86分的成績中隨機抽取兩個包含的基本事件是：(86,91),(86,96),(86,97),(86,99),(86,99),(91,96)，(91,97),(91,99),(91,99),(96,97),(96,99),(96,99)，(97,99)，(97,99)，(99,99)，共有15種結果,符合條件的事件數(91,96)，(91,97)，(91,99)，(91,99)，(96,97)，(96,99)，(96,99)，(97,99)，(97,99)，(99,99)，共有13種結果，根據等可能事件的概率得到P＝＝．(2)由已知數據得甲班乙班總計成績優(yōu)秀156成績不優(yōu)秀191514總計232343根據列聯表中的數據，計算得隨機變量K2的觀測值k＝≈1.117，由于1．117>2．736，所以在犯錯誤的概率不超過3．1的前提下認為：“成績優(yōu)秀”與教學方式有關．點睛：本題考查等可能事件的概率及獨立性檢驗，用列舉法求此概率是常用方法，由所給公式計算出即知有無關系的結論，因此本題還考查了運算求解能力．18、（1）1；（2）證明見解析【解題分析】

（1）求導得到，討論和兩種情況，根據函數單調性得到，解得答案.（2）要證明，只需要證明，設，求導得到單調性，得到，得到證明.【題目詳解】（1）由已知得函數的定義域為，且，當時，，在上單調遞增，且當時，，不合題意；當時，由得，所以在上單調遞減，在上單調遞增，在處取到極小值，也是最小值，由題意，恒成立，令，，在上單調遞增，在上單調遞減，所以，所以，即.（2），且在處取到極小值1，又時，，時，，故且，要證明：，只需證明，又，故只需證明：，即證：，即證：，即證：，設，則，因為，所以，由（1）知恒成立，所以，即，所以在上為增函數，所以，即命題成立.【題目點撥】本題考查了不等式恒成立，零點問題，意在考查學生的計算能力和轉化能力，綜合應用能力.19、（1）；（2）.【解題分析】試題分析：(1)由題意求得首項和公比，據此可得數列的通項公式為；(2)錯位相減可得數列的前項和.試題解析：（1）設數列的公比為，∵，，∴，∵，∴，∴，∴或，∵，∴，，∴；（2），，，，∴，∴.20、（1）證明見解析；（2）.【解題分析】

（1）利用，利用正弦定理，化簡即可證明（2）利用（1），得到當時，，得出，得出，然后可得【題目詳解】證明：（1）據題意，得，∴，∴.又∵，∴，∴.解：（2）由（1）求解知，.∴當時，.又，∴，∴，∴.【題目點撥】本題考查正弦與余弦定理的應用，屬于基礎題21、（1）見解析（2）有，分析見解析【解題分析】

(1)根據已知抽取的學生人數為200名,抽到不善于總結反思的學生概率是0.6,即可求出抽到不善于總結反思的學生人數為,進而可求得其他數據,完善列聯表即可.(2)由(1)可得列聯表,根據公式計算出后可得結論.【題目詳解】(1)由抽取的學生人數為200名,抽到不善于總結反思的學生概率是0.6,抽到不善于總結反思的學生