2024屆廣東省珠海市紫荊中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測模擬試題含解析

2024屆廣東省珠海市紫荊中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A． B． C．(1,4) D．(0,3)2．定義1分的地球球心角所對的地球大圓弧長為1海里．在北緯45°圈上有甲、乙兩地，甲地位于東經(jīng)120°，乙位于西經(jīng)150°，則甲乙兩地在球面上的最短距離為（）A．5400海里 B．2700海里 C．4800海里 D．3600海里3．下列敘述正確的是（）A．若命題“p∧q”為假命題，則命題“p∨q”是真命題B．命題“若x2=1，則x=1”的否命題為“若xC．命題“?x∈R，2x>0”的否定是“?xD．“α>45°”是“4．已知函數(shù)，則的大致圖像是（）A． B． C． D．5．若當(dāng)時,函數(shù)取得最大值,則()A． B． C． D．6．如果在一周內(nèi)(周一至周日)安排三所學(xué)校的學(xué)生參觀某展覽館,每天最多只安排一所學(xué)校,要求甲學(xué)校連續(xù)參觀兩天,其余學(xué)校均只參觀一天,那么不同的安排方法有()A．50種 B．60種C．120種 D．210種7．有名學(xué)生，其中有名男生.從中選出名代表，選出的代表中男生人數(shù)為，則其數(shù)學(xué)期望為（）A． B． C． D．8．設(shè)x，y滿足約束條件，則的最小值是（）A． B． C．0 D．19．已知定義在R上的函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，且當(dāng)時，單調(diào)遞減，若，，，則a，b，c的大小關(guān)系是A． B． C． D．10．不等式的解集是()A．或 B．C．或 D．11．某幾何體的三視圖如圖所示,其中圓的半徑均為,則該幾何體的體積為()A． B． C． D．12．定積分（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在的二項展開式中，若只有的系數(shù)最大，則__________．14．已知不等式對任意恒成立，其中，是與無關(guān)的實數(shù)，則的最小值是________.15．的展開式的第3項為______.16．曲線在點處的切線方程為_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在國家積極推動美麗鄉(xiāng)村建設(shè)的政策背景下，各地根據(jù)當(dāng)?shù)厣鷳B(tài)資源打造了眾多特色紛呈的鄉(xiāng)村旅游勝地.某人意圖將自己位于鄉(xiāng)村旅游勝地的房子改造成民宿用于出租，在旅游淡季隨機選取100天，對當(dāng)?shù)匾延械牧g不同價位的民宿進(jìn)行跟蹤，統(tǒng)計其出租率（），設(shè)民宿租金為（單位：元/日），得到如圖所示的數(shù)據(jù)散點圖.（1）若用“出租率”近似估計旅游淡季民宿每天租出去的概率，求租金為388元的那間民宿在淡季內(nèi)的三天中至少有2天閑置的概率.（2）①根據(jù)散點圖判斷，與哪個更適合于此模型（給出判斷即可，不必說明理由）？根據(jù)判斷結(jié)果求回歸方程；②若該地一年中旅游淡季約為280天，在此期間無論民宿是否出租，每天都要付出的固定成本，若民宿出租，則每天需要再付出的日常支出成本.試用①中模型進(jìn)行分析，旅游淡季民宿租金約定為多少元時，該民宿在這280天的收益達(dá)到最大？附：對于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為；.參考數(shù)據(jù)：記，，，，，，，，，.18．（12分）在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.為曲線上的動點，點在射線上，且滿足.（Ⅰ）求點的軌跡的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）設(shè)與軸交于點，過點且傾斜角為的直線與相交于兩點，求的值.19．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)在上為減函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍.20．（12分）某校為“中學(xué)數(shù)學(xué)聯(lián)賽”選拔人才，分初賽和復(fù)賽兩個階段進(jìn)行，規(guī)定：分?jǐn)?shù)不小于本次考試成績中位數(shù)的具有復(fù)賽資格，某校有900名學(xué)生參加了初賽，所有學(xué)生的成績均在區(qū)間內(nèi)，其頻率分布直方圖如圖．（1）求獲得復(fù)賽資格應(yīng)劃定的最低分?jǐn)?shù)線；（2）從初賽得分在區(qū)間的參賽者中，利用分層抽樣的方法隨機抽取7人參加學(xué)校座談交流，那么從得分在區(qū)間與各抽取多少人？（3）從（2）抽取的7人中，選出4人參加全市座談交流，設(shè)表示得分在中參加全市座談交流的人數(shù)，學(xué)校打算給這4人一定的物質(zhì)獎勵，若該生分?jǐn)?shù)在給予500元獎勵，若該生分?jǐn)?shù)在給予800元獎勵，用Y表示學(xué)校發(fā)的獎金數(shù)額，求Y的分布列和數(shù)學(xué)期望。21．（12分）已知函數(shù)（1）當(dāng)a=1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若恒成立，求b-a的最小值.22．（10分）已知命題：對，函數(shù)總有意義；命題：函數(shù)在上是增函數(shù).若命題“”為真命題且“”為假命題，求實數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，在解出不等式可得出所求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.【題目詳解】，，解不等式，解得，因此，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，故選B.【題目點撥】本題考查函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解，一般是先求出導(dǎo)數(shù)，然后解出導(dǎo)數(shù)不等式，將解集與定義域取交集得出單調(diào)區(qū)間，但單調(diào)區(qū)間不能合并，考查計算能力，屬于中等題.2、D【解題分析】

求出甲乙兩地的球心角，根據(jù)比例關(guān)系即可得出答案。【題目詳解】地球表面上從甲地（北緯45°東經(jīng)120°）到乙地（北緯45°西經(jīng)150°），乙兩地對應(yīng)的AB的緯圓半徑是,經(jīng)度差緯90°，所以AB=R,球心角為60°，最短距離為【題目點撥】求出甲乙兩地的球心角，根據(jù)比例關(guān)系即可得出答案。3、B【解題分析】

結(jié)合命題知識對四個選項逐個分析，即可選出正確答案.【題目詳解】對于選項A，“p∧q”為假命題，則p，q兩個命題至少一個為假命題，若p，q兩個命題都是假命題，則命題“p∨q”是假命題，故選項A錯誤；對于選項B，“若x2=1，則x=1”的否命題為“若x2對于選項C，命題“?x∈R，2x>0”的否定是“?x0∈R，對于選項D，若α=135°，則tanα<0，故“【題目點撥】本題考查了命題的真假的判斷，考查了學(xué)生對基礎(chǔ)知識的掌握情況.4、C【解題分析】

利用函數(shù)值的正負(fù)及在單調(diào)遞減，選出正確答案.【題目詳解】因為，排除A，D；，在同一個坐標(biāo)系考查函數(shù)與的圖象，可得，在恒成立，所以在恒成立，所以在單調(diào)遞減排除B，故選C.【題目點撥】根據(jù)解析式選函數(shù)的圖象是高考的常考題型，求解此類問題沒有固定的套路，就是要利用數(shù)形結(jié)合思想，從數(shù)到形、從形到數(shù)，充分提取有用的信息.5、B【解題分析】

函數(shù)解析式提取5變形后,利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)果.【題目詳解】，其中,當(dāng)，即時，取得最大值5,，則，故選B.【題目點撥】此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式、輔助角公式的應(yīng)用，以及正弦函數(shù)最值，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵.6、C【解題分析】

可用分步計數(shù)原理去做,分成兩步，第一步安排甲學(xué)校共有A61種方法,第二步安排另兩所學(xué)校有A52【題目詳解】先安排甲學(xué)校的參觀時間,因為甲學(xué)校連續(xù)參觀兩天，可以是周一周二,可以是周二周三，可以是周三周四，可以是周四周五，可以是周五周六，可以是周六周日,所以共有A61然后在剩下的5天中任選兩天有序地安排其余兩校參觀,安排方法有A5按照分步計數(shù)乘法原理可知共有A61【題目點撥】本題主要考查分步計數(shù)原理在排列組合中的應(yīng)用，注意分步與分類的區(qū)別，對于有限制條件的元素要先安排，再安排其他的元素，本題是一個易錯題.7、B【解題分析】

利用超幾何分布分別求隨機變量X的概率，分布列及其數(shù)學(xué)期望即可得出．【題目詳解】隨機變量X的所有可能取值為1，2，3，4.P(X＝k)＝(k＝1，2，3，4)．所以，隨機變量X的分布列為X1234P隨機變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝.【題目點撥】本題考查了超幾何分布的概率計算公式、分布列及其數(shù)學(xué)期望，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．8、B【解題分析】

在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，畫出可行解域，在可行解域內(nèi)，平行移動直線，直至當(dāng)直線在縱軸上的截距最大時，求出此時所經(jīng)過點的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)中求出的最小值.【題目詳解】在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，畫出可行解域，如下圖：在可行解域內(nèi)，平行移動直線，當(dāng)直線經(jīng)過點時，直線在縱軸上的截距最大，點是直線和直線的交點，解得，，故本題選B.【題目點撥】本題考查了線性規(guī)劃求目標(biāo)函數(shù)最小值問題，正確畫出可行解域是解題的關(guān)鍵.9、A【解題分析】

先根據(jù)對稱性將自變量轉(zhuǎn)化到上，再根據(jù)時單調(diào)遞減，判斷大小.【題目詳解】∵定義在上的函數(shù)的圖像關(guān)于對稱，∴函數(shù)為偶函數(shù)，∵，∴，∴，，．∵當(dāng)時，單調(diào)遞減，∴，故選A．【題目點撥】比較兩個函數(shù)值或兩個自變量的大小：首先根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)把兩個函數(shù)值中自變量調(diào)整到同一單調(diào)區(qū)間，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，判斷兩個函數(shù)值或兩個自變量的大小10、D【解題分析】

先求解出不等式，然后用集合表示即可。【題目詳解】解：，即，即，故不等式的解集是，故選D?！绢}目點撥】本題是集合問題，解題的關(guān)鍵是正確求解絕對值不等式和規(guī)范答題。11、A【解題分析】該幾何體為一棱長為6的正方體掏掉一個棱長為2的小正方體，再放置進(jìn)去一個半徑為1的球，所以體積為.故選A.12、A【解題分析】

先根據(jù)定積分的幾何意義計算定積分，即求被積函數(shù)與，所圍成的圖形的面積，在求出，可得答案.【題目詳解】解：由定積分的幾何意義可知是由曲線與，所圍成的圖形的面積，也就是單位圓的，故，，故，故選：A.【題目點撥】本題主要考查定積分的有關(guān)計算，屬于基礎(chǔ)題，注意運算準(zhǔn)確.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、10【解題分析】

根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)可直接得出答案.【題目詳解】根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)，由于只有第項的二項式系數(shù)最大，故答案為10.【題目點撥】本題主要考查了二項式系數(shù)的性質(zhì)，解決二項式系數(shù)的最值問題常利用結(jié)論：二項展開式中中間項的二項式系數(shù)最大，屬于基礎(chǔ)題.14、1【解題分析】

設(shè)，其中，求出的取值范圍，即可得出的最小值．【題目詳解】設(shè)，其中；；，，，，即；令，，則的最小值是．故答案為：1．【題目點撥】本題考查不等式恒成立應(yīng)用問題，可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，結(jié)合單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．15、【解題分析】

利用二項式定理展開式，令可得出答案．【題目詳解】的展開式的第項為，故答案為．【題目點撥】本題考查二項式指定項，解題時充分利用二項式定理展開式，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題．16、【解題分析】試題分析：時直線方程為，變形得考點：導(dǎo)數(shù)的幾何意義及直線方程三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）①更適合，②181元【解題分析】

（1）三天中至少有2天閑置的即為3天中有兩天閑置或者3天都閑置，又每天的出租率為0.2，根據(jù)二項分布的相關(guān)知識即可求出概率；（2）①根據(jù)散點圖的分布情況，各散點連線更貼近的圖象，故的擬合效果更好，代入公式求出回歸方程即可；②將收益表示為租金的函數(shù)，用函數(shù)單調(diào)性處理即可．【題目詳解】（1）三天中至少有2天閑置的反面為3天中最多有一天能夠租出，又每天的出租率為0.2，所以3天中至少有2天閑置的概率：.（2）①根據(jù)散點圖的分布情況，各散點連線更貼近的圖象，故的擬合效果更好，依題意，，，所以，所以，所以回歸方程為.②設(shè)旅游淡季民宿租金為，則淡季該民宿的出租率，所以該民宿在這280天的收益：，所以，令得，，所以，且當(dāng)時，時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，存在最大值，所以旅游淡季民宿租金約定為181元時，該民宿在這280天的收益達(dá)到最大.【題目點撥】本題考查線性回歸方程，二項分布及其概率計算公式，考查分析求解及轉(zhuǎn)化能力，屬于中等題.18、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解題分析】

（Ⅰ）首先依據(jù)動點的極坐標(biāo)的關(guān)系找到點的極坐標(biāo)方程，再化為直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）首先根據(jù)條件確定直線的參數(shù)方程，依據(jù)參數(shù)的幾何意義，結(jié)合解方程，利用韋達(dá)定理得到解.【題目詳解】（Ⅰ）設(shè)的極坐標(biāo)為，的極坐標(biāo)為，由題設(shè)知.所以，即的極坐標(biāo)方程，所以的直角坐標(biāo)方程為.（Ⅱ）交點，所以直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的直角坐標(biāo)方程，代入得：，，設(shè)方程兩根為，則分別是對應(yīng)的參數(shù)，所以.【題目點撥】本題考查直線與圓的極坐標(biāo)方程、極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化、直線參數(shù)方程的應(yīng)用，突顯了直觀想象的考查.19、（1）在和上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)；（2）【解題分析】

（1）將代入，求出，令，解不等式可得增區(qū)間，令，解不等式可得減區(qū)間.（2）根據(jù)題意可得在上恒成立，分離參數(shù)可得，只需即可.【題目詳解】（1）當(dāng)時，，，令，可得或；令，.所以在和上為增函數(shù)；在上為減函數(shù).（2）由于在上為減函數(shù)，在上恒成立，即，令，可設(shè)，于是所以，的取值范圍是.【題目點撥】本題考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是求出導(dǎo)函數(shù)，屬于中檔題.20、（1）本次考試復(fù)賽資格最低分?jǐn)?shù)線應(yīng)劃為100分；（2）5人，2人；（3）元.【解題分析】

（1）求獲得復(fù)賽資格應(yīng)劃定的最低分?jǐn)?shù)線，即是求考試成績中位數(shù)，只需滿足中位數(shù)兩側(cè)的頻率之和均為0.5即可；（2）先確定得分在區(qū)間與的頻率之比，即可求解；（3）先確定的可能取值，再求出其對應(yīng)的概率，即可求出分布列和期望.【題目詳解】（1）由題意知的頻率為：，的頻率為：所以分?jǐn)?shù)在的頻率為：，從而分?jǐn)?shù)在的，假設(shè)該最低分?jǐn)?shù)線為由題意得解得．故本次考試復(fù)賽資格最低分?jǐn)?shù)線應(yīng)劃為100分。（2）在區(qū)間與，，在區(qū)間的參賽者中，利用分層抽樣的方法隨機抽取7人，分在區(qū)間與各抽取5人，2人，結(jié)果是5人，2人．（3）的可能取值為2，3，4，則：，從而Y的分布列為Y260023002000(元)．【題目點撥】本題主要考查頻率分布直方圖求中位數(shù)，以及分層抽樣和超幾何分布等問題，熟記相關(guān)概念，即可求解，屬于?？碱}型.21、(1)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（e，+∞），減區(qū)間為（1，e）;(2).【解題分析】分析：（Ⅰ）求出，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；（Ⅱ）由題意得，可得函數(shù)單調(diào)增區(qū)間為，減區(qū)間為，即恒成立，，即，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性可得，即可得的最小值.詳解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時，f（x）=（2x2+x）lnx﹣3x2﹣2x+b（x＞1）．f′（x）=（4x+1）（lnx﹣1），令f′（x）=1，得x=e．x∈（1，e）時，f′（x）＜1，∈（e，+∞）時，f′（x）＞1．函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（e，+∞），減區(qū)間為（1，e）；（Ⅱ）由題意得f′（x）=（4x+1）（lnx﹣a），（x＞1）．令f′（x）=1，得x=ea．x∈（1，ea）時，f′（x）＜1，∈（ea，+∞）時，f′（x）＞1．函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（ea，+∞），減區(qū)間為（1，ea）∴f（x）min=f（ea）=﹣e2a﹣ea+b，∵f（x）≥1恒成立，∴f（ea