貴州省畢節(jié)市黔西縣樹立中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試試題含解析

貴州省畢節(jié)市黔西縣樹立中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若關(guān)于x的不等式對任意的恒成立，則可以是（）A．， B．，C．， D．，2．由曲線，，，圍成圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得為旋轉(zhuǎn)體的體積為，滿足，，的點組成的圖形繞y軸旋一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為，則（）A． B． C． D．3．圓的圓心為()A． B． C． D．4．已知具有線性相關(guān)關(guān)系的變量、，設(shè)其樣本點為，回歸直線方程為，若，（為原點），則（）A． B． C． D．5．b是區(qū)間上的隨機數(shù)，直線與圓有公共點的概率為A． B． C． D．6．已知，則()A． B． C． D．以上都不正確7．設(shè)均大于1，且，令，，，則的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．8．一個袋中裝有大小相同的個白球和個紅球，現(xiàn)在不放回的取次球，每次取出一個球，記“第次拿出的是白球”為事件，“第次拿出的是白球”為事件，則事件與同時發(fā)生的概率是（）A． B． C． D．9．如圖所示,從甲地到乙地有3條公路可走,從乙地到丙地有2條公路可走,從甲地不經(jīng)過乙地到丙地有2條水路可走.則從甲地經(jīng)乙地到丙地和從甲地到丙地的走法種數(shù)分別為(

)A．6,8 B．6,6 C．5,2 D．6,210．已知函數(shù)（其中）在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．11．已知命題若實數(shù)滿足，則或，，，則下列命題正確的是()A． B． C． D．12．設(shè)集合，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在的二項展開式中，若只有的系數(shù)最大，則__________．14．將一根長為1米的木條鋸成兩段，分別作三角形ABC的兩邊AB，AC，且.則當AC最短時，第三邊BC的長為________米.15．設(shè)函數(shù)（，，為常數(shù)，且，，）的部分圖象如圖所示，則_____.16．設(shè)橢圓的左、右頂點分別為A，B，點P在橢圓上且異于A，B兩點，O為坐標原點．若直線PA與PB的斜率之積為，則橢圓的離心率為_____．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).證明：；已知，證明：.18．（12分）某學(xué)校研究性學(xué)習(xí)小組對該校高二學(xué)生視力情況進行調(diào)查，學(xué)習(xí)小組成員發(fā)現(xiàn)，學(xué)習(xí)成績突出的學(xué)生，近視的比較多，為了研究學(xué)生的視力與學(xué)習(xí)成績是否有關(guān)系，對年級名次在1～50名和951～1000名的學(xué)生進行了調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)：年級名次是否近視1～50951～1000近視4132不近視918（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，能否在犯錯的概率不超過0.05的前提下認為視力與學(xué)習(xí)成績有關(guān)系？（2）在（1）中調(diào)查的100名學(xué)生中，按照分層抽樣在不近視的學(xué)生中抽取了9人，進一步調(diào)查他們良好的護眼習(xí)慣，并且在這9人中任取3人，記名次在1～50名的學(xué)生人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.0.100.050.0250.0100.0052.7063.8415.0246.6357.879附：19．（12分）已知函數(shù)f(x)=ln|x|①當x≠0時,求函數(shù)y=g(x②若a>0,函數(shù)y=g(x)在0,+∞上的最小值是2,求③在②的條件下,求直線y=23x+20．（12分）某同學(xué)在研究性學(xué)習(xí)中，收集到某制藥廠今年前5個月甲膠囊生產(chǎn)產(chǎn)量（單位：萬盒）的數(shù)據(jù)如下表所示：月份x12345y（萬盒）44566（1）該同學(xué)為了求出關(guān)于的線性回歸方程，根據(jù)表中數(shù)據(jù)已經(jīng)正確計算出=0.6，試求出的值，并估計該廠6月份生產(chǎn)的甲膠囊產(chǎn)量數(shù)；（2）若某藥店現(xiàn)有該制藥廠今年二月份生產(chǎn)的甲膠囊4盒和三月份生產(chǎn)的甲膠囊5盒，小紅同學(xué)從中隨機購買了3盒甲膠囊，后經(jīng)了解發(fā)現(xiàn)該制藥廠今年二月份生產(chǎn)的所有甲膠囊均存在質(zhì)量問題，記小紅同學(xué)所購買的3盒甲膠囊中存在質(zhì)量問題的盒數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．21．（12分）選修4-4：坐標系與參數(shù)方程在直角坐標系中,直線的參數(shù)方程為,（為參數(shù)），圓的標準方程為.以坐標原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標系.(1)求直線和圓的極坐標方程；(2)若射線與直線的交點為,與圓的交點為,且點恰好為線段的中點,求的值.22．（10分）如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點，（Ⅰ）求證：平面BCD；（Ⅱ）求點E到平面ACD的距離.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】

分別取代入不等式，得到答案.【題目詳解】不等式對任意的恒成立取得：取得：排除A,B,C故答案為D【題目點撥】本題考查了不等式恒成立問題，用特殊值法代入數(shù)據(jù)是解題的關(guān)鍵.2、C【解題分析】

由題意可得旋轉(zhuǎn)體夾在兩相距為8的平行平面之間，用任意一個與軸垂直的平面截這兩個旋轉(zhuǎn)體，設(shè)截面與原點距離為，求出所得截面的面積相等，利用祖暅原理知，兩個幾何體體積相等．【題目詳解】解：如圖，兩圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體夾在兩相距為8的平行平面之間，用任意一個與軸垂直的平面截這兩個旋轉(zhuǎn)體，設(shè)截面與原點距離為，所得截面面積，，由祖暅原理知，兩個幾何體體積相等，故選：．【題目點撥】本題主要考查祖暅原理的應(yīng)用，求旋轉(zhuǎn)體的體積的方法，體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．3、D【解題分析】

將ρ＝2cos（）化為直角坐標方程，可得圓心的直角坐標，進而化為極坐標．【題目詳解】ρ＝2cos（）即ρ2＝2ρcos（），展開為ρ2＝2ρ（cosθ﹣sinθ），化為直角坐標方程：x2+y2（x﹣y），∴1，可得圓心為C，可得1，tanθ＝﹣1，又點C在第四象限，θ．∴圓心C．故選D．【題目點撥】本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程、三角函數(shù)求值，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．4、D【解題分析】

計算出樣本中心點的坐標，將該點坐標代入回歸直線方程可求出實數(shù)的值.【題目詳解】由題意可得，，將點的坐標代入回歸直線方程得，解得，故選D.【題目點撥】本題考查利用回歸直線方程求參數(shù)的值，解題時要熟悉“回歸直線過樣本中心點”這一結(jié)論的應(yīng)用，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.5、C【解題分析】

利用圓心到直線的距離小于等半徑可求出滿足條件的b，最后根據(jù)幾何概型的概率公式可求出所求．【題目詳解】解：b是區(qū)間上的隨機數(shù)即，區(qū)間長度為，由直線與圓有公共點可得，，，區(qū)間長度為，直線與圓有公共點的概率，故選：C．【題目點撥】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系，與長度有關(guān)的幾何概型的求解．6、B【解題分析】由題意可得：據(jù)此有：.本題選擇B選項.7、D【解題分析】令則t>0,且，∵，∵，故選D．8、D【解題分析】

將事件表示出來，再利用排列組合思想與古典概型的概率公式可計算出事件的概率．【題目詳解】事件：兩次拿出的都是白球，則，故選D.【題目點撥】本題考查古典概型的概率計算，解題時先弄清楚各事件的基本關(guān)系，然后利用相關(guān)公式計算所求事件的概率，考查計算能力，屬于中等題．9、A【解題分析】

根據(jù)題意，應(yīng)用乘原理，即可求解甲地經(jīng)乙地到丙地的走法的種數(shù)，再由加法原理，即可得到甲地到丙地的所有走法的種數(shù).【題目詳解】由題意，從甲地經(jīng)乙地到丙地的走法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可得，共有種；再由分類加法計數(shù)原理，可得從甲地到丙地，共有種走法，故選：A.【題目點撥】本題主要考查了分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理的應(yīng)用問題，其中正確理解題意，合理選擇計數(shù)原理是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力.10、D【解題分析】

根據(jù)復(fù)合函數(shù)增減性與對數(shù)函數(shù)的增減性來進行判斷求解【題目詳解】，為減函數(shù)，若底數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)同增異減的性質(zhì)，可得函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，與題不符，舍去若底數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)同增異減的性質(zhì)，可得函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，的定義域滿足，，因在區(qū)間上單調(diào)遞減，故有，所以答案選D【題目點撥】復(fù)合函數(shù)的增減性滿足同增異減，對于對數(shù)函數(shù)中底數(shù)不能確定的情況，需對底數(shù)進行分類討論，再進行求解11、C【解題分析】由題意可知，p是真命題，q是假命題，則是真命題.本題選擇C選項.12、C【解題分析】

先求，再求【題目詳解】,故選C.【題目點撥】本題考查了集合的并集和補集，屬于簡單題型.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、10【解題分析】

根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)可直接得出答案.【題目詳解】根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)，由于只有第項的二項式系數(shù)最大，故答案為10.【題目點撥】本題主要考查了二項式系數(shù)的性質(zhì)，解決二項式系數(shù)的最值問題常利用結(jié)論：二項展開式中中間項的二項式系數(shù)最大，屬于基礎(chǔ)題.14、【解題分析】

設(shè)出邊長，利用余弦定理可找出關(guān)系式，化為二次函數(shù)用配方法即可得到最小值.【題目詳解】設(shè)，則，設(shè)，通過余弦定理可得：，即，化簡整理得，要使AC最短，則使AB最長，故當時，AB最長，故答案為.【題目點撥】本題主要考查函數(shù)的實際應(yīng)用，意在考查學(xué)生的分析能力及計算能力，難度不大.15、【解題分析】

由圖像可以計算出，，的值，即可得到三角函數(shù)表達式，然后計算出結(jié)果【題目詳解】由圖可知：，由，得，從而.將點代入，得，即，又，所以，得.所以.【題目點撥】本題考查了由函數(shù)圖像求三角函數(shù)的表達式，熟練掌握圖像是解題關(guān)鍵，較為基礎(chǔ)16、．【解題分析】

設(shè)點P的坐標為，代入橢圓方程，運用直線的斜率公式，化簡整理，即可得到所求離心率．【題目詳解】設(shè)點P的坐標為．由題意，有，①由A（﹣a，0），B（a，0），得，．由，可得，代入①并整理得．由于，故，于是，∴橢圓的離心率．故答案為：．【題目點撥】本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查橢圓離心率的求法，是中檔題．求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范圍).三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、證明見解析；證明見解析.【解題分析】

(1)，于是證明即可，左邊可由所證得到；（2）即證，表示成含n的表達式，利用數(shù)學(xué)歸納法可證.【題目詳解】令，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.，即①當時，由①可得，即，即由可知②下面用數(shù)學(xué)歸納法證明當時，，結(jié)論成立；假設(shè)時，結(jié)論成立，即；當時，設(shè)，其中，則在上單調(diào)遞增又，數(shù)列單調(diào)遞增，故由歸納假設(shè)和中結(jié)論時結(jié)論成立，即結(jié)合②可得，即【題目點撥】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法的運用，意在考查學(xué)生的分析能力，轉(zhuǎn)化能力，計算能力，難度較大.18、（1）在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為視力與學(xué)習(xí)成績有關(guān)系（2）見解析，數(shù)學(xué)期望1【解題分析】

（1）題設(shè)數(shù)據(jù)代入即得解.（2）服從超幾何分布，利用概率公式可得解.【題目詳解】解：（1）因此在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為視力與學(xué)習(xí)成績有關(guān)系（2）根據(jù)題意9人中年級名次在名和名分別有3人和6人.可取0，1，2，3的分布列為0123的數(shù)學(xué)期望【題目點撥】本題考查了統(tǒng)計和概率綜合，考查了學(xué)生實際應(yīng)用，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于基礎(chǔ)題.19、（1）y=g(x)=x+ax；（2）【解題分析】⑴∵f(x∴當x>0時,f(x)=lnx∴當x>0時,f'(x)=1∴當x≠0時,函數(shù)y=g(x⑵∵由⑴知當x>0時,g(x∴當a>0,x>0時,g(x)≥2a∴函數(shù)y=g(x)在0,+∞上的最小值是2a,∴依題意得2⑶由y=23∴直線y=23x+=724-ln320、（1），6.1（2）見解析【解題分析】試題分析：（1）由線性回歸方程過點（，）,可得,再求x=6時對應(yīng)函數(shù)值即為6月份生產(chǎn)的甲膠囊產(chǎn)量數(shù)（2）先確定隨機變量取法：ξ=0，1，2，3，再利用組合數(shù)求對應(yīng)概率，列表可得分布列，最后根據(jù)公式求數(shù)學(xué)期望試題解析：解：（1）==3，（4+4+5+6+6）=5，因線性回歸方程=x+過點（，），∴=﹣=5﹣0.6×3=3.2，∴6月份的生產(chǎn)甲膠囊的產(chǎn)量數(shù)：=0.6×6+3.2=6.1．（2）ξ=0，1，2，3，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，其分布列為ξ0123P所以Eξ==．21、（1）.（2）【解題分析】分析：（1）將直線的參數(shù)方程利用代入法消去參數(shù)，可得直線的直角坐標方程，利用，可得直線的極坐標方程，圓的標準方程轉(zhuǎn)化為一般方程，兩邊同乘以利用利用互化公式可得圓的極坐標方程；（2）聯(lián)