北京科技大學(xué)高等數(shù)學(xué)胡志興版答案

習(xí)題1-1(A)1．填空題．(1)函數(shù)的概念域?yàn)?(2)函數(shù)的概念域?yàn)?(3)函數(shù)的概念域?yàn)?(4)函數(shù)的概念域?yàn)閤<-3;(5)函數(shù)的周期為.2．設(shè)，求及．解：那么3．設(shè)求解：4．將函數(shù)用分段形式表示，并做出函數(shù)圖形．解：5．判定以下函數(shù)的奇偶性．(1);解：，那么為偶函數(shù)．(2);解：，那么為奇函數(shù)．(3);解：，那么為偶函數(shù)．6．設(shè),且當(dāng)x=1時(shí),,求．解：當(dāng)x=1時(shí)，那么：．7．求以下函數(shù)的反函數(shù)．(1);解：那么反函數(shù)為：(2);解：那么反函數(shù)為：(3);解：時(shí)，，那么反函數(shù)為：()時(shí)，，那么反函數(shù)為：時(shí)，，那么反函數(shù)為：那么其反函數(shù)為：8．證明：函數(shù)在內(nèi)有界的充分必要條件是在內(nèi)既有上界，又有下界．證明：第一來看必要性設(shè)在內(nèi)有界，且nmm，那么有上界m；n，那么有下界n；再來看充分性設(shè)上界和下界別離是m和n，取nm，那么，有界。9．某廠生產(chǎn)某產(chǎn)品1200t，每噸定價(jià)100元，銷售量在900t之內(nèi)時(shí)，按原價(jià)出售；超過900t時(shí)，超過的部份打8折出售，試將銷售總收入與總銷售量的函數(shù)關(guān)系用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示．解：依題意，設(shè)總銷售量為x噸，銷售總收入為y元10．在半徑為r的球內(nèi)嵌入一圓柱，試將圓柱的體積表示為其高h(yuǎn)的函數(shù)，并確信此函數(shù)的概念域．解：設(shè)圓柱底面半徑為R由幾何關(guān)系得：即圓柱體積為：()(B)12．填空題．(1)對(duì)一切實(shí)數(shù)x，有，那么是周期為1的周期函數(shù)；(2)函數(shù)的概念域?yàn)椋?3)已知，，那么的概念域?yàn)椋?3．計(jì)算題．(1)已知，，且，求，并寫出它的概念域；解：，那么概念域?yàn)椋?，即?2)設(shè)，令，求；解：那么：．(3)設(shè)，，并討論的奇偶性和有界性；解：以此類推：，為奇函數(shù)當(dāng)x=0時(shí)，當(dāng)時(shí)，，那么有界．(4)設(shè)試將表示成份段函數(shù)；解：．(5)求的反函數(shù)．解：那么反函數(shù)：14．證明題．(1)假設(shè)周期函數(shù)的周期為T且，那么得的周期為；證明：由已知：那么：得證．(2)假設(shè)函數(shù)知足那么為奇函數(shù).證明：(1)那么，(2)(1)+(2)得：由，那么即為奇函數(shù)．習(xí)題1-2(A)1．觀看以下一樣項(xiàng)為的數(shù)列的轉(zhuǎn)變趨勢(shì)，判定它們是不是有極限？假設(shè)存在極限，那么寫出它們的極限．(1)；有極限，極限為1；(2)；有極限，極限為1；(3)；有極限，極限為0；(4)；有極限，極限為1；(5)；無極限；(6)；無極限．2．利用數(shù)列極限的概念證明．(1)；證明：．(2)；證明：．(3)；證明：．(4)；證明：．3．證明：假設(shè)，那么，并舉例說明：數(shù)列有極限，但數(shù)列未必有極限．證明：由及數(shù)列極限概念，對(duì)，存在正整數(shù)N，當(dāng)n>N時(shí)，有，那么：．故．舉例：數(shù)列的極限為1，而數(shù)列無極限．5．設(shè)，，證明：．證明：由極限概念可知，，取那么當(dāng)n>N時(shí)，，那么7．求極限解：由于由夾逼準(zhǔn)那么可得．8．設(shè)，證明：數(shù)列的極限存在，并求其極限．證明：顯然10．求以下極限．(1)；解：．(2)；解：．(3)；解：．(4)；解：．(5)；解：．(6)；解：．12．設(shè)數(shù)列收斂，證明：中必有最大項(xiàng)或最小項(xiàng)．證明：由數(shù)列收斂，那么此數(shù)列有界，即則中必有最大項(xiàng)或最小項(xiàng)．13．設(shè)，且a>b，證明：存在某正整數(shù)N，使適當(dāng)n>N時(shí)，有．證明：由，存在某正整數(shù)N，使適當(dāng)n>N時(shí)，對(duì)，有取為無窮小，那么．16．設(shè)證明：數(shù)列收斂，并求其極限．證明：顯然17．設(shè)，證明：數(shù)列發(fā)散．證明：數(shù)列有兩個(gè)子數(shù)列：=0，，而，數(shù)列發(fā)散數(shù)列發(fā)散．習(xí)題（P47）答案：D解：例：在處沒有概念可是有極限。設(shè)作出函數(shù)的圖形依照函數(shù)圖形寫出;極限存在么？解：（1）略（2）（3）因?yàn)?，因此極限不存在解：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極限不存在。（不論它何等大），，使適當(dāng)時(shí)，有，故它的極限不存在。解：解：（1）當(dāng)時(shí)，無窮?。?），當(dāng)時(shí)，無窮大（3），當(dāng)時(shí)，無窮大（4），當(dāng)時(shí)，極限為0，無窮小（5），當(dāng)時(shí)，極限為0，無窮小設(shè)解：因?yàn)榇嬖?，那么，那么，解：?）（2）證：因?yàn)?，那么，，使適當(dāng)時(shí)，有，那么則解：（1），，使適當(dāng)時(shí)，有,故（2），，使適當(dāng)時(shí)，有,故（3），，使適當(dāng)時(shí)，有故（4），，使適當(dāng)時(shí)，有，故（5），，使適當(dāng)時(shí)，有，故（6），，使適當(dāng)時(shí)，有，故解：，，使適當(dāng)時(shí)，有，故解：（1）A．，故（2）C．，故（3）A．考慮a=0的情形，BCD錯(cuò)誤。習(xí)題（P54）解：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）因?yàn)橛薪?，那么，故?2）因?yàn)?，，那么解令，，，那么令，，，那么令，，，那么令，，那么解：解：則，，故，解：時(shí)，有極限，沒有極限。當(dāng)，沒有極限，不必然有極限（，，）。解：時(shí)，，都沒有極限。不必然有極限（例如：），不必然有極限（當(dāng)時(shí)，時(shí)沒有極限；當(dāng)時(shí)，，，，）。解：（1）（2）（3）（4）（5）（6）因?yàn)?，解；則且=，那么，習(xí)題1-5(A)1.(1)D(2)B2.(1)e-1/2(2)e(3)3/4(4)e2(5)(-1)m-n(6)ex+13.(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)4.解：5.(1)錯(cuò)，無窮小是極限為零的變量，無窮大是其值無窮增大的變量(2)錯(cuò)(3)正確(4)正確(5)錯(cuò)，反例見例(6)錯(cuò)，反例：(7)錯(cuò)，6.解：，故它們是等價(jià)無窮小7.解：，故是的高階無窮小8.解：，故與是同階無窮小，故與是等價(jià)無窮小9.(1) 0，m<n(2)1，m=n ∞，m>n(3)(4)(5)(6)(B)10.(1)D(2)B(3)D11.(1)(2)(3)(4)(5)(6)12.證明：原極限不存在13.解：原式=114.解：15.證明：(1)設(shè)t=arctanx，那么(2)16.證明：(1)因?yàn)?，故?2)由有因此，故有(3)因?yàn)?，因此因?yàn)椋虼?，因此因此，故有?xí)題1-6(A)1.(1)B(2)C(3)A(4)D2.(1)-1,1(2)k3.(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)4.(1)x=1是可去中斷點(diǎn)，x=2是無窮中斷點(diǎn)(2)x,|x|>1f(x)=-x,|x|<10,x=1x=1是跳躍中斷點(diǎn)(3),,x=1是跳躍中斷點(diǎn)，f(x)在x=2處持續(xù)(4),x=0是無窮中斷點(diǎn)，，x=-1是跳躍中斷點(diǎn)(5),,x=0是跳躍中斷點(diǎn)(6)0,|x|>1f(x)=,x=11,|x|<1x=1是跳躍中斷點(diǎn)5.解：由得：a=2，b=-16.證明：設(shè)f(x)=ex-2-x,因?yàn)閒(0)f(2)=-2×(e2-4)<0由零點(diǎn)定理知，至少存在一點(diǎn)(0,2)使f()=0即，方程ex-2=x在(0,2)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根7.證明：設(shè)f(x)=x-2-sinx，因?yàn)閒(0)f(3)=-2×(1-sin3)<0由零點(diǎn)定理知，至少存在一點(diǎn)(0,3)使f()=0即，方程x=2+sinx至少有一個(gè)小于3的正根8.證明：設(shè)F(x)=f(x)-f(a+x),那么有F(0)=f(0)-f(a)=f(2a)-f(a)，F(xiàn)(a)=f(a)-f(2a)因此，F(xiàn)(0)F(a)=-[f(a)-f(2a)]20假設(shè)F(0)F(a)=0，那么F(0)=F(a)=0；假設(shè)F(0)F(a)<0，那么由零點(diǎn)定理知，至少存在一點(diǎn)(0,a)使F()=0；綜上，至少存在一點(diǎn)[0,a]使F()=0，即至少存在一點(diǎn)[0,a]使f()=f(a+)9.解：設(shè)F(x)=(p+q)f(x)-pf(c)-qf(d)，那么有F(c)=qf(c)-qf(d),F(d)=pf(d)-pf(c)因此，F(xiàn)(c)F(d)=-pq[f(c)-f(d)]20假設(shè)F(c)F(d)=0，那么F(c)=F(d)=0；若F(c)F(d)0，那么由零點(diǎn)定理知，至少存在一點(diǎn)(c,d)使F()=0；又因?yàn)閍<b<c<d,因此對(duì)任何正數(shù)p,q，至少存在一點(diǎn)[c,d](a,b),使得F()=0，即pf(c)+qf(d)=(p+q)f().(B)10.(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)11.(1)x=1是可去中斷點(diǎn)x=是可去中斷點(diǎn)不存在x=是無窮中斷點(diǎn)(2)x=0是無窮中斷點(diǎn)x=1是可去中斷點(diǎn)x=2是無窮中斷點(diǎn)12.解：由，知：a=0，b1由存在，知：b=e因此，a=0，b=e13.解：x+bx0h(x)=2x+10<x<1x+a+1x1由h(0-)=h(0+)得：a=b=1h(1-)=h(1+)因此，當(dāng)a=b=1時(shí)，f(x)+g(x)在(-,+)上持續(xù)14.解：化簡(jiǎn)得：x,|x|>1f(x)=ax2+bx,|x|<1(a+b+1)x=1(a-b-1)x=-1由f(1-)=f(1+)=f(1)得：a=0，b=1f(-1-)=f(-1+)=f(-1)15.證明：設(shè)f(x)=x3-3x2-9x+1,那么f(0)f(1)=1(-10)<0因此，存在(0,1)使f()=0,即原方程在(0,1)上存在實(shí)根唯一性：16.證明：設(shè)F(x)=f(x)-x,那么由題意有：F(a)=f(a)-a>0;F(b)=f(b)-b<0因此，存在C(a,b)使F()=0即f()=.17.證明：令，那么有：且在上持續(xù)，使得：即：令，那么有：且在上持續(xù)，使得：即：，證畢.18.證明：假設(shè)f(x1)=f(x2),那么結(jié)論顯然成立假設(shè)f(x1)>f(x2),那么有f(x1)>>f(x2),由介值定理知：至少存在一點(diǎn)[x1,x2],使得f()=假設(shè)f(x1)<f(x2),那么有f(x1)<<f(x2),由介值定理知：至少存在一點(diǎn)[x1,x2],使得f()=總上可知，原結(jié)論成立19.證明：由f(x+y)=f(x)+f(y)得：f(0)=0取x0(-,+),因?yàn)椋阂虼?，f(x)為(-,+)上的持續(xù)函數(shù).20.證明：由于對(duì)x1,x2[0,1],有|x13-x32|=|x1-x2||x12+x1x2+x22|3|x1-x2|于是對(duì)>0,取=，對(duì)x1,x2[0,1]，當(dāng)|x1-x2|<時(shí)，就有：|x13-x32|<.故f(x)=x3在區(qū)間[0,1]上一致持續(xù)21.習(xí)題2—1（A）單項(xiàng)選擇題。C解：A解：因此在x=1處不持續(xù)。C解：函數(shù)在x=0處可導(dǎo)，那么函數(shù)在x=0處持續(xù)?！喈?dāng)b=0時(shí)，保證在x=0處持續(xù)；又∵；，∴為保證在x=0處可導(dǎo)，a=b。填空題。（1）析：（2）析：（3）析：（4）析：（5）析：∵∴（6）析：（7）4析：用導(dǎo)數(shù)概念證明以劣等式成立。（1）證明：（2）證明：（3）證明：求以下函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。（1）解：（2）解：（3）解：（4）解：（5）解：∴計(jì)算題。解：，可知，在處的切線及法線斜率別離為∴切線方程為即；法線方程為即解：可知，在處的切線及法線斜率別離為∴切線方程為即；法線方程為即。解：假設(shè)平行于直線那么設(shè)點(diǎn)為（）即，∴∴要求的點(diǎn)為（1，1）或（-1，-1）解：由可知，∴解：由可知，又∴解：（7）解：∴解：（1）∵∴∴在處持續(xù)；又∵∴即不存在，∴y在x=0處不可導(dǎo)。（2）由y表達(dá)式可知，∴函數(shù)在x=0處持續(xù)，又∵∴函數(shù)在x=0處可導(dǎo)。（3）∵∴在x=0處持續(xù)；又∵；∴在x=0處不可導(dǎo)。（4），，∴在x=0處持續(xù)；又∵∴在x=0處不可導(dǎo)。證明題。證明：∵∴令t=-x，那么∴證明：導(dǎo)函數(shù)存在，∴為奇函數(shù)時(shí)即為偶函數(shù)；為偶函數(shù)時(shí)即為奇函數(shù)；證畢。（3）證明：即要證當(dāng)時(shí)，設(shè)為概念域中的任意一元素，∵由的任意性知，結(jié)論成立。習(xí)題2—1（B）解：在處的線密度即為質(zhì)量對(duì)長(zhǎng)度的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在處的值，證明：在x=0處可導(dǎo)∴原式=證畢。解：由7（3）中證明知，又等價(jià)于∴即為所求的切線斜率∴法線斜率解：可去中斷點(diǎn)∵為奇函數(shù)，∴∴；又∵在x=0處可導(dǎo)∴即函數(shù)在x=0處存在極限，顯然在x=0處無概念，∴x=0為的可去中斷點(diǎn)。解：∴解：∴令，得原式=解：∴解：持續(xù)性，，，，∴要持續(xù)，那么b+a+2=0①可導(dǎo)性，∴要可導(dǎo)，那么a=b②由①②兩式得a=b=-1解：，，，又∵有界∴，M為常數(shù)∴∴解：由能夠看出令t=x-1，那么x→1等效于t→0∴解：令則∴又令∴證明：充分性可導(dǎo)，那么存在當(dāng)時(shí)存在即在x=0處可導(dǎo)必要性又因此，要存在，那么∴綜上，得證習(xí)題2—2（A）單項(xiàng)選擇題。B析：，∴B析：，∴B析：∴∴將適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)填入以下括號(hào)內(nèi)。（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）微分的幾何意義：對(duì)應(yīng)曲線的切線上點(diǎn)的縱坐標(biāo)的相應(yīng)增量。（10）高階計(jì)算題。解：（1），∴在x=2處時(shí)，，；時(shí)，，；時(shí)，，（2），∴在處時(shí)，；時(shí)，（3）∴∴計(jì)算以下各題。解：（1）；；那么，∴（2）令；；∴（3）令；；則（4）球的體積∵由已知即∴∴測(cè)球半徑時(shí)，所許諾產(chǎn)生的相對(duì)誤差是%習(xí)題2-3填空題。（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）-2；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）；（14）；（15）；（16）；（17）；（18）；（19）；（20）；（21）；（22）；（23）；（24）；（25）；（26）；（27）；（28）；（29）；（30）。二、求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分（1）；（2）；（3）；（4）（裂項(xiàng)分開后別離求導(dǎo)）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）（乘法求導(dǎo)）；（10）（除法求導(dǎo)公式）；（11）；（12）；（13）；（14）；（15）；（16）；（17）；（18）；（19）；（20）；（21）；（22）；（23）；（24）；（25）；（26）；（27）；（28）；（29）；（30）；（31）；（32）；（33）（先分母有理化，再利用除法公式求導(dǎo)）；（34）；（35）；（36）；（37）先對(duì)求導(dǎo)：則；（38）。3、利用一階微分形式不變性求函數(shù)導(dǎo)數(shù)。（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）原式變形為兩邊對(duì)求導(dǎo)，有則；（9）因此；（10）因此；（11）；（12）；（13）；（14）因此；（15）。4、（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）。五、（1）先求，代入等式左側(cè)，變形整理等于右邊。將代入即證。（2）同理，代入即證。（）六、，那么。7、因此。八、令，那么，，即，因此。九、利用換元可得，，因此。10、。1一、令，有，因此由解得，因此。1二、因?yàn)?，因此在處不可?dǎo)，因此。13、在處持續(xù)，可是，因此在處不可導(dǎo)，在處不持續(xù)，因此。14、解：，假設(shè)在處持續(xù)，那么存在，即存在，因此。1五、解：由已知在處持續(xù)而且在處左導(dǎo)數(shù)等于右導(dǎo)數(shù)，即。1六、解：在處無導(dǎo)數(shù)，在處不持續(xù)，因此。17、解：由已知在處持續(xù)而且在處左導(dǎo)數(shù)等于右導(dǎo)數(shù)，即。1八、解：其中表示的同階或高階無窮小。1九、習(xí)題2-4填空題。（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6），；（7）；（8）1；（9）；（10）；（11）。二、導(dǎo)數(shù)和微分。（1），；（2）；（3）；（4）；（5）；（6），；（7）；（8），因此；3、（1），因此得；（2），因此；（3）同（1），有；（4）；（5）；（6）將兩個(gè)式子分開，和，別離求導(dǎo)有和，因此原式；（7）；（8）；（9）；（10）；4、（1）；（2）；（3）。五、證明題。（1）證明：在處，，，因此，得切線方程：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，因此為定值。（2）用（1）的方式寫出切線方程，求截距并表示三角形面積，即可。六、，因此。7、。八、解：，；又，因?yàn)?，因此。九、解：，，，因此切線方程：。10、解：，，因此切線方程：，法線方程：即。1一、解：設(shè)時(shí)刻容器內(nèi)水面高度為，水的體積為，水面半徑為，現(xiàn)已知，要求時(shí)的。上式兩頭對(duì)求導(dǎo)，得代入解得。1二、解：設(shè)時(shí)刻仰角為，氣球上升的高度為，那么，，兩邊對(duì)求導(dǎo)，有。習(xí)題2-5（A）1（1）解：……設(shè)那么（A）（2）解：當(dāng)x>0時(shí)：當(dāng)x<0時(shí)：因此答案選（C）2（1）（2）（3）對(duì)方程兩頭求導(dǎo)，得再次求導(dǎo)得將代入得（4），對(duì)方程兩頭求導(dǎo)，，將y（0）=-1代入得再次求導(dǎo)得：將代入得3（1）解：對(duì)方程兩邊求導(dǎo)得即注意到y(tǒng)即y的一階導(dǎo)數(shù)都是x的函數(shù)因此對(duì)兩頭再次求導(dǎo)得：（2）解：對(duì)方程兩邊求導(dǎo)得因此對(duì)上式求導(dǎo)得）（3）對(duì)方程兩頭求導(dǎo)得：注意到f是x，y的函數(shù)因此（4）觀看方程兩邊，可對(duì)其取對(duì)數(shù)簡(jiǎn)化計(jì)算再對(duì)方程兩邊求導(dǎo)得：再次求導(dǎo)得：（5）解：有參數(shù)方程所確信函數(shù)的倒數(shù)公式得因此（6）（7）（8）（9）由于應(yīng)用萊布尼茨公式，得4（1）因?yàn)橐虼耍?）（3）5（1）解：因?yàn)橐虼耍?）依此類推（3）（4）（5）6（1）（2）左式==右式==左式（3）（4）將之代入方程得：（5）將上兩式代入方程得習(xí)題2-5（B）7解：要使f（x）在x=0處有二階導(dǎo)數(shù)那么需知足以下條件8解：因此9解：，顯然，極限不存在依導(dǎo)數(shù)概念可知f（x）在x=0處存在2階導(dǎo)數(shù)，在x=0處不持續(xù)。10解：依此類推11解：利用萊布尼茨公式可得：總溫習(xí)題二1.（1）A（2）B(3)C(4)C(5)D2.(1)持續(xù)可導(dǎo)（2）不持續(xù)（3）持續(xù)不可導(dǎo)（4）a≤0,中斷;a>0,持續(xù);0≤a≤1,不可導(dǎo);a>1可導(dǎo)。3.（1）解：（2）解：（3）解：兩邊取對(duì)數(shù)再求導(dǎo)得：即得（4）解：(5)解：先對(duì)原式進(jìn)行變形：再對(duì)兩邊求導(dǎo)數(shù)即可得：最后將y代入即可（6）解：當(dāng)x>0時(shí)f（x）=當(dāng)x<0時(shí)f（x）=f（0）=04.（1）解：（2）解：由原式可得：兩邊取對(duì)數(shù)求導(dǎo)得：再次求導(dǎo)可得：將y和y代入即可5.（1）解：由已知的n次導(dǎo)數(shù)可得：（2）先對(duì)原式求一次導(dǎo)得：那么可得：繼而可得：7.（1）解：由題可得：（2）解：（3）解：8.（1）題目有錯(cuò)（2）證明：因?yàn)榱顇=y=0那么即函數(shù)f（x）不但可導(dǎo)，且導(dǎo)數(shù)值恒為1。（3）解：因?yàn)?.（1）解：由題意可知：f（1）=2f（0）=2（3）解：要使F（x）在點(diǎn)x=0處持續(xù)，那么有b=f(0),而要函數(shù)在x=0處可導(dǎo)，那么只需有a=（4）解法一：令S=x+可知有S=Sm而S=那么Sm=則解法二：思路，對(duì)Sm等式兩旁同乘以x，然后別離減去原等式的兩邊進(jìn)行轉(zhuǎn)變即可。（5）解：由于而所求的導(dǎo)數(shù)是x=0點(diǎn)，因此只需求萊布尼茨公式的前兩項(xiàng)即可：習(xí)題3-1（A）1證明：顯然f（x）在[2,3]上持續(xù)、可導(dǎo)，且f(2)=f(3),顯然在[2,3]持續(xù)。那么有介值定理可知，在[2,3]區(qū)間上必存在一點(diǎn)使得因此羅爾定理對(duì)f（x）在區(qū)間[2,3]上成立2證明：顯然函數(shù)在[0,]上持續(xù)、可導(dǎo)，，又，而-1<<0因此由介值定理可知必存在一點(diǎn)，使得因此拉格朗日中值定理對(duì)f（x）在區(qū)間[0,]上成立3證明：令，顯然其在[0,1]上持續(xù)、可導(dǎo)。由羅爾定理知，在[0,1]上必存在一點(diǎn)使得，即因此在[0,1]上柯西中值定理對(duì)f（x）和g（x）成立4證明：令則即f（x）恒等于一常數(shù)，又f（0）=0，因此5證明：令那么即,又6解：因?yàn)?，由羅爾定理可知，在[0,1],[1,2],[2,3],[3,4]區(qū)間別離存在四個(gè)點(diǎn)，使得7證明：（1）設(shè)，顯然函數(shù)在整個(gè)概念域內(nèi)持續(xù)、可導(dǎo)，那么由拉格朗日中值定理可知：，即（2）設(shè)，顯然函數(shù)在整個(gè)概念域內(nèi)持續(xù)、可導(dǎo)，那么由拉格朗日中值定理可知：在[a,b]區(qū)間上有，即（3）設(shè)，那么在[b,a]上函數(shù)持續(xù)、可導(dǎo)，由拉格朗日中值定理可知：存在一點(diǎn)，使得又因?yàn)?，因此，?證明：設(shè)，二者在[0，]上均持續(xù)、可導(dǎo)，而且對(duì)任意都有，由柯西中值定理知，存在使，即9證明：設(shè)那么由拉格朗日中值定理知，，使得10證明：設(shè)，函數(shù)在[a,b]上持續(xù)，在（a,b）內(nèi)可導(dǎo)那么由羅爾定理可知，在（a,b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)使得：，即11證明：設(shè)，其在[0,1]上持續(xù)，在（0,1）內(nèi)可導(dǎo)又，由羅爾定理可得=012證明：設(shè)，利用反證法，設(shè)假設(shè)方程有至少4個(gè)根，則，又f（x）在概念域內(nèi)至少4階持續(xù)、可導(dǎo)，那么由羅爾定理可知，至少存在點(diǎn)，使得再次利用羅爾定理，那么存在點(diǎn)，使得=0由羅爾定理可知，在（）內(nèi)至少存在一點(diǎn)使得而，即不可能找到一點(diǎn)使得f（x）的三階導(dǎo)數(shù)為零，因此假設(shè)不成立，即方程最多有3個(gè)根13證明：令，其在[0,]上持續(xù)，在（0,）內(nèi)可導(dǎo)又,因此由羅爾定理可知至少存在一點(diǎn)，使得即14證明：令，此函數(shù)在[0,1]上持續(xù)，在（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，又因?yàn)?，由介值定理可知，在[1/2,1]之間存在c使得F（c）=0=F(0)，由羅爾定理可知，在[0,c]內(nèi)至少存在一點(diǎn)使得15提示：令，對(duì)f（x）和g（x）用柯西中值定理即可得證16提示：令，f（x）、g（x）在[a,b]上用柯西中值定理可證習(xí)題3-1（B）17證明：因?yàn)閒（x）在[0,3]上持續(xù)，因此f（x）在[0,2]上持續(xù)，且在[0,2]上必有最大值M和最小值m，于是故由介值定理知，至少存在一點(diǎn)，使因?yàn)閒（c）=1=f（3），且f（x）在[c,3]上持續(xù)，在（c,3）內(nèi)可導(dǎo)，因此由羅爾定理可知，必存在18證明：，因?yàn)閒（x）在[a,b]上持續(xù)，(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)=f(b)=0,那么由羅爾定理知在（a，b）內(nèi)必存在一點(diǎn)c使得，由于因此，即內(nèi)單調(diào)減在（a，x）（x<c）上利用拉格朗日中值定理知，即在（c，b）上利用拉格朗日中值定理同理可得即在[a,b]上，19證明：因?yàn)閥=f（x）在x=0的某鄰域內(nèi)具有n階導(dǎo)數(shù)由柯西中值定理得：反復(fù)運(yùn)用柯西中值定理，得：使得：即使得：20證明：設(shè)，由題知F（x）在[a,b]上持續(xù)，(a,b)內(nèi)可導(dǎo)那么，又即，即即21證明：令，對(duì)F（x）應(yīng)用拉格朗日中值定理，那么存在使得成立再對(duì)在[a,b]上利用拉格朗日中值定理，那么存在，使成立由上兩式有22證明：（1）令，那么g（x）在[0,1]上持續(xù)，且因此存在，使得即f()=1-(2)依照拉格朗日中值定理，存在，使得，，從而習(xí)題3—2(A)1．用洛必達(dá)法那么求以下極限.(1)（2）==(3)(4)(5)(6)(7)==(8)(9)(10)=(11)(12)(13)(14)由于因此(15)由于因此（16）（17）（18）由于因此2.驗(yàn)證以下極限存在，但不能由洛必達(dá)法那么得出.(1)此極限不存在，洛必達(dá)法那么不適用.原極限=（2）此極限不存在，洛必達(dá)法那么不適用.原極限=3.設(shè)函數(shù)具有一階持續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，試求：.解：因具有一階持續(xù)導(dǎo)數(shù)，從而持續(xù)，時(shí)，.那么.4.設(shè)持續(xù)，試用洛必達(dá)法那么證明證：當(dāng).且分子、分母（視為h的函數(shù)）都有導(dǎo)數(shù)，又注意到分母的導(dǎo)數(shù)，，故對(duì)（B）5.用洛必達(dá)法那么求以下極限.(1)(2)(4)(6)(8),因此6．解：假設(shè)使在持續(xù)，那么知足，又故當(dāng)時(shí)，在持續(xù).7.解：由于因此，即函數(shù)在點(diǎn)處持續(xù).習(xí)題3—3(A)解：解：令同理可得：，故.3.解：故.4.解：故.5.解：故.6.解：故并取得;故.7.解.，因?yàn)?，，因此，因?8．解：由已知，，因此.9.估量以下近似公式的絕對(duì)誤差.解：（1），因此，故，，.(2)因?yàn)椋?因此，10.解：，11.利用三階泰勒公式求以下各數(shù)的近似值并估量誤差.解：（1），.(2),,,其中（3），.12.利用泰勒公式求以下極限.(1)因此，.(2)因?yàn)?因此（3）因此[()]=(4).13.解：由題意可得：，即得證.14.有誤，無法證明.15.證明：，即2，（），.(B)16.解：=.18.解：.20.解：，.21.證明：，.第四節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與極值判定（1）A（2）D（3）B（4）A（5）A（6)B（7）B（1）解的概念域?yàn)椋?令，得.當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)增加；當(dāng)或時(shí)，，故在上單調(diào)減少.解的概念域?yàn)?.故在上單調(diào)增加，在上單調(diào)減少.解由于，易知在上單調(diào)增加，在上單調(diào)減少.解當(dāng)時(shí)，，令得當(dāng)時(shí)，，令得由極值的第一充分條件知：在內(nèi)單調(diào)增加，在內(nèi)單調(diào)減少.解故在上單調(diào)增加，在上單調(diào)減少.解故在上單調(diào)增加，在上單調(diào)減少.解故在上單調(diào)增加，在上單調(diào)減少.解利用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法，得.故在上單調(diào)減少，在上單調(diào)增加.（1）解令=0，得.，，故該函數(shù)在處取得極大值5，在處該函數(shù)取得極小值4.解令得.處導(dǎo)數(shù)不存在.列表討論易知：極大值為，，極小值為.解依照極值的第一充分條件知：處該函數(shù)取得極小值，處該函數(shù)取得極大值2.解=，令得。易知極小值為，極大值為.解，令得，易知極小值為.解，令得，極大值為(1)證令，在上持續(xù)，且.時(shí)，，顯然.故在上單調(diào)減少，時(shí)，，即.證令，在上持續(xù)，且.時(shí)，，顯然.時(shí)，持續(xù).又由于時(shí)，，故在上單調(diào)增加，即.進(jìn)而有在內(nèi)單調(diào)增加，時(shí)，，即.證令，在上持續(xù)，且.時(shí)，，故在內(nèi)單調(diào)增加，從而，即.證令，在持續(xù)，且.時(shí)，，，，故在內(nèi)單調(diào)增加，且恒成立，進(jìn)而說明在內(nèi)單調(diào)增加，即當(dāng)時(shí)，，于是得證.證令，在內(nèi)持續(xù)，且。時(shí)，，即在內(nèi)單調(diào)增加，，即.證令，在內(nèi)持續(xù)，且.時(shí)，，即在內(nèi)單調(diào)增加，，即.（1）解函數(shù)在上持續(xù)，必能取得最大值和最小值.，有一個(gè)駐點(diǎn).因?yàn)?，，比較后知在上的最大值為，最小值為.解由于令解得.又因?yàn)?，因此是唯一的駐點(diǎn).是極大值點(diǎn)即是最大值點(diǎn).又因?yàn)閷?duì)任意的有，故即為最小值點(diǎn).（3）解當(dāng)時(shí)，；當(dāng)或時(shí)，；由得，，，比較知的最大值為，最小值為.解，令得.由，，知函數(shù)的最大值為，最小值為.解令，.由得，依照定理，有在內(nèi)單調(diào)減少，在內(nèi)單調(diào)增加，，，，因此僅在內(nèi)有一實(shí)根.解令，。由得，在上單調(diào)增加，在上單調(diào)減少，，的根的數(shù)量取決于的取值范圍.當(dāng)時(shí)，，現(xiàn)在有兩個(gè)實(shí)根.當(dāng)時(shí)，，現(xiàn)在有唯一實(shí)根.當(dāng)時(shí)，，現(xiàn)在無實(shí)根.證，，令得.當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)，，且，故而只有一個(gè)實(shí)根.解，，,故，即在內(nèi)為增函數(shù).，，因此方程有且僅有一個(gè)實(shí)根.解.令，當(dāng)時(shí)，.又因?yàn)椋?比較知的最大值為，最小值為.解，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，恒成立，故現(xiàn)在無極值；當(dāng)奇數(shù)時(shí)，令得，由極值的第一充分條件知：在內(nèi)為增函數(shù)，在內(nèi)為減函數(shù)，該函數(shù)在處取得極大值.解設(shè)內(nèi)接矩形與橢圓在第一象限的交點(diǎn)為，內(nèi)接矩形的面積記為，那么顯然當(dāng)時(shí)，，即為橢圓的內(nèi)接矩形中面積的最大值.解設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，所求的三角形面積為，那么切線的直線方程為切線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為，，于是該切線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為顯然當(dāng)，即切點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，解設(shè)圓錐形漏斗的高為，體積為，由題意知，，令得.由于，故當(dāng)時(shí)，取得極大值同時(shí)也是最大值.解設(shè)漏斗的高為，體積為，由題意得，，令得，截取的扇形弧長(zhǎng)為，現(xiàn)在留下的扇形的中心角為.解記物體受到桌面的支持力為，由力的正交分解原理有解得令，得，即力與水平線的夾角為時(shí)，力最小.解運(yùn)用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法得令得，時(shí)該函數(shù)不可導(dǎo).該函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，在上為單調(diào)減少函數(shù).解顯然在內(nèi)為增函數(shù)；在內(nèi)為減函數(shù)，故該函數(shù)取得極大值，，取得極小值.19.證，，在處持續(xù).當(dāng)時(shí),故在上為增函數(shù)，從而，即可說明在上也為增函數(shù)，.因此當(dāng)時(shí)，.20.證對(duì)任意的有，，.由極限的夾逼性知，從而在處持續(xù).當(dāng)時(shí)，可導(dǎo)，又因?yàn)轱@然為該函數(shù)的極值點(diǎn)，也為唯一的極值點(diǎn).證令得.當(dāng)時(shí)，，故在內(nèi)為遞減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，故在上為遞增函數(shù).為該函數(shù)唯一的極值點(diǎn)同時(shí)也是最小值點(diǎn).因此時(shí)有，即.證，.，，由函數(shù)表達(dá)式易知：當(dāng)時(shí)，，即在上為減函數(shù)；由，當(dāng)時(shí)，，即在內(nèi)為增函數(shù)，，進(jìn)而在內(nèi)為增函數(shù)。綜上，為該函數(shù)的極小值也為最小值，于是時(shí)，得證.證，.令得。是函數(shù)在上的唯一極大值點(diǎn)即是最大值點(diǎn)，現(xiàn)在。因此當(dāng)時(shí)，證記,令，有.當(dāng)時(shí)，，即在內(nèi)單調(diào)增加，又因?yàn)?，因此。進(jìn)而，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)增加.習(xí)題3-5單項(xiàng)選擇題QUOTE,QUOTExQUOTE時(shí)，QUOTEQUOTEQUOTE單調(diào)下降，曲線是凹的應(yīng)選（C）QUOTE,QUOTE,令QUOTE那么xQUOTE0,1,QUOTE1應(yīng)選（C）當(dāng)QUOTE時(shí)，QUOTE，那么QUOTE(x)QUOTE當(dāng)xQUOTE時(shí)，QUOTE，那么QUOTE(x)QUOTE因此QUOTE在QUOTE時(shí)是凸的，在QUOTE是凹的（其中QUOTE是趨于0的無窮?。?。由拐點(diǎn)概念可知，選（D）xQUOTE時(shí)，QUOTE;xQUOTE時(shí)，QUOTE,故xQUOTEa是f(x)的極大值應(yīng)選（B）求以下函數(shù)圖形的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)QUOTE解：函數(shù)的概念域?yàn)镼UOTEQUOTEQUOTE令QUOTE，得x=1x10曲線y凹拐點(diǎn)凸由表可知：曲線在QUOTE內(nèi)是凹的，在QUOTE內(nèi)是凸的，拐點(diǎn)為（1，2）QUOTEQUOTE解：函數(shù)的概念域?yàn)镼UOTEQUOTEQUOTEQUOTEQUOTE令QUOTE，得QUOTEQUOTEax(QUOTE,QUOTE)00曲線y凹拐點(diǎn)凸拐點(diǎn)凹由表可知：曲線在QUOTE，QUOTE內(nèi)是凹的，在(QUOTE,QUOTE)內(nèi)是凸的,拐點(diǎn)為（QUOTE）QUOTE解：函數(shù)的概念域?yàn)镼UOTEQUOTEQUOTEx=0時(shí)二階導(dǎo)數(shù)不存在當(dāng)QUOTE時(shí)，QUOTE，曲線是凸的；當(dāng)QUOTE時(shí)，QUOTE，曲線是凹的。拐點(diǎn)為（0，0）QUOTE解：函數(shù)的概念域?yàn)镼UOTEQUOTEQUOTE令QUOTE那么QUOTE,其中k=0,QUOTE1,QUOTE2,QUOTE3……當(dāng)QUOTE時(shí)，QUOTE，曲線是凸的；當(dāng)QUOTE時(shí)，QUOTE，曲線是凹的。拐點(diǎn)為QUOTEQUOTE解：函數(shù)的概念域?yàn)镼UOTEQUOTEQUOTE令QUOTEx100曲線y凸拐點(diǎn)凹拐點(diǎn)凸由表可知：曲線在QUOTE內(nèi)是凹的，在QUOTE，QUOTE內(nèi)是凸的,拐點(diǎn)為（QUOTE）QUOTEQUOTE解：函數(shù)的概念域?yàn)镼UOTEQUOTEQUOTE令QUOTEQUOTE當(dāng)QUOTE時(shí)，QUOTE，曲線是凹的當(dāng)QUOTE時(shí)，QUOTE，曲線是凸的曲線的拐點(diǎn)為QUOTEQUOTEQUOTE解：QUOTEQUOTEQUOTEQUOTE曲線無拐點(diǎn)，且圖像處處為凹QUOTE解：函數(shù)的概念域?yàn)镼UOTEQUOTEQUOTE令QUOTE那么QUOTEx0曲線y凹拐點(diǎn)凸由表可知：曲線在QUOTE內(nèi)是凹的，在QUOTE內(nèi)是凸的,拐點(diǎn)為（QUOTE）證明曲線QUOTE有三個(gè)拐點(diǎn)位于同一條直線上證明：QUOTE且QUOTEQUOTE令QUOTE即QUOTE取得QUOTE，QUOTE相應(yīng)地QUOTE，QUOTE，QUOTEQUOTE曲線QUOTE有三個(gè)拐點(diǎn)位于同一條直線上討論擺線QUOTE的凹凸性解：QUOTEQUOTE故擺線QUOTE在概念域內(nèi)是凸的。證明曲線QUOTE在區(qū)間QUOTE上是凹的，曲線QUOTE，QUOTE在區(qū)間QUOTE是凸的證明：QUOTE，QUOTE,QUOTE，QUOTE當(dāng)QUOTE，故是凹的；當(dāng)QUOTE時(shí)QUOTE，故是凸的QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE，故是凹的QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE，故是凹的QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE時(shí)QUOTE，故是凸的試確信曲線QUOTE+d中的a,b,c,d,使得曲線在QUOTE有水平切線，QUOTE為拐點(diǎn)，且點(diǎn)QUOTE在曲線上解：QUOTE由題意可知QUOTE利用曲線的凹凸性，證明以下不等式，并說明其幾何意義解：可知QUOTE函數(shù)的概念域?yàn)镼UOTE那么QUOTEQUOTEQUOTEQUOTE曲線是凹的依照概念可知對(duì)任意的x，y>0都有等式QUOTE成立可知QUOTE函數(shù)的概念域?yàn)镼UOTE那么QUOTEQUOTEQUOTE曲線是凹的依照概念可知對(duì)任意的QUOTE都有等式QUOTE成立可知QUOTE函數(shù)的概念域?yàn)镼UOTE那么QUOTEQUOTEQUOTEQUOTE曲線是凹的依照概念可知對(duì)任意的x，y>0且QUOTE都有等式QUOTE成立即：QUOTE成立求函數(shù)QUOTE圖形的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)解：函數(shù)的概念域?yàn)镼UOTEQUOTEQUOTE令QUOTEx0曲線y凸拐點(diǎn)凹由表可知：曲線在QUOTE內(nèi)是凸的，在QUOTE內(nèi)是凹的,拐點(diǎn)為（QUOTE）求函數(shù)QUOTE圖形的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)解：函數(shù)的概念域?yàn)镼UOTEQUOTEQUOTEQUOTE故函數(shù)的圖形沒有拐點(diǎn)，處處是凹的設(shè)QUOTE在QUOTE的某鄰域內(nèi)具有三階持續(xù)導(dǎo)數(shù)，若是QUOTE，而QUOTE試問QUOTE是不是為拐點(diǎn)，什么緣故？解：QUOTE假定QUOTE那么QUOTE單調(diào)遞增QUOTE時(shí)QUOTEQUOTE時(shí)QUOTE故QUOTE是QUOTE的拐點(diǎn)假設(shè)關(guān)于區(qū)間QUOTE內(nèi)的任意兩點(diǎn)QUOTE與QUOTE及任意兩個(gè)數(shù)QUOTE與QUOTE（QUOTE）有不等式QUOTE（或?qū)?yīng)地，相反的不等式QUOTE成立），那么稱QUOTE曲線在區(qū)間QUOTE上是凹（凸）的習(xí)題3-6求曲線QUOTE的漸近線解：QUOTEQUOTE故y=x+2為曲線的斜漸近線求曲線QUOTE的漸近線解：QUOTEQUOTE故x=2,x=QUOTE3為曲線的鉛直漸近線QUOTE故y=1為曲線的水平漸近線求曲線QUOTE的漸近線解：QUOTEQUOTE故y=1為曲線的水平漸近線QUOTE故x=QUOTE為曲線的鉛直漸近線4.刻畫曲線的圖形Y=x-1是漸進(jìn)線垂直漸近線時(shí)X=0或-2再求判定凹凸性5．刻畫曲線的圖形偶函數(shù)時(shí)只需判定有對(duì)稱性可畫出6.刻畫曲線的圖形時(shí)，Y=0是水平漸進(jìn)線，是垂直漸近線7.刻畫曲線的圖形漸近線方程8.刻畫曲線的圖形9.刻畫曲線的圖形10.刻畫曲線的圖形奇函數(shù)第三章：第7節(jié)1：解：2：解：由于：那么有：時(shí)，；時(shí)，3：解：對(duì)兩邊對(duì)求導(dǎo)，得：4：解：由得：兩邊對(duì)求導(dǎo)可得：5：解：由得：6：解：由可得：7：解：由兩邊對(duì)得8：證明：由得：得證.9：解：由得依照可得：漸屈線參數(shù)方程為：即：.10：解：由得：由得：漸屈線參數(shù)方程為：因此漸屈線方程為：即：.11：解：由得：依照公式得：依照的公式可得：那么有所求曲率圓方程為：.12：解：由得：依照得：.13：解：由已知：可令那么有：14：解：由得15：解：可另：，那么有：由此可得：依照公式可得曲率中心為：所有所求的漸屈線參數(shù)方程為：.16：解：由得：那么有：依照公式得曲率中心為：那么有漸屈線的參數(shù)方程為：第三章總溫習(xí)題4、設(shè)f（x）在[]上持續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且f（0）=0，對(duì)任意的x∈（）有f（x）≠0證明：存在∈（）使。證明：設(shè)F（x）=f（x）f（1-x）因?yàn)閒（x）在[]上持續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)F（x）在[]上持續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)依照羅爾定理得在[]內(nèi)必有使=0=0在[]內(nèi)f（x）≠0此式成立。五、設(shè)在上持續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，證明存在一點(diǎn)使得。證明：設(shè)，那么，因?yàn)?，F(xiàn)（0）=0，F(xiàn)（）=0且，sin（x）在持續(xù)在內(nèi)可導(dǎo)在此區(qū)間上有一樣的性質(zhì)依照羅爾定理得在上必有一點(diǎn)使=0即整理后既得所證結(jié)果7設(shè)和都是可導(dǎo)函數(shù)，且證明：當(dāng)x>a時(shí)證明：構(gòu)造函數(shù)，因?yàn)橐虼擞忠驗(yàn)閤>a得八、求極限1.===-2.利用羅比達(dá)法那么，得羅比達(dá)法那么得3.羅比達(dá)法那么：羅比達(dá)法那么=04.利用等價(jià)無窮小==5.===應(yīng)用羅比達(dá)法那么得===6=======7，=應(yīng)用羅比達(dá)法那么得=====18.=應(yīng)用羅比達(dá)法那么=應(yīng)用羅比達(dá)法那么，==應(yīng)用一次羅比達(dá)法那么=再利用一次羅比達(dá)=1二、確信以下函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。（1）解：，，即，解得，，解得。因此，該函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為。（2）解：，故函數(shù)在整個(gè)概念域內(nèi)單調(diào)遞增，該函數(shù)的概念域?yàn)?，因此該函?shù)在內(nèi)單調(diào)遞增。13求以下函數(shù)的極值。

（1）解：，，。令，即，因?yàn)?，故，。?dāng)時(shí)，，為增；時(shí)，，為減。因此，該函數(shù)存在極大值，當(dāng)時(shí)，極大值為。（2）解：，，，令，即，，解得。且和時(shí)，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)不存在，現(xiàn)列表如下：不存在0不存在增極大值增極大值減極小值增因此，該函數(shù)在處存在極大值，極大值為；在處存在極小值，極小值為0。14 求數(shù)列{}的最大項(xiàng)。解：先求的最大值：，，。令，即，因?yàn)?，故，。?dāng)時(shí)，，增；時(shí)，，減。因此，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，因?yàn)閿?shù)列{}中，取和別離代入原函數(shù)，解得和，因?yàn)?。因此，時(shí)，當(dāng)數(shù)列的最大項(xiàng)為。15證明不等式。證明：因?yàn)椋軌蚶脙墒较鄿p，通分后取得），，因此，。17 求在閉區(qū)間[0，2]上的最大值和最小值。解：令，，，，令，解得，不在閉區(qū)間[0，2]上。該在和處不存在，因此在閉區(qū)間[0，2]可能的極值點(diǎn)為。時(shí)，；時(shí)，時(shí)，。因此，在閉區(qū)間[0，2]上的最大值和最小值別離是和。19研究曲線的凹凸性與漸近線。解：（1）凹凸性，，。，令，那么，即；，那么，即；因此，時(shí)，函數(shù)為凹函數(shù)；時(shí)，函數(shù)為凸函數(shù)。（2）漸近線因?yàn)?，因此為函?shù)的垂直漸近線。因?yàn)?，因此函?shù)的斜漸近線為。第四章第一節(jié)：定積分的概念1：注：2：注：3：注：由均分可得：再由概念可知：由夾逼原理知：4（1）：4（2）：=4（3）：=5（1）：由得：可知：原式的幾何意義為：以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓在第一象限的面積，即為：5（2）：由圖象可知：面積代數(shù)和為：0因此：5（3）：由圖象知：因此：6：金屬絲的質(zhì)量為：7：以水面上任意一點(diǎn)為原點(diǎn)，垂直向下為軸方向成立直角坐標(biāo)系，在處所受到的壓強(qiáng)為：；面積元為：因此：8：當(dāng)為奇函數(shù)時(shí)，函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，那么有與與軸圍成的圖形面積相等，符號(hào)相反，因此有：當(dāng)為偶函數(shù)時(shí)，函數(shù)關(guān)于軸對(duì)稱，那么有與與軸圍成的圖形面積相等，符號(hào)相同，因此有：習(xí)題4-2（A）1.比較以下積分大?。?）解：利用例的結(jié)果，當(dāng)f(x)不等于0時(shí)，因?yàn)閒(x)≥0,而是數(shù)值，它只有是零和不是零兩種可能，設(shè)假設(shè)=0，那么由已證得例結(jié)果，在[a,b]上必有f(x)≡0,與f(x)不恒等于0矛盾，因此得出結(jié)論：假設(shè)在[a,b]上，f(x)≥0且f(x)不恒等于0，那么>0.在[0,1]上ex-≥0且ex-不恒等于0，因此>0，因此>。（2）解：，因?yàn)樵赱0,1]上x2-x3≥0且x2-x3不恒等于0，因此>0，因此>。（3）解：，因?yàn)樵赱1,2]上x2-x30且x2-x3不恒等于0，因此<0，因此<。（4）解：構(gòu)造函數(shù)f(x)=sinx-x,那么f’(x)=cosx-1,在（0，]上單調(diào)遞減，從而有f(x)=sinx-x<f(0)=0,因此sinx<x,而在（0，]上sinx,x都是大于0的，因此sinx/x在（0，]上小于1，因此在（0，]上>，因此>0，有>（5）解：構(gòu)造函數(shù)f(x)=ln(1+x)-,在[0,1]上f’(x)=>0,因此f(x)在[0,1]上是增函數(shù)f(x)>f(0)=0,有>0，于是>。2.估量以下各積分的值（1）解：只須求出f(x)在區(qū)間上的最大、最小值M與m，即可用估值定理估量。顯見x2+1在[1,4]上單調(diào)增加，有m=2,M=17,即2≤x2+1≤17，x∈[1,4],而b-a=3,因此2*3=6≤≤17*3=51，即6≤≤51.（2）解：記f(x)=1+sin2x,令f’(x)=2sinxcosx=sin2x=0.得f(x)在區(qū)間上的駐點(diǎn)x1=,x2=,計(jì)算f()=1+1=2,f()=1+0=1,f()=1+1/2=3/2,f()=1+=3/2,因此m=minf(x)=1,M=maxf(x)=2,其中x∈,那個(gè)地址b-a=,因此≤≤2.（3）解：記f(x)=,x∈[0,2],因?yàn)閒’(x)=(2x-1),令f’(x)=0,取得唯一駐點(diǎn)x=1/2,又f(1/2)=,f(0)=1,f(2)=,因此m=minf(x)=,M=maxf(x)=,有因?yàn)閎-a=-2，因此-2e≤≤-2.3.設(shè)函數(shù)f(x)與g(x)在任何有限區(qū)間上可積（1）若是，那么f(x)與g(x)在[a,b]上是不是相等？（2）若是在任意區(qū)間[a,b]上都有，那么f(x)是不是等于g(x)?(3)若是（2）中的f(x)與g(x)都是持續(xù)函數(shù)，那么又有怎么樣的結(jié)論？解：（1）不必然。f(x)，g(x)剛巧在某一區(qū)間[a,b]積分值相等，可是不能說明f(x),g(x)是相等的，例如f(x)=,g(x)=,可是事實(shí)上sinx≠tanx.(2)不恒等，前提必需f(x),g(x)都是持續(xù)函數(shù)。例如f(x)=sinx(0≤x≤),.而。（3）反證法：假設(shè)f(x)不恒等于g(x),設(shè)f(x)>0,,因此，由例結(jié)果f(x)≡g(x)矛盾，因此f(x)≡g(x).4.證明柯西不等式：假設(shè)函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間上可積，那么。證：令L(x)=f(x)+g(x),那么L2(x)=f2(x)+2f(x)g(x)+g2(x)≥0,從而有，即≥0.將上式右邊視為關(guān)于的二次多項(xiàng)式。因?yàn)锳x2+Bx+C≥0,可知B2-4AC≤0,從而有，從而有。5.設(shè)f(x)在區(qū)間[a,b]持續(xù)，證明證：利用上題的結(jié)論，令f(x)=,g(x)=,它們都是持續(xù)函數(shù)，有。（B）6.證明閔可夫斯基不等式：假設(shè)函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間[a,b]上可積，那么。7.設(shè)f(x)在區(qū)間[a,b]持續(xù)，且，證明：f(x)在（a,b）內(nèi)至少存在不同的兩個(gè)零點(diǎn)。證明：依照積分中值定理，在[a,b]上，存在，知足=0,取得=0，是f(x)的一個(gè)零點(diǎn)。假設(shè)是唯一的一個(gè)零點(diǎn)。那么在（a,）和（，b）內(nèi)f(x)異號(hào)。假設(shè)（a,）上f(x)>0,（，b）上f(x)<0.由和=0可知0=≠0得出矛盾，因此至少在（a,b）上還有一個(gè)零點(diǎn)。習(xí)題4-3（A）單項(xiàng)選擇題設(shè)，那么當(dāng)x→0時(shí)f(x)是g(x)的（B）低階無窮?。˙）高階無窮?。–）等價(jià)無窮?。―）同階但非等價(jià)無窮小提示：洛必達(dá)法那么設(shè)f(x)是持續(xù)一階導(dǎo)數(shù)，f(0)=0,f’(0)≠0,。且當(dāng)x→0時(shí)，F(xiàn)’(x)與xk為同階無窮小，那么k等于（C）(A)1(B)2(C)3(D)4(3)把x→0時(shí)的無窮小，使排在后面的是前一個(gè)的高階無窮小，那么正確順序是（B）(A),,(B),,(C),,(D),,2.設(shè)f(x)在，c為某常數(shù)，且對(duì)任意的x∈,有，那么f(x)=15x2;c=-2.3.試求函數(shù)當(dāng)x=0和x=時(shí)的導(dǎo)數(shù)。,，4.證明，與都是同一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)，你能說明什么緣故同一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)在形式上的這種不同嗎？同一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)在形式上的不同只是一個(gè)常數(shù)C。例如，與都是函數(shù)2sinxcosx的原函數(shù)。=1，5.用牛頓-萊布尼茲公式計(jì)算以下積分（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）設(shè)，求解（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）6.求以下各導(dǎo)數(shù)（1）（2）（3）（4）（5）（6），其中是持續(xù)函數(shù)。解：(1)arctanx(2)(3)(4)(5)(6)7.指出以下運(yùn)算的錯(cuò)誤，錯(cuò)在何處（1）(2)(3)(4)解：（1）忘記了x3對(duì)x的一步求導(dǎo)正確解：（2）計(jì)算進(jìn)程失誤，先化簡(jiǎn)，再求導(dǎo)。正確解：3x2（3）正確（4）沒有談?wù)摚?，）上sinx的正負(fù)性。正確解：48.設(shè)k是正整數(shù)，試證明以下各題（1）（2）（3）（4）9.設(shè)k及m為正整數(shù)，且k≠m,試證明以下各題（1）（2）（3）10.求由參數(shù)方程所確信的函數(shù)y=f(x)的一階導(dǎo)數(shù)。11.求由方程所確信的y=f(x)的一階和二階導(dǎo)數(shù)，兩式相較得12.設(shè)，求在[0,2]上表達(dá)式，并討論在[0,2]上的持續(xù)性。持續(xù)13.求以下極限（1）（2）（3）（4）（5）解：（1）依照洛必達(dá)法那么（2）依照洛必達(dá)法那么(3)依照洛必達(dá)法那么和等價(jià)無窮小（4）依照洛必達(dá)法那么（5）依照洛必達(dá)法那么14.設(shè)f(x)在[a,b]上持續(xù)，在（a,b）內(nèi)可導(dǎo)且f’(x)≤0,.證明：在（a,b）內(nèi)有F’(x)≤0.其頂用到積分中值定理和拉格朗日微分中值定理。15.設(shè)函數(shù)f(x)在x=1的某個(gè)鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且f(1)=0,,計(jì)算依照洛必達(dá)法那么：16.求以下極限（1）（2）（1）解：原式=（2）解：原式=（B）17.設(shè)f(x)在[a,b]上可積，證明：至少存在∈[a,b],使得證明：構(gòu)造函數(shù)，依照羅爾定理，存在∈[a,b]，使得18.設(shè)f(x)在[a,b]上持續(xù)，且f(x)>0.證明：（1）存在唯一的∈（a,b）,使得；（2）證明：構(gòu)造函數(shù)依照羅爾定理，至少存在一個(gè)∈（a,b）,使得。再證唯一性，,（2）得證。因此F(x)在[a,b]上持續(xù)遞增，只能有一個(gè)零點(diǎn)∈（a,b）,使得。習(xí)題選擇題一、（A）二、（D）解:求的原函數(shù)，即對(duì)f(x)求不定積分，令C=1，即得D。3、（C）二、填空題一、解：原式===二、解：原式==3、解：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，得，4、解：由已知得，于是有，，那么三、判定題正確不正確正確不正確分析，右邊=，右邊=，故不相等正確不正確四、求不定積分一、解：二、解：3、解：4、解：五、解：

=解：解：令則，原式解：10、解：1一、解：1二、解：13、解：14、解：1五、解：1六、解：17、解：1八、解：1九、解：20、解：2一、解：2二、解：23、解：24、解：2五、解：2六、解：五、解：設(shè)任一點(diǎn)該曲線的切線斜率為，那么，那么有又曲線通過（），即，得C=1故該曲線方程為六、解：當(dāng)時(shí)，；得C=0故將時(shí)，當(dāng)通過的路程為512m時(shí)，；解得七、利用換元積分法求以下不定積分一、解：二、解：3、解：4、解：五、解：