《微積分學(xué)教程》

《微積分學(xué)教程》匯報(bào)人：AA2024-01-24緒論極限與連續(xù)導(dǎo)數(shù)與微分積分學(xué)多元函數(shù)微積分學(xué)無窮級數(shù)微分方程初步目錄01緒論古代微積分思想的萌芽早在古希臘時(shí)期，阿基米德、歐幾里得等數(shù)學(xué)家就開始研究圖形的面積和體積，這些研究為后來的微積分學(xué)奠定了基礎(chǔ)。17世紀(jì)微積分學(xué)的創(chuàng)立17世紀(jì)，牛頓和萊布尼茨分別獨(dú)立地創(chuàng)立了微積分學(xué)。牛頓從物理學(xué)的角度出發(fā)，提出了“流數(shù)術(shù)”（即微分法），而萊布尼茨則從幾何學(xué)的角度出發(fā)，發(fā)明了微積分符號，并建立了微積分的基本定理。18-19世紀(jì)微積分學(xué)的發(fā)展18-19世紀(jì)，數(shù)學(xué)家們對微積分學(xué)進(jìn)行了深入的研究和拓展，包括歐拉、拉格朗日、柯西、魏爾斯特拉斯等在內(nèi)的眾多數(shù)學(xué)家都為微積分學(xué)的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn)。微積分學(xué)的歷史與發(fā)展微積分學(xué)的基本思想微分學(xué)的基本思想微分學(xué)主要研究函數(shù)在某一點(diǎn)的局部性質(zhì)，通過求導(dǎo)數(shù)來描述函數(shù)在該點(diǎn)的變化率。微分學(xué)的基本思想包括極限思想、導(dǎo)數(shù)概念和微分中值定理等。積分學(xué)的基本思想積分學(xué)主要研究函數(shù)在一定區(qū)間上的整體性質(zhì)，通過求原函數(shù)來描述函數(shù)在該區(qū)間的累積效應(yīng)。積分學(xué)的基本思想包括定積分概念、積分中值定理和微積分基本定理等。本書共分為三大部分：微分學(xué)、積分學(xué)和微分方程。其中微分學(xué)部分包括極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)和微分等內(nèi)容；積分學(xué)部分包括定積分、不定積分、重積分和曲線積分等內(nèi)容；微分方程部分包括常微分方程和偏微分方程等內(nèi)容。本書在內(nèi)容安排上注重系統(tǒng)性、邏輯性和實(shí)用性。在介紹基本概念和定理時(shí)，力求嚴(yán)謹(jǐn)、準(zhǔn)確；在闡述解題方法時(shí)，注重思路的啟發(fā)和方法的多樣性；在選取例題和習(xí)題時(shí)，注重典型性、代表性和難度適中。同時(shí)，本書還配備了大量的圖表和注解，以幫助讀者更好地理解和掌握微積分學(xué)的知識。本書的結(jié)構(gòu)與安排02極限與連續(xù)極限的定義描述函數(shù)在某一點(diǎn)或無窮遠(yuǎn)處的變化趨勢。極限存在的條件左右極限存在且相等。極限的性質(zhì)唯一性、局部有界性、保號性、四則運(yùn)算法則等。極限的概念與性質(zhì)03一致連續(xù)與連續(xù)的區(qū)別與聯(lián)系一致連續(xù)是更強(qiáng)的連續(xù)性條件，要求函數(shù)在整個(gè)區(qū)間上都具有“均勻”的連續(xù)性。01連續(xù)函數(shù)的定義函數(shù)在某一點(diǎn)連續(xù)，當(dāng)且僅當(dāng)函數(shù)在該點(diǎn)的極限值等于函數(shù)值。02連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)局部有界性、介值性、反函數(shù)的連續(xù)性等。連續(xù)函數(shù)的概念與性質(zhì)求函數(shù)的極限值01利用極限的性質(zhì)和運(yùn)算法則，可以求出函數(shù)在某一點(diǎn)或無窮遠(yuǎn)處的極限值。判斷函數(shù)的連續(xù)性02通過求函數(shù)在某一點(diǎn)的左右極限，可以判斷函數(shù)在該點(diǎn)是否連續(xù)。解決實(shí)際問題03在經(jīng)濟(jì)學(xué)、物理學(xué)等領(lǐng)域中，很多問題可以通過建立數(shù)學(xué)模型，利用極限和連續(xù)的理論進(jìn)行求解。例如，求某個(gè)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的增長趨勢、求物理量的瞬時(shí)變化率等。極限與連續(xù)的應(yīng)用03導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)的定義導(dǎo)數(shù)的概念與性質(zhì)導(dǎo)數(shù)描述了函數(shù)在某一點(diǎn)處的切線斜率，反映了函數(shù)值隨自變量變化的快慢程度。導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)包括可導(dǎo)性、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等。通過導(dǎo)數(shù)可以判斷函數(shù)的單調(diào)性，找到函數(shù)的極值點(diǎn)。導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性、極值的關(guān)系微分是函數(shù)在某一點(diǎn)處的局部線性逼近，即函數(shù)的微小變化量。微分的定義包括基本初等函數(shù)的微分公式、微分的四則運(yùn)算法則、復(fù)合函數(shù)的微分法則等。微分的基本公式與運(yùn)算法則通過微分可以近似計(jì)算函數(shù)的微小變化量，如誤差估計(jì)、精度分析等。微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用微分法及其應(yīng)用01高階導(dǎo)數(shù)描述了函數(shù)在某一點(diǎn)處的更高階變化率，反映了函數(shù)形狀的復(fù)雜程度。高階導(dǎo)數(shù)的定義與性質(zhì)02通過高階導(dǎo)數(shù)可以判斷函數(shù)的凹凸性，找到函數(shù)的拐點(diǎn)。高階導(dǎo)數(shù)與函數(shù)凹凸性、拐點(diǎn)的關(guān)系03高階微分是函數(shù)在某一點(diǎn)處的更高階局部線性逼近，可以通過逐次微分得到。高階微分的定義與計(jì)算高階導(dǎo)數(shù)及微分04積分學(xué)原函數(shù)與不定積分不定積分是求一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)的過程，原函數(shù)與不定積分之間通過微分和積分互逆。不定積分的性質(zhì)不定積分具有線性性、可加性和常數(shù)倍性質(zhì)，這些性質(zhì)使得在求解復(fù)雜的不定積分時(shí)可以采用分步積分的方法。不定積分的求解方法求解不定積分的方法包括湊微分法、換元法和分部積分法，這些方法的選擇取決于被積函數(shù)的類型和特點(diǎn)。不定積分的概念與性質(zhì)定積分的定義定積分具有可加性、保號性、絕對值不等式和估值定理等性質(zhì)，這些性質(zhì)為定積分的計(jì)算和應(yīng)用提供了基礎(chǔ)。定積分的性質(zhì)定積分的求解方法求解定積分的方法包括牛頓-萊布尼茲公式、換元法、分部積分法和數(shù)值方法等，其中牛頓-萊布尼茲公式是求解定積分的基本方法。定積分是求一個(gè)函數(shù)在閉區(qū)間上的面積或平均值的過程，其結(jié)果是一個(gè)確定的數(shù)值。定積分的概念與性質(zhì)利用定積分可以求解平面圖形和立體圖形的面積和體積，如圓的面積、球的體積等。面積與體積物理學(xué)中的應(yīng)用工程學(xué)中的應(yīng)用經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用積分在物理學(xué)中有廣泛的應(yīng)用，如求解物體的質(zhì)心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、引力勢能等。在工程學(xué)中，積分被用于求解曲線的長度、曲面的面積、流體的流量等問題。在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，積分被用于計(jì)算總收益、總成本、消費(fèi)者剩余和生產(chǎn)者剩余等經(jīng)濟(jì)指標(biāo)。積分的應(yīng)用05多元函數(shù)微積分學(xué)設(shè)$D$為一個(gè)非空的$n$元有序數(shù)組的集合，$f$為某一確定的對應(yīng)規(guī)則。若對于每一個(gè)有序數(shù)組$(x1,x2,…,xn)∈D$，通過對應(yīng)規(guī)則$f$，都有唯一確定的實(shí)數(shù)$y$與之對應(yīng)，則稱對應(yīng)規(guī)則$f$為定義在$D$上的$n$元函數(shù)。多元函數(shù)的定義多元函數(shù)具有一些與一元函數(shù)類似的性質(zhì)，如連續(xù)性、可微性、可積性等。同時(shí)，多元函數(shù)也有一些特殊的性質(zhì)，如方向?qū)?shù)和梯度等。多元函數(shù)的性質(zhì)多元函數(shù)的概念與性質(zhì)VS設(shè)函數(shù)$z=f(x,y)$在點(diǎn)$(x0,y0)$的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)$y$固定在$y0$而$x$在$x0$處有增量$Deltax$時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)有增量$Deltaz=f(x0+Deltax,y0)-f(x0,y0)$。如果$Deltaz$與$Deltax$之比當(dāng)$Deltaxto0$時(shí)的極限存在，那么此極限值稱為函數(shù)$z=f(x,y)$在點(diǎn)$(x0,y0)$處對$x$的偏導(dǎo)數(shù)。全微分的定義如果函數(shù)$z=f(x,y)$在點(diǎn)$(x,y)$的全增量$Deltaz=f(x+Deltax,y+Deltay)-f(x,y)$可以表示為$Deltaz=ADeltax+BDeltay+o(rho)$，其中$A,B$不依賴于$Deltax,Deltay$而僅與$x,y$有關(guān)，$rho=(Deltax^2+Deltay^2)^{frac{1}{2}}$，此時(shí)稱函數(shù)$z=f(x,y)$在點(diǎn)$(x,y)$處可微，而$ADeltax+BDeltay$稱為函數(shù)$z=f(x,y)$在點(diǎn)$(x,y)$處的全微分。偏導(dǎo)數(shù)的定義偏導(dǎo)數(shù)與全微分多元函數(shù)的積分二重積分的定義：設(shè)函數(shù)$f(x,y)$在有界閉區(qū)域$D$上連續(xù)，將閉區(qū)域$D$任意分成$n$個(gè)子域$\Delta\sigma_i(i=1,2,…,n)$，并以$\Delta\sigmai$的直徑作和式$\sum{i=1}^{n}f(\xi_i,\eta_i)\Delta\sigma_i(\xi_i,\eta_i)\in\Delta\sigma_i)$。記$\lambda=\max{\Delta\sigma_1,\Delta\sigma_2,…,\Delta\sigma_n}$，如果不論對閉區(qū)域D如何劃分及點(diǎn)($\xi_i,\etai$)如何選取，只要當(dāng)$\lambda\to0$時(shí)，和式$\sum{i=1}^{n}f(\xi_i,\eta_i)\Delta\sigma_i$的極限存在，且極限值與閉區(qū)域D的劃分及點(diǎn)($\xi_i,\eta_i$)的選取無關(guān)，那么稱此極限為函數(shù)在閉區(qū)域上的二重積分。三重積分的定義：設(shè)三元函數(shù)$f(x,y,z)$在區(qū)域$\Omega$上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，將$\Omega$任意分割為$n$個(gè)小區(qū)域，每個(gè)小區(qū)域的直徑記為$\rho_i(i=1,2,...,n)$，體積記為$\DeltaV_i(i=1,2,...,n)$，在每個(gè)小區(qū)域內(nèi)取點(diǎn)$(\xi_i,\eta_i,\zetai)$，作和式$\sum{i=1}^{n}f(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\cdot\DeltaV_i$，若該和式當(dāng)各小區(qū)域的直徑中的最大值趨于零時(shí)的極限存在且唯一(即與區(qū)域$\Omega$的分割和點(diǎn)的取法無關(guān))，則稱此極限為函數(shù)$f(x,y,z)$在區(qū)域$\Omega$上的三重積分。06無窮級數(shù)無窮多個(gè)常數(shù)按照一定順序排列的數(shù)列。常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的定義常數(shù)項(xiàng)級數(shù)前n項(xiàng)和序列的極限存在，則稱該級數(shù)收斂。收斂性定義包括比較判別法、比值判別法、根值判別法等，用于判斷常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂性。收斂性判別法常數(shù)項(xiàng)級數(shù)及其收斂性冪級數(shù)的定義形如∑an(x-a)?的級數(shù)，其中an為常數(shù)，x為自變量，a為常數(shù)項(xiàng)。收斂半徑與收斂區(qū)間冪級數(shù)在某一區(qū)間內(nèi)收斂，該區(qū)間稱為收斂區(qū)間，其半徑稱為收斂半徑。冪級數(shù)的性質(zhì)包括和函數(shù)的連續(xù)性、可微性、可積性等。冪級數(shù)及其收斂性函數(shù)展開成冪級數(shù)及其應(yīng)用包括近似計(jì)算、函數(shù)逼近、微分方程求解等。例如，利用冪級數(shù)展開式可以近似計(jì)算某些復(fù)雜函數(shù)的值，或者將某些難以求解的微分方程轉(zhuǎn)化為冪級數(shù)形式進(jìn)行求解。冪級數(shù)的應(yīng)用函數(shù)在某一點(diǎn)處具有各階導(dǎo)數(shù)，且其泰勒級數(shù)在該點(diǎn)處收斂。函數(shù)展開成冪級數(shù)的條件泰勒級數(shù)是將函數(shù)展開成冪級數(shù)的形式，而麥克勞林級數(shù)是泰勒級數(shù)在x=0處的特殊情況。泰勒級數(shù)與麥克勞林級數(shù)07微分方程初步微分方程的定義含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程稱為微分方程。微分方程的解使微分方程成為恒等式的函數(shù)稱為微分方程的解。微分方程的階微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)稱為微分方程的階。微分方程的基本概念一階微分方程的解法通過變量分離法、常數(shù)變易法等方法求解一階微分方程。一階微分方程的應(yīng)用在物理、化學(xué)、工程等領(lǐng)域中，一階微分方程有著廣泛的應(yīng)用，如求解物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律、化學(xué)反應(yīng)速率等問題。一階微分方程的形式形如$y'+p(x)y=q(x)$的一階微分方程，其中$p(x)$和$q(x)$是已知函數(shù)。一階微分方