計算機控制系統(tǒng) 課件 第3章 Z變換與脈沖傳遞函數(shù)

《計算機控制系統(tǒng)》第3章Z變換與脈沖傳遞函數(shù)2023年5月問題的提出在線性連續(xù)系統(tǒng)中，系統(tǒng)用線性微分方程組來描述。而為了便于對連續(xù)系統(tǒng)進行分析與設(shè)計，多將線性微分方程轉(zhuǎn)換成傳遞函數(shù)模型。其中關(guān)鍵的數(shù)學(xué)原理是拉普拉斯變換。在計算機控制系統(tǒng)作為線性離散系統(tǒng)或者近似線性離散系統(tǒng)，建立的數(shù)學(xué)模型是線性差分方程組。同樣，為了便于對線性離散系統(tǒng)進行分析與設(shè)計，多使用Ｚ變換將線性差分方程轉(zhuǎn)換成脈沖傳遞函數(shù)模型。1計算機控制系統(tǒng)第3章Z變換與脈沖傳遞函數(shù)本課教學(xué)目的掌握Z變換的定義，會用Z變換定義求解常用函數(shù)的Z變換；掌握Z變換的性質(zhì)和定理，會應(yīng)用其求解復(fù)雜函數(shù)的Z變換；理解Z反變換的定義；掌握脈沖傳遞函數(shù)的推導(dǎo)方法本課重點Z變換的定義、性質(zhì)及其應(yīng)用2第3章Z變換與脈沖傳遞函數(shù)計算機控制系統(tǒng)本課難點Z變換性質(zhì)和定理的理解，Z反變換求法，脈沖傳遞函數(shù)的推導(dǎo)方法。教學(xué)思路對照《自動控制原理》連續(xù)系統(tǒng)的相應(yīng)定理來理解離散系統(tǒng)：

微分方程

差分方程

傳遞函數(shù)

Z傳遞函數(shù)

拉氏變換Z變換

S平面

Z平面3第3章Z變換與脈沖傳遞函數(shù)計算機控制系統(tǒng)線性連續(xù)時間控制系統(tǒng)微分方程代數(shù)方程計算機控制系統(tǒng)—線性離散時間控制系統(tǒng)：

差分方程代數(shù)方程4第3章Z變換與脈沖傳遞函數(shù)計算機控制系統(tǒng)Laplace變換Z變換數(shù)學(xué)模型對比5第3章Z變換與脈沖傳遞函數(shù)計算機控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型連續(xù)系統(tǒng)離散系統(tǒng)微分方程差分方程傳遞函數(shù)脈沖傳遞函數(shù)狀態(tài)空間表達式離散狀態(tài)空間表達式Continuous-timesystem-------Discrete-timesystemLaplace變換的定義如果有一個時間t為自變量的函數(shù)f(t)，它的定義域是，那么拉氏變換就是如下運算式：

式中的s為復(fù)數(shù)。一個函數(shù)可以進行拉氏變換的充分條件是：（1）在時，；（2）在時的任意有限區(qū)間內(nèi)，是分段連續(xù)的；（3）6Laplace變換（復(fù)習(xí)）計算機控制系統(tǒng)象函數(shù)原函數(shù)如果已知象函數(shù)，則拉氏變換的反變換為：式中c為實數(shù)，并且大于任意奇點的實數(shù)部分。為工程應(yīng)用方便，常把和的對應(yīng)關(guān)系編成表格—拉氏變換表。7計算機控制系統(tǒng)Laplace變換（復(fù)習(xí)）應(yīng)用拉氏變換法解微分方程的步驟如下：（1）對線性微分方程進行拉氏變換，使時域的微分方程變換為復(fù)數(shù)域s的代數(shù)變換方程；方程中的初始值應(yīng)取系統(tǒng)

時的對應(yīng)值。（2）求解代數(shù)變換方程，得到輸出變量在復(fù)數(shù)域s的象函數(shù)表達式。（3）將s域的輸出象函數(shù)表達式展成部分分式。（4）對部分分式進行拉氏反變換(可查拉氏變換表)，即得微分方程在時域的全解。8第3章Z變換與脈沖傳遞函數(shù)Laplace變換（復(fù)習(xí)）例題：RC無源網(wǎng)絡(luò)動態(tài)微分方程式為求輸入為單位階躍電壓時的時域解。設(shè)電容C上的初始電壓為解:對網(wǎng)絡(luò)微分方程式進行拉氏變換，得輸入單位階躍電壓為，將其拉氏變換式

代入上式并整理，得電容端電壓的拉氏變換式為9計算機控制系統(tǒng)Laplace變換（復(fù)習(xí)）將輸出的象函數(shù)展成部分分式：對等式兩邊進行拉氏反變換，得：10計算機控制系統(tǒng)Laplace變換（復(fù)習(xí)）第3章Z變換與脈沖傳遞函數(shù)計算機控制系統(tǒng)11第3章Z變換與脈沖傳遞函數(shù)123.1線性離散系統(tǒng)和差分方程3.2Z變換及其性質(zhì)3.3脈沖傳遞函數(shù)計算機控制系統(tǒng)在線性連續(xù)系統(tǒng)中，系統(tǒng)用線性微分方程組來描述。而為了便于對連續(xù)系統(tǒng)進行分析與設(shè)計，多將線性微分方程轉(zhuǎn)換成（S）傳遞函數(shù)模型。其中關(guān)鍵的數(shù)學(xué)原理是拉普拉斯變換。相對應(yīng)的，計算機控制系統(tǒng)作為線性離散系統(tǒng)或者近似線性離散系統(tǒng)，建立的數(shù)學(xué)模型是線性差分方程組，為了便于對連續(xù)系統(tǒng)進行分析與設(shè)計，多將線性差分方程轉(zhuǎn)換成脈沖傳遞函數(shù)（Z傳遞函數(shù)），關(guān)鍵的數(shù)學(xué)原理Z變換。133.1線性離散系統(tǒng)和差分方程計算機控制系統(tǒng)3.1.1線性連續(xù)系統(tǒng)和線性離散系統(tǒng)

在離散系統(tǒng)中，則用差分方程、脈沖（Z）傳遞函數(shù)、單位脈沖響應(yīng)序列和離散狀態(tài)空間表達式等方式來描述。如果離散系統(tǒng)的輸入信號到輸出信號的變換關(guān)系，滿足比例、疊加原理，那么該系統(tǒng)就稱為線性離散系統(tǒng)。若不滿足比例、疊加原理，就是非線性離散系統(tǒng)。143.1線性離散系統(tǒng)和差分方程計算機控制系統(tǒng)3.1.1線性連續(xù)系統(tǒng)和線性離散系統(tǒng)離散系統(tǒng)（計算機控制系統(tǒng)）是輸入和輸出信號均為離散信號的物理系統(tǒng)。在數(shù)學(xué)上，離散系統(tǒng)可以抽象為一種系統(tǒng)的離散輸入信號x(k)

到系統(tǒng)的離散輸出信號y(k)之間的數(shù)學(xué)變換或映射。離散系統(tǒng)y(k)x(k)3.1線性離散系統(tǒng)和差分方程對于線性連續(xù)系統(tǒng)，一般用微分方程描述為：并將該連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)定義為初始條件為零時的輸出輸入的拉普拉斯變換的比值：計算機控制系統(tǒng)3.1.1線性連續(xù)系統(tǒng)和線性離散系統(tǒng)153.1線性離散系統(tǒng)和差分方程對于一個單輸入單輸出線性定常離散系統(tǒng)，在某一個采樣時刻的輸出值不僅與這一時刻的輸入值x(k)有關(guān)，而且與過去時刻的輸入值，x(k-1)，x(k-2)…有關(guān),該（第一種，后向差分）線性離散系統(tǒng)的差分方程一般式為：第二種形式（前向差分）：稱為(n，m)階差分方程，其中m≤n，是在輸入輸出的最低階上統(tǒng)一。計算機控制系統(tǒng)3.1.2線性離散系統(tǒng)和差分方程163.1線性離散系統(tǒng)和差分方程①差分方程的經(jīng)典解法：差分方程的經(jīng)典解法與微分方程的解法類似。其全解包括對應(yīng)齊次方程的通解和非齊次方程的一個特解。②差分方程的迭代解法：如果已知系統(tǒng)的差分方程和輸入值序列，則在給定輸出值序列的初始值之后，就可以利用迭代方法計算出任何時刻的輸出值。原理：根據(jù)初始條件(邊界條件)，逐步遞推計算出后面各時刻的輸出，即由前一時刻的已知結(jié)果，遞推出后一時刻的待求值。計算機控制系統(tǒng)3.1.3差分方程的求解173.1線性離散系統(tǒng)和差分方程③利用Z變換求解差分方程：采用Z變換法解線性常系數(shù)差分方程和利用拉氏變換法解微分方程相類似.具體在3.2.4節(jié)介紹。3.1.3差分方程的求解計算機控制系統(tǒng)183.1線性離散系統(tǒng)和差分方程例題：連續(xù)時間的比例-積分（PI）控制器用微分方程描述為：其中，是控制器的輸入信號，是控制器的輸出信號，和是控制器的常量增益參數(shù)。當(dāng)采用下圖中的采樣方式時，根據(jù)矩形法則，曲線下方的面積由矩形面積之和近似求得?？梢缘玫剑河嬎銠C控制系統(tǒng)19T為數(shù)值算法的步長。上式為一個一階線性差分方程。因此，比例-積分（PI）控制器可表示為：線性離散系統(tǒng)輸出y(kT)輸入x(kT)（1）物理可實現(xiàn)性要求是什么？后向差分：（2）前向與后向差分的關(guān)系是什么？前向差分：《計算機控制技術(shù)》\\第3章計算機控制系統(tǒng)的描述3.1線性離散系統(tǒng)和差分方程計算機控制系統(tǒng)3.1.4線性離散系統(tǒng)和差分方程總結(jié)203.1Z變換和Z反變換f(t)f*(t)f(t)STf*(t)F(s)F*(s)?3.2Z變換及其性質(zhì)計算機控制系統(tǒng)21223.2Z變換及其性質(zhì)3.2.1Z變換的定義Z變換是拉普拉斯變換的特殊形式，可以從拉氏變換中直接推導(dǎo)出來。在線性離散系統(tǒng)中，對采樣信號作拉普拉斯變換，可得到：

令，則：定義函數(shù)的Z變換，記為：計算機控制系統(tǒng)（1）定義的理解:

物理意義是什么？表示時間序列的強度z-k表示時間序列出現(xiàn)的時刻，相對時間起點延遲k個周期F(z)既包含幅值信息，又包含時間信息。3.1Z變換和Z反變換3.2Z變換及其性質(zhì)計算機控制系統(tǒng)3.2.1Z變換的定義23（1）定義的理解:

只能表征采樣函數(shù)的z變換,即

在采樣時刻上的特性，而不能表征采樣點之間的特性；習(xí)慣稱F(z)是的z變換。

思考:

與

是否是一一對應(yīng)關(guān)系？

3.1Z變換和Z反變換3.2Z變換及其性質(zhì)計算機控制系統(tǒng)3.2.1Z變換的定義24將序列簡記為，則單邊Z變換：雙邊Z變換：253.2Z變換及其性質(zhì)3.2.1Z變換的定義計算機控制系統(tǒng)3.1Z變換和Z反變換3.2.1Z變換的定義3.2Z變換及其性質(zhì)Z變換求法例題：解:計算機控制系統(tǒng)求函數(shù)f（t）的Z變換263.1Z變換和Z反變換3.2.1Z變換的定義3.2Z變換及其性質(zhì)Z變換求法例題：解計算機控制系統(tǒng)

273.1Z變換和Z反變換3.2.1Z變換的定義3.2Z變換及其性質(zhì)Z變換求法例題：解計算機控制系統(tǒng)

283.1Z變換和Z反變換3.2.1Z變換的定義3.2Z變換及其性質(zhì)Z變換求法（略）例題：解:計算機控制系統(tǒng)求函數(shù)f（t）的Z變換29Z變換求法（略）根據(jù)Z變換的定義例題：求單位階躍函數(shù)1(t)的Z變換。解303.2Z變換及其性質(zhì)3.2.1Z變換的定義symsn;symsz;fn=1;FZ=simple(ztrans(fn,n,z));%%輸出disp('FZ=');MATLAB求Z變換計算機控制系統(tǒng)3.2.1Z變換的定義3.2Z變換及其性質(zhì)計算機控制系統(tǒng)31

323.2Z變換及其性質(zhì)3.2.1常用函數(shù)的Z變換匯總?cè)缦卤?/p>

計算機控制系統(tǒng)333.2Z變換及其性質(zhì)3.2.2Z變換的性質(zhì)線性

設(shè)

，且a,b為常數(shù)，則：計算機控制系統(tǒng)343.2Z變換及其性質(zhì)3.2.2Z變換的性質(zhì)例題：已知序列

，其中

是單位階躍序列，求該序列的Z變換解：由Z變換的線性性質(zhì)可得：計算機控制系統(tǒng)3.2.2Z變換的性質(zhì)3.2Z變換及其性質(zhì)時移性

計算機控制系統(tǒng)35363.2Z變換及其性質(zhì)3.2.2Z變換的性質(zhì)例題：試求延遲4個時間單位的單位階躍函數(shù)

的Z變換解：由時移性可知：計算機控制系統(tǒng)時域擴展性對于序列，為不為零的常數(shù),則：3.2Z變換及其性質(zhì)3.2.2Z變換的性質(zhì)計算機控制系統(tǒng)373.2Z變換及其性質(zhì)Z域尺度變換性對于序列的，Z變換為：有:3.2.2Z變換的性質(zhì)計算機控制系統(tǒng)383.2Z變換及其性質(zhì)時域共軛性3.2.2Z變換的性質(zhì)計算機控制系統(tǒng)39卷積性質(zhì)對于兩個序列:3.2Z變換及其性質(zhì)3.2.2Z變換的性質(zhì)計算機控制系統(tǒng)403.2Z變換及其性質(zhì)3.2.2Z變換的性質(zhì)計算機控制系統(tǒng)Z域微分性設(shè)序列x(n)的Z變換為：41423.2Z變換及其性質(zhì)3.2.2Z變換的性質(zhì)例題：已知單位階躍序列

的Z變換為

試求單位斜坡序列

的Z變換解：由Z域微分性質(zhì)，知：計算機控制系統(tǒng)3.2Z變換及其性質(zhì)初值與終值定理(1)初值定理已知是因果序列，，當(dāng)z趨向于無窮大時，若X（z）的極限存在，則：(2)終值定理已知是因果序列，，則：3.2.2Z變換的性質(zhì)計算機控制系統(tǒng)43443.2Z變換及其性質(zhì)3.2.2Z變換的性質(zhì)例題：對于差分方程

其中

為單位階躍序列當(dāng)

時，。求

的初值及終值解：由Z變換理論知：對上述方程進行變化得：根據(jù)初值定理，則：根據(jù)終值定理，則：計算機控制系統(tǒng)453.2Z變換及其性質(zhì)3.2.2Z變換的典型性質(zhì)匯總?cè)缦卤恚ň笳莆眨?/p>

計算機控制系統(tǒng)463.2Z變換及其性質(zhì)3.2.3Z反變換由求解序列的過程稱為Z反變換，表示為：Z反變換得到的只是在采樣點的時間序列，而不是序列。在進行反變換時，常用的方法有三種：

長除法、部分分式展開法、留數(shù)計算法計算機控制系統(tǒng)3.2Z變換及其性質(zhì)長除法長除法又稱為直接除法或者冪級數(shù)法，把X(z)展開為的無窮級數(shù)的形式，然后逐項求取Z反變換。在確定反變換閉合表達式比較困難的情況下或者只求前幾項時，此法效率最高。

項前面的系數(shù)值就是時刻的值，上式可以用長除法得到，即：3.2.3Z反變換計算機控制系統(tǒng)47483.2Z變換及其性質(zhì)例題：求的Z反變換解：

由上式知：所以3.2.3Z反變換計算機控制系統(tǒng)3.2Z變換及其性質(zhì)部分分式展開法對于給出的變換其形式為：3.2.3Z反變換計算機控制系統(tǒng)49當(dāng)分母為零時含有共軛復(fù)數(shù)極點或者重根時，將展開成部分分式，查變換表即可求得。3.2Z變換及其性質(zhì)部分分式展開法當(dāng)?shù)姆帜笧榱銜r，如果只有單實極點，且分子在處有一零點，則用除去的兩邊，然后將展開成部分分式，其形式如下：其反變換為：3.2.3Z反變換計算機控制系統(tǒng)50513.2Z變換及其性質(zhì)例題：已知

試求反變換:解：

首先將其

展開為部分分式如下：于是我們得到：3.2.3Z反變換所以：計算機控制系統(tǒng)

在

處為單根，在

處為重根，將

部分分式展開：523.2Z變換及其性質(zhì)例題：已知

試求反變換：解：

3.2.3Z反變換系數(shù)

，和分別從以下式子中求得：計算機控制系統(tǒng)533.2Z變換及其性質(zhì)所以，部分分式展開為：

3.2.3Z反變換由Z變換表可知：計算機控制系統(tǒng)3.2Z變換及其性質(zhì)留數(shù)計算法（略）長除法和部分分式展開兩種方法對于超越函數(shù)很難處理，留數(shù)計算法則對有理分式和非有理分式都適用。留數(shù)計算法求取Z反變換的計算公式如下：為的全部的個極點，是極點的重根數(shù)。3.2.3Z反變換計算機控制系統(tǒng)54553.2Z變換及其性質(zhì)例題：已知

，利用留數(shù)法求其反變換。解：

由題知，有兩個極點分別為

和，根據(jù)留數(shù)計算法有：3.2.3Z反變換symsz;FZ=z^2/(z-2)/(z-3);fn=iztrans(FZ,z,n);%%輸出disp('fn');MATLAB求Z反變換計算機控制系統(tǒng)3.2Z變換及其性質(zhì)計算機控制系統(tǒng)3.2.3Z反變換56573.2Z變換及其性質(zhì)例題：已知

利用留數(shù)法求其反變換。解：

由題知，有一個單根，一個二重根，根據(jù)留數(shù)計算法有：3.2.3Z反變換計算機控制系統(tǒng)和用拉普拉斯變換求解連續(xù)系統(tǒng)一樣，可以用Z變換來求解由差分方程描述的離散系統(tǒng)。在離散系統(tǒng)中，用Z變換來解差分方程，使得求解運算轉(zhuǎn)換成代數(shù)運算，大大簡化了離散系統(tǒng)的分析過程。其中用到的主要原理是Z變換的時移特性，即：3.2.4使用Z變換求解離散系統(tǒng)的差分方程3.2Z變換及其性質(zhì)計算機控制系統(tǒng)58593.2Z變換及其性質(zhì)例題：已知差分方程為

，初始條件為

，

求解該方程。解：對方程的兩端求Z變換，利用時移性，得:

把代入上式并用部分分式展開得：

化簡得:對各項求其Z反變換，則:3.2.4使用Z變換求解離散系統(tǒng)的差分方程計算機控制系統(tǒng)603.2Z變換及其性質(zhì)例題：用Z變換求解差分方程

，初始條件為：解：對方程的兩端求Z變換得:

即：把初始條件

代入，則得：對其求Z反變換，則:3.2.4使用Z變換求解離散系統(tǒng)的差分方程計算機控制系統(tǒng)613.2Z變換及其性質(zhì)例題：已知差分方程為

，其中

，

當(dāng)

時

，當(dāng)

時，求其反變換。解：對方程的兩端求Z變換得:

將初始條件代入，有：取上式的Z反變換，則:3.2.4使用Z變換求解離散系統(tǒng)的差分方程計算機控制系統(tǒng)求解差分方程的一般方法可以歸結(jié)如下：1）對差分方程兩端同時取Z變換；2）利用初始條件化簡Z變換式；3）將Z變換式改寫成如下形式：3.2.4使用Z變換求解離散系統(tǒng)的差分方程3.2Z變換及其性質(zhì)計算機控制系統(tǒng)623.3脈沖傳遞函數(shù)計算機控制系統(tǒng)633.3.1脈沖傳遞函數(shù)推導(dǎo)脈沖傳遞函數(shù)定義：線性離散系統(tǒng)中，一個系統(tǒng)（或環(huán)節(jié)）輸出脈沖序列的Z變換與輸入脈沖序列的Z變換之比，被定義為該系統(tǒng)（或環(huán)節(jié)）的脈沖傳遞函數(shù)，或Z傳遞函數(shù)。G(z)輸入U(z)輸出Y(z)如何建立被控對象的脈沖傳遞函數(shù)模型G(Z)?3.3脈沖傳遞函數(shù)計算機控制系統(tǒng)3.3.1脈沖傳遞函數(shù)推導(dǎo)如何建立被控對象的脈沖傳遞函數(shù)模型G(Z)：

（1）由差分方程求取脈沖傳遞函數(shù)（2）由S傳遞函數(shù)求脈沖傳遞函數(shù)（3）由單位脈沖響應(yīng)求脈沖傳遞函數(shù)G(z)差分方程單位脈沖響應(yīng)G(s)3.3脈沖傳遞函數(shù)已知前向差分方程，其形式為：定義該離散系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：初始條件為零時，利用超前定理，系統(tǒng)輸出輸入序列的Z變換的比值：通常將離散系統(tǒng)的傳遞函數(shù)稱為Z傳遞函數(shù)，又叫脈沖傳遞函數(shù)。計算機控制系統(tǒng)65（1）由差分方程求取脈沖傳遞函數(shù)3.3脈沖傳遞函數(shù)計算機控制系統(tǒng)66（1）由差分方程求取脈沖傳遞函數(shù)已知后向差分方程：令對象的初始值為零，利用滯后定理，得到：整理，得：

3.3脈沖傳遞函數(shù)計算機控制系統(tǒng)67（1）由差分方程求取脈沖傳遞函數(shù)前向式：后向式（常用）：3.3脈沖傳遞函數(shù)計算機控制系統(tǒng)68（2）由S傳遞函數(shù)求脈沖傳遞函數(shù)G(s)u(t)y(t)u*(t)如果只考慮采樣時刻的y值，可得：3.3脈沖傳遞函數(shù)計算機控制系統(tǒng)69（2）由S傳遞函數(shù)求脈沖傳遞函數(shù)z變換，得：由可以看出這是u和g的離散卷積，即：其中：推導(dǎo)1：因為：所以：3.3脈沖傳遞函數(shù)計算機控制系統(tǒng)70（2）由S傳遞函數(shù)求脈沖傳遞函數(shù)推導(dǎo)2：輸出的拉氏變換為：上式兩端取星號變換：根據(jù)星號變換的周期性，于是即：，其中：G(s)u(t)y(t)u*(t)y*(t)3.3脈沖傳遞函數(shù)計算機控制系統(tǒng)71由G(s)求G(z)，具體有什么手段可以實現(xiàn)?（2）由S傳遞函數(shù)求脈沖傳遞函數(shù)Z變換的部分分式法留數(shù)計算法3.3脈沖傳遞函數(shù)計算機控制系統(tǒng)72（2）由S傳遞函數(shù)求脈沖傳遞函數(shù)部分分式法設(shè)，將分解成如下形式：其中，為極點，為極點的個數(shù)，由于，所以使用范圍：適合沒有重極點的情況。3.3脈沖傳遞函數(shù)計算機控制系統(tǒng)73（2）由S傳遞函數(shù)求脈沖傳遞函數(shù)于是有：例：已知，求。解：極點可得：3.3脈沖傳遞函數(shù)計算機控制系統(tǒng)74（2）由S傳遞函數(shù)求脈沖傳遞函數(shù)設(shè)全部極點已知，則其中：-----不同極點個數(shù)

-----的階數(shù)

-----采樣周期留數(shù)計算法3.3脈沖傳遞函數(shù)計算機控制系統(tǒng)75（2）由S傳遞函數(shù)求脈沖傳遞函數(shù)解：由題可知例：已知，求。代入可得：3.3脈沖傳遞函數(shù)計算機控制系統(tǒng)76（3）由單位脈沖響應(yīng)求脈沖傳遞函數(shù)當(dāng)離散系統(tǒng)的輸入為單位脈沖時，系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)序列為，其對應(yīng)的z變換為，則：輸入測得Z變換3.3脈沖傳遞函數(shù)計算機控制系統(tǒng)77（3）由單位脈沖響應(yīng)求脈沖傳遞函數(shù)是的冪級數(shù)形式，很難寫成閉合函數(shù)