微分幾何練習(xí)題庫及答案

微積分幾何復(fù)習(xí)題本科

第一局部：練習(xí)題庫及答案

一，填空題(每題后面附有關(guān)鍵詞;難易度;答題時長)

第一章

1.a=(l,l,-l),b=(l,O,-D，那么這兩個向量的夾角的余弦cos。二日

2.a=(0,l,-l),b=(l,0,-l),求這兩個向量的向量積axb=(T,T,T).

3.過點且及向量a=(l,0,-1)垂直的平面方程為左左2

4.求兩平面《：x+y+z=0及/2：x-y+2z=l的交線的對稱式方程為士口=上=

3—1—2

5.計算lim[(35+l)i-/j+k]=13i-8j+k.

-2____________

6.設(shè)f(f)=(sinf)i+/j,g(f)=(/+l)i+dj,求lim(f(?g⑴)=0.

r->0

7.r(w,v)=(w+v,w-v,uv)9其中〃=J,v=sinZ,那么史=(2，+cos，,2f-cosf,2iY+〃cos/)

dr----------------------------

2

8.(p=t90=t9刃口么=(一Qsin°cos。-2〃cos°sin。,一。sin°sin。+2"cos°cos6,。cos°)

dt------------------------------------------------------------

46

9.jr(r)dz=(-l,2,3),Jr⑺dr=(—2,1,2),求

24

46

Jaxr(^)dr+b-jarQ)df=(3-9,5)9其中a=(2,1,1),b=(1,-1,0)

22

10.r'(Z)=a(a為常向量〕，求rQ)=Za+c

11.r?)=fa,(a為常向量)，求rQ)=L、+c

2

4人

12.f(r)=(2+z)j+(logr)k,g(r)=(sinr)i-(cos/)j,r>0?刀口么!而*)山=2-6cos4.

弟一早

13.曲線r⑺=(2而,力在隨意點的切向量為(2,3產(chǎn),d)

14.曲線r(f)=(acoshf,asinhf,af)在t=0點的切向量為(0,a,a)

15.曲線r(r)=(acost,asin初)在Z=0點的切向量為(0,a,b)

1

y——

16.設(shè)有曲線C:x=d,尸二/=r，當(dāng)時的切線方程為三￡=—=0

e2

e

17.設(shè)有曲線x=，cosf,y=dsinf,z=—,當(dāng)￡=0時的切線方程為x-1=y=z-1

弟二早

18.設(shè)r=r(〃#)為曲面的參數(shù)表示，假如r.x/o,那么稱參數(shù)曲面是正那么的；假

如r:Gfr(G)是----的,那么稱參數(shù)曲面是簡單的.

19.假如"-曲線族和l曲線族到處不相切，那么稱相應(yīng)的坐標(biāo)網(wǎng)為正規(guī)坐標(biāo)網(wǎng).(坐

標(biāo)網(wǎng)；易；3分鐘)

20.平面r(M,v)=(M,v,0)的第一根本形式為d"2+",面積兀為dndv

22

21.懸鏈面r(w,v)=(coshucosv,coshusinv,w)的第一類根本量是E=coshwJ_F=0J_G=coshu

2

22.曲面z=ary上坐標(biāo)曲線x=x(),y=」的交角的余弦值是

7(l+a\2)(l+a2V)

23.正螺面1*3,丫)=(〃(：051>,“$吊丫,切)的第一根本形式是d〃2+(〃2+^2)(1/.

24.雙曲拋物面r(u,V)^(a(u+v),b(u-V),2uv)的第一根本形式是

22

(a2+〃2+4，)d〃2+2(Q2-b+4wv)dwdv+(tz2+b+4w2)dv2

25.正螺面%/)=(〃—,“出”回)的平均曲率為3(正螺面，第一根本量，第二根

本量；中；3分鐘)

26.方向(d)=d”:dv是漸近方向的充要條件是￡,(d)=0或Adi?+2MdMdu+麗=0

27.兩個方向(d)=d〃:dv和(3)=3”:3V共輛的充要條件是II(dr,5r)=0更

LduSu+M(dw8v4-dv8w)+7Vdv8v=0

AE-LAF-M

28.函數(shù)；l是主曲率的充要條件是=0

XF-MXG-N

Edu+FdvLdu+Mdv

29.方向(d)=da:du是主方向的充要條件是=0

Fdu+GdvMdu+Ndu

30.依據(jù)羅德里格定理，假如方向(d)=(d〃:du)是主方向，那么dn=-K.,dr,其中K,,是沿

史方向的法曲率

31.旋轉(zhuǎn)微小曲面是平面或懸鏈面

第四章

kJ

32.高斯方程是％=+3j=1,2,魏因加爾吞方程為n：=-^Likgri，=

kM

33.g"用g,7表示為d)=7^-產(chǎn)-心.

det(gp(-&2gj

34.測地曲率的幾何意義是曲面叫上的曲線g在p點的測地曲率的肯定值等于g在

p點的切平面口上的正投影曲線色)的曲率

35.K,Kg,K.之間的關(guān)系是*=Kj+K,2.

36.假如曲面上存在直線，那么此直線的測地曲率為—0.

37.測地線的方程為嗎.皿叱=0,4=1,2

dsdsds

38.圖斯-波涅公式為JJKdcr+qK0+Z(乃-aj=2%

GdG9

39.假如3G是由測地線組成，那么高斯-波涅公式為JjKdb+i>r-%)=2萬.

Gi=1

二，單項選擇題

AA*___

弟一早

40.a=(-l,0,-l),b=(l,2,-l),那么這兩個向量的內(nèi)積a.b為(C).(內(nèi)積;易;

2分鐘)

A2B-1C0D1

41.求過點P(l,l,l)且及向量a=(T,O,T)平行的直線［的方程是(A).(直線方程;

易；2分鐘)

X=Zx-1

AB=z+,

y=if

x=y

Cx+1=y=z+1D

z=1

42.那么混合積為D).(混合積；較易；2分鐘〕

A2B-1C1D-2

那么r"(0)為(A).1導(dǎo)數(shù);易；2分鐘)

A(1,0,1)B(-1,0,1)

C(0,1,1)D(1,0,-1)

44.4(/)=&。)，2為常數(shù),那么r⑺為(C).(導(dǎo)數(shù)；易;2分鐘)

A力aB/laCD/a

上述a為常向量.

r(x,y)=(x,y,Ay),求dr(1,2)為1D).(微分;較易；2分鐘)

A(dr,dy,dx+2dy)B(dr+dy,dx—dy,0)

弟一早

46.圓柱螺線r=(8Sf,sinf,/)的切線及z軸(C).(螺線，切向量，夾角；較易,

2分鐘)

A平行B垂直

C有固定夾角衛(wèi)D有固定夾場

4

47.設(shè)有平面曲線C:r=r(s),s為自然參數(shù)，a,0是曲線的根本向量.以下表達錯誤

的選項是(C).

Aa為單位向量Ba±d

Cd=-KPDP=-Ka

48.直線的曲率為(B).(曲率；易；2分鐘)

A-1B0C1D2

49.關(guān)于平面曲線的曲率C:r=r（s）不正確的選項是（D）.（伏雷內(nèi)公式；較易；2

分鐘）

AK（S）=網(wǎng)s）|BK（S）=|0（S）］,0為a（s）的旋轉(zhuǎn)角

C7C（5）=-?PDK（s）=|『（s）|

50.對于平面曲線，”曲率恒等于0”是“曲線是直線〃的（D）.1曲率；易；2

分鐘）

A充分不必要條件B必要不充分條件

C既不充分也不必要條件D充要條件

51.以下論述不正確的選項是（D）.1根本向量；易；2分鐘）

Aa,p,y均為單位向量Balp

Cp±YDa//p

52.對于空間曲線C,“曲率為零〃是“曲線是直線〃的［D）.（曲率；易；2分鐘）

A充分不必要條件B必要不充分條件

C既不充分也不必要條件D充要條件

53.對于空間曲線C,“撓率為零〃是“曲線是直線〃的1D）.（撓率；易;2分

鐘）

A充分不必要條件B必要不充分條件

C既不充分也不必要條件D充要條件

54.x=-sinf）,y=a（l-cosf）,z=4asin；在點/■=5的切線及z軸關(guān)系為（D）.

A垂直B平行

C成三的角D成王的角

34

第二早

222

55.橢球面「+與+-=1的參數(shù)表示為（C）.1參數(shù)表示；易；2分鐘）

a~b~c

A(x,y,z)=(cos℃os仇cossin0.sin°)B(x,y,z)=(acoscos9,bcos0sin0.sincp)

C(x,y,z)=(acos^?cosff.hcos(psin0.csincp)D(x,y,z)=(?cos^?cos^,Z?sin^>cos0,csin20)

222

56.以下為單葉雙曲面%+}-3=1的參數(shù)表示的是(D).(參數(shù)表示；易;2分鐘)

A(x,y,z)=(acoshwsinv,Z?coshucosv,sinhu)B(x,y,z)=(coshucosv,coshusinv,sinhu)

C(x,y,z)=(asinhucosv,bsinh〃sin%ccoshw)D(x,y,z)=(acoshucosv,bcoshusinv,csinh〃)

229

57.以下為雙葉雙曲面:+5_==—i的參數(shù)表示的是U).(參數(shù)表示；易；2分

a2b-c

鐘)

A(x,y,z)=(asinhucosv,hsinhusinv,ccosh〃)B(x,y,z)=(acoshucosv,hsinhusinv,ccosh〃)

C(x,y,z)=(acoshucosv,/?coshusinv,csinhu)D(x,y,z)=(coshucosv,coshusinv,sinhu)

72

58.以下為橢圓拋物面，+A=2z的參數(shù)表示的是(B).(參數(shù)表示；易；2分鐘〕

ab

22

A(x,y,z)=(wcosv,usinv,—)B(x,y,z)=(aucosv,businv,—)

〃2

C(x,y,z)=(aucoshv.businhv,—)D(x,y,z)=(acosv,Z?sinv,v)

22

59.以下為雙曲拋物面T-2=2z的參數(shù)表示的是(C).(參數(shù)表示；易；2分鐘)

ab

A(x,y,z)=(acoshu,hsinhu,u)B(x,y,z)=(coshu,sinhu,u)

C(x,y,z)=(a(u+v),b(u-v),2uv)D(x,y,z)={au,bv.u-v)

60.曲面r(〃,u)=(2〃-匕〃2+y2,〃3_/)在點/(3,5,7)的切平面方程為(B6(切平面方程;

易；2分鐘)

A21x+3y-5z+20=0B18x+3y-4z-41=0

C7x+5y-6z—18=0D18x+5y—3z+16=0

61.球面r(〃,u)=(Reos〃cosy,Reos〃sinu,Rsin〃)的第一'根本形式為〔D〕.〔第一'根本形式；

中；2分鐘)

AZ?2(dw2+sin2wdv2)B/？2(dw2+cosh2udv2)

CZ?2(dw2+sinh2udv2)DR2(du2+cos2wdv2)

62.正圓柱面r(〃,y)=(7?cos%Rsiny,〃)的第一根本形式為(C).(第一根本形式;中；2

分鐘)

Ad?2+dv2Bdw2-dv2Cdu2+/?2dv2Ddir-/?2dv2

63.在第一根本形式為19",四）=（1"2+0皿112""的曲面上，方程為“=丫（匕4匹彩）的曲線段

的弧長為（B）.（弧長；中；2分鐘）

Acoshv2-cosh%Bsinhv2-sinh匕

Ccosh匕-coshv2Dsinh匕-sinhv2

64.設(shè)/為屋中的2維0?正那么曲面，那么M的參數(shù)曲線網(wǎng)為正交曲線網(wǎng)的充要條

件是［B）.

AE=QBF=0CG=（）DM=0

65.以下正確的選項是1D).〔魏因加爾吞變換；較易；2分鐘）

Adn=W(dr)Bdn=W（dr?）

Cdn?=W(drv)Ddn=-W（dr）

66.以下正確的選項是(C).（魏因加爾吞變換；較易；2分鐘）

AI(dr,W(8r))=-II(dr,5r)BI(dr,W(8r))=-1(W(Sr),dr)

CI(dr,W(8r))=1(W(dr),8r)DI(dr,W(5r))=II(W(dr),3r)

67.以下正確的選項是（A）.（魏因加爾吞變換；較易；2分鐘）

AI(dr,W(5r))=II(dr,5r)BI(dr,W(5r))=II(W(dr),8r)

CI(dr,W(5r))=-I(W(dr),8r)DII(dr,W(8r))=II(W(dr),8r)

68.高斯曲率為常數(shù)的的曲面叫(C).1高斯曲率；易；2分鐘〕

A微小曲面B球面C常高斯曲率曲面D平面

第四章

B69.匯g"g戶=.（第一根本形式；易；2分鐘）

ij

1B2C0D-1

B

70.=.（第一根本形式；易；2分鐘）

Ag

gkjBgklCkiDgiJ

A71.*=.（克氏符號；較易；2分鐘）

AZ#（答+答-胃BZ#（答-答-魯）

i2otiuuGUj2c）u（JUOU

c0嚅+等JI+D轉(zhuǎn)&嚕嚕+鬻

A72.曲面上直線1假如有的話）的測地曲率等于

（）B1C2D3

B73.當(dāng)參數(shù)曲線構(gòu)成正交網(wǎng)時,參數(shù)曲線u-曲線的測地曲率為.（劉維爾

定理,測地曲率；中;4分鐘）

A1SlnEB1SlnE

2y/Edu2VGdv

1OlnGD1dlnE

C

2y[Edvl4Gdu

A74.假如測地線同時為漸進線，那么它必為.（測地曲率，法曲率，曲

率；中；2分鐘）

A直線B平面曲線C拋物線D圓柱螺線

B75.在偽球面（K三-1）上,任何測地三角形的內(nèi)角之和—?（高斯-波涅定理;

中;4分鐘）

A等于71B小于71C大于7I）不能確定

三,多項選擇題

/rA*___

弟一早

勺⑴=(x,C),y,C),Zj(f)),i=L2,3為向量函數(shù)，那么以下論述正確的選項是(AD).(導(dǎo)數(shù);

易；4分鐘)

Ar：⑺=(x；⑺，乂(f),z；(/))

Br；⑴=(x；(/),x(t),zt(f))+(x,(t),乂(f),Z]⑴)+(%(f),x(t),z；?))

C&(f),j⑺,j(f))'=(r：(f),r；(f),r；(f))

D&(f),r2(r),j⑺丫=(r；(t),r2(t),r3(t))+(r,(f),r；(t),r3(/))+(r,r；(f))

f

E(Fj(0,r2(t),r3(z))=(r；(z),r2(t),r3(r))

77.m,n為常向量，rQ)為向量函數(shù),那么下述正確的選項是1ABC).(積分的性

質(zhì)；中；4分鐘)

bbbb

AJin-rQ)dr=m?Jr(r)d^BJmxr⑺dr=mxJrQ)df

hbhh

Cj(m,n,r(z))dz=(mxn)jr(r)drDj(m,n,r(Z))dZ=(m-n)jr(/)dr

bb

EJ(m,n,rQ))dr=(mxn)xjr(力ck

第二章

78.以下曲線中為正那么曲線的有(ACDE)o(曲線的概念;易;4分鐘)

323

Ar(x)=(x,x)9XG(-oo,+oo)Br(x)=(X,X),XG(-00,4-00)

Cr(x)=(x2,x3)?XG(0,+oo)Dr(x)=(cosx,x)9xG(-oo,+oo)Er(x)=(x,x)

xG(-1,2)

79.以下曲線中是正那么曲線的有(ABCDE)。(曲線的概念；易；4分鐘)

Ar=(cost,sint,t),tG(-00,+oo)

Br=(sin3f,3/,0),tG(-00,+00)

Cr=(cost,cos21,sint),tG(-00,+oo)

Dr=(cos1-cost-sinZ,-sint),tG(-oo,+oo)

Er=（2sin2Z,2sin2Hant.t），te（-00,4-00）

80.以下式子正確的選項是（ABCE）.（伏雷內(nèi)公式；中；4分鐘）

Ay=axpBy±a

Cp=-ka+ryDYJ-P

Ey〃p.

第三章

81.曲面z=V+y3在點M（I,2,9）的［AD）.（切平面，法線；中；4分鐘）

A切平面方程為3x+12y-z-18=O

B切平面方程為3x+14y-z+8=0

C法線方程為3=匕V=匯

312-1

D法線方程為曰=匕2=力

312-1

E法線方程為七U匕2=二

412-1

82.正螺面r=（“cosv,〃sin%av）的（AC）.〔切平面,法線；中;4分鐘）

A切平面方程為xasinv—yacosv+zu-auv=0

B切平面方程為sinu-yacosu+zv-auv=0

c切平面方程為xasinu-yacosu-zv-auv=0

D法線方程為x-“cosy_y-usinv_z-av

?sinv-6ZCOSvu

E法線方程為x-su="-"sin:三型

asinu-acosuv

83.以下二次形式中，（ABD）不能作為曲面的第一根本形式.（第一根本形式；易;

4分鐘）

AI(dw,dv)=dw2+4dwdv+dv2

BI(dw,dv)=du2+4dwdv+4dv2

CI(dw,dv)=du2-4dwdv+6dv2

DI(dw,dv)=du2+4dwdv-2dv2

EI（dw,dv）=d。/+4dwdv+5dv2

84.一般螺面3#）=（〃85%n11匕/（〃）+加）的第一類根本量是（BCD）.1第一根本量;

易；4分鐘）

AE=I+（/（?））2BE=I+（/W

CF=I）G^a2+u2

EG=cr—u~

85.以下曲面中，（BCD）是旋轉(zhuǎn)常高斯曲率曲面.（常高斯曲率曲面；易；4分

鐘）

A正螺面B平面C球面D圓柱面E懸鏈面

第四章

ABC86.對于曲面上的正交坐標(biāo)網(wǎng)，測地曲率K”〔設(shè)曲線的切方向及r“的夾

角為。）.

A-與=cos6+-sin0

ds2￡VG2Gy/E

dO1ainE八1ainG.八

Dn-------,=----cos0+—,=-----sin0

ds2\JGdvEdu

rd0A.Q

C——+K“cos3+Ksin夕

dsg“U

nd。.n

u——+K“sin〃+K“cos?n

ds8u8v

da

E——+K“cosg—《sing

ds彘

87.曲面上的曲線是測地線的充分必要條件是阻（測地線的概念；中；4分鐘）

A滿意方程％+Z邛皿叱=0的曲線

ds由ds

B滿意￡=0的曲線

C除了曲率為零的點外，曲線的主法線重合于曲面的法線

D滿意K=0的曲線

E滿意K“=O的曲線

四，表達題

第三章

88.曲面。［解］設(shè)G是初等區(qū)域，SuRh假如存在一個連續(xù)一一映射r:GfR3使得

r(G)=S,那么稱S是一■張曲面，而r=r(x)叫S的參數(shù)表不.

89.坐標(biāo)曲線?！窘狻壳鍿:r=r(〃,y),Q,v)GG,的像叫”-曲線，r(%,v)的像叫丫-

曲線，”-曲線和吁曲線都叫坐標(biāo)曲線.

?

90.第一根本形式?！窘狻糠Q二次型1((1”,(1丫)=￡'<1〃2+2/<1必+6(1/(其中6=￡,.1；,F=ru-rv,

G=r?-rJ為曲面的第一根本形式.而E,F,G叫曲面的第一類根本量.

91.內(nèi)蘊量?！窘狻坑汕娴牡谝活惛玖克_定的量叫曲面的內(nèi)蘊量.

92.第二根本形式?！窘狻糠Q二次型11(<1”,<110=L(1〃2+2冰1“(1丫+2丫2(其中/,=￡,“.11,M=rHVn,

N=j.n)為曲面的第二根本形式.而L,M,N為曲面的第二類根本量.

93.【解】假設(shè)在P點有LN-M2〉O,那么稱/>點為曲面的橢圓點.

94.法曲率?！窘狻拷o定曲面S上一點P處的一個切向量(d)=dM：du,那么P點沿方向(d)

的法曲率定義為(d)=II(dr,dr)/I(dr,dr).

95.主曲率?！窘狻渴狗ㄇ蔏“(d)到達極值的方向叫曲面在該點的主方向，而主方

向的法曲率叫該點的主曲率.

96.高斯曲率?！窘狻壳娴膬蓚€主曲率之積K=K/S叫曲面的高斯曲率.

97.微小曲面?！窘狻科骄室?()的曲面叫微小曲面.

五，計算題

弟一早

98.求旋輪線尤=a?-sin/),y=〃(1-cos/)的04/一^段的弧長.〔弧長；中；5分鐘)

【解】旋輪線r(r)=(a(t-sint\a(l-cos0)的切向量為rz(r)=(a-acosz,asint),那么它的

0W/K2%一段的弧長為：

99.求曲線x=fsinf,y=tcosf,z=以在原點的切向量，主法向量，副法向量根本向

量；中；10分鐘

【解】由題意知r'(f)=(sint+tcost,cost-tsint,e'+te'),

在原點時有r，(0)=(0,1,1),r"(0)=(2,0,2)o

又

所以有

100.圓柱螺線為r(/)=(acos/,asin/,初)。(根本向量，曲率，撓率；中；15分鐘〕

①求根本向量a,p,y;

②求曲率K和撓率一

【解】①由題意有

又由公式a：!，”"'?,；。；3,尸陷有

MMIK卜*"|

②由一般參數(shù)的曲率公式皿)=富及撓率公式《)=富中有K=4,

卜［l^xrfa2+b-

b

T=------o

a2+b

AA--*

第二早

101.求正螺面1'(“,丫)=(〃85匕〃5山匕。丫)的切平面和法線方程.〔切平面，法線；中；5

分鐘)

【解】r?=(cosv,sinv,0),r?=(-wsinv,ncosv,Z?),切平面方程為

法線方程為ic°sv=.—sinv=z-bv.

Z?sinv-Z?cosvu

102.求球面r(^7,0)={acos(pcos0,acos(psin0,asin(p)上任一\點處的切平面及法線方程.

【解】

??.球面上隨意點的切平面方程為

BPcosOcos夕?x+cos夕sinPy+siiiQz—Q=0，

法線方程為

gpx-acosocos。_y-acos(psin3_z-asin(p

cos9cos。cossinsin(p

103.求旋轉(zhuǎn)拋物面Z=”(x2+y2)的第一根本形式.(第一根本形式；中；5分鐘)

【解】參數(shù)表不為「(乂丁)=",)，,40?+/)),

104.求正螺面r(",v)=(〃cosv,Msinn必)的第一根本形式.(第一根本形式；中；5分鐘)

【解】ru=(cosv,sinv,0),rv=(-usinv,wcosv,h),

105.計算正螺面rQ,v)=(MCOs%"sin%6)的第一,第二根本量.［第一根本形式，第

二根本形式；中；15分鐘)

【解】ru=(cosv,sinv,0)，rv=(-usinv,ucosv,h),

106.計算拋物面Z=f+y2的高斯曲率和平均曲率.(高斯曲率，平均曲率；中；15

分鐘)

【解】設(shè)拋物面的參數(shù)表不為「0,卜)=(羽、/+丁)，那么

107.計算正螺面式“,丫)=(“85丫,"11%瓦＞)的圖斯曲率(局斯曲率;中；15分鐘)

【解】直接計算知

第四章

=

108.求位于正螺面x=MCOsv,y=Msinv,z=au上的圓柱螺線x-“°cosv,y-“°sinv,z=av(w0

常數(shù))的測地曲率.(測地曲率，劉維爾定理；中；15分)

【解】因為正螺面的第一根本形式為1=加2+面+m"，螺旋線是正螺面的V-曲線

u=un,由。=乙得煦=0.由正交網(wǎng)的坐標(biāo)曲線的測地曲率得

2ds

六，證明題

第二章

109.證明曲線r=(/cosf,dsinf,0)的切向量及曲線的位置向量成定角.(切向量，夾

角；較易；5分鐘)

【證】對曲線上隨意一點，曲線的位置向量為r=(dcosf,dsinf,0),該點切線的切向量

為：rf=(e1(cost-sint),e'(sint+cosZ),0)?那么有：

故夾角為衛(wèi)。由所取點的隨意性可知，該曲線及曲線的切向量成定角.

4

110.證明：假設(shè)r，和對一切/線性相關(guān)，那么曲線是直線.(曲率；中；10分鐘)

【證明】假設(shè)r，和r”對一切線性相關(guān)，那么存在恒不同時為0的/Q),gQ)使

那么r?)xr()=0Vfo

又K(/)=母口，故的)=0M。于是該曲線是直線.

111.證明圓柱螺線x=acosf,y=asinf,z=。/的主法線和Z軸垂直相交.〔主法線，夾

角；中；10分鐘)

【證明】由題意有

由知B=(-eosf,-sint,0)。另一方面z軸的方向向量為a=(0,0,l),而

lrHrxrI

a.p=0,故a3,即主法線及z軸垂直.

112.證明曲線x=asin"y=asinfcosf,z=acosf的全部法平面皆通過坐標(biāo)原點.(法平面;

較易；5分鐘)

【證明】由題意可得-⑺蟲酒!!?.,。-2.,-^!!/),那么隨意點的法平面為

asin2fo(x-asin2to)+acos2fo(y-asinfocosfo)-asin%(z-acosf())=0將點(0,0,0)代入上述方

程有

左邊