大一微積分(經(jīng)管類(lèi))無(wú)窮級(jí)數(shù)

匯報(bào)人：AA2024-01-24大一微積分(經(jīng)管類(lèi))無(wú)窮級(jí)數(shù)無(wú)窮級(jí)數(shù)基本概念與性質(zhì)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法冪級(jí)數(shù)展開(kāi)與性質(zhì)傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)與性質(zhì)無(wú)窮級(jí)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中應(yīng)用舉例01無(wú)窮級(jí)數(shù)基本概念與性質(zhì)無(wú)窮級(jí)數(shù)定義及分類(lèi)無(wú)窮級(jí)數(shù)定義無(wú)窮級(jí)數(shù)是無(wú)窮多個(gè)數(shù)的和，通常表示為$sum_{n=1}^{infty}a_n$，其中$a_n$是級(jí)數(shù)的通項(xiàng)。無(wú)窮級(jí)數(shù)分類(lèi)根據(jù)通項(xiàng)$a_n$的性質(zhì)，無(wú)窮級(jí)數(shù)可分為正項(xiàng)級(jí)數(shù)、交錯(cuò)級(jí)數(shù)和任意項(xiàng)級(jí)數(shù)。收斂判別法對(duì)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)，常用的收斂判別法有比較判別法、比值判別法和根值判別法。對(duì)于交錯(cuò)級(jí)數(shù)，常用的收斂判別法是萊布尼茨判別法。發(fā)散判別法如果無(wú)窮級(jí)數(shù)不滿足收斂的條件，則它是發(fā)散的。常見(jiàn)的發(fā)散判別法有比較判別法和極限判別法。收斂與發(fā)散判別法如果無(wú)窮級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)的絕對(duì)值所構(gòu)成的級(jí)數(shù)收斂，則稱(chēng)原級(jí)數(shù)是絕對(duì)收斂的。絕對(duì)收斂如果無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂，但不是絕對(duì)收斂的，則稱(chēng)原級(jí)數(shù)是條件收斂的。條件收斂絕對(duì)收斂與條件收斂無(wú)窮級(jí)數(shù)的和具有線性性、結(jié)合律和交換律等性質(zhì)。無(wú)窮級(jí)數(shù)的和的性質(zhì)無(wú)窮級(jí)數(shù)的乘法需要滿足一定的條件才能成立，如柯西乘積等。無(wú)窮級(jí)數(shù)的乘法性質(zhì)對(duì)于絕對(duì)收斂的無(wú)窮級(jí)數(shù)，其任意重排后的級(jí)數(shù)仍然收斂，并且和不變。對(duì)于條件收斂的無(wú)窮級(jí)數(shù)，其重排后的級(jí)數(shù)可能不收斂，或者收斂但和改變。無(wú)窮級(jí)數(shù)的重排性質(zhì)無(wú)窮級(jí)數(shù)性質(zhì)探討02常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法比較審斂法通過(guò)比較兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)或部分和的大小關(guān)系，來(lái)判斷其斂散性。比值審斂法利用級(jí)數(shù)通項(xiàng)的比值來(lái)判斷級(jí)數(shù)的斂散性，特別適用于分式形式的級(jí)數(shù)。根值審斂法通過(guò)求級(jí)數(shù)通項(xiàng)的n次方根來(lái)判斷級(jí)數(shù)的斂散性，適用于含有冪次形式的級(jí)數(shù)。正項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法030201對(duì)于交錯(cuò)級(jí)數(shù)，若滿足兩個(gè)條件：通項(xiàng)的絕對(duì)值單調(diào)遞減且趨于零，則該交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂。交錯(cuò)級(jí)數(shù)若絕對(duì)收斂，則一定條件收斂；若條件收斂，則不一定絕對(duì)收斂。交錯(cuò)級(jí)數(shù)審斂法絕對(duì)收斂與條件收斂萊布尼茲定理絕對(duì)收斂若級(jí)數(shù)各項(xiàng)取絕對(duì)值后所構(gòu)成的級(jí)數(shù)收斂，則稱(chēng)原級(jí)數(shù)為絕對(duì)收斂。要點(diǎn)一要點(diǎn)二條件收斂若原級(jí)數(shù)收斂但其并非絕對(duì)收斂，則稱(chēng)原級(jí)數(shù)為條件收斂。絕對(duì)收斂與條件收斂關(guān)系等比級(jí)數(shù)對(duì)于形如$a_n=aq^n$的等比級(jí)數(shù)，當(dāng)$|q|<1$時(shí)級(jí)數(shù)收斂，當(dāng)$|q|geq1$時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散。p-級(jí)數(shù)對(duì)于形如$a_n=1/n^p$的p-級(jí)數(shù)，當(dāng)$p>1$時(shí)級(jí)數(shù)收斂，當(dāng)$pleq1$時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散。調(diào)和級(jí)數(shù)形如$a_n=1/n$的調(diào)和級(jí)數(shù)是發(fā)散的。比較審斂法應(yīng)用舉例03冪級(jí)數(shù)展開(kāi)與性質(zhì)冪級(jí)數(shù)定義及收斂域求解形如$sum_{n=0}^{infty}a_nx^n$的級(jí)數(shù)稱(chēng)為冪級(jí)數(shù)，其中$a_n$為常數(shù)，$x$為自變量。冪級(jí)數(shù)定義通過(guò)比值審斂法或根值審斂法判斷冪級(jí)數(shù)的收斂性，進(jìn)而確定其收斂域。收斂域求解03逐項(xiàng)求導(dǎo)與逐項(xiàng)積分在收斂域內(nèi)，冪級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)求導(dǎo)與逐項(xiàng)積分，結(jié)果仍為冪級(jí)數(shù)。01加減運(yùn)算同次冪的系數(shù)進(jìn)行相應(yīng)運(yùn)算，不同次冪直接保留。02乘法運(yùn)算利用柯西乘積進(jìn)行冪級(jí)數(shù)的乘法運(yùn)算。冪級(jí)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)探討直接展開(kāi)法對(duì)于某些簡(jiǎn)單函數(shù)，可以直接寫(xiě)出其冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式。間接展開(kāi)法通過(guò)已知函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式，經(jīng)過(guò)四則運(yùn)算、復(fù)合函數(shù)運(yùn)算等得到目標(biāo)函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式。泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)法利用泰勒公式將函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)。函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)方法近似計(jì)算在收斂域內(nèi)，可以用冪級(jí)數(shù)的前幾項(xiàng)來(lái)近似表示函數(shù)，從而進(jìn)行近似計(jì)算。誤差估計(jì)通過(guò)余項(xiàng)公式估計(jì)近似計(jì)算的誤差。應(yīng)用舉例利用冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式計(jì)算自然對(duì)數(shù)的底$e$、圓周率$pi$等常數(shù)的近似值，以及求解微分方程的近似解等。冪級(jí)數(shù)在近似計(jì)算中應(yīng)用04傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)與性質(zhì)VS對(duì)于周期為$2pi$的周期函數(shù)$f(x)$，若滿足一定條件，可以展開(kāi)為形如$frac{a_0}{2}+sum_{n=1}^{infty}(a_ncosnx+b_nsinnx)$的級(jí)數(shù)，稱(chēng)為傅里葉級(jí)數(shù)。收斂性定理狄利克雷充分條件指出，若$f(x)$在一個(gè)周期內(nèi)除有限個(gè)第一類(lèi)間斷點(diǎn)外處處連續(xù)，則$f(x)$的傅里葉級(jí)數(shù)在連續(xù)點(diǎn)處收斂于$f(x)$，在間斷點(diǎn)處收斂于$frac{f(x^-)+f(x^+)}{2}$。傅里葉級(jí)數(shù)定義傅里葉級(jí)數(shù)定義及收斂性定理三角函數(shù)系正交性三角函數(shù)系${1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,ldots}$在$[-pi,pi]$上正交，即任意兩個(gè)不同的函數(shù)之積在$[-pi,pi]$上的積分為0。傅里葉系數(shù)求解利用三角函數(shù)系的正交性，可以通過(guò)計(jì)算$f(x)$與$cosnx$和$sinnx$的積分來(lái)求解傅里葉系數(shù)$a_n$和$b_n$。傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)將求得的傅里葉系數(shù)代入傅里葉級(jí)數(shù)公式，即可得到$f(x)$的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式。周期為$2pi$函數(shù)傅里葉展開(kāi)周期變換01對(duì)于周期為$2L$的函數(shù)$f(x)$，可以通過(guò)變量替換$t=frac{pix}{L}$將其轉(zhuǎn)換為周期為$2pi$的函數(shù)，進(jìn)而應(yīng)用周期為$2pi$函數(shù)的傅里葉展開(kāi)方法。傅里葉系數(shù)求解02在周期變換后，利用三角函數(shù)系的正交性求解傅里葉系數(shù)。此時(shí)需要注意積分區(qū)間和系數(shù)的相應(yīng)變換。傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)03將求得的傅里葉系數(shù)代入傅里葉級(jí)數(shù)公式，即可得到任意周期函數(shù)$f(x)$的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式。任意周期函數(shù)傅里葉展開(kāi)信號(hào)分解在信號(hào)分析中，傅里葉級(jí)數(shù)可以將一個(gè)復(fù)雜的周期信號(hào)分解為一系列簡(jiǎn)單的正弦波和余弦波之和，便于對(duì)信號(hào)進(jìn)行進(jìn)一步的分析和處理。頻譜分析通過(guò)傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)，可以得到信號(hào)的頻譜分布，即信號(hào)中各個(gè)頻率分量的幅度和相位信息。這對(duì)于信號(hào)的濾波、調(diào)制等處理具有重要意義。信號(hào)合成利用傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式，可以將不同頻率的正弦波和余弦波合成得到原始信號(hào)，實(shí)現(xiàn)信號(hào)的重建和恢復(fù)。傅里葉級(jí)數(shù)在信號(hào)分析中應(yīng)用05無(wú)窮級(jí)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中應(yīng)用舉例123無(wú)窮遞縮等比數(shù)列求和公式可用于計(jì)算復(fù)利，即未來(lái)一系列定期、定額的支付款項(xiàng)在當(dāng)前的總價(jià)值。計(jì)算復(fù)利在評(píng)估投資項(xiàng)目或資產(chǎn)價(jià)值時(shí)，無(wú)窮遞縮等比數(shù)列求和公式可用于將未來(lái)的現(xiàn)金流貼現(xiàn)到當(dāng)前，以便進(jìn)行決策分析。貼現(xiàn)現(xiàn)金流分析在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，無(wú)窮遞縮等比數(shù)列求和公式可用于構(gòu)建經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型，描述經(jīng)濟(jì)體在長(zhǎng)期內(nèi)的增長(zhǎng)趨勢(shì)。經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型無(wú)窮遞縮等比數(shù)列求和公式在經(jīng)濟(jì)學(xué)中應(yīng)用生產(chǎn)函數(shù)模型冪級(jí)數(shù)在生產(chǎn)函數(shù)模型中也有應(yīng)用，用于描述生產(chǎn)要素投入與產(chǎn)出之間的關(guān)系。金融市場(chǎng)模型冪級(jí)數(shù)可用于構(gòu)建金融市場(chǎng)模型，如股票價(jià)格模型、債券定價(jià)模型等，以分析市場(chǎng)行為。消費(fèi)者行為模型冪級(jí)數(shù)可用于構(gòu)建消費(fèi)者行為模型，描述消費(fèi)者在面對(duì)不同價(jià)格水平時(shí)的購(gòu)買(mǎi)決策。冪級(jí)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)模型構(gòu)建中作用傅里葉變換可將時(shí)間序列數(shù)據(jù)從時(shí)域轉(zhuǎn)換到頻域，以便進(jìn)行頻譜分析，揭示數(shù)據(jù)的周期性波動(dòng)特征。頻譜分析通過(guò)傅里葉變換分析金融市場(chǎng)的波動(dòng)性和相關(guān)性，有助于金融機(jī)構(gòu)更好地管理風(fēng)險(xiǎn)。風(fēng)險(xiǎn)管理基于傅里葉變換的分析結(jié)果，投資者可優(yōu)化投資策略，提高投資收益并降低風(fēng)險(xiǎn)。投資策略優(yōu)化010203傅里葉變換在金融數(shù)據(jù)分析中價(jià)值其他相關(guān)應(yīng)用案例分享計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中經(jīng)常需要估計(jì)和檢驗(yàn)經(jīng)濟(jì)模型的參數(shù)，無(wú)窮級(jí)數(shù)提供了一種靈活的數(shù)