2024屆陽泉市重點(diǎn)中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題含解析

2024屆陽泉市重點(diǎn)中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)的虛部是（）A．1 B．－1 C． D．2．若是的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A．[－3,3] B．C． D．[－1,1]3．有位同學(xué)按照身高由低到高站成一列，現(xiàn)在需要在該隊(duì)列中插人另外位同學(xué)，但是不能改變?cè)瓉淼奈煌瑢W(xué)的順序，則所有排列的種數(shù)為（）A． B． C． D．4．對(duì)于問題：“已知x,y,z是互不相同的正數(shù)，求證：三個(gè)數(shù)x+1A．x+1z,y+1C．x+1z,y+15．某單位有職工160人，其中業(yè)務(wù)員有104人，管理人員32人，后勤服務(wù)人員24人，現(xiàn)用分層抽樣法從中抽取一個(gè)容量為20的樣本，則抽取管理人員()A．3人 B．4人 C．7人 D．12人6．已知曲線與恰好存在兩條公切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A． B． C． D．7．給出下列三個(gè)命題：①“若，則”為假命題；②若為假命題，則均為假命題；③命題，則，其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．38．從正方體六個(gè)面的對(duì)角線中任取兩條作為一對(duì)，其中所成的角為的共有（）A．24對(duì) B．30對(duì) C．48對(duì) D．60對(duì)9．(2x-3y)9A．-1 B．512 C．-512 D．110．已知函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則的解集時(shí)（）A． B．C． D．11．設(shè)全集U＝{|﹣1＜x＜5}，集合A＝{1，3}，則集合?UA的子集的個(gè)數(shù)是（）A．16 B．8 C．7 D．412．設(shè)集合，若，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，某建筑工地搭建的腳手架局部類似于一個(gè)

的長方體框架，一個(gè)建筑工人欲從

A處沿腳手架攀登至B處，則其最近的行走路線中不連續(xù)向上攀登的概率為______________．14．已知集合，若實(shí)數(shù)滿足：對(duì)任意的，均有，則稱是集合的“可行數(shù)對(duì)”．以下集合中，不存在“可行數(shù)對(duì)”的是_________．①；②；③；④．15．《孫子算經(jīng)》是我國古代重要的數(shù)學(xué)著作，約成書于四、五世紀(jì)，傳本的《孫子算經(jīng)》共三卷，其中下卷“物不知數(shù)”中有如下問題：“今有物，不知其數(shù).三三數(shù)之，剩二；五五數(shù)之，剩三；七七數(shù)之，剩二.問：物幾何？”其意思為：“現(xiàn)有一堆物品，不知它的數(shù)目.3個(gè)3個(gè)數(shù)，剩2個(gè)；5個(gè)5個(gè)數(shù)，剩3個(gè)；7個(gè)7個(gè)數(shù)，剩2個(gè).問這堆物品共有多少個(gè)？”試計(jì)算這堆物品至少有__________個(gè)．16．已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，梯形所在的平面與等腰梯形所在的平面互相垂直，，．，．（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）線段上是否存在點(diǎn)，使得平面？不需說明理由．18．（12分）橢圓C:x2a2+y2（1）求橢圓C的方程（2）過F1作不垂直x軸的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn)弦AB的垂直平分線交x軸于M點(diǎn)，求證：AB19．（12分）甲、乙兩個(gè)籃球運(yùn)動(dòng)員互不影響地在同一位置投球，命中率分別為與，且乙投球2次均未命中的概率為.（Ⅰ）求乙投球的命中率；（Ⅱ）若甲投球1次，乙投球2次，兩人共命中的次數(shù)記為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.20．（12分）在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(Ⅰ)求曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;(Ⅱ)若點(diǎn)在曲線上,點(diǎn)在曲線上,求的最小值及此時(shí)點(diǎn)的直角坐標(biāo).21．（12分）如圖所示，四邊形為菱形，且，，，且，平面.（1）求證：平面平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的正弦值.22．（10分）一個(gè)盒子里裝有個(gè)均勻的紅球和個(gè)均勻的白球，每個(gè)球被取到的概率相等，已知從盒子里一次隨機(jī)取出1個(gè)球，取到的球是紅球的概率為，從盒子里一次隨機(jī)取出2個(gè)球，取到的球至少有1個(gè)是白球的概率為.（1）求，的值；（2）若一次從盒子里隨機(jī)取出3個(gè)球，求取到的白球個(gè)數(shù)不小于紅球個(gè)數(shù)的概率.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】

由已知條件計(jì)算出復(fù)數(shù)的表達(dá)式，得到虛部【題目詳解】由題意可得則則復(fù)數(shù)的虛部是故選C【題目點(diǎn)撥】本題考查了復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，按照除法法則求出復(fù)數(shù)的表達(dá)式即可得到結(jié)果，較為簡單2、D【解題分析】

根據(jù)充分、必要條件的定義，可知當(dāng)時(shí)，恒成立，解一元二次不等式即可?！绢}目詳解】依題意可知，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以，解得，故選D。【題目點(diǎn)撥】本題主要考查充分、必要條件定義的應(yīng)用以及恒成立問題的解法。3、D【解題分析】

將問題轉(zhuǎn)化為將這個(gè)同學(xué)中新插入的個(gè)同學(xué)重新排序，再利用排列數(shù)的定義可得出答案．【題目詳解】根據(jù)題意，原來有位同學(xué)，現(xiàn)在有插入位同學(xué)，一共有位同學(xué)，原問題可以轉(zhuǎn)化為在個(gè)位置中，任選個(gè)安排后來插入位同學(xué)，有種情況，即有種排列．故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題考查排列問題，解題的關(guān)鍵就是將問題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，考查轉(zhuǎn)化與化歸數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用，屬于中等題．4、C【解題分析】

找到要證命題的否定即得解.【題目詳解】“已知x，y，z是互不相同的正數(shù)，求證：三個(gè)數(shù)x+1z，y+1x，而它的反面為：三個(gè)數(shù)x+1z，y+1x，故選：C．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查用反證法證明數(shù)學(xué)命題，命題的否定，屬于基礎(chǔ)題．5、B【解題分析】

根據(jù)分層抽樣原理求出應(yīng)抽取的管理人數(shù)．【題目詳解】根據(jù)分層抽樣原理知，應(yīng)抽取管理人員的人數(shù)為：故選：B【題目點(diǎn)撥】本題考查了分層抽樣原理應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．6、B【解題分析】

設(shè)切點(diǎn)分別為和(s，t)，再由導(dǎo)數(shù)求得斜率相等，得到構(gòu)造函數(shù)由導(dǎo)數(shù)求得參數(shù)的范圍。【題目詳解】的導(dǎo)數(shù)為的導(dǎo)數(shù)為設(shè)與曲線相切的切點(diǎn)為與曲線相切的切點(diǎn)為(s，t)，則有公共切線斜率為又，即有，即為，即有則有即為令則，當(dāng)時(shí)，遞減，當(dāng)時(shí)，遞增，即有處取得極大值，也為最大值，且為由恰好存在兩條公切線，即s有兩解，可得a的取值范圍是，故選B．【題目點(diǎn)撥】可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)在處的導(dǎo)數(shù)就是曲線y=f(x)在處的切線斜率,這就是導(dǎo)數(shù)的幾何意義,在利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線切線方程時(shí),要注意區(qū)分“在某點(diǎn)處的切線”與“過某點(diǎn)的切線”,已知y=f(x)在處的切線是,若求曲線y=f(x)過點(diǎn)(m,n)的切線,應(yīng)先設(shè)出切點(diǎn),把(m,n)代入,求出切點(diǎn)，然后再確定切線方程.而對(duì)于切線相同，則分別設(shè)切點(diǎn)求出切線方程，再兩直線方程系數(shù)成比例。7、B【解題分析】試題分析：“若，則”的逆否命題為“若，則”，為真命題；若為假命題，則至少有一為假命題；命題，則，所以正確的個(gè)數(shù)是1，選B.考點(diǎn)：命題真假【名師點(diǎn)睛】若要判斷一個(gè)含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假，需先判斷構(gòu)成這個(gè)命題的每個(gè)簡單命題的真假，再依據(jù)“或”——一真即真，“且”——一假即假，“非”——真假相反，做出判斷即可.以命題真假為依據(jù)求參數(shù)的取值范圍時(shí)，首先要對(duì)兩個(gè)簡單命題進(jìn)行化簡，然后依據(jù)“p∨q”“p∧q”“非p”形式命題的真假，列出含有參數(shù)的不等式（組）求解即可.8、C【解題分析】試題分析：在正方體中，與上平面中一條對(duì)角線成的直線有，，，共八對(duì)直線，與上平面中另一條對(duì)角線的直線也有八對(duì)直線，所以一個(gè)平面中有16對(duì)直線，正方體6個(gè)面共有對(duì)直線，去掉重復(fù)，則有對(duì).故選C.考點(diǎn)：1.直線的位置關(guān)系；2.異面直線所成的角.9、B【解題分析】

(a+b)n展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)系數(shù)和為【題目詳解】(a+b)n展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)系數(shù)和為2(2x-3y)9的展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為2故答案選B【題目點(diǎn)撥】本題考查了二項(xiàng)系數(shù)和，屬于基礎(chǔ)題型.10、A【解題分析】

對(duì)的范圍分類討論，利用已知及函數(shù)是奇函數(shù)即可求得的表達(dá)式，解不等式即可．【題目詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)，即：時(shí)，，當(dāng)，即：時(shí)，可化為：，解得：.當(dāng)，即：時(shí)，利用函數(shù)是奇函數(shù)，將化為：，解得：所以的解集是故選A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性應(yīng)用，還考查了分類思想及計(jì)算能力，屬于中檔題．11、B【解題分析】因?yàn)椋?，所以，集合的子集的個(gè)數(shù)是，故選B.12、B【解題分析】分析:先根據(jù)得到=1即得a=2,再根據(jù)求出b的值，再求則.詳解：因?yàn)?，所?1，所以a=2.又因?yàn)?，所以b=1,所以Q={2,1}，所以.故答案為：B.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查集合的交集補(bǔ)集運(yùn)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)解答集合中的參數(shù)問題，要注意檢驗(yàn)，一是檢驗(yàn)是否滿足集合元素的互異性，二是檢驗(yàn)是否滿足每一個(gè)條件.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、?【解題分析】

先求出最近路線的所有走法共有種，再求出不連續(xù)向上攀登的次數(shù)，然后可得概率.【題目詳解】最近的行走路線就是不走回頭路，不重復(fù)，所以共有種，向上攀登共需要3步，向右向前共需要4步，因?yàn)椴贿B續(xù)向上攀登，所以向上攀登的3步，要進(jìn)行插空，共有種，故所求概率為.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查古典概率的求解，明確事件包含的基本事件種數(shù)是求解關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).14、②③【解題分析】

由題意，，問題轉(zhuǎn)化為與選項(xiàng)有交點(diǎn)，代入驗(yàn)證，可得結(jié)論．【題目詳解】由題意對(duì)任意的，均有，則，即與選項(xiàng)有交點(diǎn)，對(duì)①，與有交點(diǎn)，滿足；對(duì)②，的圖形在的內(nèi)部，無交點(diǎn)，不滿足；對(duì)③，的圖形在的外部，無交點(diǎn)，不滿足；對(duì)④，與有交點(diǎn)，滿足；故答案為②③.【題目點(diǎn)撥】本題考查曲線與方程的定義的應(yīng)用，考查了理解與轉(zhuǎn)化能力，將問題轉(zhuǎn)化為與選項(xiàng)有交點(diǎn)是關(guān)鍵．15、23【解題分析】除以余且除以余的數(shù)是除以余的數(shù).和的最小公倍數(shù)是.的倍數(shù)有除以余且除以余的數(shù)有，…其中除以余的數(shù)最小數(shù)為，這些東西有個(gè)，故答案為.【方法點(diǎn)睛】本題主要考查閱讀能力及建模能力，屬于難題.弘揚(yáng)傳統(tǒng)文化與實(shí)際應(yīng)用相結(jié)合的題型也是高考命題的動(dòng)向，這類問題的特點(diǎn)是通過中國古代數(shù)學(xué)名著及現(xiàn)實(shí)生活的事例考查書本知識(shí)，解決這類問題的關(guān)鍵是耐心讀題、仔細(xì)理解題，只有吃透題意，才能將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型進(jìn)行解答.16、3【解題分析】

先利用待定系數(shù)法代入點(diǎn)的坐標(biāo)，求出冪函數(shù)的解析式，再求的值.【題目詳解】設(shè)，由于圖象過點(diǎn),得，，，故答案為3.【題目點(diǎn)撥】本題考査冪函數(shù)的解析式，以及根據(jù)解析式求函數(shù)值，意在考查對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握與應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）詳見解析（2）（3）不存在【解題分析】

（1）根據(jù)平行四邊形求得，再利用線面平行的判定定理得證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量和平面的法向量，再利用夾角公式求得余弦值；（3）求得平面的法向量，證明得出平面與平面不可能垂直，得出不存在點(diǎn)G.【題目詳解】解：（1）因?yàn)?，且，所以四邊形為平行四邊形，所以．因?yàn)椋云矫妫?）在平面ABEF內(nèi)，過A作，因?yàn)槠矫嫫矫?，，，所以，所以如圖建立空間直角坐標(biāo)系．由題意得，，，，，．所以，．設(shè)平面的法向量為則即令，則，，所以平面的一個(gè)法向量為則．所以二面角的余弦值．（3）線段上不存在點(diǎn)，使得平面，理由如下：解法一：設(shè)平面的法向量為，則即令，則，，所以．因?yàn)?，所以平面與平面不可能垂直，從而線段上不存在點(diǎn)，使得平面．解法二：線段上不存在點(diǎn)，使得平面，理由如下：假設(shè)線段上存在點(diǎn)，使得平面，設(shè)，其中．設(shè)，則有，所以，，，從而，所以．因?yàn)槠矫妫裕杂校驗(yàn)樯鲜龇匠探M無解，所以假設(shè)不成立．所以線段上不存在點(diǎn)，使得平面．【題目點(diǎn)撥】本題目主要考查了線面平行的判定，以及利用空間向量求二面角和線面垂直的方法，解題的關(guān)鍵是在于平面的法向量的求法，運(yùn)算量較大，屬于中檔題.18、(1)x2【解題分析】分析：⑴由橢圓過點(diǎn)1，32⑵設(shè)直線方程，聯(lián)立橢圓方程，利用根與系數(shù)之間的關(guān)系，算長度詳解：(1)∴(2)y=k(x+1)x|AB|=yAB令|點(diǎn)睛：本題主要考查了解析幾何中橢圓的定值問題，在解答此類問題時(shí)要設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)和直線方程，利用根與系數(shù)之間的關(guān)系即可求出長度表達(dá)式，然后再求定值，需要一定的計(jì)算量，理解方法并能運(yùn)用，本題有一定的難度．19、（Ⅰ）（Ⅱ）的分布列為

0

1

2

3

的數(shù)學(xué)期望【解題分析】

試題分析：對(duì)于問題（I）由題目條件并結(jié)合間接法，即可求出乙投球的命中率；對(duì)于問題（II），首先列出兩人共命中的次數(shù)的所有可能的取值情況，再根據(jù)題目條件分別求出取各個(gè)值時(shí)所對(duì)應(yīng)的概率，就可得到的分布列．試題解析：（I）設(shè)“甲投球一次命中”為事件，“乙投球一次命中”為事件.由題意得解得或（舍去），所以乙投球的命中率為.（II）由題設(shè)知（I）知，，，，可能取值為故，，的分布列為考點(diǎn)：1、概率；2、離散型隨機(jī)變量及其分布列.20、(Ⅰ)C1的普通方程,C2的直角坐標(biāo)方程；(Ⅱ)|MN|取得最小值,此時(shí)M(,).【解題分析】

(Ⅰ)利用三種方程的轉(zhuǎn)化方法，即可寫出C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程；(Ⅱ)設(shè)M(cosα,sinα)，則|MN|的最小值為M到距離最小值，利用三角函數(shù)知識(shí)即可求解．【題目詳解】(Ⅰ)曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),普通方程為，曲線的極坐標(biāo)方程為，即，直角坐標(biāo)方程為，即；(Ⅱ)設(shè)M(cosα,sinα)，則|MN|的最小值為M到距離，即，當(dāng)且僅當(dāng)α=2kπ-(k∈Z)時(shí),|MN|取得最小值,此時(shí)M(,).【題目點(diǎn)撥】本題考查參數(shù)方程化成普通方程，利用三角函數(shù)知識(shí)即可求解，屬于中等題.21、（1）見解析；（2）平面