2024屆浙江省紹興市高級中學數(shù)學高二第二學期期末統(tǒng)考模擬試題含解析

2024屆浙江省紹興市高級中學數(shù)學高二第二學期期末統(tǒng)考模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知定義在上的可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，滿足，且，則不等式（為自然對數(shù)的底數(shù)）的解集為（）A． B． C． D．2．函數(shù)的零點所在的大致區(qū)間是（）A． B．C． D．3．學校新入職的5名教師要參加由市教育局組織的暑期3期上崗培訓(xùn)，每人只參加其中1期培訓(xùn)，每期至多派2人，由于時間上的沖突，甲教師不能參加第一期培訓(xùn)，則學校不同的選派方法有()A．種 B．種 C．種 D．種4．中國古代數(shù)學的瑰寶——《九章算術(shù)》中涉及到一種非常獨特的幾何體——鱉擩，它是指四面皆為直角三角形的四面體.現(xiàn)有四面體為一個鱉擩，已知平面，，若該鱉擩的每個頂點都在球的表面上，則球的表面積為（）A． B． C． D．5．集合，，若，則的值為（）．A． B． C． D．6．若,則()A． B． C． D．7．在空間直角坐標中，點到平面的距離是（）A．1 B．2 C．3 D．8．如圖所示的陰影部分由方格紙上3個小方格組成，我們稱這樣的圖案為形（每次旋轉(zhuǎn)90°仍為形的圖案），那么在個小方格組成的方格紙上可以畫出不同位置的形需案的個數(shù)是（）A．36 B．64 C．80 D．969．若向量，滿足，與的夾角為，則等于（）A． B． C．4 D．1210．設(shè)函數(shù)，則（）A．3 B．4 C．5 D．611．定義在上的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為,若對任意的正實數(shù),都有恒成立,則使成立的實數(shù)的取值范圍為(

)A． B． C． D．12．若是互不相同的空間直線，是不重合的平面，則下列命題中真命題是()A．若則B．若則C．若，，則D．若，，則二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．為了了解學校(共三個年級)的數(shù)學學習情況，教導(dǎo)處計算高一、高二、高三三個年級的平均成績分別為，并進行數(shù)據(jù)分析，其中三個年級數(shù)學平均成績的標準差為____________.14．用五種不同的顏色給圖中、、、、、六個區(qū)域涂色，要求有公共邊的區(qū)域不能涂同一種顏色且顏色齊全，則共有涂色方法__________種．15．從甲、乙、丙、丁4位同學中隨機選出2名代表參加學校會議，則甲被選中的概率是．16．在一個如圖所示的6個區(qū)域栽種觀賞植物，要求同一塊區(qū)域中種同一種植物，相鄰的兩塊區(qū)域中種不同的植物.現(xiàn)有4種不同的植物可供選擇，則不同的栽種方案的總數(shù)為____．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)(1)求函數(shù)的解析式;(2)解關(guān)于的不等式．18．（12分）如圖，在三棱錐中，，在底面上的射影在上，于.（1）求證：平行平面，平面平面；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.19．（12分）如圖1，等邊中，，是邊上的點（不與重合），過點作交于點，沿將向上折起，使得平面平面，如圖2所示．（1）若異面直線與垂直，確定圖1中點的位置；（2）證明：無論點的位置如何，二面角的余弦值都為定值，并求出這個定值．20．（12分）選修4-4：坐標系與參數(shù)方程在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程是（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求曲線的直角坐標方程；（2）設(shè)點分別在，上運動，若的最小值為2，求的值.21．（12分）已知數(shù)列滿足，，設(shè)，數(shù)列滿足.（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項和.22．（10分）（1）在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程；（2）已知復(fù)數(shù)z滿足，且，求z的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】令所以,選B.點睛：利用導(dǎo)數(shù)解抽象函數(shù)不等式，實質(zhì)是利用導(dǎo)數(shù)研究對應(yīng)函數(shù)單調(diào)性，而對應(yīng)函數(shù)需要構(gòu)造.構(gòu)造輔助函數(shù)常根據(jù)導(dǎo)數(shù)法則進行：如構(gòu)造，構(gòu)造，構(gòu)造，構(gòu)造等2、C【解題分析】

，函數(shù)f(x)在（0，+∞）上單調(diào)遞增，∵f(3)=ln3-1＞0，f(e)=lne-=1-＜0，∴f(3)·f(e)＜0，∴在區(qū)間（e，3）內(nèi)函數(shù)f(x)存在零點.故選C.3、B【解題分析】

由題意可知這是一個分類計數(shù)問題.一類是：第一期培訓(xùn)派1人；另一類是第一期培訓(xùn)派2人，分別求出每類的選派方法，最后根據(jù)分類計數(shù)原理，求出學校不同的選派方法的種數(shù).【題目詳解】解:第一期培訓(xùn)派1人時，有種方法,第一期培訓(xùn)派2人時，有種方法,故學校不同的選派方法有，故選B.【題目點撥】本題考查了分類計數(shù)原理，讀懂題意是解題的關(guān)鍵，考查了分類討論思想.4、B【解題分析】分析：把此四面體放入長方體中，BC，CD，AB剛好是長方體的長、寬、高，算出長方體體對角線即可.詳解：把此四面體放入長方體中，BC，CD，AB剛好是長方體的長、寬、高，則，，故.故選：B.點睛：本題主要考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想的運用.5、D【解題分析】因為，所以，選D.6、D【解題分析】

由于兩個對數(shù)值均為正，故m和n一定都小于1，再利用對數(shù)換底公式，將不等式等價變形為以10為底的對數(shù)不等式，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較m、n的大小即可【題目詳解】∵∴0＜n＜1，0＜m＜1且即lg0.5（）>0?lg0.5（）>0∵lg0.5<0，lgm＜0，lgn＜0∴l(xiāng)gn﹣lgm<0即lgn<lgm?n<m∴1＞m＞n＞0故選D．【題目點撥】本題考查了對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，對數(shù)的運算法則及其換底公式的應(yīng)用，利用圖象和性質(zhì)比較大小的方法7、B【解題分析】

利用空間坐標的定義，即可求出點到平面的距離.【題目詳解】點,由空間坐標的定義.點到平面的距離為2.故選：B【題目點撥】本題考查空間距離的求法，屬于基礎(chǔ)題.8、C【解題分析】

把問題分割成每一個“田”字里，求解.【題目詳解】每一個“田”字里有個“”形，如圖因為的方格紙內(nèi)共有個“田”字，所以共有個“”形..【題目點撥】本題考查排列組合問題，關(guān)鍵在于把“要做什么”轉(zhuǎn)化成“能做什么”，屬于中檔題.9、B【解題分析】

將平方后再開方去計算模長，注意使用數(shù)量積公式.【題目詳解】因為，所以，故選：B.【題目點撥】本題考查向量的模長計算，難度一般.對于計算這種形式的模長，可通過先平方再開方的方法去計算模長.10、C【解題分析】

根據(jù)的取值計算的值即可.【題目詳解】解：，故，故選：C.【題目點撥】本題考查了函數(shù)求值問題，考查對數(shù)以及指數(shù)的運算，是一道基礎(chǔ)題.11、A【解題分析】

分析：構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定它的單調(diào)性，從而可得題中不等式的解．詳解：設(shè)，則，由已知當時，，∴在上是減函數(shù)，又∵是偶函數(shù)，∴也是偶函數(shù)，，不等式即為，即，∴，∴，即．故選A．點睛：本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，然后解函數(shù)不等式．解題關(guān)鍵是構(gòu)造新函數(shù)．新函數(shù)的結(jié)構(gòu)可結(jié)合已知導(dǎo)數(shù)的不等式和待解的不等式的形式構(gòu)造．如，，，等等．12、C【解題分析】

對于A，考慮空間兩直線的位置關(guān)系和面面平行的性質(zhì)定理；對于B，考慮線面垂直的判定定理及面面垂直的性質(zhì)定理；對于C，考慮面面垂直的判定定理；對于D，考慮空間兩條直線的位置關(guān)系及平行公理.【題目詳解】選項A中，除平行外，還有異面的位置關(guān)系，則A不正確；選項B中，與的位置關(guān)系有相交、平行、在內(nèi)三種，則B不正確；選項C中，由，設(shè)經(jīng)過的平面與相交，交線為，則，又，故，又，所以，則C正確；選項D中,與的位置關(guān)系還有相交和異面，則D不正確；故選C.【題目點撥】該題考查的是有關(guān)立體幾何問題，涉及到的知識點有空間直線與平面的位置關(guān)系，面面平行的性質(zhì)，線面垂直的判定，面面垂直的判定和性質(zhì)，屬于簡單題目.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

根據(jù)方差公式計算方差，然后再得標準差．【題目詳解】三個數(shù)的平均值為115，方差為，∴標準差為．故答案為：．【題目點撥】本題考查標準差，注意到方差是標準差的平方，因此可先計算方差．方差公式為：數(shù)據(jù)的方差為．14、960【解題分析】分析：先分析出同色區(qū)域的情況，然后其他顏色任意排即可.詳解：同色的區(qū)域可以為AC,AE,AF,BD,BF,CD,CE,DF,共8種，故共有涂色方法8種.故答案為960.點睛：考查排列組合的簡單應(yīng)用，認真審題，分析清楚情況是解題關(guān)鍵，屬于中檔題.15、【解題分析】試題分析：從甲、乙、丙、丁4位同學中隨機選出2名代表共有種基本事件，甲被選中包含種，基本事件，因此甲被選中的概率是考點：古典概型概率16、【解題分析】

先種B、E兩塊，再種A、D,而種C、F與種A、D情況一樣，根據(jù)分類與分步計數(shù)原理可求．【題目詳解】先種B、E兩塊，共種方法，再種A、D,分A、E相同與不同，共種方法，同理種C、F共有7種方法，總共方法數(shù)為【題目點撥】利用排列組合計數(shù)時，關(guān)鍵是正確進行分類和分步，分類時要注意不重不漏.本題先種B、E兩塊，讓問題變得更簡單．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)【解題分析】

（1）令，得，求出的范圍，得出的范圍，再將代入題中函數(shù)解析式即可得出函數(shù)的解析式與定義域；（2）將所求不等式轉(zhuǎn)化為，然后解出該不等式組即可得出答案．【題目詳解】（1）令，則，，由題意知，即，則．所以，故．（2）由，得．由，得，因為，所以，由，得，即，，解得或.又，，所以或.故不等式的解集為.【題目點撥】本題第（1）問考查函數(shù)解析式的求解，對于簡單復(fù)合函數(shù)解析式的求解，常用換元法，但要注意新元的取值范圍作為定義域，第（2）問考查對數(shù)不等式的解法，一般要轉(zhuǎn)化為同底數(shù)對數(shù)來處理，借助對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解，同時也要注意真數(shù)大于零這個隱含條件．18、（1）詳見解析（2）【解題分析】

（1）證明EF∥BC，從而BC∥平面DEF，結(jié)合AB⊥DF，AB⊥DE，推出AB⊥平面DEF，即可證明平面DAB⊥平面DEF．

（2）在△DEF中過E作DF的垂線，垂足H，說明∠EBH即所求線面角，通過求解三角形推出結(jié)果．【題目詳解】解：（1）證明：因為，所以，分別是，的中點所以，從而平面又，，所以平面從而平面平面（2）在中過作的垂線，垂足由（1）知平面，即所求線面角由是中點，得設(shè)，則，因為，則，，，所以所求線面角的正弦值為【題目點撥】本題考查直線與平面所成角的求法，直線與平面垂直的判斷定理的應(yīng)用，考查空間想象能力以及計算能力，是中檔題．19、（1）見解析；（2）【解題分析】

（1）取中點，中點，連結(jié)，以為原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出圖1中點在靠近點的三等分點處；（2）求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能證明無論點D的位置如何，二面角的余弦值都為定值．【題目詳解】解：（1）在圖2中，取中點，中點，連結(jié)，以為原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，設(shè)，則，，∴，，，，故，，∵異面直線與垂直，∴，解得x（舍）或x，∴，∴圖1中點在靠近點的三等分點處．（2）證明：平面的法向量，，，設(shè)平面的法向量，則即，取，得，設(shè)二面角的平面角為，則為鈍角，故，∴無論點的位置如何，二面角的余弦值都為定值．【題目點撥】本題考查利用空間向量確定空間中點的位置以及二面角的余弦值的計算，考查運算能力求解能力和推理論證能力，是中檔題．20、(1)(2)或.【解題分析】

（1）由極坐標方程與直角坐標方程的互化，即可得出曲線的直角坐標方程；（2）由（1）先確定是圓心為，半徑為2的圓，再由曲線的參數(shù)方程得到其普通方程，根據(jù)點到直線的距離公式即可求出結(jié)果.【題目詳解】解：（1）因為，所以，所以.將，，代入上式，得的直角坐標方程為.（2）將化為，所以是圓心為，半徑為2的圓.將的參數(shù)方程化為普通方程為，所以，解得或.【題目點撥】本題主要考查極坐標方程與直角坐標方程的互化，以參數(shù)方程與普通方程的互化，熟記公式即可求解，屬于常考題型.21、（1）詳見解析（2）【解題分析】試題分析：（1）由可得,則數(shù)列為等比數(shù)列且公比為2.可得數(shù)列的通項公式.并將代入用對數(shù)的運算法則將其化簡.再證為常數(shù).（2）數(shù)列是一個等差數(shù)列乘以一個等比數(shù)列，用錯位相減法求數(shù)列的前項和.試題解析：（1）由已知可得，，2分3分4分為等差數(shù)列，其中．6分（2）①7分②8分①-②得∴12分考點：1等比數(shù)列的定義和通項公式;2等差數(shù)列的定義和通項公式;3錯位想減法求數(shù)列的和.【方法點睛】本題涉及等差數(shù)列，等比數(shù)列，以及求和的方法，屬于基礎(chǔ)題型，數(shù)列求和的方法主要包括：（1）分組求和法，把一個數(shù)列分成幾個可以直接求和的數(shù)列和的形式；（2）裂項相消法：將數(shù)列寫成的形式，包括，，等形式；（3）錯位