2024屆湖北省武漢市六校聯(lián)考數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題含解析

2024屆湖北省武漢市六校聯(lián)考數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．的二項(xiàng)式系數(shù)之和為（）．A． B． C． D．2．已知向量，，且，則等于（）．A． B． C． D．3．已知函數(shù)，關(guān)于的方程有三個(gè)不等的實(shí)根，則的取值范圍是（）A． B．C． D．4．已知甲、乙兩車由同一起點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，并沿同一路線（假定為直線）行駛,甲車、乙車的速度曲線分別為和（如圖所示）,那么對(duì)于圖中給定的和，下列判斷中一定正確的是（）A．在時(shí)刻，兩車的位置相同B．時(shí)刻后，甲車在乙車后面C．在時(shí)刻，兩車的位置相同D．在時(shí)刻，甲車在乙車前面5．已知復(fù)數(shù)，為的共軛復(fù)數(shù)，則的值為（）A． B． C． D．6．已知橢圓（為參數(shù)）與軸正半軸，軸正半軸的交點(diǎn)分別為，動(dòng)點(diǎn)是橢圓上任一點(diǎn)，則面積的最大值為（）A． B． C． D．7．某程序框圖如圖所示，該程序運(yùn)行后輸出的的值是（）A．4 B．5 C．6 D．78．已知變量，滿足回歸方程，其散點(diǎn)圖如圖所示，則（）A．， B．，C．， D．，9．甲乙丙丁4名師范院校的大學(xué)生分配至3所學(xué)校實(shí)習(xí)，每所學(xué)校至少分配一名大學(xué)生，且甲、乙兩人不能分配在同一所學(xué)校，則不同分配方法數(shù)為（）A．30 B．42 C．50 D．5810．某地區(qū)一次聯(lián)考的數(shù)學(xué)成績(jī)近似地服從正態(tài)分布，已知，現(xiàn)隨機(jī)從這次考試的成績(jī)中抽取100個(gè)樣本，則成績(jī)低于48分的樣本個(gè)數(shù)大約為（）A．6 B．4 C．94 D．9611．對(duì)任意實(shí)數(shù)，若不等式在上恒成立，則的取值范圍是（）A． B． C． D．12．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中“開立圓術(shù)”曰:置積尺數(shù),以十六乘之,九而一,所得開立方除之,即立圓徑.“開立圓術(shù)”相當(dāng)于給出了已知球的體積,求其直徑的一個(gè)近似公式,人們還用過一些類似的近似公式,根據(jù)判斷,下列近似公式中最精確的一個(gè)是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為4，記，，若，則此棱柱的體積為______．14．已知雙曲線的左頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)到一條漸近線的距離之比為1:2，則該雙曲線的漸近線方程為_______.15．復(fù)數(shù)的虛部為______．16．若直線與曲線有公共點(diǎn)，則的取值范圍是______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，.（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間與極值；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)，求的值18．（12分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)在上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的最小值；（3）若，使成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．（12分）如圖，已知三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，，分別是的中點(diǎn).（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）求二面角的余弦值.20．（12分）三棱錐中，平面平面，，，分別為，的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若，求證：平面.21．（12分）全民健身倡導(dǎo)全民做到每天參加一次以上的體育健身活動(dòng)，旨在全面提高國(guó)民體質(zhì)和健康水平.某市的體育部門對(duì)某小區(qū)的4000人進(jìn)行了“運(yùn)動(dòng)參與度”統(tǒng)計(jì)評(píng)分（滿分100分），得到了如下的頻率分布直方圖：（1）求這4000人的“運(yùn)動(dòng)參與度”的平均得分（同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)作代表）；（2）由直方圖可認(rèn)為這4000人的“運(yùn)動(dòng)參與度”的得分服從正態(tài)分布，其中，分別取平均得分和方差，那么選取的4000人中“運(yùn)動(dòng)參與度”得分超過84.81分（含84.81分）的人數(shù)估計(jì)有多少人？（3）如果用這4000人得分的情況來(lái)估計(jì)全市所有人的得分情況，現(xiàn)從全市隨機(jī)抽取4人，記“運(yùn)動(dòng)參與度”的得分不超過84.81分的人數(shù)為，求.（精確到0.001）附：①，；②，則，；③.22．（10分）已知函數(shù)，將的圖象向右平移兩個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象．（1）求函數(shù)的解析式；（2）若方程在上有且僅有一個(gè)實(shí)根，求的取值范圍；（3）若函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，設(shè)，已知對(duì)任意的恒成立，求的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】由題意得二項(xiàng)式系數(shù)和為．選．2、B【解題分析】

由向量垂直可得，求得x，及向量的坐標(biāo)表示，再利用向量加法的坐標(biāo)運(yùn)算和向量模的坐標(biāo)運(yùn)算可求得模.【題目詳解】由，可得，代入坐標(biāo)運(yùn)算可得x-4=0，解得x=4,所以，得=5，選B.【題目點(diǎn)撥】求向量的模的方法：一是利用坐標(biāo)，二是利用性質(zhì)，結(jié)合向量數(shù)量積求解.3、B【解題分析】

利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的性質(zhì)后可得方程至多有兩個(gè)解．因?yàn)橛腥齻€(gè)不同的解，故方程有兩個(gè)不同的解，且，，最后利用函數(shù)的圖像特征可得實(shí)數(shù)的取值范圍．【題目詳解】，當(dāng)時(shí)，，在上為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，在上為減函數(shù)；所以的圖像如圖所示：又時(shí)，，又的值域?yàn)?，所以?dāng)或時(shí)，方程有一個(gè)解，當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不同的解，所以方程即有兩個(gè)不同的解，令，故，解得，故選B．【題目點(diǎn)撥】復(fù)合方程的解的個(gè)數(shù)問題，其實(shí)質(zhì)就是方程組的解的個(gè)數(shù)問題，后者可先利用導(dǎo)數(shù)等工具刻畫的圖像特征，結(jié)合原來(lái)方程解的個(gè)數(shù)得到的限制條件，再利用常見函數(shù)的性質(zhì)刻畫的圖像特征從而得到參數(shù)的取值范圍．4、D【解題分析】

根據(jù)圖象可知在前，甲車的速度高于乙車的速度；根據(jù)路程與速度和時(shí)間的關(guān)系可得到甲車的路程多于乙車的路程，從而可知甲車在乙車前面.【題目詳解】由圖象可知，在時(shí)刻前，甲車的速度高于乙車的速度由路程可知，甲車走的路程多于乙車走的路程在時(shí)刻，甲車在乙車前面本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)圖象的應(yīng)用，關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確選取臨界狀態(tài)，屬于基礎(chǔ)題.5、D【解題分析】試題分析：,故選D.考點(diǎn)：1.復(fù)數(shù)的運(yùn)算；2.復(fù)數(shù)相關(guān)概念.6、B【解題分析】分析：根據(jù)橢圓的方程算出A（4，1）、B（1，3），從而得到|AB|=5且直線AB：3x+4y﹣12=1．設(shè)點(diǎn)P（4cosθ，3sinθ），由點(diǎn)到直線的距離公式算出P到直線AB距離為d=|sin﹣1|，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)算出dmax=（），由此結(jié)合三角形面積公式，即可得到△PAB面積的最大值．詳解：由題得橢圓C方程為：，∴橢圓與x正半軸交于點(diǎn)A（4，1），與y正半軸的交于點(diǎn)B（1，3），∵P是橢圓上任一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P（4cosθ，3sinθ）（θ∈[1，2π]）∴點(diǎn)P到直線AB：3x+4y﹣12=1的距離為d==|sin﹣1|，由此可得：當(dāng)θ=時(shí)，dmax=（）∴△PAB面積的最大值為S=|AB|×dmax=6（）.點(diǎn)睛：(1)本題主要考查橢圓的參數(shù)方程和三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力計(jì)算能力.(2)對(duì)于|sin﹣1|，不是sin=1時(shí)，整個(gè)函數(shù)取最大值，而應(yīng)該是sin=-1，要看后面的“-1”.7、A【解題分析】

根據(jù)框圖，模擬計(jì)算即可得出結(jié)果.【題目詳解】程序執(zhí)行第一次，，，第二次，，第三次，，第四次，，跳出循環(huán)，輸出，故選A.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了程序框圖，循環(huán)結(jié)構(gòu)，屬于中檔題.8、D【解題分析】

由散點(diǎn)圖知變量負(fù)相關(guān)，回歸直線方程的斜率小于1；回歸直線在y軸上的截距大于1．可得答案.【題目詳解】由散點(diǎn)圖可知，變量之間具有負(fù)相關(guān)關(guān)系．

回歸直線的方程的斜率．

回歸直線在軸上的截距是正數(shù)．

故選：D【題目點(diǎn)撥】本題考查了散點(diǎn)圖與線性回歸方程的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．9、A【解題分析】

根據(jù)題意將4人分成3組，再進(jìn)行排列，兩步完成.【題目詳解】第一步，將甲乙丙丁4名同學(xué)分成3組，甲、乙兩人不在同一組，有5種分法第二步,將3組同學(xué)分配到3所學(xué)校，有種分法所以共有種分配方法故選：A【題目點(diǎn)撥】解決分組分配問題的基本指導(dǎo)思想是先分組，后分配.10、B【解題分析】

由已知根據(jù)正態(tài)分布的特點(diǎn)，可得，根據(jù)對(duì)稱性，則，乘以樣本個(gè)數(shù)得答案．【題目詳解】由題意，知，可得，又由對(duì)稱軸為，所以，所以成績(jī)小于分的樣本個(gè)數(shù)為個(gè)．故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題考查正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義，以及考查正態(tài)分布中兩個(gè)量和的應(yīng)用，其中熟記正態(tài)分布的對(duì)稱性是解答的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．11、B【解題分析】考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式；函數(shù)恒成立問題．分析：要使不等式|x+2|-|x-1|＞a恒成立，需f（x）=|x+2|-|x-1|的最小值大于a，問題轉(zhuǎn)化為求f（x）的最小值．解：（1）設(shè)f（x）=|x+2|-|x-1|，則有f（x）=，當(dāng)x≤-2時(shí)，f（x）有最小值-1；當(dāng)-2≤x≤1時(shí)，f（x）有最小值-1；當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）=1．綜上f（x）有最小值-1，所以，a＜-1．故答案為B．12、B【解題分析】

利用球體的體積公式得，得出的表達(dá)式，再將的近似值代入可得出的最精確的表達(dá)式.【題目詳解】由球體的體積公式得，，，，，，與最為接近，故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查球體的體積公式，解題的關(guān)鍵在于理解題中定義，考查分析問題和理解問題的能力，屬于中等題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出直四棱柱的高h(yuǎn)，求出的坐標(biāo)，由數(shù)量積為0求得h，則棱柱的體積可求．【題目詳解】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，又，則，，，，，，，，即．此棱柱的體積為．故答案為．【題目點(diǎn)撥】本題考查棱柱體積的求法，考查利用空間向量解決線線垂直問題，是中檔題．14、【解題分析】

利用已知條件求出雙曲線的左頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)坐標(biāo)，寫出雙曲線的漸近線方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式以及題的條件，列出方程得到的關(guān)系，然后求出雙曲線的漸近線方程.【題目詳解】雙曲線的左頂點(diǎn)，右焦點(diǎn)，漸近線方程為，根據(jù)題意可得，整理得，因?yàn)椋?，所以，所以其漸近線方程為：，故答案是：.【題目點(diǎn)撥】該題考查的是有關(guān)雙曲線的漸近線的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有雙曲線的性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離，屬于簡(jiǎn)單題目.15、【解題分析】

利用復(fù)數(shù)的除法將復(fù)數(shù)表示為一般形式，可得出該復(fù)數(shù)的虛部.【題目詳解】由復(fù)數(shù)的除法法則得，因此，復(fù)數(shù)的虛部為.故答案為.【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)虛部的求解，一般利用復(fù)數(shù)四則運(yùn)算法則將復(fù)數(shù)表示為一般形式即可，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.16、【解題分析】

由曲線y=3+，得（x﹣2）2+（y﹣3）2=4，0≤x≤4，直線y=x+b與曲線y=3+有公共點(diǎn)，圓心（2，3）到直線y=x+b的距離d不大于半徑r=2，由此結(jié)合圖象能求出實(shí)數(shù)b的取值范圍．【題目詳解】由曲線y=3+，得（x﹣2）2+（y﹣3）2=4，0≤x≤4，∵直線y=x+b與曲線y=3+有公共點(diǎn)，∴圓心（2，3）到直線y=x+b的距離d不大于半徑r=2，即∵0≤x≤4，∴x=4代入曲線y=3+，得y=3，把（4，3）代入直線y=x+b，得bmin=3﹣4=﹣1，②聯(lián)立①②，得．∴實(shí)數(shù)b的取值范圍是[﹣1，1+2]．故答案為.【題目點(diǎn)撥】本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意數(shù)形結(jié)合思想的合理運(yùn)用．一般直線和圓的題很多情況下是利用數(shù)形結(jié)合來(lái)解決的，聯(lián)立的時(shí)候較少；在求圓上的點(diǎn)到直線或者定點(diǎn)的距離時(shí)，一般是轉(zhuǎn)化為圓心到直線或者圓心到定點(diǎn)的距離，再加減半徑，分別得到最大值和最小值；涉及到圓的弦長(zhǎng)或者切線長(zhǎng)時(shí)，經(jīng)常用到垂徑定理．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.極大值是，無(wú)極小值.（Ⅱ）1【解題分析】

（Ⅰ）把代入，令，求出極值點(diǎn)，再求出的單調(diào)區(qū)間，確定函數(shù)的極值；（Ⅱ）函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)，等價(jià)于的極小值等于0，列出等式，可求得t.【題目詳解】解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，則，令，得，∴的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.∴的極大值是，無(wú)極小值.（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，由，得，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴的極小值是，∴只要，即，令，則，∴在上單調(diào)遞增.∵，∴的值是1.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查利用導(dǎo)函數(shù)求增減區(qū)間和極值；以及根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，確定參數(shù)的取值，數(shù)形結(jié)合方法的應(yīng)用是解決本題的關(guān)鍵.18、（1）函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是，增區(qū)間是；（2）；（3）.【解題分析】

（1）根據(jù)解析式求出g（x）的定義域和g′（x），再求出臨界點(diǎn)，求出g′（x）<0和g′（x）>0對(duì)應(yīng)的解集，再表示成區(qū)間的形式，即所求的單調(diào)區(qū)間；（2）先求出f（x）的定義域和f′（x），把條件轉(zhuǎn)化為f′（x）≤0在（1，+∞）上恒成立，再對(duì)f′（x）進(jìn)行配方，求出在x∈（1，+∞）的最大值，再令f′（x）max≤0求解；（3）先把條件等價(jià)于“當(dāng)x∈[e，e2]時(shí)，有f（x）min≤f′（x）max+a”，由（2）得f′（x）max，并把它代入進(jìn)行整理，再求f′（x）在[e，e2]上的最小值，結(jié)合（2）求出的a的范圍對(duì)a進(jìn)行討論：和，分別求出f′（x）在[e，e2]上的單調(diào)性，再求出最小值或值域，代入不等式再與a的范圍進(jìn)行比較．【題目詳解】由已知函數(shù)的定義域均為，且（1）函數(shù)，則，當(dāng)且時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是，增區(qū)間是；（2）因在上為減函數(shù)，故在上恒成立，所以當(dāng)時(shí)，，又，故當(dāng)，即時(shí)，,所以于是，故的最小值為；（3）命題“若使成立”等價(jià)于：“當(dāng)時(shí)，有”，由（2），當(dāng)時(shí)，，∴，問題等價(jià)于：“當(dāng)時(shí)，有”，①當(dāng)時(shí)，由（2），在上為減函數(shù)，則，故.②當(dāng)時(shí)，由于在上為增函數(shù)，故的值域?yàn)?，?由的單調(diào)性和值域知，唯一，使，且滿足：當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)；所以，，.所以，，與矛盾，不合題意.綜上，得.【題目點(diǎn)撥】本題是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的基本問題，主要依據(jù)“在給定區(qū)間，導(dǎo)函數(shù)值非負(fù)，函數(shù)為增函數(shù)；導(dǎo)函數(shù)值非正，函數(shù)為減函數(shù)”.確定函數(shù)的極值，遵循“求導(dǎo)數(shù)，求駐點(diǎn)，研究單調(diào)性，求極值”.不等式恒成立問題，往往通過構(gòu)造函數(shù)，研究函數(shù)的最值，使問題得到解決.本題的難點(diǎn)在于利用轉(zhuǎn)化思想的靈活應(yīng)用.19、（1）；（2）.【解題分析】

（1）以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算直線對(duì)應(yīng)向量，根據(jù)向量夾角公式得到答案.（2）分別計(jì)算兩個(gè)平面的法向量，利用法向量的夾角計(jì)算二面角余弦值.【題目詳解】（1）如圖，以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，,異面直線與所成角的余弦值為.（2）平面的一個(gè)法向量為．設(shè)平面的一個(gè)法向量為,由得,，不妨取則，,,二面角的余弦值為.【題目點(diǎn)撥】本題考查了空間直角坐標(biāo)系的應(yīng)用，求異面直線夾角和二面角，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.20、（1）詳見解析；（2）詳見解析.【解題分析】試題分析：(1)利用題意證得，由線面平行的結(jié)論有平面；(2)利用題意可得：，，結(jié)合線面垂直的結(jié)論則有平面．試題解析：（1）∵，分別為，的中點(diǎn)∴∵平面，平面∴平面（2）∵，為的中點(diǎn)∴∵平面平面，平面平面，平面∴平面平面∴∵，∴∵平面，平面，∴平面．點(diǎn)睛：注意使用線面垂直的定義和線面垂直的判定定理，不要誤解為“如果一條直線垂直于平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，就垂直于這個(gè)平面”21、（1）平均成績(jī)?yōu)?0.5分（2）人（3）【解題分析】

（1）先計(jì)算中間值