福建省晉江市2024屆數(shù)學高二第二學期期末質量檢測試題含解析

福建省晉江市2024屆數(shù)學高二第二學期期末質量檢測試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知的分布列為：設則的值為（）A． B． C． D．52．已知為虛數(shù)單位，復數(shù)滿足，則的共軛復數(shù)()A． B． C． D．3．若實軸長為2的雙曲線上恰有4個不同的點滿足，其中，，則雙曲線C的虛軸長的取值范圍為（）A． B． C． D．4．已知是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列命題正確的是A．，則B．，則C．，則D．，則5．用數(shù)學歸納法證明（，）時，第一步應驗證（）A． B． C． D．6．設集合A＝{x|x2－3x＜0}，B＝{x|－2≤x≤2}，則A∩B＝()A．{x|2≤x＜3}B．{x|－2≤x＜0}C．{x|0＜x≤2}D．{x|－2≤x＜3}7．設復數(shù)z滿足(1＋i)z＝2i，則|z|＝（）A． B．C． D．28．已知函數(shù)，若曲線在點處的切線方程為，則實數(shù)的取值為（）A．-2 B．-1 C．1 D．29．七巧板是我國古代勞動人民的發(fā)明之一，被譽為“東方模板”，它是由五塊等腰直角三角形、一塊正方形和一塊平行四邊形共七塊板組成的.如圖是一個用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一點，則此點取自黑色部分的概率為（）A． B． C． D．10．設是定義在上的奇函數(shù)，且,當時，有恒成立，則不等式的解集是（）A．∪B．∪C．∪D．∪11．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的，則輸入的（）A．-4 B．-7 C．-22 D．-3212．已知函數(shù)，則的零點個數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知冪函數(shù)的圖象過點，則______．14．=______．15．設隨機變量ξ服從二項分布，則等于__________16．若圓柱的軸截面面積為2，則其側面積為___；三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)的圖象過點.(1)求的值并求函數(shù)的值域；(2)若關于的方程有實根，求實數(shù)的取值范圍；(3)若函數(shù)，則是否存在實數(shù)，使得函數(shù)的最大值為?若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.18．（12分）如圖，平面，，交于點.（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.19．（12分）一盒中放有的黑球和白球，其中黑球4個，白球5個.（1）從盒中同時摸出兩個球，求兩球顏色恰好相同的概率；（2）從盒中摸出一個球，放回后再摸出一個球，求兩球顏色恰好不同的概率.20．（12分）電視傳媒公司為了解某地區(qū)電視觀眾對某類體育節(jié)目的收視情況，隨機抽取了111名觀眾進行調查，下面是根據調查結果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時間的頻率分布直方圖，將日均收看該體育節(jié)目時間不低于41分鐘的觀眾稱為“體育迷”．（1）根據已知條件完成下面的2×2列聯(lián)表，并據此資料判斷是否在犯錯誤的概率不超過的前提下認為"體育迷"與性別有關．性別非體育迷體育迷總計男女1144總計下面的臨界值表供參考：1．141．111．141．241．1111．1141．111k2．1622．6153．8414．1245．5346．86911．828(參考公式：，其中)（2）將上述調查所得到的頻率視為概率，現(xiàn)在從該地區(qū)大量電視觀眾中，采用隨機抽樣方法每次抽取1名觀眾，抽取3次，記被抽取的3名觀眾中的“體育迷”人數(shù)為X，若每次抽取的結果是相互獨立的，求X的分布列?期望和方差．21．（12分）已知函數(shù)是奇函數(shù)（）.（1）求實數(shù)的值；（2）試判斷函數(shù)在上的單調性，并證明你的結論；（3）若對任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.22．（10分）的展開式一共有13項.（1）求展開式中二項式系數(shù)之和；（2）求展開式中的常數(shù)項

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】

求出η的期望，然后利用，求解即可．【題目詳解】由題意可知E（η）＝﹣101．∵，所以＝E（1η﹣2）＝1E（η）﹣21．故選A．【題目點撥】本題考查數(shù)學期望的運算性質，也可根據兩個變量之間的關系寫出ξ的分布列，再由ξ分布列求出期望．2、A【解題分析】由，得，故選A.3、C【解題分析】

設點，由結合兩點間的距離公式得出點的軌跡方程，將問題轉化為雙曲線與點的軌跡有個公共點，并將雙曲線的方程與動點的軌跡方程聯(lián)立，由得出的取值范圍，可得出答案．【題目詳解】依題意可得，設，則由，得，整理得.由得，依題意可知，解得，則雙曲線C的虛軸長.4、D【解題分析】

根據空間中直線與平面的位置關系的相關定理依次判斷各個選項即可.【題目詳解】兩平行平面內的直線的位置關系為：平行或異面，可知錯誤；且，此時或，可知錯誤；，，，此時或，可知錯誤；兩平行線中一條垂直于一個平面，則另一條必垂直于該平面，正確.本題正確選項：【題目點撥】本題考查空間中直線與平面、平面與平面位置關系的判定，考查學生對于定理的掌握程度，屬于基礎題.5、B【解題分析】

直接利用數(shù)學歸納法寫出時左邊的表達式即可．【題目詳解】解：用數(shù)學歸納法證明，時，第一步應驗證時是否成立，即不等式為：；故選：．【題目點撥】在數(shù)學歸納法中，第一步是論證時結論是否成立，此時一定要分析不等式左邊的項，不能多寫也不能少寫，否則會引起答案的錯誤．6、C【解題分析】

求出集合A中不等式的解集，結合集合B，得到兩個集合的交集．【題目詳解】A={x|x2﹣3x＜0}={x|0＜x＜3}，∵B={x|﹣2≤x≤2}，∴A∩B={x|0＜x≤2}，故選：C．【題目點撥】求集合的交、并、補時，一般先化簡集合，再由交、并、補的定義求解；在進行集合的運算時要盡可能地借助Venn圖和數(shù)軸使抽象問題直觀化．一般地，集合元素離散時用Venn圖表示；集合元素連續(xù)時用數(shù)軸表示，用數(shù)軸表示時要注意端點值的取舍．7、C【解題分析】

先求出的表達式，然后對其化簡，求出復數(shù)的模即可.【題目詳解】由題意，，所以.故選：C.【題目點撥】本題考查復數(shù)的四則運算，考查復數(shù)的模的計算，屬于基礎題.8、B【解題分析】

求出函數(shù)的導數(shù)，利用切線方程通過f′（0），求解即可；【題目詳解】f（x）的定義域為（﹣1，+∞），因為f′（x）a，曲線y＝f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為y＝2x，可得1﹣a＝2，解得a＝﹣1，故選：B．【題目點撥】本題考查函數(shù)的導數(shù)的幾何意義，切線方程的求法，考查計算能力．9、C【解題分析】分析：由七巧板的構造，設小正方形的邊長為1，計算出黑色平行四邊形和黑色等腰直角三角形的面積之和．詳解：設小正方形的邊長為1，可得黑色平行四邊形的底為高為；黑色等腰直角三角形的直角邊為2，斜邊為2，大正方形的邊長為2，所以，故選C．點睛：本題主要考查幾何概型，由七巧板的構造，設小正方形的邊長為1，通過分析觀察，求得黑色平行四邊形的底和高，以及求出黑色等腰直角三角形直角邊和斜邊長，進而計算出黑色平行四邊形和黑色等腰直角三角形的面積之和，再將黑色部分面積除以大正方形面積可得概率，屬于較易題型．10、B【解題分析】試題分析：因為當時，有恒成立，所以恒成立，所以在內單調遞減．因為,所以在內恒有；在內恒有．又因為是定義在上的奇函數(shù)，所以在內恒有；在內恒有．又因為不等式的解集，即不等式的解集，由上分析可得，其解集為∪，故應選．考點：1、函數(shù)的基本性質；2、導數(shù)在研究函數(shù)的單調性中的應用．【思路點睛】本題主要考查了函數(shù)的基本性質和導數(shù)在研究函數(shù)的單調性中的應用，屬中檔題．其解題的一般思路為：首先根據商函數(shù)求導法則可知化為；然后利用導數(shù)的正負性可判斷函數(shù)在內的單調性；再由可得函數(shù)在內的正負性；最后結合奇函數(shù)的圖像特征可得，函數(shù)在內的正負性，即可得出所求的解集．11、A【解題分析】

模擬執(zhí)行程序，依次寫出每次循環(huán)得到的S，i的值，當i＝6時不滿足條件i＜6，退出循環(huán)，輸出S的值為S+1﹣9+16﹣25＝﹣18，從而解得S的值．【題目詳解】解：由題意，模擬執(zhí)行程序，可得i＝2，滿足條件i＜6，滿足條件i是偶數(shù)，S＝S+1，i＝3滿足條件i＜6，不滿足條件i是偶數(shù)，S＝S+1﹣9，i＝1滿足條件i＜6，滿足條件i是偶數(shù)，S＝S+1﹣9+16，i＝5滿足條件i＜6，不滿足條件i是偶數(shù)，S＝S+1﹣9+16﹣25，i＝6不滿足條件i＜6，退出循環(huán)，輸出S的值為S+1﹣9+16﹣25＝﹣18，故解得：S＝﹣1．故選A．點睛：本題主要考查了循環(huán)結構的程序框圖，模擬執(zhí)行程序，正確得到循環(huán)結束時S的表達式是解題的關鍵，屬于基礎題．12、C【解題分析】

分段令，解方程即可得解.【題目詳解】當時，令，得；當時，令，得.故選C.【題目點撥】本題主要考查了分段函數(shù)零點的求解，涉及指數(shù)和對數(shù)方程，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、3【解題分析】

先利用待定系數(shù)法代入點的坐標，求出冪函數(shù)的解析式，再求的值.【題目詳解】設，由于圖象過點,得，，，故答案為3.【題目點撥】本題考査冪函數(shù)的解析式，以及根據解析式求函數(shù)值，意在考查對基礎知識的掌握與應用，屬于基礎題.14、【解題分析】

試題分析：．考點：對數(shù)的運算．15、【解題分析】

利用獨立重復試驗的概率計算出、、、，再將這些相加可得出.【題目詳解】由于，所以，，，，，因此，，故答案為：.【題目點撥】本題考查二項分布獨立重復試驗的概率，解這類問題要注意將基本事件列舉出來，關鍵在于靈活利用獨立重復試驗的概率公式進行計算，考查計算能力，屬于中等題。16、【解題分析】

根據題意得圓柱的軸截面為底邊為，高為的矩形，根據幾何性質即可求解?！绢}目詳解】設圓柱的底面圓半徑為，高為，由題意知，圓柱的軸截面為底邊為，高為的矩形，所以，即。所以側面積?！绢}目點撥】本題考查圓柱的幾何性質，表面積的求法，屬基礎題三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），值域為（2）（3）【解題分析】試題分析：（1）根據在圖象上，代入計算即可求解，因為，所以，所以，可得函數(shù)的值域為；（2）原方程等價于的圖象與直線有交點，先證明的單調性，可得到的值域，從而可得實數(shù)的取值范圍；（3）根據，，轉化為二次函數(shù)最大值問題，討論函數(shù)的最大值，求解實數(shù)即可.試題解析：（1）因為函數(shù)的圖象過點，所以，即，所以，所以，因為，所以，所以，所以函數(shù)的值域為.（2）因為關于的方程有實根，即方程有實根，即函數(shù)與函數(shù)有交點，令，則函數(shù)的圖象與直線有交點，又任取，則，所以，所以，所以，所以在R上是減函數(shù)（或由復合函數(shù)判斷為單調遞減），因為，所以，所以實數(shù)的取值范圍是.（3）由題意知，，令，則，當時，，所以，當時，，所以（舍去），綜上，存在使得函數(shù)的最大值為0.18、（1）證明見解析（2）【解題分析】

(1)證明與進而證明平面即可.(2)建立空間直角坐標系,求解以及平面的法向量,再求解線與平面所成角【題目詳解】（1）證明1：在中,.因為交于點,所以.因為平面,所以,所以.又因為平面,所以平面所以平面,所以.證明2：如圖,以為原點,分別以為軸,建立空間直角坐標系.在中,.因為交于點,所以,所以,所以,所以（2）解：由（1）可知,,.設平面的法向量為,所以即令,則,所以.設直線與平面所成角為,則.【題目點撥】本題主要考查了線面垂直線線垂直的證明以及建立空間直角坐標系求解線面角的問題.屬于中檔題.19、（1）（2）【解題分析】

（1）先求從盒中同時摸出兩個球時的總事件數(shù)，再求兩球顏色恰好相同的事件數(shù)，最后根據古典概型概率公式求解；（2）先求從盒中摸出一個球，放回后再摸出一個球的總事件數(shù)，再求兩球顏色恰好不同的事件數(shù)，最后根據古典概型概率公式求解．【題目詳解】解：①②【題目點撥】本題考查古典概型概率，考查基本分析求解能力，屬基礎題20、（1）2×2列聯(lián)表答案見解析，在犯錯誤的概率不超過的前提下認為“體育迷”與性別有關．（2）分布列見解析，，．【解題分析】

（1）先根據頻率分布直方圖計算出“體育迷”的人數(shù)，結合2×2列聯(lián)表中的數(shù)據可得表中其他數(shù)據，最后根據公式計算出的觀測值，再依據臨界值表給出判斷.（2）利用二項分布可得分布列，再利用公式可求期望和方差.【題目詳解】（1）由頻率分布直方圖可知，在抽取的111人中“體育迷”有(人)．由獨立性檢驗的知識得2×2列聯(lián)表如下：性別非體育迷體育迷總計男311444女441144總計6424111將2×2列聯(lián)表中的數(shù)據代入公式計算，得的觀測值．所以在犯錯誤的概率不超過的前提下認為“體育迷”與性別有關．（2）由頻率分布直方圖知抽到“體育迷”的頻率為，將頻率視為概率，即從觀眾中抽取一名“體育迷”的概率為．由題意知，∴，從而X的分布列為：1123由二項分布的期望與方差公式得，.【題目點撥】本題考查頻率分布直方圖的應用