湖南省五市十校教研教改共同體2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

湖南省五市十校教研教改共同體2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A．2 B．3 C．4 D．3．國(guó)家射擊運(yùn)動(dòng)員甲在某次訓(xùn)練中10次射擊成績(jī)單位：環(huán)，6，9，7，4，8，9，10，7，5，則這組數(shù)據(jù)第70百分位數(shù)為（

）A．7 B．8 C． D．94．過(guò)點(diǎn)的直線l與圓相切，則直線l的方程為（

）A．或 B．或C．或 D．或5．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽(yáng)馬．如圖，四棱錐是陽(yáng)馬，平面ABCD，且，若，，，則（

）A． B．C． D．6．已知圓錐的側(cè)面積是，其側(cè)面展開圖是頂角為的扇形，則該圓錐的體積為（

）A． B． C． D．7．已知，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，A是C的左頂點(diǎn)，點(diǎn)P在過(guò)A且斜率為的直線上，為等腰三角形，，則C的離心率為（

）A． B． C． D．8．如圖，在正方體中，是中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，若直線與平面所成的角為，則的取值范圍是（

）．A． B． C． D．二、多選題9．已知函數(shù)，則（

）A．的最小正周期為B．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C．是偶函數(shù)D．的單調(diào)遞減區(qū)間為10．已知三條直線，，能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)m的取值可能為（

）A．2 B． C． D．11．如圖，兩條異面直線a，b所成的角為，在直線a，b上分別取點(diǎn)A，O和點(diǎn)C，B，使，.已知，，，則線段OC的長(zhǎng)為（

）

A．6 B．8 C． D．12．已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，P是C上任意一點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．C的漸近線方程為B．若直線與雙曲線C有交點(diǎn)，則C．點(diǎn)P到C的兩條漸近線的距離之積為D．當(dāng)點(diǎn)P與A，B兩點(diǎn)不重合時(shí)，直線PA，PB的斜率之積為2三、填空題13．已知點(diǎn)，，則線段AB的垂直平分線的方程是．14．已知，，則．15．如圖，棱長(zhǎng)為1的正方體的八個(gè)頂點(diǎn)分別為，記正方體12條棱的中點(diǎn)分別為，6個(gè)面的中心為，正方體的中心為.記，，其中是正方體的體對(duì)角線.則.

16．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，M為C上任意一點(diǎn)，N為圓上任意一點(diǎn)，則的最小值為．四、解答題17．為配合創(chuàng)建全國(guó)文明城市，某市交警支隊(duì)全面啟動(dòng)路口秩序綜合治理，重點(diǎn)整治機(jī)動(dòng)車不禮讓行人的行為．經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的治理，從市交警隊(duì)數(shù)據(jù)庫(kù)中調(diào)取了10個(gè)路口的車輛違章數(shù)據(jù)，根據(jù)這10個(gè)路口的違章車次的數(shù)量繪制如圖所示的頻率分布直方圖，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中凡違章車次超過(guò)30次的路口設(shè)為“重點(diǎn)路口”．(1)根據(jù)直方圖估計(jì)這10個(gè)路口的違章車次的中位數(shù)；(2)現(xiàn)從“重點(diǎn)路口”中隨機(jī)抽取兩個(gè)路口安排交警去執(zhí)勤，求抽出來(lái)的路口中有且僅有一個(gè)違章車次在的概率．18．已知函數(shù)，且.(1)判斷函數(shù)的奇偶性，并說(shuō)明理由；(2)若，求m的取值范圍．19．已知圓，直線.(1)求證：直線l恒過(guò)定點(diǎn)；(2)直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)何時(shí)最長(zhǎng)、何時(shí)最短？并求截得的弦長(zhǎng)最短時(shí)a的值以及最短弦長(zhǎng)．20．已知分別為三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且(1)求(2)若，且為銳角三角形，求周長(zhǎng)的取值范圍．21．如圖，在正三棱柱中，，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在棱，，上，，為中點(diǎn)，連接

(1)證明：平面(2)點(diǎn)P在棱上，當(dāng)二面角為時(shí)，求EP的長(zhǎng)．22．已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且右焦點(diǎn)為(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)且斜率不為0的直線l與C交于M，N兩點(diǎn)，直線分別交直線AM，AN于點(diǎn)E，F(xiàn)，以EF為直徑的圓是否過(guò)定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：1．A【分析】根據(jù)已知條件中所給的兩個(gè)集合，結(jié)合集合的交集運(yùn)算求解即可．【詳解】因?yàn)?，，所?故選：.2．D【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再計(jì)算模長(zhǎng)即可．【詳解】復(fù)數(shù)，有故選：D3．C【分析】由百分位數(shù)的概念和計(jì)算公式可直接求解.【詳解】將10次射擊成績(jī)按照從小到大順序排序?yàn)椋?，5，6，7，7，7，8，9，9，10，因?yàn)椋缘?0百分位數(shù)為，故選：.4．B【分析】分2種情況討論：①直線l的斜率不存在，則其方程為，易得其與圓相切；②直線l的斜率存在，設(shè)其方程為，根據(jù)直線l與圓相切，圓心到直線的距離等于半徑，求出k的值即可．【詳解】圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，得圓心，半徑為2，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線，此時(shí)直線l與圓相切，符合題意；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為，即，圓心到直線l的距離為，由相切得，所以，平方化簡(jiǎn)得，求得直線方程為，綜上，直線l的方程為或故選：B5．D【分析】利用空間向量的線性運(yùn)算法則計(jì)算即可．【詳解】，，故選：D6．C【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式以及弧長(zhǎng)公式可得，，即可由體積公式求解.【詳解】設(shè)圓錐母線長(zhǎng)為a，底面半徑為r，側(cè)面積是，則，有側(cè)面展開圖頂角為，有，解得，，則圓錐的高，故，故選：C7．B【分析】由已知與構(gòu)造補(bǔ)角三角形，可得，再由斜率可得出的關(guān)系即可求解離心率．【詳解】依題意，，過(guò)P作軸，由幾何關(guān)系知，所以因?yàn)?，化?jiǎn)得，即C的離心率為.故選：B.8．A【分析】先設(shè)棱長(zhǎng)為1，，建立如圖坐標(biāo)系，根據(jù)計(jì)算點(diǎn)P坐標(biāo)和向量，再寫出平面的一個(gè)法向量的坐標(biāo)，根據(jù)構(gòu)建關(guān)系，求其值域即可.【詳解】如圖，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，，則，以為原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系．則，故，，又，則，所以．在正方體中，可知體對(duì)角線平面，所以是平面的一個(gè)法向量，所以．所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，當(dāng)或1時(shí)，取得最小值．所以.故選：A．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求空間中直線與平面所成角的常見方法為：（1）定義法：直接作平面的垂線，找到線面成角；（2）等體積法：不作垂線，通過(guò)等體積法間接求點(diǎn)到面的距離，距離與斜線長(zhǎng)的比值即線面成角的正弦值；（3）向量法：利用平面法向量與斜線方向向量所成的余弦值的絕對(duì)值，即是線面成角的正弦值.9．AD【分析】根據(jù)正弦型函數(shù)的周期公式可判斷A；代入驗(yàn)證函數(shù)值可判斷B；求出的表達(dá)式即可判斷其奇偶性，判斷C；結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求出的單調(diào)減區(qū)間即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，由三角函數(shù)的性質(zhì)，可得的最小正周期為，所以A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，可得，所以的圖象不關(guān)于直線對(duì)稱，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，此時(shí)函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D，令，，解得，，即函數(shù)的遞減區(qū)間為，，所以D正確．故選：AD10．AD【分析】因?yàn)槿龡l直線，，能構(gòu)成三角形，所以直線與或都不平行，且直線不過(guò)與的交點(diǎn)，進(jìn)而即可求得實(shí)數(shù)m的取值，從而可得結(jié)果．【詳解】因?yàn)槿龡l直線，，能構(gòu)成三角形，所以直線與，都不平行，且直線不過(guò)與的交點(diǎn)，直線與，都不平行時(shí)，，且，聯(lián)立，解得，即直線與的交點(diǎn)坐標(biāo)為，代入直線中，得，故可知，結(jié)合選項(xiàng)可知實(shí)數(shù)m的取值可以為2或，故選：AD11．AC【分析】依題意，，兩邊同時(shí)平方后，利用空間向量的數(shù)量積，代入已知數(shù)據(jù)計(jì)算，即可求解．【詳解】依題意，，平方得.因?yàn)閍，b所成的角為，或.當(dāng)時(shí)，，，代入數(shù)據(jù)可得，所以，，所以；當(dāng)時(shí)，，，代入數(shù)據(jù)可得，所以，，所以.綜上所述，或，即OC的長(zhǎng)為6或.故選：AC.12．AC【分析】由雙曲線的漸近線方程可判斷A，通過(guò)對(duì)比直線與雙曲線的漸近線斜率之間的關(guān)系可求解B，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式可求C，PA，PB的斜率相乘后，結(jié)合雙曲線方程化簡(jiǎn)可得定值，則D可判斷.【詳解】雙曲線，則，對(duì)于A，C的漸近線方程為，A正確；對(duì)于B，由雙曲線的漸近線方程為可知，若直線與雙曲線C有交點(diǎn)，則，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，設(shè)點(diǎn)，則，點(diǎn)P到C的兩條漸近線的距離之積為，C正確；對(duì)于D，易得，，設(shè)，則，所以直線PA，PB的斜率之積為，D錯(cuò)誤．故選：AC.13．【分析】先求出中點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩直線垂直得到所求直線的斜率，點(diǎn)斜式寫出方程，再化為一般式．【詳解】線段AB的中點(diǎn)為，，故垂直平分線的斜率，線段AB的垂直平分線的方程是，即故答案為：14．/【分析】求出，利用兩角差的余弦即可求解．【詳解】因?yàn)?，又，所以，所以，故答案為?5．/40.5【分析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，可求的值.【詳解】

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，設(shè)向量，而，故，故表示各點(diǎn)的坐標(biāo)和的和.現(xiàn)各點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為，縱坐標(biāo)之和為，豎坐標(biāo)之和為，根據(jù)對(duì)稱性可得，故，故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于一些較為復(fù)雜的計(jì)算問(wèn)題，如果直接算比較麻煩，則可以換一個(gè)等價(jià)的計(jì)算方法，從而使得問(wèn)題得以簡(jiǎn)化.16．/【分析】首先根據(jù)橢圓的定義將的最小值轉(zhuǎn)化為，再根據(jù)（當(dāng)且僅當(dāng)M、N、E共線時(shí)取等號(hào)），結(jié)合，求得的最小值．【詳解】如圖，由M為橢圓C上任意一點(diǎn)，則，又N為圓E：上任意一點(diǎn)，則（當(dāng)且僅當(dāng)M、N、E共線且N在M、E之間時(shí)取等號(hào)），，，當(dāng)且僅當(dāng)M、N、E、共線且M、N在E、之間時(shí)等號(hào)成立．由題意知，，，則，的最小值為，故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題主要考查與橢圓與圓上動(dòng)點(diǎn)相關(guān)的最值問(wèn)題，解答的關(guān)鍵是根據(jù)橢圓的定義將目標(biāo)等價(jià)轉(zhuǎn)化點(diǎn)共線問(wèn)題，也即線段的長(zhǎng)度問(wèn)題，通過(guò)數(shù)形結(jié)合即可求解，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸思想．17．(1)；(2).【分析】（1）由頻率分布直方圖，結(jié)合中位數(shù)的估計(jì)方法可求解；（2）由古典概率模型公式代入化簡(jiǎn)求值即可．【詳解】（1）由，所以中位數(shù)位于區(qū)間，頻率分布直方圖可估計(jì)中位數(shù)為：；（2）由頻率分布直方圖知：違章車次在的路口有4個(gè)，記為A，B，C，；違章車次在的路口有2個(gè)，記為a，b，從“重點(diǎn)路口”中隨機(jī)抽取兩個(gè)路口，則，共15種情況，其中有且僅有一個(gè)違章車次在的情況有，共8種．所求概率18．(1)偶函數(shù)；理由見解析(2)答案見解析【分析】（1）利用奇偶性的定義即可判斷；（2）由題意得，對(duì)a進(jìn)行分類討論，判斷出的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性解不等式，即可求解．【詳解】（1）為偶函數(shù),理由如下:由得，即函數(shù)的定義域?yàn)?，可知的定義域關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱．又，故為偶函數(shù)；（2）因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以不等式即，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，而在上單調(diào)遞減，故在內(nèi)單調(diào)遞減，則在內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，而在上單調(diào)遞減，故在內(nèi)單調(diào)遞增，則在內(nèi)單調(diào)遞減；（i）當(dāng)時(shí)，由已知有,解得；（ii）當(dāng)時(shí)，由已知有,解得，故當(dāng)時(shí)，m的取值范圍為；當(dāng)時(shí)，m的取值范圍為.19．(1)證明見解析(2)答案見解析【分析】（1）將直線l化為求解定點(diǎn)即可；（2）當(dāng)直線l過(guò)圓心C時(shí)，直線被圓截得的弦長(zhǎng)最長(zhǎng)．當(dāng)直線時(shí)，直線被圓截得的弦長(zhǎng)最短，先由與最短弦所在直線互相垂直，利用斜率關(guān)系求解直線的方程，最后利用幾何法由求弦長(zhǎng).【詳解】（1）直線，即，聯(lián)立解得所以不論a取何值，直線l必過(guò)定點(diǎn)（2）由，知圓心，半徑為.當(dāng)直線l過(guò)圓心C時(shí)，直線被圓截得的弦長(zhǎng)最長(zhǎng)，當(dāng)直線時(shí)，直線被圓截得的弦長(zhǎng)最短．直線l的斜率為，，有，解得此時(shí)直線l的方程是圓心到直線的距離為，所以最短弦長(zhǎng)是

20．(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理和三角恒等變換求得，即可求（2）利用正弦定定理和三角恒等變換求得，結(jié)合B的范圍求出的范圍，即可求周長(zhǎng)的范圍．【詳解】（1）由已知和正弦定理得，又，，又，，有，又，（2），且，由正弦定理有，從而，，，，又為銳角三角形，有，且，，，有，故，從而周長(zhǎng)的取值范圍為21．(1)證明見解析(2)【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，，即可得到，，從而得到四邊形為平行四邊形，則，即可得證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，分別求出平面的法向量為和平面的法向量為，利用，求出a的值，即可求出結(jié)果．【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接，，又為中點(diǎn)，所以為梯形的中位線，所以，，又，故，且，故四邊形為平行四邊形，則，因?yàn)槠矫?，平面，故平面?）以所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

則，，，設(shè)，可得，，，設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，則有，即，取，則，，得，又，即，取，則，，得，由二面角為，得