湖南省三湘名校教育聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

湖南省三湘名校教育聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．3．已知指數(shù)函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則（

）A．4 B．1 C．2 D．4．已知函數(shù)滿足，則（

）A． B．C． D．5．某企業(yè)為了鼓勵職工節(jié)約用水，作出了以下規(guī)定：每位職工每個月用水量不超過15噸，按每噸3元收費(fèi)；每個月用水量超過15噸，超過部分按每噸5元收費(fèi).職工小王10月份的水費(fèi)為70元，則小王10月份的實(shí)際用水量為（

）A．18噸 B．20噸 C．22噸 D．24噸6．若關(guān)于的不等式的解集為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．7．已知定義在上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．8．若關(guān)于的不等式的解集中恰好有3個整數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．二、多選題9．已知，則下列不等式成立的有（

）A． B． C． D．10．下列命題中為真命題的有（

）A．“四邊形是正方形”是“四邊形是長方形”的充分不必要條件B．若是無理數(shù)，則也是無理數(shù)C．函數(shù)和是同一個函數(shù)D．在平面直角坐標(biāo)系中，第一象限內(nèi)的點(diǎn)構(gòu)成的集合為11．已知集合，，則（

）A． B． C． D．若，，則12．已知函數(shù)，則下列說法正確的有（

）A．函數(shù)為偶函數(shù)B．當(dāng)時，C．函數(shù)的值域?yàn)镈．若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為三、填空題13．.14．已知函數(shù)，則.15．已知，則的最小值為.16．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.四、解答題17．已知集合，.(1)當(dāng)時，求；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．已知命題：“，”為假命題，設(shè)實(shí)數(shù)的所有取值構(gòu)成的集合為.(1)求集合；(2)設(shè)集合，若是的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．已知正數(shù)，滿足.(1)求的最大值；(2)求的最大值.20．已知函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且當(dāng)時，.(1)求函數(shù)的解析式；(2)若，求不等式的解集.21．已知冪函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù).(1)求的值；(2)若函數(shù)的最小值為，求實(shí)數(shù)的值.22．已知函數(shù).(1)證明：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；(2)若直線與函數(shù)的圖象有且僅有4個交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)求函數(shù)在區(qū)間上的值域.參考答案：1．A【分析】直接求交集可得答案.【詳解】.故選：A.2．C【分析】由根式、分式性質(zhì)求定義域.【詳解】若使得函數(shù)表達(dá)式有意義，必有，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故選：C3．A【分析】由指數(shù)函數(shù)的概念可求a的值，再代入點(diǎn)的坐標(biāo)即可求b，則ab值可得.【詳解】因?yàn)槭侵笖?shù)函數(shù)可知，得，，得，則，故選：A.4．D【分析】利用換元法，即令，即可求得函數(shù)解析式，即得答案.【詳解】令，則由，可得，即，故選：D.5．B【分析】先根據(jù)題意可以判斷出職工小王10月份的用水量超過15噸，再依據(jù)超過部分按每噸5元收費(fèi)求出超出部分的噸數(shù)，最后兩者相加即可得出結(jié)果.【詳解】小王10月份的實(shí)際用水量為（噸）.故選：B.6．B【分析】根據(jù)一元二次不等式的恒成立分類討論計算即可.【詳解】①當(dāng)時，不等式可化為，解集為，滿足題意；②當(dāng)時，有0，解得.③當(dāng)時，不符題意；由①②可知實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：B.7．A【分析】根據(jù)題意可得函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，，結(jié)合，進(jìn)而可得當(dāng)或時，；當(dāng)或時，，化不等式為，進(jìn)而求解即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為定義在上的奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，可知函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，，又，可知當(dāng)或時，；當(dāng)或時，.不等式可化為，有，故不等式的解集為.故選：A.8．D【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法分類討論求解即可.【詳解】不等式因式分解為.①當(dāng)時，不等式為，不等式無解，不合題意；②當(dāng)時，不等式的解為，若不等式的解集中恰好有3個整數(shù)，這3個整數(shù)必為，0，1，必有，解得；③當(dāng)時，不等式的解為，若不等式的解集中恰好有3個整數(shù)，這3個整數(shù)必為，0，1，必有，解得.由①②③可知實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：D.9．ABC【分析】由不等式性質(zhì)可判斷A，B，C選項，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷D.【詳解】對于選項A，由得，故A正確；對于選項B，由，，故B正確；對于選項C，由，得，故C正確；對于選項D，因?yàn)楹瘮?shù)是增函數(shù)，，所以，故D錯誤.故選：ABC.10．AD【分析】對于A，根據(jù)充分必要條件的定義即可判斷；對于B，通過舉反例說明命題錯誤；對于C，從定義域的不同判斷結(jié)論錯誤；對于D，從第一象限內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可判斷.【詳解】對于A,若四形邊是正方形，可得四邊形是長方形,若四邊形是長方形，不能得到四邊形是正方形，故“四邊形是正方形”是“四邊形是長方形”的充分不必要條件，故A項正確；對于B，若，則是有理數(shù)，故B項錯誤；對于C，函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)的定義域?yàn)镽，可得函數(shù)和不是同一個函數(shù)，故C項錯誤；對于D，直角坐標(biāo)系中第一象限內(nèi)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都為正，故D項正確.故選：AD.11．BD【分析】根據(jù)集合、集合的性質(zhì)逐項判斷可得答案.【詳解】集合為奇數(shù)集，集合為偶數(shù)集，可得，，；若，，則.故選：BD.12．ABD【分析】利用奇偶性定義可判斷A選項；直接計算可判斷B選項；由，根據(jù)可得函數(shù)的值域可判斷C選項；判斷出的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性可得，兩邊平方解不等式可判斷D選項.【詳解】對于A，，由，可得函數(shù)為偶函數(shù)，故A選項正確；對于B，由，可得，故B選項正確；對于C，由，又由，有，有，可得函數(shù)的值域?yàn)?，故C選項錯誤；對于D，當(dāng)時，由，可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，又由函數(shù)為偶函數(shù)，可得函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，若，有，不等式兩邊平方后可解得或，故D選項正確.故選：ABD.13．/【分析】先判斷根式的正負(fù)對根式進(jìn)行化簡，然后計算即可得出答案.【詳解】因?yàn)?，所以?故答案為：14．【分析】利用分段函數(shù)，先求得，進(jìn)而求解.【詳解】因?yàn)?，所?故答案為：.15．8【分析】利用基本不等式“1”的代換求最小值，注意取值條件即可.【詳解】由題設(shè)，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故函數(shù)最小值為8.故答案為：816．【分析】分析各段函數(shù)的的單調(diào)性，還需在左側(cè)的函數(shù)圖象不高于右側(cè)的函數(shù)圖象，即可得到不等式組.【詳解】二次函數(shù)的對稱軸為，又由函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，有，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：17．(1)(2)【分析】先解一元二次不等式得集合A，再結(jié)合交集與補(bǔ)集的概念求結(jié)果；由可直接判斷a的范圍.【詳解】（1）當(dāng)時，，，有，可得；（2）由，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.18．(1)(2)【分析】（1）為假命題時，既可轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程無解，然后利用判別式即可；（2）由是的必要不充分條件可得，然后分為空集和非空集兩種情況討論即可.【詳解】（1）因?yàn)槊}為假命題，故關(guān)于的一元二次方程無解，既，解得，故集合；（2）由是的必要不充分條件，可知，當(dāng)時，既，解得，此時滿足，當(dāng)時，如圖所示，故，解得，綜上所述，的取值范圍是.19．(1)1(2)2【分析】（1）利用不等式結(jié)合已知等式即可求得答案；（2）由已知等式可得，利用基本不等式推出，即可得，即可求得答案.【詳解】（1）由（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），有，可得（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），故的最大值為1；（2）由，有，又由（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），有，有，有，可得（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），故的最大值為2.20．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，得到，再由時，，得到求解；（2）易得函數(shù)在和上分別單調(diào)遞增，再由，得到，進(jìn)而函數(shù)在上單調(diào)遞增，將變形為，利用單調(diào)性求解.【詳解】（1）解：因?yàn)楹瘮?shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，所以，當(dāng)時，，則，所以當(dāng)時，，所以；（2）由（1）得，則函數(shù)在和上分別單調(diào)遞增.當(dāng)時，因?yàn)?，所以函?shù)在上單調(diào)遞增，由得，因?yàn)?，所以，由函?shù)在上單調(diào)遞增得，解得，故不等式的解集為.21．(1)(2)或.【分析】（1）先根據(jù)函數(shù)是冪函數(shù)求參，再結(jié)合奇函數(shù)定義判斷即可確定參數(shù)；（2）應(yīng)用換元法轉(zhuǎn)化為已知二次函數(shù)最值求出參數(shù).【詳解】（1）令，整理為，解得或，①當(dāng)時，，可得，由，知函數(shù)為奇函數(shù)，不合題意；②當(dāng)時，，可得，由函數(shù)的定義域?yàn)?，滿足題意.由①②知，的值為；（2）由（1）有，可得，令（），有，可得，可化為，令（），①當(dāng)時，，又由的最小值為，有，解得；②當(dāng)時，，又由的最小值為，有，解得（舍去）或，由①②知或.22．(1)證明見解析(2)(3)答案見解析【分析】（1）利用函數(shù)單調(diào)性定義證明；（2）結(jié)合函數(shù)為偶函數(shù)，又在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，作出函數(shù)的大致圖象，利用數(shù)形結(jié)合法求解；（3）由函數(shù)為偶函數(shù)，易得函數(shù)在區(qū)間上的值域等于在區(qū)間上的值域，令，可得或，再分，，討論求解.【詳解】（1）證明：設(shè)，有，，①當(dāng)時，有，，，，有，可得，可得，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；②當(dāng)時，有，，，，有，可得，可得，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.由上知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；（2）解：由，可得函數(shù)為偶函數(shù)，又由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，可