岳陽市2021年中考數學試題（含解析）

2021中考備戰(zhàn)年湖南省岳陽市中考數學試卷

一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，滿分24分，在每道小題給出的四

個選項中，選出符合要求的一項）

1.（3分）2021中考備戰(zhàn)的倒數是（）

A.2021中考備酷彳B.熹C.-D.-2021中考備戰(zhàn)

2.（3分）下列運算結果正確的是（）

A.B.（a3）2=anC.a3+a2=a3D.a2=-a2

3.（3分）函數中自變量x的取值范圍是（）

A.x>3B.xW3c.x23D.x20

4.（3分）拋物線y=3（x-2）2+5的頂點坐標是（）

A.（-2,5）B.（-2,-5）C.（2,5）D.（2,-5）

5.（3分）已知不等式?,其解集在數軸上表示正確的是（）

飛+1>0

6.（3分）在“美麗鄉(xiāng)村”評選活動中，某鄉(xiāng)鎮(zhèn)7個村的得分如下：98,90,88,

96,92,96,86,這組數據的中位數和眾數分別是（）

A.90,96B.92,96C.92,98D.91,92

7.（3分）下列命題是真命題的是（）

A.平行四邊形的對角線相等

B.三角形的重心是三條邊的垂直平分線的交點

C.五邊形的內角和是540°

D.圓內接四邊形的對角相等

8.（3分）在同一直角坐標系中，二次函數y=x?與反比例函數1（x>0）的圖

X

象如圖所示，若兩個函數圖象上有三個不同的點A（x”m）,B（x2,m）,C（x3,

m）,其中m為常數，令3=xi+xz+x3,則3的值為（）

第1頁（共22頁）

二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，滿分32分）

9.（4分）因式分解：X2-4=.

10.（4分）2021中考備戰(zhàn)年岳陽市教育扶貧工作實施方案出臺，全市計劃爭取"全面改薄”

專項資金120000000元，用于改造農村義務教育薄弱學校100所，數據120000000

科學記數法表示為.

11.（4分）關于x的一元二次方程x2+2x+k=0有兩個不相等的實數根，則k的取

值范圍是.

12.（4分）已知a2+2a=l,則3（a2+2a）+2的值為.

13.（4分）在-2,1,4,-3,0這5個數字中，任取一個數是負數的概率星.

14.（4分）如圖，直線a〃b,Zl=60°,Z2=40°,則/3=

15.（4分）《九章算術》是我國古代數學名著，書中有下列問題：“今有勾五步，

股十二步，問勾中容方幾何？”其意思為：”今有直角三角形，勾（短直角邊）長

為5步，股（長直角邊）長為12步，問該直角三角形能容納的正方形邊長最大

是多少步？”該問題的答案是步.

第2頁（共22頁）

16.（4分）如圖，以AB為直徑的。0與CE相切于點C,CE交AB的延長線于點

E,直徑AB=18,ZA=30°,弦CD±AB,垂足為點F,連接AC,0C,則下列結論

正確的是.（寫出所有正確結論的序號）

①箴茄；

②扇形OBC的面積喏JT；

③△OCFs△（）￡（：；

④若點P為線段OA上一動點，則AP?OP有最大值20.25.

三、解答題（本大題共8小題，滿分64分，解答應寫出文字說明，證明過程或

演算步驟）

17.（6分）計算：（-1）2-2sin45°+（n-2021中喻戰(zhàn)）°+|-|

18.（6分）如圖，在平行四邊形ABCD中，AE=CF,求證：四邊形BFDE是平行

四邊形.

19.（8分）如圖，某反比例函數圖象的一支經過點A（2,3）和點B（點B在點

A的右側），作BC±y軸，垂足為點C,連結AB,AC.

（1）求該反比例函數的解析式；

（2）若aABC的面積為6,求直線AB的表達式.

第3頁（共22頁）

20.（8分）為了樹立文明鄉(xiāng)風，推進社會主義新農村建設，某村決定組建村民

文體團隊，現(xiàn)圍繞“你最喜歡的文體活動項目（每人僅限一項）”，在全村范圍內

隨機抽取部分村民進行問卷調查，并將調查結果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計

（2）請將條形統(tǒng)計圖補充完整；

（3）求扇形統(tǒng)計圖中“劃龍舟”所在扇形的圓心角的度數；

（4）若在“廣場舞、腰鼓、花鼓戲、劃龍舟”這四個項目中任選兩項組隊參加端

午節(jié)慶典活動，請用列表或畫樹狀圖的方法，求恰好選中“花鼓戲、劃龍舟”這兩

個項目的概率.

21.（8分）為落實黨中央“長江大保護”新發(fā)展理念，我市持續(xù)推進長江岸線保護，

還洞庭湖和長江水清岸綠的自然生態(tài)原貌.某工程隊負責對一面積為33000平方

米的非法砂石碼頭進行拆除，回填土方和復綠施工，為了縮短工期，該工程隊增

加了人力和設備，實際工作效率比原計劃每天提高了20%,結果提前11天完成

任務，求實際平均每天施工多少平方米？

22.（8分）圖1是某小區(qū)入口實景圖，圖2是該入口抽象成的平面示意圖.已

知入口BC寬3.9米，門衛(wèi)室外墻AB上的0點處裝有一盞路燈，點0與地面BC

的距離為3.3米，燈臂0M長為1.2米（燈罩長度忽略不計），ZA0M=60°.

（1）求點M到地面的距離;

第4頁（共22頁）

(2)某搬家公司一輛總寬2.55米，總高3.5米的貨車從該入口進入時，貨車需

與護欄CD保持0.65米的安全距離，此時，貨車能否安全通過？若能，請通過計

算說明；若不能，請說明理由.(參考數據：73^1.73,結果精確到0.01米)

23.(10分)已知在RtAABC中，ZBAC=90°,CD為NACB的平分線，將NACB

沿CD所在的直線對折，使點B落在點Bz處，連結AB',BB',延長CD交BB'于點

E,設NABC=2a(0°<a<45°).

(1)如圖1,若AB=AC,求證:CD=2BE；

(2)如圖2,若ABWAC,試求CD與BE的數量關系(用含a的式子表示)；

(3)如圖3,將(2)中的線段BC繞點C逆時針旋轉角(a+45°),得到線段FC,

連結EF交BC于點0,設的面積為S“ACOF的面積為S?妙(用含a

的式子表示).

24.(10分)已知拋物線F：y=x2+bx+c的圖象經過坐標原點0,且與x軸另一交

(1)求拋物線F的解析式；

(2)如圖1,直線1：也x+m(m>0)與拋物線F相交于點A(x“y,)和點

第5頁(共22頁)

B（x2,y2）（點A在第二象限），求yz-0的值（用含m的式子表示）；

（3）在（2）中，若m=1,設點A'是點A關于原點0的對稱點，如圖2.

①判斷aAA'B的形狀，并說明理由；

②平面內是否存在點P，使得以點A、B、A'、P為頂點的四邊形是菱形？若存在,

求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

第6頁（共22頁）

2021中考備戰(zhàn)年湖南省岳陽市中考數學試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，滿分24分，在每道小題給出的四

個選項中，選出符合要求的一項）

1.（3分）2021中考備戰(zhàn)的倒數是（）

A.2021中考備好彳B.蓋C.-D.-2021中考備戰(zhàn)

【解答】解：2021中考備戰(zhàn)娥）數是，

故選:B.

2.（3分）下列運算結果正確的是（）

A.a3?a2=a5B.（a3）2=a5C.a+a2=a5D.a2=-a2

【解答】解：A、a3-a2=a5,正確，故本選項符合題意；

B、（a3）2=aS故本選項不符合題意；

C、不是同類項不能合并，故本選項不符合題意；

D、a'2=故本選項不符合題意，

a

故選：A.

3.（3分）函數丫底石中自變量x的取值范圍是（）

A.x>3B.xW3c.x23D.x20

【解答】解：函數yVE中x-3?0,

所以x?3,

故選：C.

4.（3分）拋物線y=3（x-2）%5的頂點坐標是（）

A.（-2,5）B.（-2,-5）C.（2,5）D.（2,-5）

【解答】解：拋物線y=3（x-2）2+5的頂點坐標為（2,5）,

第7頁（共22頁）

故選：c.

x-2<C0

5.（3分）已知不等式紅,其解集在數軸上表示正確的是（）

x+l>0

A.2-10123B

C.201D.

x-2<0①

【解答】解：

,x+l>0②

解①得:x<2,

解②得：X，-1,

故不等式組的解集為:-1WXV2,

「j

故解集在數軸上表示為：-2-1017V.

故選：D.

6.（3分）在“美麗鄉(xiāng)村”評選活動中，某鄉(xiāng)鎮(zhèn)7個村的得分如下：98,90,88,

96,92,96,86,這組數據的中位數和眾數分別是（）

A.90,96B.92,96C.92,98D.91,92

【解答】解：將數據從小到大排列：86,88,90,92,96,96,98；可得中位數

為92,眾數為96.

故選:B.

7.（3分）下列命題是真命題的是（）

A.平行四邊形的對角線相等

B.三角形的重心是三條邊的垂直平分線的交點

C.五邊形的內角和是540°

D.圓內接四邊形的對角相等

【解答】解：平行四邊形的對角線互相平分，A是假命題；

三角形的重心是三條邊的中線的交點，B是假命題；

第8頁（共22頁）

五邊形的內角和=(5-2)X18O0=540°,C是真命題;

圓內接四邊形的對角互補，D是假命題；

故選：C.

8.(3分)在同一直角坐標系中，二次函數y=x2與反比例函數［(x>0)的圖

X

象如圖所示，若兩個函數圖象上有三個不同的點A(x”m),B(X2,m),C(x:),

m),其中m為常數，令3=XI+X?+X3，則3的值為()

m

【解答】解：設點A、B在二次函數y=x2圖象上，點C在反比例函數Ly=(x>0)

x

的圖象上.因為AB兩點縱坐標相同，則A、B關于y軸對稱，則Xi+x2=0,因為

點C(X：),m)在反比例函數圖象上，則

ID

??3=X|+X2+X3=X3^^"

ID

故選：D.

二、填空題(本大題共8小題，每小題4分，滿分32分)

9.(4分)因式分解：。-4=(x+2)(x-2).

2

【解答】解:X-4=(X+2)(x-2).

故答案為：(x+2)(x-2).

10.(4分)2021中考備戰(zhàn)年岳陽市教育扶貧工作實施方案出臺，全市計劃爭取“全面改薄”

專項資金120000000元，用于改造農村義務教育薄弱學校100所，數據120000000

科學記數法表示為1.2X10".

【解答】解:120000000=1.2X10%

第9頁(共22頁)

故答案為：1.2XIO'.

11.（4分）關于x的一元二次方程x2+2x+k=0有兩個不相等的實數根，則k的取

值范圍是kVl.

【解答】解：由已知得：△=4-4k>0,

解得：k<l.

故答案為：k<l.

12.（4分）已知a2+2a=l,則3（a2+2a）+2的值為5.

【解答】解：Va2+2a=l,

A3（a2+2a）+2=3X1+2=5,

故答案為5.

13.（4分）在-2,1,4,-3,0這5個數字中，任取一個數是負數的概率是

2

【解答】解：任取一個數是負數的概率是：P=2,

5

故答案為：2.

5

14.（4分）如圖，直線a〃b,Zl=60°,Z2=40°,則N3=80°.

【解答】解：?；a〃b,

.,.Z4=Z1=6O°,

.*.Z3=180o-Z4-Z2=80°,

故答案為：80°.

第10頁（共22頁）

a

1

3

15.（4分）《九章算術》是我國古代數學名著，書中有下列問題：“今有勾五步，

股十二步，問勾中容方幾何？”其意思為：”今有直角三角形，勾（短直角邊）長

為5步，股（長直角邊）長為12步，問該直角三角形能容納的正方形邊長最大

是多少步？”該問題的答案是g?一步.

【解答】解：???四邊形CDEF是正方形，

；.CD=ED,DE〃CF,

設ED=x,則CD=x,AD=12-x,

VDE/7CF,

AZADE=ZC,ZAED=ZB,

/.△ADE^AACB,

???DE—ADf

BC-AC

???—x―_12-x,,

5~12

x?,

17

.?.該直角三角形能容納的正方形邊長最大是毀（步），

17

故答案為：變..

17

第11頁（共22頁）

尸B

16.（4分）如圖，以AB為直徑的。0與CE相切于點C,CE交AB的延長線于點

E,直徑AB=18,ZA=30°,弦CD±AB,垂足為點F,連接AC,0C,則下列結論

正確的是①③.（寫出所有正確結論的序號）

①前翕；

②扇形OBC的面積為紅n；

4

③△OCFSAOEC；

④若點P為線段OA上一動點，則AP?OP有最大值20.25.

【解答】解：???弦CD1AB,

ABC^b,所以①正確；

/.ZB0C=2ZA=60°,

???扇形OBC的面積“冬n,所以②錯誤;

3602

VOO與CE相切于點C,

.,.OCICE,

.".ZOCE=90,

ZCOF=ZEOC,ZOFC=ZOCE,

.,.△OCF^AOEC；所以③正確；

AP'OP=(9-OP)?0P=-(OP-3)?+9,

當0P=3時，AP?OP的最大值為9,所以④錯誤.

第12頁（共22頁）

故答案為①③.

三、解答題（本大題共8小題，滿分64分，解答應寫出文字說明，證明過程或

演算步驟）

17.（6分）計算：（-1）2-2sin45°+（n-2021中播戰(zhàn)）°+|-|

【解答】解：原式=1-2X返+1啦

2

=1-V2+W2

=2.

18.（6分）如圖，在平行四邊形ABCD中，AE=CF,求證：四邊形BFDE是平行

四邊形.

【解答】證明：???四邊形ABCD是平行四邊形，

，AB〃CD,且AB=CD,

又YAE=CF,

，BE=DF,

...BE〃DF且BE=DF,

四邊形BFDE是平行四邊形.

19.（8分）如圖，某反比例函數圖象的一支經過點A（2,3）和點B（點B在點

A的右側），作BC±y軸，垂足為點C,連結AB,AC.

（1）求該反比例函數的解析式；

（2）若4ABC的面積為6,求直線AB的表達式.

第13頁（共22頁）

【解答】解：（1）由題意得，k=xy=2X3=6

...反比例函數的解析式為y至.

X

作AD±BC于D,則D(2,b)

?.?反比例函數的圖象經過點B(a,b)

.?.kb=—6

a

/.AD=3-2.

a

SAABC=BC*AD

2

」a(3-g)=6

2a

解得a=6

.,.b=2=l

a

AB(6,1).

設AB的解析式為y=kx+b,

將A(2,3),B(6,1)代入函數解析式，得

J2k+b=3,

16k+b=l'

第14頁（共22頁）

解得上下，

,b=4

直線AB的解析式為y=1x+4.

20.（8分）為了樹立文明鄉(xiāng)風，推進社會主義新農村建設，某村決定組建村民

文體團隊，現(xiàn)圍繞“你最喜歡的文體活動項目（每人僅限一項）”，在全村范圍內

隨機抽取部分村民進行問卷調查，并將調查結果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計

（2）請將條形統(tǒng)計圖補充完整；

（3）求扇形統(tǒng)計圖中“劃龍舟”所在扇形的圓心角的度數；

（4）若在“廣場舞、腰鼓、花鼓戲、劃龍舟”這四個項目中任選兩項組隊參加端

午節(jié)慶典活動，請用列表或畫樹狀圖的方法，求恰好選中“花鼓戲、劃龍舟”這兩

個項目的概率.

【解答】解：（1）這次參與調查的村民人數為：24^20%=120（人）；

故答案為：120；

（2）喜歡廣場舞的人數為:120-24-15-30-9=42（人）,

如圖所示：

第15頁（共22頁）

（3）扇形統(tǒng)計圖中“劃龍舟”所在扇形的圓心角的度數為維X3600=90°；

120

（4）如圖所示:

腰

懿

辱

廣*花鼓戲劃龍舟

個/

/\、

廣

花

劃

腰

花

廣

媵

花

4\廣

劃

劃

腰

場

鼓

鼓

龍

場

鼓

鼓

場

鼓

龍

龍

鼓

舞

戲

舞

舟

舞

戲

舟

戲

舟

一共有12種可能，恰好選中“花鼓戲、劃龍舟”這兩個項目的有2種可能，

故恰好選中“花鼓戲、劃龍舟”這兩個項目的概率為1.

21.（8分）為落實黨中央“長江大保護”新發(fā)展理念，我市持續(xù)推進長江岸線保護,

還洞庭湖和長江水清岸綠的自然生態(tài)原貌.某工程隊負責對一面積為33000平方

米的非法砂石碼頭進行拆除，回填土方和復綠施工，為了縮短工期，該工程隊增

加了人力和設備，實際工作效率比原計劃每天提高了20%,結果提前11天完成

任務，求實際平均每天施工多少平方米？

【解答】解：設原計劃平均每天施工x平方米，則實際平均每天施工1.2x平方

米，

根據題意得：雙幽-遜2=11,

x1.2x

解得：x=500,

經檢驗，x=500是原方程的解，

1.2x=600.

第16頁（共22頁）

答:實際平均每天施工600平方米.

22.（8分）圖1是某小區(qū)入口實景圖，圖2是該入口抽象成的平面示意圖.已

知入口BC寬3.9米，門衛(wèi)室外墻AB上的0點處裝有一盞路燈，點0與地面BC

的距離為3.3米，燈臂OM長為1.2米（燈罩長度忽略不計），ZA0M=60°.

（1）求點M到地面的距離；

（2）某搬家公司一輛總寬2.55米，總高3.5米的貨車從該入口進入時，貨車需

與護欄CD保持0.65米的安全距離，此時，貨車能否安全通過？若能，請通過計

算說明；若不能，請說明理由.（參考數據：V3^1.73,結果精確到0.01米）

【解答】解：（1）如圖，過M作MN1AB于N,交BA的延長線于N,

RtAOMN中，NN0M=60°,0M=l.2,

/.ZM=30°,

.\0N=1X）M=O.6,

2

/.NB=0N+0B=3.3+0.6=3.9；

即點M到地面的距離是3.9米；

（2）取CE=O.65,EH=2.55,

/.HB=3.9-2.55-0.65=0.7,

過H作GH1BC,交OM于G,過0作OP±GH于P,

VZG0P=30°,

.,.tan30。絲亞，

OP3

GP=op=1-73X0.7弋0,404,

33

/.GH=3.3+0.404=3.704^3.70>3.5,

第17頁（共22頁）

...貨車能安全通過.

23.（10分）已知在RtAABC中，ZBAC=90°,CD為NACB的平分線，將NACB

沿CD所在的直線對折，使點B落在點B'處，連結AB',BB',延長CD交BB'于點

E,設NABC=2a（0°<a<45°）.

（1）如圖1,若AB=AC,求證：CD=2BE；

（2）如圖2,若ABWAC,試求CD與BE的數量關系（用含a的式子表示）；

（3）如圖3,將（2）中的線段BC繞點C逆時針旋轉角（a+45°）,得到線段FC,

連結EF交BC于點0,設aCOE的面積為S“ACOF的面積為S23^（用含a

的式子表示）.

【解答】解：（1）如圖1中,

第18頁（共22頁）

?.?B、B'關于EC對稱，

.?.BB'±EC,BE=EB',

/.ZDEB=ZDAC=90°,

VZEDB=ZADC,

AZDBE=ZACD,

VAB=AC,NBAB'=ZDAC=90°,

.'.△BAB'且CAD,

.*.CD=BB,=2BE.

(2)如圖2中，結論：CD=2?BE?tan2a.

理由：由（1）可知：ZABBZ=ZACD,NBAB'=ZCAD=90°,

.'.△BAB'^ACAD,

.BB，_1

，，-CDACtan2a，

.2BE,1

,，-CD-tan2Cl，

.*.CD=2*BE*tan2a.

第19頁(共22頁)

在RtAABC中，ZACB=90°-2a,

/EC平分NACB,

\ZECB=1(90°-2a)=45°-a,

2

.,ZBCF=45°+a,

,.ZECF=45°-a+45°+a=90°，

ZBEC+ZECF=180°,

?.BB'〃CF,

.E0JEBE=sin(45°a),

"OF^CFBC

S1,EO

S2-QF

S,

i-=sin(45°-a).

S2

24.（10分）已知拋物線F：y=x2+bx+c的圖象經過坐標原點0,且與x軸另一交

（2）如圖1,直線1：號?x+m（m>0）與拋物線F相交于點A（x”y,）和點

B（X2,y2）（點A在第二象限），求y2-yi的值（用含m的式子表示）；

（3）在（2）中，若m=A,設點是點A關于原點0的對稱點，如圖2.

①判斷AAA'B的形狀，并說明理由；

②平面內是否存在點P,使得以點A、B、A'、P為頂點的四邊形是菱形？若存在,

求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

第20頁（共22頁）

【解答】解：（1）?.?拋物線y=x2+bx+c的圖象經過點（0,0）和（血,0）,

3

c=0[b^3