人教版多選題單元 易錯(cuò)題測(cè)試題試卷

一、函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)多選題

1—|2x-3|,1-―2

1.已知函數(shù)/(%)=11Jx}八，則下列說(shuō)法正確的是()

在外力＞2

(11}

A.若函數(shù)y=/(x)-區(qū)有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為7c

\2476)

B.關(guān)于x的方程/(x)—￡=0(〃eN*)有2"+4個(gè)不同的解

C.對(duì)于實(shí)數(shù)XGIL+O,不等式24.(幻—340恒成立

D.當(dāng)XG[2"T,2"](〃GN*)時(shí)，函數(shù)/(x)的圖象與x軸圍成的圖形的面積為1

【答案】AC

【分析】

根據(jù)函數(shù)的表達(dá)式，作出函數(shù)的圖像，對(duì)于A,C利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行判斷，對(duì)于B,D利用

特值法進(jìn)行判斷.

【詳解】

33

當(dāng)—時(shí)，/(x)=2x-2；當(dāng)±<x42時(shí)，/(x)=4-2x；

222

r，，尤3//、1龍,

當(dāng)2<xW3,

3x

當(dāng)3<xK4,則一<—42,

22

當(dāng)4<x?6,則2<93,/“)=；/仁］=9一I；

當(dāng)6<xW8,則3<±W4,=l一;；

22\2)4

對(duì)于A,函數(shù)y=/(x)-質(zhì)有4個(gè)零點(diǎn)，即y=/(工)與y=丘有4個(gè)交點(diǎn)，如圖，直線

y="的斜率應(yīng)該在直線m,n之間，又心=、，故A正確；

對(duì)于B,當(dāng)〃=1時(shí)，/(x)=g有3個(gè)交點(diǎn)，與2〃+4=6不符合，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,對(duì)于實(shí)數(shù)XG[1,+8),不等式2對(duì).。)—340恒成立，即/(%)＜二恒成立，由圖

2x

33

知函數(shù)/(幻的每一個(gè)上頂點(diǎn)都在曲線y=—上，故/(x)4—恒成立，故c正確；

2x2x

對(duì)于D,取〃=1,xe[l,2],此時(shí)函數(shù)f(x)的圖像與x軸圍成的圖形的面積為

-xlx1=—,故D錯(cuò)誤；

22

故選：AC

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：

(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；

(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問(wèn)題加以解決；

(3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫

出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.

2.已知/(x)為定義在R上且周期為5的函數(shù)，當(dāng)xe[0,5)時(shí)，/(x)=,-4x+3].則下

列說(shuō)法中正確的是()

A.7(x)的增區(qū)間為(1+5%,2+5左)53+5%,5+5k)，k^Z

B.若丁=。與＞=〃”在[—5,7]上有10個(gè)零點(diǎn)，則。的范圍是(0,1)

C.當(dāng)x?o,a]時(shí)，/(X)的值域?yàn)閇0,3],則。的取值范圍[1,4]

D.若＞=履一2(左＞0)與y=/(x)有3個(gè)交點(diǎn)，則左的取值范圍為(；彳)

【答案】BC

【分析】

首先作出了(力的圖象幾個(gè)周期的圖象，由于單調(diào)區(qū)間不能并，可判斷選項(xiàng)A不正確；利

用數(shù)形結(jié)合可判斷選項(xiàng)B、C；舉反例如后=1時(shí)經(jīng)分析可得丁=日—2伏〉0)與y=/(x)

有3個(gè)交點(diǎn)，可判斷選項(xiàng)D不正確，進(jìn)而可得正確選項(xiàng).

【詳解】

y=x-2

對(duì)于選項(xiàng)A：?jiǎn)握{(diào)區(qū)間不能用并集，故選項(xiàng)A不正確：

對(duì)于選項(xiàng)B：由圖知若丁=。與丁=/（同在［-5,7］上有10個(gè)零點(diǎn)，則。的范圍是（0,1）,

故選項(xiàng)B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C：/⑴=0,〃4）=3,由圖知當(dāng)xe［0,同時(shí)，“X）的值域?yàn)椋?,3］,則。的

取值范圍［1,4］,故選項(xiàng)C正確；

對(duì)于選項(xiàng)D：當(dāng)左=1時(shí)，直線為y=x-2過(guò)點(diǎn)（5,3）,/（X）也過(guò)點(diǎn)（5,3）,當(dāng)X=1O

時(shí)，"10—2=8,直線過(guò)點(diǎn)（10,8）,而點(diǎn)（10,8）不在圖象上，由圖知：當(dāng)

左=1時(shí)，直線為y=x-2與y=/（x）有3個(gè)交點(diǎn)，由排除法可知選項(xiàng)D不正確，

故選：BC

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；

（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問(wèn)題加以解決；

（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫

出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.

ex,x<0

3.設(shè)函數(shù)/（x）=4,1,對(duì)關(guān)于X的方程r（x）-妙（尤）+2-6=0,下

H—,x>0

I—x~+2x2

列說(shuō)法正確的有（）.

A.當(dāng)〃=一2+26時(shí)，方程有1個(gè)實(shí)根

當(dāng)人=：時(shí)，方程有5個(gè)不等實(shí)根

B.

2

17

C.若方程有2個(gè)不等實(shí)根，則一＜匕42

10

D.若方程有6個(gè)不等實(shí)根，則一2+26＜人＜3

2

【答案】BD

【分析】

先作出函數(shù)/(x)的圖象，進(jìn)行換元/(x)=f,將方程轉(zhuǎn)化成關(guān)于t的二次方程，結(jié)合f(x)

函數(shù)值的分布，對(duì)選項(xiàng)中參數(shù)值與根的情況逐一分析判斷四個(gè)選項(xiàng)的正誤即可.

【詳解】

，作圖如下:

,x＞0

3

—00,—，則方程轉(zhuǎn)化為

2

(〃V

t2-bt+2-b=0，即°Q)=/一次+2—t——----F2-Z7=0

\2J4

選項(xiàng)A中，〃=一2+2百時(shí)方程為『+(2-2j5)f+4-2j5=0,即‘+1-6『=0,

故f=百一1，即/(x)=G—le(g』)，看圖知存在三個(gè)根，使得/(x)=百-1,故A

錯(cuò)誤；

3311

選項(xiàng)B中，b==,方程即/一一，+—=0,即2/-3/+1=0,解得f=l或，=一，當(dāng)

2222

/(x)=/=l時(shí)看圖可知，存在3個(gè)根，當(dāng)/(x)=f=g時(shí)看圖可知，存在2個(gè)根，故共5

個(gè)不等的實(shí)根，B正確；

(1)A=t2則Te(l，3

選項(xiàng)C中，方程有2個(gè)不等實(shí)根，則有兩種情況:或

，此時(shí)—2+2—8=0,即。2-48+8=0，解得人=一2±2百，

2I2」4

1Q

-=-l±V3,均不滿足上面范圍，舍去；(2)八力弓時(shí)，即4=］小6(-0),0］或

33da

4/2w(-oo,0］?①當(dāng)4=；，Z2￡(-oo，°］時(shí)4=；，代入方程得二一4一+2—8=0,

22\2J2

1731

解得人=而，由卒2=2-。=而，得f2=gC(-8,0］,不滿足題意，舍去；②當(dāng)

討2w(-oo,0］時(shí)/—初+2.3=0，則△=〃-4(2-8)>0,桃=2-620,

tx+t2=b<Q,解得t<-2-26，故C錯(cuò)誤；

選項(xiàng)D中，方程有6個(gè)不等實(shí)根，則4e(萬(wàn),1百e(萬(wàn)』且4彳12，

/j\2,2

(p(t)=t2-bt+2-b=t--—幺+2—人圖象如下：

、2)4

m93,

69—=----b>0n

⑴42

需滿足：(夕(1)=3—2020,解得：一2+26<。<」，故D正確.

(b\/?2

(P—=----\-2-b<0

〔⑴4

故選：BD.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：

本題解題關(guān)鍵在于對(duì)方程/2(x)-bf(x)+2-b=0進(jìn)行換元/U)=t,變成關(guān)于t的二次

方程根的分布問(wèn)題，結(jié)合函數(shù)/(*)圖象中函數(shù)值的分布情況來(lái)突破難點(diǎn).

4.設(shè)函數(shù)/(X)=加〃｛,一2|,%2Jx+2|｝其中"比｛x,y,z］表示X，y，Z中的最小者.下列說(shuō)

法正確的有()

A.函數(shù)/'(X)為偶函數(shù)

B.當(dāng)時(shí)，有/(x-2)</(x)

C.當(dāng)xwR時(shí)，

D.當(dāng)xe[-4,4]時(shí)，|/(X-2)|N/(X)

【答案】ABC

【分析】

畫出/(x)的圖象然后依據(jù)圖像逐個(gè)檢驗(yàn)即可.

【詳解】

解：畫出“X)的圖象如圖所示：

對(duì)A,由圖象可知：/(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故"X)為偶函數(shù)，故A正確；

對(duì)B,當(dāng)1WXW2時(shí)，一1<X-240,/(x—2)=/(2—x)W2—x=.f(x)；

當(dāng)2<xW3時(shí)，0<x-2<l,/(x-2)<x-2=/(x);

當(dāng)3<xW4時(shí)，l<x—2?2,/(x-2)=2-(x-2)=4-x<x-2=/(X)；

當(dāng)x24時(shí)，x-2>2,此時(shí)有/(x—2)</(x),故B成立；

對(duì)C,從圖象上看，當(dāng)x?0,”)時(shí)，有/(x)Wx成立，令，=/(x),則后0,故

/[/(%)]</(^),故C正確；

對(duì)D,取x=|,則O=/(￡)=；，噌)=；，故D不正

確.

故選：ABC.

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：一般地，若/(x)=min{S(x),T(x)}(其中min{x,y}表示羽》中的較小

者)，則/(X)的圖象是由S(x),T(x)這兩個(gè)函數(shù)的圖象的較低部分構(gòu)成的.

5.下列命題正確的有()

A.已知4>0力>0且a+b=l,則，<2"4<2

2

.i—…a+br-

B.3"=4〃=VII，則——=V2

ab

C.y=/-一%的極大值和極小值的和為-6

D.過(guò)A(-1,O)的直線與函數(shù)y=》3一X有三個(gè)交點(diǎn)，則該直線斜率的取值范圍是

(-■-,2)U(2,+oo)

4

【答案】ACD

【分析】

由等式關(guān)系、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可求2'i的范圍；利用指對(duì)數(shù)互化，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算法求

―；利用導(dǎo)數(shù)確定零點(diǎn)關(guān)系，結(jié)合原函數(shù)式計(jì)算極值之和即可；由直線與y=》3—X有

ab

三個(gè)交點(diǎn)，即可知〃(x)=x2—x—女有兩個(gè)零點(diǎn)且x=T不是其零點(diǎn)即可求斜率范圍.

【詳解】

A選項(xiàng)，由條件知。=1一。且0＜。＜1,所以a—8=2a—le(—1,1),即，＜2。"＜2；

2

B選項(xiàng)，3"=4〃=也有。=1083無(wú)，b=Tog4瓦,而

a+b11CT八-

——=-+7=2(i°gi23+10§124)=2；

abab

C選項(xiàng)，y'=3/—6x—l中/＞0且開口向上，所以存在兩個(gè)零點(diǎn)再且芯+%=2、

%々=一^,即玉,工2為y兩個(gè)極值點(diǎn)，

2

所以y+%=(%+工2)[(石+-]-3[(x,+x2)-2xtx2]-(x,+X2)=-6；

。選項(xiàng)，令直線為丁=左(x+l)與y=%3-X有三個(gè)交點(diǎn)，即g(x)=(%2-x-Q(x+l)有三

個(gè)零點(diǎn)，所以/i(x)=r一X一%有兩個(gè)零點(diǎn)即可

△=1+4女＞01

???,/八C7八，解得Ze(一二,2)U(2,+8)

故選：ACD

【點(diǎn)睛】

本題考查了指對(duì)數(shù)的運(yùn)算及指數(shù)函數(shù)性質(zhì)，利用導(dǎo)數(shù)研究極值，由函數(shù)交點(diǎn)情況求參數(shù)范

圍，屬于難題.

6.設(shè)國(guó)表示不超過(guò)X的最大整數(shù)，如：[1.2]=1,[―1.2]=-2,y=[x]乂稱為取整函

數(shù)，在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的應(yīng)用，諸如停車收費(fèi)，出租車收費(fèi)等均按"取整函數(shù)"進(jìn)行計(jì)

費(fèi)，以下關(guān)于"取整函數(shù)”的描述，正確的是()

A.X/xeR,[2x]=2[x]

B.若[%]=[凡則》一^＞一1

C.VxeR,[x]+x+g=[2x]

D.不等式2國(guó)2一國(guó)一3N0的解集為{x|x<0或xi2}

【答案】BCD

【分析】

通過(guò)反例可得A錯(cuò)誤，根據(jù)取整函數(shù)的定義可證明BC成立，求出不等式2產(chǎn)-，-32()的

解后可得不等式2[xf-[司-320的解集，從而可判斷D正確與否.

【詳解】

對(duì)于A,x=—1.5,則[2x]=[-3]=-3,2[x]=2x(-2)=-4,故[2月/2國(guó)，故A不成

立.

對(duì)于B,[%]=[)]=加，則zn<x<m+l,機(jī)<y<加+1,

故一機(jī)-1<一丁《一機(jī)，所以故B成立.

對(duì)于C,設(shè)x=m+r,其中〃zeZ,re[0,l),

則[尤]+x+-=2/”+r+g,[2x]=2/7?+[2r],

若0Kr<g,則r+g=0,[2r]=0,故[x]+x+g=[2x]；

若g<r<l,則r+；=1,[2r]=l,故[x]+x+；=[2x],故c成立.

對(duì)于D,由不等式2[xf—卜]一320可得國(guó)4-I或同2萬(wàn)，

故x<0或x?2,故D正確.

故選：BCD

【點(diǎn)睛】

本題考查在新定義背景下恒等式的證明與不等式的解法，注意把等式的證明歸結(jié)為整數(shù)部

分和小數(shù)部分的關(guān)系，本題屬于較難題.

7.已知函數(shù)/（%）=<2T0&X（1,方程/（x）—x=0在區(qū)間[o,2]（〃eN*）上的

所有根的和為外，則（）

A./（2020）=2019B./（2020）=2020

C.b?=22n-}+2n-'D.b“=〃5+l）

2

【答案】BC

【分析】

先推導(dǎo)出在[〃,〃+1)(〃€“)上的解析式，然后畫出了(X)與y=x的圖象，得出

/(X)=X時(shí)，所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，然后得出力.

【詳解】

因?yàn)楫?dāng)xe[O,l)時(shí)，〃x)=2'—l,所以當(dāng)xe，,2)時(shí)，x-le[O,l),

則/(x-1)=2*T-1,故/(x)=1)+1=2"|-1+1=2*T,

即4—1目0,1)時(shí),X-1G[0,1),/(X)=2'',

同理當(dāng)xw[2,3)時(shí)，x-le[l,2),/(x)=/(x-l)+l=2x-2+l；

當(dāng)xw[3,4)時(shí)，x-le[2,3)，則/(X)=/(XT)+1=2A3+2；

故當(dāng)時(shí)，/(x)=2x-"+(n-l),

當(dāng)龍式2"—1,21時(shí),/(x)=2、+力+(2n-2).

所以/(2020)=2020,故B正確；

作出/(X)與〉=x的圖象如圖所示，則當(dāng)"x)—x=0且[0,21時(shí)，x的值分別為：

0,1,2,3,4,5,6,…,2"

2"(2"+1)

則2=0+1+2+2+…+2"=—=2'-'(2"+1)=221+2?-i,故c正確?

故選：BC.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)的零點(diǎn)綜合問(wèn)題，難度較大，推出原函數(shù)在每一段上的解析式并找到其規(guī)律

是關(guān)鍵.

’1(X為有理數(shù))

8.函數(shù)/(X)=<則下列結(jié)論正確的是()

0(x為無(wú)理數(shù))

A.f(x)是偶函數(shù)B.f(x)的值域是{0,1}

C.方程/(/(x))=x的解為X=1D.方程/(/(x))=/(x)的解為X=1

【答案】ABC

【分析】

逐項(xiàng)分析判斷即可.

【詳解】

???當(dāng)-X為有理數(shù)時(shí)，X也為有理數(shù)

，f(T)=l

???當(dāng)-X為無(wú)理數(shù)時(shí)，X也為無(wú)理數(shù)

/(-x)=0

,〃一)=P(x為有理數(shù))

.”-x)=[0(x為無(wú)理數(shù))

，x)=/(x)

.../*)是偶函數(shù)，A對(duì)；

易知B對(duì)：

???%=1時(shí)，/(/(D)=/(1)=1

，c對(duì)

/(/(x))=/(%)的解為全體有理數(shù)

D錯(cuò)

故選：ABC.

【點(diǎn)睛】

本題綜合考查分段函數(shù)的奇偶性判斷、值域、解方程等，要求學(xué)生能靈活應(yīng)用知識(shí)解題，

難度較大.

9.太極圖是由黑白兩個(gè)魚形紋組成的圖案，俗稱陰陽(yáng)魚，太極圖展現(xiàn)了一種互相轉(zhuǎn)化，相

對(duì)統(tǒng)一的和諧美.定義：能夠?qū)A。的周長(zhǎng)和面積同時(shí)等分成兩個(gè)部分的函數(shù)稱為圓。的

一個(gè)"太極函數(shù)".則下列有關(guān)說(shuō)法中，正確的是()

A.對(duì)于圓O：x2+y21的所有非常數(shù)函數(shù)的太極函數(shù)中，一定不能為偶函數(shù)

B.函數(shù)/(x)=sinx+l是圓。：x2+(y—1)2=1的一個(gè)太極函數(shù)

Z,'-1

c.存在圓0,使得/(無(wú))=三^是圓。的一個(gè)太極函數(shù)

D.直線(/〃+1)%-(2〃?+1)〉-1=0所對(duì)應(yīng)的函數(shù)一定是圓。：

(x—2y+(y—1)2=R2(R>O)的太極函數(shù)

【答案】BCD

【分析】

利用"太極函數(shù)"的定義逐個(gè)判斷函數(shù)是否滿足新定義即可.

【詳解】

對(duì)于A,如下圖所示，若太極函數(shù)為偶函數(shù)，且SJCE=S“PC。=S/OD=S.DFB，所以該函

數(shù)平分圓。的周長(zhǎng)和面積，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,/(x)=sinx+l也關(guān)于圓心((),1)對(duì)稱，平分圓。的周長(zhǎng)和面積，所以函數(shù)

/(x)=sinx+l是圓=1的一個(gè)太極函數(shù)；故B正確；

對(duì)于c,〃力=3=(d+1)-2=]_2,.

八)e*+le'+lex+l

xJL_i1A

e-_1x|_-

?,-/(-%)=---=———=——T=該函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

'e+11+11+e

所以存在圓。：f+,2=1使得/(力;]胃是圓。的一個(gè)太極函數(shù)，如下圖所示，故

C正確；

對(duì)于D,對(duì)于直線(〃2+1)%—(2m+l)y—1=0的方程，變形為

m(x-2y)+(x-y-l)=0,

x—2y—0x=2

令jx)；；—o'得直線(〃?+1)%-(2〃?+1)＞一1=0經(jīng)過(guò)圓0的圓心，可以平

分圓。周長(zhǎng)和面積，故D正確.

故選：BCD.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)對(duì)稱性的判定與應(yīng)用，將新定義理解為函數(shù)的對(duì)稱性為解題的關(guān)鍵，考查推

理能力，屬于較難題.

10.狄利克雷是德國(guó)著名數(shù)學(xué)家，是最早倡導(dǎo)嚴(yán)格化方法的數(shù)學(xué)家之一，狄利克雷函數(shù)

/(x)=《cc(Q是有理數(shù)集)的出現(xiàn)表示數(shù)學(xué)家對(duì)數(shù)學(xué)的理解開始了深刻的變化，

0,xeQ

從研究"算"到研究更抽象的"概念、性質(zhì)、結(jié)構(gòu)關(guān)于/(x)的性質(zhì)，下列說(shuō)法正確的是

()

A.函數(shù)“X)是偶函數(shù)

B.函數(shù)“X)是周期函數(shù)

C.對(duì)任意的王eR,x2eQ,都有/(x+9)=/(%)

D.對(duì)任意的玉eA,x2eQ,都有/(內(nèi)=

【答案】ABC

【分析】

利用函數(shù)奇偶性的定義可判斷A選項(xiàng)的正誤；驗(yàn)證/(X+1)=/(X),可判斷B選項(xiàng)的正

誤；分用eQ、苞史。兩種情況討論，結(jié)合函數(shù)/(X)的定義可判斷C選項(xiàng)的正誤；取

々=0,芯史Q可判斷D選項(xiàng)的正誤.

【詳解】

對(duì)于A選項(xiàng)，任取xeQ,則-xeQ,/(%)=1=/(-%)；

任取X史。，則一X史Q,/(x)=0=

所以，對(duì)任意的xeR,/(-x)=/(x),即函數(shù)/(x)為偶函數(shù)，A選項(xiàng)正確；

對(duì)于B選項(xiàng)，任取xwQ,則x+le。，則f(x+l)=l=/(x)；

任取x史Q,則x+1eQ,則/(x+l)=0=/(x).

所以，對(duì)任意的xwR,/(x+l)=/(x),即函數(shù)為周期函數(shù)，B選項(xiàng)正確；

對(duì)于C選項(xiàng)，對(duì)任意當(dāng)eQ,x2eQ,則玉+々€。，+超)=1=/(%)；

對(duì)任意的為任。，x2sQ,則為+工2eQ，/(玉+々)=。=/(玉).

綜上，對(duì)任意的-V2GQ,都有/(玉+%2)=/(X]),C選項(xiàng)正確；

對(duì)于D選項(xiàng)，取々=0,若玉eQ，貝廳&任)="0)=1。/(石)，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：ABC.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵在于根據(jù)已知函數(shù)的定義依次討論各選項(xiàng)，分自變量為無(wú)理

數(shù)和有理數(shù)兩種情況討論，對(duì)于D選項(xiàng)，可取罰任Q,々=0驗(yàn)證.

二、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用多選題

11.對(duì)于定義城為R的函數(shù)/(X),若滿足：①/(0)=0；②當(dāng)xeR,且XH0時(shí)，都

有礦(x)>0；③當(dāng)王<0<々且I%|<|々|時(shí)，都有/(%)</。2)，則稱/(X)為"偏對(duì)

稱函數(shù)”.下列函數(shù)是"偏對(duì)稱函數(shù)”的是()

A.(X)=—d+fB.力(x)=e*-X—1

ln(-x+l),x<0

C.力(x)=D.74(x)=xsinx

2x,x>0

【答案】BC

【分析】

運(yùn)用新定義，分別討論四個(gè)函數(shù)是否滿足三個(gè)條件，結(jié)合奇偶性和單調(diào)性，以及對(duì)稱性，

即可得到所求結(jié)論.

【詳解】

解：經(jīng)驗(yàn)證，ZW,人(X),力(X),力(X)都滿足條件①；

fx〉O[x<0

>0<=><，或〈；

W)>o[r(x)<o

當(dāng)X]<0<%2且IXI|<|%21時(shí)，等價(jià)于一/<玉<0<一玉<X],

即條件②等價(jià)于函數(shù)"X)在區(qū)間(-8,0)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增；

A中，/(x)=-x3+x2,/；'(X)=-3%2+2X,則當(dāng)XHO時(shí)，由

V；z(x)=-3X3+2x2=X2(2-3x)<0,得尤之：，不符合條件②，故工(幻不是"偏對(duì)稱

函數(shù)"；

B中，力(x)=e*-x-l,/<x)=e*-l,當(dāng)x>0時(shí)，e'>1.右'(x)>0,當(dāng)x<0

時(shí)，0<e'<l，f2'(x)<0,則當(dāng)XHO時(shí)，都有私'(x)>0,符合條件②，

函數(shù)力(x)=/-x-l在(―8,0)上單調(diào)遞減,在(0,+。)上單調(diào)遞增,

由/；(x)的單調(diào)性知，當(dāng)<X|<0<一玉時(shí)，力(%)<人(一工2)，

人(%)-人(2)<力(-%)-力(*2)=-e&+—*+2X2,

令/0)=-6"+"*+2》，x〉0,二'(x)=-e*--*+24-2，e*+2=0,

當(dāng)且僅當(dāng)，=er即尤=0時(shí)，"="成立，

，F(xiàn)(x)在［0,+8)上是減函數(shù)，,F(X2)<F(O)=O,即&(與)<依),符合條件③，

故人(無(wú))是"偏對(duì)稱函數(shù)”；

〃ln(-x+l),x<01

7r

C中，由函數(shù)力(x)={，,當(dāng)x<0時(shí)，f3(x)=——<0,當(dāng)x>0時(shí)，

2x,x>0x-1

&。)=2〉0,符合條件②，

函數(shù)力(X)在(f,0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增，

有單調(diào)性知,當(dāng)一巧<須<0<-x,<x2時(shí)，力(X,)<力(一巧)，

設(shè)F(x)=ln(x+l)-2x,彳>0,則砥x)=」--2<0,

x+1

F(x)在((),+8)上是減函數(shù),可得F(x)<F(0)=0,

x

/(-Vi)-/(^2)<f(-i)-/(x2)=In(x2+1)-f(x2)=F(x2)<0,

即〃3)</(%2)，符合條件③，故力(X)是"偏對(duì)稱函數(shù)"；

D中,f4(x)=xsinx,則力(-%)=-xsin(-x)=f4(x),則f4(x)是偶函數(shù),

而//a)=sinx+xcosx=71+x2sin(x+^)(tane=x),則根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)可

知，當(dāng)x>0時(shí)，力'(X)的符號(hào)有正有負(fù)，不符合條件②，故Z,(x)不是"偏對(duì)稱函數(shù)"；

故選：BC.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查在新定義下利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查計(jì)算能力，考查轉(zhuǎn)化與

劃歸思想，屬于難題.

12.己知偶函數(shù)y=/(%)對(duì)于任意的xe0，B滿足/'(x)cosx+/(x)sinx>0(其中

廣(力是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù))，則下列不等式中不成立的是()

【答案】ABC

【分析】

構(gòu)造函數(shù)g(x)=/也，結(jié)合導(dǎo)數(shù)和對(duì)稱性可知g(x)為偶函數(shù)且在xeo,g］上單調(diào)遞

cosxL2，

增，即可得苧/閨<何■圖<2/13從而可判斷ABD選項(xiàng)，由

g⑼<g圖可判斷c選項(xiàng).

【詳解】

因?yàn)榕己瘮?shù)y=f(x)對(duì)于任意的xe。仁)滿足/,(x)cosx+/(x)sinx>0,

所以構(gòu)造函數(shù)g(x)=3,則g，(x)J(x)cosx："x)sinx〉o,

cosxcosX

由函數(shù)單調(diào)性可知g,斗

71

對(duì)于AB,/一f=/,故AB錯(cuò)誤;

I4J7

對(duì)于C,g(o)<g,故C錯(cuò)誤;

71

對(duì)于D,巫,故D正確;

36

故選：ABC.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，解題的關(guān)鍵是利用己知條件構(gòu)造對(duì)

應(yīng)的新函數(shù)g(x)=/曳，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而比較大小，考查學(xué)生的邏輯

COSX

推理能力與轉(zhuǎn)化思想，屬于較難題.

13.下列不等式正確的有()

A.V31n2<ln3B.lnn<J^C.2^<15D.3eIn2<472

【答案】CD

【分析】

構(gòu)造函數(shù)/(%)=皿，利用導(dǎo)數(shù)分析其單調(diào)性，然后由/(2)>/(6)、

于卜右)、/(厲)>/(4)、/(㈣</(e)得出每個(gè)選項(xiàng)的正誤.

【詳解】

令/(X)=(，則r(x)=L詈，令/'(x)=0得x=e

易得/W在(O,e)上單調(diào)遞增，在(e,+8)上單調(diào)遞減

所以①/(2)>/(6)，即野>噌^,即Gln2>21nJJ=ln3,故A錯(cuò)誤；

②五)，即2^〉與￡,所以可得故B錯(cuò)誤；

(3)f(>/?5)>/(4),即—>——=----，即In15=21n2

J1542

所以In15>In2而，所以2而<15，故C正確；

3

④/(*)</(e)，即生叁〈叱,即”21,即上ln2<20

'瓜e2

所以3eln2<4后，故D正確；

故選：CD

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查的是構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，解題的關(guān)鍵是函數(shù)的

構(gòu)造和自變量的選擇.

14.已知：/⑶是奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，/(x)-/(%)>1,/(1)=3,則()

A.八4)>呢3)B./(-4)>^/(-2)

C./(4)>4e3-lD./(-4)<-4^2-1

【答案】ACD

【分析】

由已知構(gòu)造得上容且>0,令g(x)=/詈上判斷出函數(shù)g(x)在尤〉0時(shí)單調(diào)遞

增，由此得g(4)>g⑶，化簡(jiǎn)可判斷A；g(4)>g⑵，化簡(jiǎn)并利用/(x)是奇函數(shù)，可判

斷B；

g(4)>g⑴，化簡(jiǎn)可判斷C；由C選項(xiàng)的分析得了(4)>4e3—1>4?2+1,可判斷D.

【詳解】

因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí)，/(x)-/(x)>l,所以/(同一/(乃-1>0,即

皿°,所以31>。，

令g(x)=〃：+l,則當(dāng)x>0時(shí)，g'(x)>0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增，

所以g(4)>g⑶，即與口>當(dāng)口，化簡(jiǎn)得/(4)>呢3)+e-l>63),故A正

確；

g(4)>g⑵，即當(dāng)±1>段±1,化簡(jiǎn)得/(4)>02/(2)+/一1>02八2),

ee

所以-/(4)<-e2/(2),又是奇函數(shù)，所以/(-4)<e2j.(-2),故B不正確：

g(4)>g⑴，即〃？+[>幽±1,又/⑴=3,化簡(jiǎn)得/(4)>4/一1,故C正確；

ee

由C選項(xiàng)的分析得了(4)>4e3—l>4e2+l,所以一/(4)<—4e?-1,又是奇函數(shù)，所

以/(一4)<-4e2-1,故D正確，

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題中令有導(dǎo)函數(shù)的不等式，關(guān)鍵在于構(gòu)造出某個(gè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得出

所構(gòu)造的函數(shù)的單調(diào)性，從而可比較函數(shù)值的大小關(guān)系.

15.己知函數(shù)f(x)=lnW—x+J,g(x)=x-(x-l)lnx,則下列結(jié)論正確的是()

A.g(x)存在唯一極值點(diǎn)與,且為w(l,2)

B./(X)恰有3個(gè)零點(diǎn)

C.當(dāng)&<1時(shí)，函數(shù)g(x)與〃(x)=丘的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)

D.若王々>0且/(百)+/(%)=0，則玉4=1

【答案】ACD

【分析】

根據(jù)導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)g'(x)在(0,+8)上為單調(diào)遞減函數(shù)，結(jié)合零點(diǎn)的存在性定，可判定A正

確；利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)/(X)在(-8,0),(0,+0。)單調(diào)遞減，進(jìn)而得到函數(shù)/(x)只有2

個(gè)零點(diǎn)，可判定B不正確；由g(x)=Ax,轉(zhuǎn)化為函數(shù)3(x)=(x-l)lnx和鞏x)=(l-A)x

的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，可判定C正確；由/(方)+/(%)=0,化簡(jiǎn)得到/(%)=/('),

*2

結(jié)合單調(diào)性，可判定D正確.

【詳解】

由函數(shù)g(x)=x-(x-l)lnx,可得g，(x)=-lnx+Lx>0,則函(x)=」--y<0,

XXX

所以g'(x)在(0,+8)上為單調(diào)遞減函數(shù)，又由g'⑴=l>0,g(2)=-ln2+g<0,

所以函數(shù)g(X)在區(qū)間(1,2)內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，所以A正確；

由函數(shù)/(x)=ln|M-x+—,

當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=\nx-x+-,可得/&)=*尹，

XX

13

因?yàn)橐欢?工一1=一。一5)2-^<0,所以/'(x)<0,函數(shù)〃x)在(0,+⑼單調(diào)遞減；

又由/。)=0,所以函數(shù)在((),+8)上只有一個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)x<0時(shí)，/(X)=ln(-x)-x+-,可得廣(力尸/—1,

XX

]3

因?yàn)橐?+兀-1=一(1一5)2-彳<0,所以r(x)<0,函數(shù)/(x)在(一8,0)單調(diào)遞減；

又由/(一1)=0,所以函數(shù)在(一8,0)上只有一個(gè)零點(diǎn)，

綜上可得函數(shù)f(x)=lnW-x+(在定義域內(nèi)只有2個(gè)零點(diǎn)，所以B不正確；

令g(x)="，Bpx-(x-l)lnx=fcr,gp(x-l)lnx=(l-^)x,

設(shè)°(x)=(x-l)lnx,/n(x)=0~k)x,

可得"(x)=lnx+l-J,則叫x)=g+g>0,所以函數(shù)。(X)(0,+8)單調(diào)遞增，

又由陽(yáng)1)=0,可得當(dāng)尤e(0,l)時(shí)，夕'(力<0,函數(shù)°(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)xe(l,+8)時(shí)，°'(x)>0,函數(shù)夕(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)無(wú)=1時(shí)，函數(shù)0(力取得最小值，最小值為°(1)=0,

又由,〃(x)=(l-幻x,因?yàn)樽?lt;1,則1—左>0,且過(guò)原點(diǎn)的直線，

結(jié)合圖象，即可得到函數(shù)9(x)=(x-l)lnx和機(jī)(x)=(l-幻x的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，所以C正

確；

由司々>0，若玉>0,工2>0時(shí)，因?yàn)?(%)+/(赴)=0，

、

可得〃動(dòng)=-〃修)=(+,1卜仁1+M1《1=/仁(1]A即

%2

〃X)=/(J),因?yàn)椤癤)在(0,+8)單調(diào)遞減，所以為二(,即玉々=1，

同理可知，若X1<0，w<0時(shí)，可得看々=1，所以D正確.

故選:ACD.

y

c?(x)=(x-l)lnx

\=(1-A,)x

【點(diǎn)睛】

函數(shù)由零點(diǎn)求參數(shù)的取值范圍的常用方法與策略：

1>分類參數(shù)法：一般命題情境為給出區(qū)間，求滿足函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的參數(shù)范圍，通常解法為

從/(x)中分離參數(shù)，然后利用求導(dǎo)的方法求出由參數(shù)構(gòu)造的新函數(shù)的最值，根據(jù)題設(shè)條

件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)的取值范圍；

2、分類討論法：一般命題情境為沒有固定的區(qū)間，求滿足函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的參數(shù)范圍，通常

解法為結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，先確定參數(shù)分類標(biāo)準(zhǔn)，在每個(gè)小范圍內(nèi)研究零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是否符

合題意，將滿足題意的參數(shù)的各個(gè)小范圍并在一起，即可為所求參數(shù)的范圍.

16.設(shè)函數(shù)/(x)=xlnx,g(x)=-x2,給定下列命題，其中正確的是()

A.若方程/。)=上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則%《一,0)；

B.若方程妙(x)=f恰好只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則4<0；

C.若%>々>0，總有加[g(xj_g(x2)]>/(xj_/(x2)恒成立，則加2/；

D.若函數(shù)/(x)=/(x)-2ag(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)

【答案】ACD

【分析】

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，且將題意轉(zhuǎn)化為y=與y=后有兩個(gè)不同的交

點(diǎn)，即可判斷A選項(xiàng)：易知x=l不是該方程的根，當(dāng)xol時(shí)，將條件等價(jià)于y=%和

X

y=—只有一個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，從而可推出結(jié)果，即可判斷

Inx

B選項(xiàng)；當(dāng)X|>々>0時(shí)，將條件等價(jià)于機(jī)g(玉)-/(X|)>mg(x2)-f\x2)恒成立，即函

數(shù)y=mg(x)-/(x)在((),+co)上為增函數(shù)，通過(guò)構(gòu)造新函數(shù)以及利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)區(qū)

間，即可求出加的范圍，即可判斷C選項(xiàng)；F(x)=xlnx—or2(x>0)有兩個(gè)不同極值

點(diǎn)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)列出不等式并求解，即可判斷D選項(xiàng).

【詳解】

解：對(duì)于A,/(?的定義域(0,+8),_f(x)=lnx+I,

令/'（x）＞0，有即%」，

e

可知/*）在（0,3單調(diào)遞減，在（L+8）單調(diào)遞增，所以極小值等于最小值,

ee

??"（X）min=/d）=-L且當(dāng)Xf0時(shí)/（X）-＞（），又/⑴二°，

ee

從而要使得方程/（x）=k有兩個(gè)不同的實(shí)根，

即y=/（x）與丁=上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以々^（一工,。），故A正確；

e

對(duì)于B,易知X=1不是該方程的根，

當(dāng)XN1時(shí)，/（X）H0,方程"（無(wú)）=f有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，

X

等價(jià)于y=%和丁=——只有一個(gè)交點(diǎn),

inx

,Inx-1

y=7~T，又x＞0且xwl，

（Inx）

令y'〉0,即lnx＞l,有龍〉e,

x

知＞=」-在（0,1）和（1,e）單減，在（e,+8）上單增,

Inx

X=1是一條漸近線，極小值為e,

X

由丁=—大致圖像可知％＜0或左=e,故B錯(cuò)誤；

Inx

對(duì)于C,當(dāng)天＞%2＞0時(shí)，根［g&）—g（&）］＞/（石）一/（々）恒成立,

等價(jià)于mg(X1)-/(內(nèi))>mg(x2)-f(x2)恒成立,

即函數(shù)y=mg(x)-/(x)在((),+8)上為增函數(shù)，

即y'=mg'(x)-f'(x)=znr-InJC-120恒成立,

即機(jī)＞51t1在（0,+8）上恒成立,

X

lnx+1-Inx

令r(x)=,則/（外

x

令/(x)>。得lnx<0,有0vx<l,

從而r（x）在（0,1）上單調(diào)遞增，在（L+8）上單調(diào)遞減，

則心）2=?）=1，于是根N/,故C正確；

對(duì)于D,/（工）=劃11%一以2（工＞0）有兩個(gè)不同極值點(diǎn),

等價(jià)于尸'（x）=lnx+l—2G:=0有兩個(gè)不同的正根，

即方程2a=匕匕！有兩個(gè)不同的正根，

X

由C可知，0V2QV1,即則D正確.

2

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，以及利用導(dǎo)數(shù)解

決函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題和恒成立問(wèn)題從而求參數(shù)范圍，解題的關(guān)鍵在于將零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成兩個(gè)

函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，解題時(shí)注意利用數(shù)形結(jié)合，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力.

17.阿基米德是偉大的物理學(xué)家，更是偉大的數(shù)學(xué)家，他曾經(jīng)對(duì)高中教材中的拋物線做過(guò)

系統(tǒng)而深入的研究，定義了拋物線阿基米德三角形：拋物線的弦與弦的端點(diǎn)處的兩條切線

圍成的三角形稱為拋物線阿基米德三角形.設(shè)拋物線C：y=f上兩個(gè)不同點(diǎn)A,8橫坐標(biāo)

分別為西，々，以AB為切點(diǎn)的切線交于p點(diǎn).則關(guān)于阿基米德三角形RW的說(shuō)法正確的

有（）

A.若A3過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，則尸點(diǎn)一定在拋物線的準(zhǔn)線上

B.若阿基米德三角形為正三角形，則其面積為逮

4

C.若阿基米德三角形RW為直角三角形，則其面積有最小值L

4

D.一般情況下，阿基米德三角形Q鉆的面積5=區(qū)也匕

4

【答案】ABC

【分析】

設(shè)出直線AB的斜截式方程、點(diǎn)A,3的坐標(biāo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線PAPB的方

程，進(jìn)而求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，將直線的方程和拋物線方程聯(lián)立，得到一元二次方程以及

該方程兩根的和、積的關(guān)系.

A：把拋物線焦點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線AB的斜截式方程中，根據(jù)拋物線的準(zhǔn)線方程進(jìn)行判斷即

可；

B：根據(jù)正三角形的性質(zhì)，結(jié)合正三角形的面積公式進(jìn)行判斷即可：

C：根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，結(jié)合直角三角形的面積公式進(jìn)行判斷即可；

D：根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式、兩點(diǎn)間距離公式進(jìn)行求解判斷即可..

【詳解】

由題意可知：直線一定存在斜率，

所以設(shè)直線43的方程為：y=kx+m,

由題意可知：點(diǎn)A（X|,X；）,3（X2，X；）,不妨設(shè)％<0<》2，

由y=f?y2x,所以直線切線PA的方程分別為：

y—x；=2X1（x-xJ,y-x；=2x2（x-x2）,

兩方程聯(lián)立得：［，一石；=2%。一與），

y-x2=2X2（X-X2）

_%+%

解得：，“2所以P點(diǎn)坐標(biāo)為：（色丁二中2）,

）=尤1%2

直線AB的方程與拋物線方程聯(lián)立得：

y=kx+m,

<,=>x-kx-m=O=>x+%,=k,xx=—m.

y=xix2

A：拋物線C：丁=/的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0,一），準(zhǔn)線方程為y=——,

44

因?yàn)锳B過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，所以m=」，而%%2=-加=一,，

44

顯然P點(diǎn)一定在拋物線的準(zhǔn)線上，故本選項(xiàng)說(shuō)法正確；

B：因?yàn)榘⒒椎氯切?45為正三角形，所以有|PARP例，

即3%；a—?。?+（中2_/）2=Jd：M一?。?+（中2―￥）2，

因?yàn)橥趼暋?，所以化?jiǎn)得：%=—%2，

此時(shí)A（xpx；）,B（-x,,x；）,p點(diǎn)坐標(biāo)為:（0,-X；）,

因?yàn)榘⒒椎氯切蜝鉆為正三角形，所以有|PA=|AB|,

所以J（0-%>+（-X；-）2__2玉=>%=~~^2'，

因此正三角形PAB的邊長(zhǎng)為73，

所以正三角形Q鉆的面積為L(zhǎng)x百x百.sin60=百x百x-,

222