高考二輪復(fù)習(xí)文科數(shù)學(xué)課件（老高考舊教材）第1講數(shù)學(xué)思想在高考中的應(yīng)用

第1講數(shù)學(xué)思想在高考中的應(yīng)用一、函數(shù)與方程思想1.函數(shù)思想:用運動和變化的觀點,分析和研究數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系,建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù),運用函數(shù)的圖象和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題,從而使問題得到解決.2.方程思想:分析數(shù)學(xué)問題中變量間的等量關(guān)系,建立方程或方程組,或者構(gòu)造方程,通過解方程或方程組,或者運用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問題,使問題得到解決.3.函數(shù)思想與方程思想的聯(lián)系:函數(shù)與方程的問題可相互轉(zhuǎn)化.求方程f(x)=0的解就是求函數(shù)y=f(x)的零點.求方程f(x)=g(x)的解的問題,可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y=f(x)-g(x)的圖象與x軸的公共點問題.B解析

設(shè)|FA|=r,則r≥c-a=1.設(shè)雙曲線的右焦點為F',由對稱性可知|BF'|=|FA|=r,則|FB|=r+2a=r+6,當(dāng)r∈(1,6)時,f'(r)<0,f(r)單調(diào)遞減;當(dāng)r∈(6,+∞)時,f'(r)>0,f(r)單調(diào)遞增.(2)已知點O為坐標(biāo)原點,☉M:x2+(y-1)2=1,☉N:x2+(y+3)2=9,A,B分別為☉M與☉N上的動點,則△AOB面積的最大值為(

)B解析

(方法一)如圖,過點M作BO延長線的垂線,垂足為D,與☉M的一個交點為A,則AD為☉M上的點到直線BO的距離的最大值,這時相對于每一個確定的OB,△AOB的面積最大.(3)(原創(chuàng))設(shè)α,β,γ分別為1°,61°,121°,則下列式子成立的是

.

①②規(guī)律方法函數(shù)思想在解題中的應(yīng)用主要表現(xiàn)在兩個方面:(1)借助有關(guān)基本初等函數(shù)的性質(zhì),解有關(guān)求值、解(證)不等式、解方程以及討論參數(shù)的取值范圍等問題;(2)在研究問題中通過建立函數(shù)關(guān)系式或構(gòu)造中間函數(shù),把研究的問題化為討論函數(shù)的有關(guān)性質(zhì),達(dá)到化難為易、化繁為簡的目的.對點訓(xùn)練1(1)(2023山東淄博一模)已知a=e0.3-1,b=ln1.3,c=tan0.3,其中e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù),則(

)A.c>a>b

B.a>c>b

C.b>a>c D.a>b>cB(2)(2023河北邯鄲一模)在長方形ABCD中,AB=4,AD=2,E為邊AB的中點,G,F分別為邊AD,BC上的動點,且∠FEG=,則GE+EF的取值范圍是________________.

(3)已知a,b,c∈R,a+b+c=0,a+bc-1=0,則a的取值范圍是______________.

解析

∵b+c=-a,bc=1-a,∴b,c是關(guān)于x的方程x2+ax+1-a=0的兩個根,∴Δ=a2-4(1-a)≥0,即a2+4a-4≥0,二、數(shù)形結(jié)合思想以形助數(shù)(數(shù)題形解)以數(shù)輔形(形題數(shù)解)借助形的生動性和直觀性來闡述數(shù)形之間的聯(lián)系,即以形作為手段,數(shù)作為目的借助于數(shù)的精確性和規(guī)范性及嚴(yán)密性來闡明形的某些屬性,即以數(shù)作為手段,形作為目的數(shù)形結(jié)合思想通過“以形助數(shù),以數(shù)輔形”,使復(fù)雜問題簡單化,抽象問題具體化,能夠變抽象思維為形象思維,有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)D解析

由PC=1可得,點P的軌跡為以點C為圓心,1為半徑的圓,如右圖所示,取AB的中點D,解析

作出f(x)的函數(shù)圖象如圖所示.∵存在實數(shù)a<b<c,滿足f(a)=f(b)=f(c),∴a+b=-4,∴af(a)+bf(b)+cf(c)=(a+b+c)f(c)=(c-4)f(c)=(c-4)ln

c.由圖可知,1<f(c)≤3,∴e<c≤e3.設(shè)g(x)=(x-4)ln

x,其中x∈(e,e3],g'(x)=ln

x+1-,顯然g'(x)在(e,e3)內(nèi)單調(diào)遞增,∵g'(e)=2->0,∴g'(x)>0,∴g(x)在(e,e3]上單調(diào)遞增,∴g(x)在(e,e3]上的最大值為g(e3)=3(e3-4)=3e3-12,∴(c-4)f(c)的最大值為3e3-12.3e3-12規(guī)律方法1.如果等式、代數(shù)式的結(jié)構(gòu)蘊含著明顯的幾何特征,那么就要考慮用數(shù)形結(jié)合的思想方法來解題,即用幾何法求解,比較常見的有:2.向量中的一些范圍及最值問題,常結(jié)合幾何圖形的性質(zhì),使問題得到簡便快捷地解決.對點訓(xùn)練2(1)已知函數(shù)f(x)=2x-x-1,則不等式f(x)>0的解集是(

)A.(-1,1)

B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(0,1)

D.(-∞,0)∪(1,+∞)B解析

f(x)>0等價于2x>x+1,在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=2x和y=x+1的圖象如圖所示,兩函數(shù)圖象的交點坐標(biāo)為(0,1),(1,2),所以不等式f(x)>0的解集為(-∞,0)∪(1,+∞).故選D.三、分類討論思想分類討論,就是當(dāng)問題所給的對象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時,就需要對研究對象按某個標(biāo)準(zhǔn)分類,然后對每一類分別研究得出每一類的結(jié)論,最后綜合各類的結(jié)果得到整個問題的結(jié)果.實質(zhì)上,分類討論是“化整為零,各個擊破,再積零為整”的數(shù)學(xué)策略.B解析

以正六邊形ABCDEF的中心O為原點建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示,AB,DE交y軸于點G,H,(2)(2023天津,15)若函數(shù)f(x)=ax2-2x-|x2-ax+1|有且僅有兩個零點,則a的取值范圍為____________________.

(-∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞)

規(guī)律方法1.在中學(xué)數(shù)學(xué)中,一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,基本不等式,等比數(shù)列的求和公式等在不同的條件下有不同的結(jié)論,或者在一定的限制條件下才成立,應(yīng)根據(jù)題目條件確定是否進(jìn)行分類討論.2.有些分類討論的問題是由運算的需要引發(fā)的.比如解方程及不等式時,兩邊同乘一個數(shù),這個數(shù)是正數(shù)還是負(fù)數(shù)的討論;一元二次方程運算中對兩根大小的討論;作差比較中的差的正負(fù)的討論;有關(guān)去絕對值或根號問題中等價變形引發(fā)的討論等.AD四、轉(zhuǎn)化與化歸思想轉(zhuǎn)化與化歸思想方法,就是在研究和解決數(shù)學(xué)問題時采用某種手段將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化,進(jìn)而得到解決的一種方法.一般總是將復(fù)雜的問題通過變換轉(zhuǎn)化為簡單的問題;將難解的問題通過變換轉(zhuǎn)化為容易求解的問題;將陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題;將未知的問題轉(zhuǎn)化為已知的問題.(2)(原創(chuàng))已知α∈[0,π),集合A={sinα,sin2α,sin3α},集合B={cosα,cos2α,cos3α},則使A=B成立的角為________.

分析

根據(jù)兩集合相等的定義分類進(jìn)行計算,顯然非常復(fù)雜.將A=B轉(zhuǎn)化為兩個集合元素的和或積相等,這個轉(zhuǎn)化只是兩集合相等的必要條件,所以還得驗證充分條件成立.由題意得sin

α+sin

2α+sin

3α=cos

α+cos

2α+cos

3α,即sin(2α-α)+sin

2α+sin(2α+α)=cos(2α-α)+cos

2α+cos(2α+α),化簡得2sin

2αcos

α+sin

2α=2cos

2αcos

α+cos

2α,即sin

2α·(2cos

α+1)=cos

2α(2cos

α+1),∴(sin

2α-cos

2α)(2cos

α+1)=0,即sin

2α=cos

2α,或2cos

α+1=0.規(guī)律方法1.當(dāng)問題難以入手時,應(yīng)先對特殊情形進(jìn)行觀察、分析,發(fā)現(xiàn)問題中特殊的數(shù)量或關(guān)系,再推廣到一般情形,以完成從特殊情形的研究到一般問題的解答的過渡,這就是特殊化的化歸策略.2.數(shù)學(xué)題目有的具有一般性,有的具有特殊性,解題時,有時需要把一般問題化歸為特殊問題,有時需要把特殊問題化歸為一般問題.C(2)(2023甘肅一模)已知圓C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圓C2:(x-3)2+(y-4)2=