2024屆河南省頂尖名校數(shù)學(xué)高二下期末經(jīng)典模擬試題含解析

2024屆河南省頂尖名校數(shù)學(xué)高二下期末經(jīng)典模擬試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，則函數(shù)的大致圖象是（）A． B．C． D．2．“”是“函數(shù)在內(nèi)存在零點(diǎn)”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件3．三位女歌手與三位男歌手站成一排合影，要求每位女歌手互不相鄰，則不同的排法數(shù)為A．48 B．72 C．120 D．1444．已知雙曲線的一條漸近線方程為，則此雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．5．在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，對(duì)應(yīng)向量的模為3，且實(shí)部為，則復(fù)數(shù)等于（）A． B． C． D．6．已知函數(shù)，函數(shù)有四個(gè)不同的零點(diǎn)，從小到大依次為，，，，則的取值范圍為（）A． B． C． D．7．如圖，四個(gè)相同的直角三角形與中間的小正方形拼成一個(gè)大正方形，已知小正方形的外接圓恰好是大正方形的內(nèi)切圓，現(xiàn)在大正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率為（）A． B． C． D．8．若隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，則的值是()A． B． C． D．9．宋元時(shí)期數(shù)學(xué)名著《算學(xué)啟蒙》中有關(guān)于“松竹并生”的問題：松長五尺，竹長兩尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而長等.如圖是源于其思想的一個(gè)程序框圖，若輸入的a，b分別為5，2，則輸出的（）A．5 B．4 C．3 D．910．甲?乙?丙?丁四位同學(xué)一起去老師處問他們的成績(jī).老師說:“你們四人中有2位優(yōu)秀,2位良好,我現(xiàn)在給丙看甲?乙的成績(jī),給甲看乙的成績(jī),給丁看丙的成績(jī).”看后丙對(duì)大家說:“我還是不知道我的成績(jī).”根據(jù)以上信息,則下列結(jié)論正確的是()A．甲可以知道四人的成績(jī) B．丁可以知道自己的成績(jī)C．甲?丙可以知道對(duì)方的成績(jī) D．乙?丁可以知道自己的成績(jī)11．“因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)是增函數(shù)(大前提)，而是指數(shù)函數(shù)(小前提)，所以函數(shù)是增函數(shù)(結(jié)論)”，上面推理的錯(cuò)誤在于A．大前提錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò) B．小前提錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)C．推理形式錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò) D．大前提和小前提錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)12．對(duì)于函教f(x)=ex(x-1)A．1是極大值點(diǎn) B．有1個(gè)極小值 C．1是極小值點(diǎn) D．有2個(gè)極大值二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知P是橢圓上的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，且∠F1PF2＝60°，則△F1PF2的面積是______．14．已知，且復(fù)數(shù)是純虛數(shù),則_______.15．若曲線經(jīng)過T變換作用后縱坐標(biāo)不變、橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，則T變換所對(duì)應(yīng)的矩陣_____.16．已知函數(shù)f(x)=kx3+3(k-1)x2-k2+1(k>0)在（0,4）上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是____________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某蔬菜加工廠加工一種蔬菜，并對(duì)該蔬菜產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量評(píng)級(jí)，現(xiàn)對(duì)甲、乙兩臺(tái)機(jī)器所加工的蔬菜產(chǎn)品隨機(jī)抽取一部分進(jìn)行評(píng)級(jí)，結(jié)果（單位：件）如表1：（1）若規(guī)定等級(jí)為合格等級(jí)，等級(jí)為優(yōu)良等級(jí)，能否有的把握認(rèn)為“蔬菜產(chǎn)品加工質(zhì)量與機(jī)器有關(guān)”？（2）表2是用清水千克清洗該蔬菜千克后，該蔬菜上殘留的農(nóng)藥微克的統(tǒng)計(jì)表，若用解析式作為與的回歸方程，求出與的回歸方程.（結(jié)果精確到）（參考數(shù)據(jù)：，，，.）18．（12分）已知數(shù)列滿足，，.（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.19．（12分）如圖，在空間幾何體中，四邊形是邊長為2的正方形，，，．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．20．（12分）函數(shù)，.（Ⅰ）求函數(shù)的極值；（Ⅱ）若，證明：當(dāng)時(shí)，.21．（12分）某校倡導(dǎo)為特困學(xué)生募捐，要求在自動(dòng)購水機(jī)處每購買一箱礦泉水，便自覺向捐款箱中至少投入一元錢.現(xiàn)統(tǒng)計(jì)了連續(xù)5天的售出礦泉水箱數(shù)和收入情況，列表如下：售出水量（單位：箱）76656收入（單位：元）165142148125150學(xué)校計(jì)劃將捐款以獎(jiǎng)學(xué)金的形式獎(jiǎng)勵(lì)給品學(xué)兼優(yōu)的特困生，規(guī)定：特困生綜合考核前20名，獲一等獎(jiǎng)學(xué)金500元；綜合考核21～50名，獲二等獎(jiǎng)學(xué)金300元；綜合考核50名以后的不獲得獎(jiǎng)學(xué)金.（1）若售出水量箱數(shù)與成線性相關(guān)，則某天售出9箱水時(shí)，預(yù)計(jì)收入為多少元？（2）甲乙兩名學(xué)生獲一等獎(jiǎng)學(xué)金的概率均為，獲二等獎(jiǎng)學(xué)金的概率均為，不獲得獎(jiǎng)學(xué)金的概率均為，已知甲乙兩名學(xué)生獲得哪個(gè)等級(jí)的獎(jiǎng)學(xué)金相互獨(dú)立，求甲乙兩名學(xué)生所獲得獎(jiǎng)學(xué)金之和的分布列及數(shù)學(xué)期望.附：回歸直線方程，其中，.22．（10分）已知常數(shù),函數(shù).(1)討論在區(qū)間上的單調(diào)性;(2)若存在兩個(gè)極值點(diǎn),且,求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性和特殊值進(jìn)行排除可得結(jié)果．【題目詳解】由題意，所以函數(shù)為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于軸對(duì)稱，排除D；又，所以排除B,C．故選A．【題目點(diǎn)撥】已知函數(shù)的解析式判斷圖象的大體形狀時(shí)，可根據(jù)函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性：如奇函數(shù)在對(duì)稱的區(qū)間上單調(diào)性一致，偶函數(shù)在對(duì)稱的區(qū)間上單調(diào)性相反，這是判斷圖象時(shí)常用的方法之一．2、A【解題分析】分析：先求函數(shù)在內(nèi)存在零點(diǎn)的解集，，再用集合的關(guān)系判斷充分條件、還是必要條件。詳解：函數(shù)在內(nèi)存在零點(diǎn)，則，所以的解集那么是的子集，故充分非必要條件，選A點(diǎn)睛：在判斷命題的關(guān)系中，轉(zhuǎn)化為判斷集合的關(guān)系是容易理解的一種方法。3、D【解題分析】

女歌手不相鄰，則先排男生，再對(duì)女生插空即可.【題目詳解】由插空法得．選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查排列組合用插空法解決問題，屬于基礎(chǔ)題.4、B【解題分析】

由漸近線方程得出的值，結(jié)合可求得【題目詳解】∵雙曲線的一條漸近線方程為，∴，∴，解得，即離心率為．故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題考查雙曲線的漸近線和離心率，解題時(shí)要注意，要與橢圓中的關(guān)系區(qū)別開來．5、C【解題分析】

設(shè)復(fù)數(shù)，根據(jù)向量的模為3列方程求解即可.【題目詳解】根據(jù)題意，復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，對(duì)應(yīng)向量的模為3，且實(shí)部為.設(shè)復(fù)數(shù)，∵，∴，復(fù)數(shù).故.故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示及模的運(yùn)算，是基礎(chǔ)題.6、B【解題分析】分析：通過f（x）的單調(diào)性，畫出f（x）的圖象和直線y=a，考慮四個(gè)交點(diǎn)的情況，得到x1=-2-x2，-1＜x2≤0，x3x4=4，再由二次函數(shù)的單調(diào)性，可得所求范圍．詳解：當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=，可得f（x）在x＞2遞增，在0＜x＜2處遞減，

由f（x）=e

(x+1)2，x≤0，

x＜-1時(shí)，f（x）遞減；-1＜x＜0時(shí)，f（x）遞增，

可得x=-1處取得極小值1，

作出f（x）的圖象，以及直線y=a，

可得e

(x1+1)2=e

(x2+1)2=，即有x1+1+x2+1=0，可得x1=-2-x2，-1＜x2≤0，可得x3x4=4，

x1x2+x3x4=4-2x2-x22=-（x2+1）2+5，在-1＜x2≤0遞減，

可得所求范圍為[4，5）．故選B.點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想，以及數(shù)形結(jié)合思想方法，考查二次函數(shù)的最值求法，化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．7、B【解題分析】分析：設(shè)大正方形的邊長為1，其內(nèi)切圓的直徑為1，則小正方形的邊長為，從而陰影部分的面積為，由此利用幾何概型能求出在大正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率.詳解：設(shè)大正方形的邊長為1，其內(nèi)切圓的直徑為1，則小正方形的邊長為，所以大正方形的面積為1，圓的面積為，小正方形的面積為，則陰影部分的面積為，所以在大正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率.點(diǎn)睛：本題主要考查了面積比的幾何概型及其概率的計(jì)算問題，其中根據(jù)題意，準(zhǔn)確求解陰影部分的面積是解答本題的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，以及函數(shù)與方程思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.8、C【解題分析】分析：由題意結(jié)合二項(xiàng)分布數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式求解實(shí)數(shù)p的值即可.詳解：隨機(jī)變量則的數(shù)學(xué)期望，據(jù)此可知：，解得：.本題選擇C選項(xiàng).點(diǎn)睛：本題主要考查二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望公式及其應(yīng)用，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.9、B【解題分析】

由已知中的程序框圖可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出，分析循環(huán)中各變量的變化情況，可得答案.【題目詳解】當(dāng)時(shí)，，，滿足進(jìn)行循環(huán)的條件；當(dāng)時(shí)，，，滿足進(jìn)行循環(huán)的條件；當(dāng)時(shí)，，，滿足進(jìn)行循環(huán)的條件；當(dāng)時(shí)，，，不滿足進(jìn)行循環(huán)的條件；故選：B【題目點(diǎn)撥】本題主要考查程序框圖，解題的關(guān)鍵是讀懂流程圖各個(gè)變量的變化情況，屬于基礎(chǔ)題.10、B【解題分析】

根據(jù)題意可逐句進(jìn)行分析，已知四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，而丙知道甲和乙但不知道自己的成績(jī)可知：甲和乙、丙和丁都只能一個(gè)是優(yōu)秀，一個(gè)是良好，接下來，由上一步的結(jié)論，當(dāng)甲知道乙的成績(jī)后，就可以知道自己的成績(jī)，同理，當(dāng)丁知道丙的成績(jī)后，就可以知道自己的成績(jī)，從而選出答案.【題目詳解】由丙知道甲和乙但不知道自己的成績(jī)可知：甲和乙、丙和丁都只能一個(gè)是優(yōu)秀，一個(gè)是良好；當(dāng)甲知道乙的成績(jī)后，就可以知道自己的成績(jī)，但是甲不知道丙和丁的成績(jī)；當(dāng)丁知道丙的成績(jī)后，就可以知道自己的成績(jī)，但是丁不知道甲和乙的成績(jī)；綜上，只有B選項(xiàng)符合.故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題是一道邏輯推理題，此類題目的推理方法是綜合法和分析法，逐條分析題目條件語句即可，屬于中等題.11、A【解題分析】試題分析：大前提：指數(shù)函數(shù)是增函數(shù)錯(cuò)誤，只有在時(shí)才是增函數(shù)考點(diǎn)：推理三段論12、A【解題分析】

求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的極值點(diǎn),再逐項(xiàng)判斷即可．【題目詳解】f'當(dāng)f當(dāng)f'故選：A【題目點(diǎn)撥】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

利用余弦定理求出，再求△F1PF2的面積.【題目詳解】∵|PF1|＋|PF2|＝4，，又∵∠F1PF2＝60°，由余弦定理可得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos60°12＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|－|PF1|·|PF2|，∴，∴.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查橢圓的定義和余弦定理，考查三角形面積的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.14、【解題分析】

由復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則可得，結(jié)合題意得到關(guān)于的方程，解方程即可確定實(shí)數(shù)的值.【題目詳解】由復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則可得：，復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則：，據(jù)此可得：.故答案為．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，純虛數(shù)的概念及其應(yīng)用等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.15、【解題分析】

根據(jù)伸縮變換性質(zhì)即可得出【題目詳解】設(shè)在這個(gè)伸縮變換下，直角坐標(biāo)系內(nèi)任意一點(diǎn)對(duì)應(yīng)到點(diǎn)則從而對(duì)應(yīng)的二階矩陣【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了伸縮變換對(duì)應(yīng)矩陣，屬于基礎(chǔ)題.16、.【解題分析】分析：先求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)分布確定不等式，解不等式得結(jié)果.詳解：因?yàn)?，所以因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=kx3+3(k-1)x2-k2+1(k>0)在（0,4）上是減函數(shù)，所以點(diǎn)睛：函數(shù)單調(diào)性問題，往往轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)符號(hào)是否變號(hào)或怎樣變號(hào)問題，即轉(zhuǎn)化為方程或不等式解的問題（有解，恒成立，無解等），而不等式有解或恒成立問題，又可通過適當(dāng)?shù)淖兞糠蛛x轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù)最值問題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）有的把握認(rèn)為“蔬菜產(chǎn)品加工質(zhì)量與機(jī)器有關(guān)”（2）【解題分析】

（1）根所給數(shù)據(jù)，利用公式求得，與臨界值比較，即可求得答案；（2）根據(jù)所給數(shù)據(jù)求得和，即可求得其直線回歸方程.【題目詳解】（1）的觀測(cè)值，所以有的把握認(rèn)為“蔬菜產(chǎn)品加工質(zhì)量與機(jī)器有關(guān)”.（2），，，，可得.【題目點(diǎn)撥】本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)中的計(jì)算和求回歸直線方程，考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.18、（1）見證明；（2）【解題分析】

（1）利用等比數(shù)列的定義可以證明；（2）由（1）可求的通項(xiàng)公式，結(jié)合可得，結(jié)合通項(xiàng)公式公式特點(diǎn)選擇分組求和法進(jìn)行求和.【題目詳解】證明：（1）∵，∴.又∵，∴.又∵，∴數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為4的等比數(shù)列.解：（2）由（1）求解知，，∴，∴.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查等比數(shù)列的證明和數(shù)列求和，一般地，數(shù)列求和時(shí)要根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)公式的特征來選擇合適的方法，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).19、(1)證明見解析.(2).【解題分析】試題分析：（1）先根據(jù)平幾知識(shí)計(jì)算得，再根據(jù)線面垂直判定定理得結(jié)論，（2）先根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)方程組解得平面法向量，利用向量數(shù)量積得向量夾角，最后根據(jù)線面角與向量夾角互余關(guān)系求結(jié)果.試題解析：（1）證明：等腰梯形中，故在中，，所以平面（2）作于，以為軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，則求得平面的法向量為又，所以即與平面所成角的正弦值等于20、(Ⅰ)有極小值，無極大值.(Ⅱ)證明見解析.【解題分析】試題分析：（1）求出，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間，根據(jù)單調(diào)性可得函數(shù)的極值；（2）不等式等價(jià)于，由（1）得，可得，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性可得，進(jìn)而可得結(jié)果.試題解析：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，，由得，得，所以函?shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)只有極小值.（2）不等式等價(jià)于，由（1）得：.所以，，所以.令，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上為減函數(shù)，因此，，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，所以，而，所以.21、（1）206；（2）見解析【解題分析】試題分析：(1)先求出君子，代入公式求，，再求線性回歸方程自變量為