2024屆山西省懷仁市重點(diǎn)中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末經(jīng)典試題含解析

2024屆山西省懷仁市重點(diǎn)中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末經(jīng)典試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．己知函數(shù),若,則()A． B． C． D．2．“a>1”是“函數(shù)f(x)=ax-sinx是增函數(shù)”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．設(shè)，若直線與圓相切，則的取值范圍是（）A． B．C． D．4．某批零件的尺寸X服從正態(tài)分布，且滿足，零件的尺寸與10的誤差不超過(guò)1即合格，從這批產(chǎn)品中抽取n件，若要保證抽取的合格零件不少于2件的概率不低于0.9，則n的最小值為（）A．7 B．6 C．5 D．45．設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則使得成立的的取值范圍是（）A． B．C． D．6．已知分別是的內(nèi)角的的對(duì)邊，若，則的形狀為（）A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．等邊三角形7．設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，公比，則（）A． B． C． D．8．已知的分布列為：設(shè)則的值為（）A． B． C． D．59．在空間中，給出下列說(shuō)法：①平行于同一個(gè)平面的兩條直線是平行直線；②垂直于同一條直線的兩個(gè)平面是平行平面；③若平面內(nèi)有不共線的三點(diǎn)到平面的距離相等，則；④過(guò)平面的一條斜線，有且只有一個(gè)平面與平面垂直.其中正確的是（）A．①③ B．②④ C．①④ D．②③10．函數(shù)在區(qū)間的圖像大致為（）．A． B．C． D．11．某班級(jí)要從四名男生、兩名女生中選派四人參加某次社區(qū)服務(wù)，則所選的四人中至少有一名女生的選法為（）A． B． C． D．12．某射手射擊一次擊中靶心的概率是,如果他在同樣的條件下連續(xù)射擊10次,設(shè)射手擊中靶心的次數(shù)為,若,,則()A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)，則二項(xiàng)式的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)是.14．若隨機(jī)變量，且，則__________.15．若復(fù)數(shù)z滿足|z－i|≤(i為虛數(shù)單位)，則z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的圖形的面積為_(kāi)____________．16．在斜三棱柱中，底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)都為2，若，，且，則的值為_(kāi)_______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)．（1）若，證明：；（2）若只有一個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍．18．（12分）在中，角的對(duì)邊分別是，已知，，.(1)求的值；(2)若角為銳角，求的值及的面積.19．（12分）已知函數(shù)，曲線在處的切線與軸平行.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）設(shè)，求在區(qū)間上的最大值和最小值.20．（12分）已知函數(shù)．（1）若，求函數(shù)的最大值；（2）令，討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）若，正實(shí)數(shù)滿足，證明.21．（12分）設(shè)函數(shù)f(x)＝1－x2＋ln(x＋1).(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若不等式f(x)＞－x2(k∈N*)在(0，＋∞)上恒成立，求k的最大值.22．（10分）某周末，鄭州方特夢(mèng)幻王國(guó)匯聚了八方來(lái)客.面對(duì)該園區(qū)內(nèi)相鄰的兩個(gè)主題公園“千古蝶戀”和“西游傳說(shuō)”，成年人和未成年人選擇游玩的意向會(huì)有所不同.某統(tǒng)計(jì)機(jī)構(gòu)對(duì)園區(qū)內(nèi)的100位游客（這些游客只在兩個(gè)主題公園中二選一）進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查.調(diào)查結(jié)果顯示，在被調(diào)查的50位成年人中，只有10人選擇“西游傳說(shuō)”，而選擇“西游傳說(shuō)”的未成年人有20人.(1）根據(jù)題意，請(qǐng)將下面的列聯(lián)表填寫(xiě)完整；（2）根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)，判斷是否有99%的把握認(rèn)為選擇哪個(gè)主題公園與年齡有關(guān).附參考公式與表：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】分析：首先將自變量代入函數(shù)解析式，利用指對(duì)式的運(yùn)算性質(zhì)，得到關(guān)于參數(shù)的等量關(guān)系式，即可求得結(jié)果.詳解：根據(jù)題意有，解得，故選D.點(diǎn)睛：該題考查的是已知函數(shù)值求自變量的問(wèn)題，在求解的過(guò)程中，需要對(duì)指數(shù)式和對(duì)數(shù)式的運(yùn)算性質(zhì)了如指掌.2、A【解題分析】

先由函數(shù)fx=ax-sinx為增函數(shù)，轉(zhuǎn)化為f'【題目詳解】當(dāng)函數(shù)fx=ax-sinx為增函數(shù)，則則a≥cos因此，“a>1”是“函數(shù)fx=ax-sin【題目點(diǎn)撥】本題考查充分必要條件的判斷，涉及參數(shù)的取值范圍，一般要由兩取值范圍的包含關(guān)系來(lái)判斷，具體如下：（1）A?B，則“x∈A”是“x∈B”的充分不必要條件；（2）A?B，則“x∈A”是“x∈B”的必要不充分條件；（3）A=B，則“x∈A”是“x∈B”的充要條件；（4）A?B，則則“x∈A”是“x∈B”的既不充分也不必要條件。3、C【解題分析】分析：由直線與圓相切，得，從而，進(jìn)而，由此能求出的取值范圍.詳解：，直線與圓相切，圓心到直線的距離，解得，，，，的取值范圍是.故選C.點(diǎn)睛：本題考查代數(shù)和取值范圍的求法，考查直線方程、圓、點(diǎn)到直線的距離公式、基本不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題.4、D【解題分析】

計(jì)算，根據(jù)題意得到，設(shè)，判斷數(shù)列單調(diào)遞減，又，，得到答案.【題目詳解】因?yàn)?，且，所以，即每個(gè)零件合格的概率為.合格零件不少于2件的對(duì)立事件是合格零件個(gè)數(shù)為零個(gè)或一個(gè).合格零件個(gè)數(shù)為零個(gè)或一個(gè)的概率為，由，得①，令.因?yàn)?，所以單調(diào)遞減，又因?yàn)椋?，所以不等式①的解集?【題目點(diǎn)撥】本題考查了正態(tài)分布，概率的計(jì)算，數(shù)列的單調(diào)性，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.5、D【解題分析】分析：根據(jù)題意，設(shè)，對(duì)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系分析可得在上為減函數(shù)，分析的特殊值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析可得在區(qū)間和上都有，結(jié)合函數(shù)的奇偶性可得在區(qū)間和上都有，進(jìn)而將不等式變形轉(zhuǎn)化可得或，解可得x的取值范圍，即可得答案.詳解：根據(jù)題意，設(shè)，其導(dǎo)數(shù)，又當(dāng)時(shí)，，則有，即函數(shù)在上為減函數(shù)，又，則在區(qū)間上，，又由，則，在區(qū)間上，，又由，則，則在區(qū)間和上都有，又由為奇函數(shù)，則在區(qū)間和上都有，或，解可得：或.則x的取值范圍是.故選：D.點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，以及不等式的解法，關(guān)鍵是分析與的解集.6、A【解題分析】

由已知結(jié)合正弦定理可得利用三角形的內(nèi)角和及誘導(dǎo)公式可得，整理可得從而有結(jié)合三角形的性質(zhì)可求【題目詳解】解：是的一個(gè)內(nèi)角，，由正弦定理可得，又，，即為鈍角，故選A．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了正弦定理，三角形的內(nèi)角和及誘導(dǎo)公式，兩角和的正弦公式，屬于基礎(chǔ)試題．7、D【解題分析】

由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式分別表示出與，化簡(jiǎn)即可得到的值【題目詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列的公比，則，故選D．【題目點(diǎn)撥】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式，屬于基礎(chǔ)題。8、A【解題分析】

求出η的期望，然后利用，求解即可．【題目詳解】由題意可知E（η）＝﹣101．∵，所以＝E（1η﹣2）＝1E（η）﹣21．故選A．【題目點(diǎn)撥】本題考查數(shù)學(xué)期望的運(yùn)算性質(zhì)，也可根據(jù)兩個(gè)變量之間的關(guān)系寫(xiě)出ξ的分布列，再由ξ分布列求出期望．9、B【解題分析】

說(shuō)法①：可以根據(jù)線面平行的判定理判斷出本說(shuō)法是否正確；說(shuō)法②：根據(jù)線面垂直的性質(zhì)和面面平行的判定定理可以判斷出本說(shuō)法是否正確；說(shuō)法③：當(dāng)與相交時(shí)，是否在平面內(nèi)有不共線的三點(diǎn)到平面的距離相等，進(jìn)行判斷；說(shuō)法④：可以通過(guò)反證法進(jìn)行判斷.【題目詳解】①平行于同一個(gè)平面的兩條直線可能平行、相交或異面，不正確；易知②正確；③若平面內(nèi)有不共線的三點(diǎn)到平面的距離相等，則與可能平行，也可能相交，不正確；易知④正確.故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查了線線位置關(guān)系、面面位置關(guān)系的判斷，分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵，反證法是經(jīng)常用到的方程.10、A【解題分析】分析：判斷的奇偶性，在上的單調(diào)性，計(jì)算的值，結(jié)合選項(xiàng)即可得出答案.詳解：設(shè)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，排除B；由當(dāng)時(shí)，，排除D；因?yàn)?，所以函?shù)為非奇非偶函數(shù)，排除C，故選A.點(diǎn)睛：本題主要考查了函數(shù)圖象的識(shí)別，其中解答中涉及到函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的奇偶性和函數(shù)值的應(yīng)用，試題有一定綜合性，屬于中檔試題，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力.11、A【解題分析】所選的四人中至少有一名女生的選法為本題選擇A選項(xiàng).12、B【解題分析】

隨機(jī)變量X～B（10，p），所以DX=10p(1?p)=2.4，可得p=0.4或p=0.6，又因?yàn)镻(X=3)<P(X=7),即，可得p>，所以p=0.6.【題目詳解】依題意,X為擊中目標(biāo)的次數(shù),所以隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布X～B(10,p)，所以D（X）=10p(1?p)=2.4，所以p=0.4或p=0.6，又因?yàn)镻(X=3)<P(X=7),即，所以1?p<p,即p>，所以p=0.6.故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)分布的概率計(jì)算、期望與方差，根據(jù)二項(xiàng)分布概率計(jì)算公式進(jìn)行求解即可，屬于簡(jiǎn)單題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、6【解題分析】試題分析：設(shè)第項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則，令可得故答案為6考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理14、【解題分析】

由條件求得，可得正態(tài)分布曲線的圖象關(guān)于直線對(duì)稱．求得的值，根據(jù)對(duì)稱性，即可求得答案.【題目詳解】隨機(jī)變量，且，可得，正態(tài)分布曲線的圖象關(guān)于直線對(duì)稱．，故答案為：．【題目點(diǎn)撥】本題考查了正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．15、2π【解題分析】分析：由的幾何意義可知，點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的實(shí)心圓，由圓的面積公式可得結(jié)論.詳解：，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的的軌跡是以為圓心，為半徑的實(shí)心圓，該圓的面積為，故答案為.點(diǎn)睛：復(fù)數(shù)的模的幾何意義是復(fù)平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離，所以若，則表示點(diǎn)與點(diǎn)的距離，表示以為圓心，以為半徑的圓.16、4【解題分析】

根據(jù)向量線性運(yùn)算分別表示出,結(jié)合向量數(shù)量積運(yùn)算即可求解.【題目詳解】根據(jù)題意,畫(huà)出空間幾何體如下圖:,,,且,且底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)都為2則,所以故答案為:4【題目點(diǎn)撥】本題考查了空間向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）詳見(jiàn)解析；（2）.【解題分析】

（1）將代入，可得等價(jià)于，即，令，求出，可得的最小值，可得證；（2）分，三種情況討論，分別對(duì)求導(dǎo)，其中又分①若②③三種情況，利用函數(shù)的零點(diǎn)存在定理可得a的取值范圍.【題目詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，即；設(shè)函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．故為的最小值，而，故，即．（2），設(shè)函數(shù)，則；（i）當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，又，取b滿足且，則，故在上有唯一一個(gè)零點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，由于，所以是的唯一極值點(diǎn)；（ii）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，無(wú)極值點(diǎn)；（iii）當(dāng)時(shí)，若時(shí)，；若時(shí)，．所以在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．故為的最小值，①若時(shí)，由于，故只有一個(gè)零點(diǎn)，所以時(shí)，因此在上單調(diào)遞增，故不存在極值；②若時(shí)，由于，即，所以，因此在上單調(diào)遞增，故不存在極值；③若時(shí)，，即．又，且，而由（1）知，所以，取c滿足，則故在有唯一一個(gè)零點(diǎn)，在有唯一一個(gè)零點(diǎn)；且當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，由于，故在處取得極小值，在處取得極大值，即在上有兩個(gè)極值點(diǎn)．綜上，只有一個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，的取值范圍是【題目點(diǎn)撥】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，及函數(shù)的零點(diǎn)存在定理，注意分類(lèi)討論思想的運(yùn)用.18、(1)；(2)，.【解題分析】試題分析：（1）根據(jù)題意和正弦定理求出a的值；

（2）由二倍角的余弦公式變形求出，由的范圍和平方關(guān)系求出，由余弦定理列出方程求出的值，代入三角形的面積公式求出的面積．試題解析：(1)因?yàn)?，，由正弦定理，?(2)因?yàn)?，且，所以?由余弦定理，得，解得或(舍)，所以.19、（1）；（2）最大值為，最小值為.【解題分析】

（1）求出導(dǎo)數(shù)，由可求出實(shí)數(shù)的值；（2）利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的極值以及端點(diǎn)的函數(shù)值，比較大小后可得出該函數(shù)的最值．【題目詳解】（1），，由于曲線在處的切線與軸平行，則，解得；（2）由（1）可得，該函數(shù)的定義域?yàn)椋?，令，可?當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，，此時(shí).所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.，，當(dāng)時(shí)，.，，令，則，所以，函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞增，即，則，因此，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為.【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，利用切線斜率求參數(shù)以及函數(shù)的最值的求法，考查轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，是難題．20、（1）f（x）的最大值為f（1）=1．（2）見(jiàn)解析（3）見(jiàn)解析【解題分析】試題分析：（Ⅰ）代入求出值，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值，進(jìn)而判斷最值；（Ⅱ）求出，求出導(dǎo)函數(shù)，分別對(duì)參數(shù)分類(lèi)討論，確定導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，得出函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅲ）整理方程，觀察題的特點(diǎn)，變形得，故只需求解右式的范圍即可，利用構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)的方法求出右式的最小值.試題解析：（Ⅰ）因?yàn)椋詀=-2，此時(shí)f（x）=lnx-x2+x，f'（x）=-2x+1，由f'（x）=1，得x=1，∴f（x）在（1，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，故當(dāng)x=1時(shí)函數(shù)有極大值，也是最大值，所以f（x）的最大值為f（1）=1．

（Ⅱ）g（x）=f（x）-ax2-ax+1，∴g（x）=lnx-ax2-ax+x+1，當(dāng)a=1時(shí)，g'（x）＞1，g（x）單調(diào)遞增；當(dāng)a＞1時(shí)，x∈（1，）時(shí)，g'（x）＞1，g（x）單調(diào)遞增；x∈（，+∞）時(shí)，g'（x）＜1，g（x）單調(diào)遞減；當(dāng)a＜1時(shí)，g'（x）＞1，g（x）單調(diào)遞增；（Ⅲ）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=lnx+x2+x，x＞1，．由f（x1）+f（x2）+x1x2=1，即lnx1+x12+x1+lnx2+x22+x2+x2x1=1．從而（x1+x2）2+（x1+x2）=x1x2-ln（x1x2），．令t=x2x1，則由φ（t）=t-lnt得，φ'（t）=．可知，φ（t）在區(qū)間（1，1）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增．所以φ（t）≥1，所以（x1+x2）2+（x1+x2）≥1，正實(shí)數(shù)x1，x2，∴．21、(1)見(jiàn)解析(2)1【解題分析】

（1）首先求出f（x）的定義域，函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，分別令它大于0，小于0，解不等式，必須注意定義域，求交集；（2）化簡(jiǎn)不等式f（x）＞﹣x2，得：（x+1）[1+ln（x+1）]＞kx，令g（x）=（x+1））[1+ln（x+1）]﹣kx，求出g'（x），由x＞0，求出2+ln（x+1）＞2，討論k，分k≤2，k＞2，由恒成立結(jié)合單調(diào)性判斷k的取值，從而得到k的最大值．【題目詳解】（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋ī?，+∞），函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f'（x）=﹣2x+，令f'（x）＞0則＞2x，解得，令f'（x）＜0則，解得x＞或x＜，∵x