2024屆黑龍江哈爾濱市第九中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末質(zhì)量檢測(cè)試題含解析

2024屆黑龍江哈爾濱市第九中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末質(zhì)量檢測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．執(zhí)行如圖程序框圖，若輸入的，分別為12，20，則輸出的（）A．2 B．3 C．4 D．52．函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，在(－∞，0]上是減函數(shù)且f（2）=0，則使f（x）<0的x的取值范圍（）A．（－∞，2） B．（2，+∞）C．（－∞，-2）∪（2，+∞） D．（－2，2）3．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則（）A． B．1 C．-1 D．4．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入n=3，輸出的S=（）A． B． C． D．5．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，滿足，且當(dāng)時(shí)．則當(dāng)，的最小值是（）A． B． C． D．6．已知隨機(jī)變量，且，則A． B． C． D．7．已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)既有極大值又有極小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．8．已知曲線和曲線圍成一個(gè)葉形圖；則其面積為（）A．1 B． C． D．9．以下說法正確的是（）A．命題“，”的否定是“，”B．命題“，互為倒數(shù)，則”的逆命題為真C．命題“若，都是偶數(shù)，則是偶數(shù)”的否命題為真D．“”是“”的充要條件10．若滿足約束條件，則的最大值為（）A．9 B．5 C．11 D．311．二項(xiàng)式的展開式的各項(xiàng)中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為()A． B．和C．和 D．12．已知a>0，b>－1，且a＋b＝1，則的最小值為()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知(是虛數(shù)單位),定義:給出下列命題:(1)對(duì)任意都有(2)若是的共軛復(fù)數(shù),則恒成立；(3)若則(4)對(duì)任意結(jié)論恒成立.則其中所有的真命題的序號(hào)是_____________.14．如圖在中，，，點(diǎn)是外一點(diǎn)，,則平面四邊形面積的最大值是___________．15．已知直線與雙曲線的一條漸近線平行，則這兩條平行直線之間的距離是．16．不等式的解為______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在直角坐標(biāo)系中直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線：.（1）求直線的普通方程及曲線直角坐標(biāo)方程；（2）若曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最小值.18．（12分）某村計(jì)劃建造一個(gè)室內(nèi)面積為800平米的矩形蔬菜溫室，在溫室內(nèi)沿左右兩側(cè)與后墻內(nèi)側(cè)各保留1米的通道，沿前側(cè)內(nèi)墻保留3米寬的空地，當(dāng)矩形溫室的邊長(zhǎng)各為多少時(shí)，蔬菜的種植面積最大？最大的種植面積是多少？19．（12分）已知正三棱柱中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上.（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求證；（Ⅱ）是否存在點(diǎn)，使二面角等于60°？若存在，求的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由.20．（12分）已知等差數(shù)列滿足，.（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，求．21．（12分）如圖，已知四邊形ABCD與四邊形BDEF均為菱形，，且求證：平面BDEF；求二面角的余弦值．22．（10分）設(shè)等差數(shù)列的公差為d、前n項(xiàng)和為，已知，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式：（2）令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】

由循環(huán)結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)，先判斷，再執(zhí)行，分別計(jì)算當(dāng)前的值，即可得出結(jié)論．【題目詳解】解：由，則.

由，則.

由，則.

由，則輸出．

故選：C．【題目點(diǎn)撥】本題考查了算法和程序框圖的應(yīng)用問題，也考查了古代數(shù)學(xué)文化的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．2、D【解題分析】

根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì),求出函數(shù)在(－∞，0]上的解集,再根據(jù)對(duì)稱性即可得出答案.【題目詳解】由函數(shù)為偶函數(shù),所以,又因?yàn)楹瘮?shù)在(－∞，0]是減函數(shù),所以函數(shù)在(－∞，0]上的解集為,由偶函數(shù)的性質(zhì)圖像關(guān)于軸對(duì)稱,可得在(0,+∞)上的解集為(0,2),綜上可得,的解集為(-2,2).故選:D.【題目點(diǎn)撥】本題考查了偶函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用,借助于偶函數(shù)的性質(zhì)解不等式,屬于基礎(chǔ)題.3、C【解題分析】試題分析：∵函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，，∴，把代入可得，解得，故選C.考點(diǎn)：（1）導(dǎo)數(shù)的乘法與除法法則；（2）導(dǎo)數(shù)的加法與減法法則.4、B【解題分析】

試題分析：由題意得，輸出的為數(shù)列的前三項(xiàng)和，而，∴，故選B.考點(diǎn)：1程序框圖；2.裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列求和背景下的程序框圖問題，屬于容易題，解題過程中首先要弄清程序框圖所表達(dá)的含義，解決循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖問題關(guān)鍵是列出每次循環(huán)后的變量取值情況，循環(huán)次數(shù)較多時(shí)，需總結(jié)規(guī)律，若循環(huán)次數(shù)較少可以全部列出.5、D【解題分析】

先求出函數(shù)在區(qū)間上的解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求出函數(shù)在區(qū)間上的最小值．【題目詳解】由題意可知，函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，設(shè)，則，則，即當(dāng)時(shí)，，可知函數(shù)在處取得最小值，且最小值為，故選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)的周期性以及函數(shù)的最值，解決本題的關(guān)鍵就是根據(jù)周期性求出函數(shù)的解析式，并結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)求解，考查計(jì)算能力，屬于中等題．6、B【解題分析】

根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性即可得到答案.【題目詳解】由于，故選B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查正態(tài)分布中概率的計(jì)算，難度不大.7、A【解題分析】分析：先求導(dǎo)得到，轉(zhuǎn)化為方程在（0,2）內(nèi)有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，再利用根的分布來(lái)解答得解.詳解：由題得，原命題等價(jià)于方程在（0,2）內(nèi)有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，所以.故答案為：A.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)探究函數(shù)的極值問題，意在考查學(xué)生對(duì)這些基礎(chǔ)知識(shí)的掌握水平和分析推理能力數(shù)形結(jié)合的思想方法.(2)解答本題有兩個(gè)關(guān)鍵，其一是轉(zhuǎn)化為方程在（0,2）內(nèi)有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，其二是能準(zhǔn)確找到方程在（0,2）內(nèi)有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根的等價(jià)不等式組,它涉及到二次方程的根的分布問題.8、D【解題分析】

先作出兩個(gè)函數(shù)的圖像，再利用定積分求面積得解.【題目詳解】由題得函數(shù)的圖像如圖所示，聯(lián)立得交點(diǎn)（1,1）所以葉形圖面積為.故選：D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查定積分的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.9、B【解題分析】

根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題的知識(shí)判斷A選項(xiàng)的正確性.寫出原命題的逆命題并判斷真假性，由此判斷B選項(xiàng)的正確性..寫出原命題的否命題并判斷真假性，由此判斷C選項(xiàng)的正確性.根據(jù)充要條件的知識(shí)判斷D選項(xiàng)的正確性.【題目詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，原命題是全稱命題，其否定是特稱命題，注意到要否定結(jié)論，故否定應(yīng)是“，”，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于B選項(xiàng)，原命題的逆命題是“若，則互為倒數(shù)”，是真命題，故B選項(xiàng)正確.對(duì)于C選項(xiàng)，原命題的否命題為“若不都是偶數(shù)，則不是偶數(shù)”，當(dāng)都為奇數(shù)時(shí)，是偶數(shù)，故為假命題.所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于D選項(xiàng)，由，所以.“”不是“”的充要條件.故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.綜上所述可知，B選項(xiàng)正確.故選：B【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查全稱命題的否定、逆命題、否命題以及充要條件等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.10、A【解題分析】

先作出不等式組所表示的可行域，然后平移直線，觀察直線在軸上的截距取最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)解，將最優(yōu)解代入函數(shù)即可得出答案。【題目詳解】作出不等式組所表示的可行域如下圖所示：聯(lián)立，得，點(diǎn)的坐標(biāo)為，平移直線，當(dāng)該直線經(jīng)過點(diǎn)，它在軸上的截距取最大值，此時(shí)，取最大值，即，故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題考查線性規(guī)劃問題，考查線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題，解題思路就是作出可行域，平移直線觀察在坐標(biāo)軸上的截距變化尋找最優(yōu)解，是?？碱}型，屬于中等題。11、C【解題分析】

先由二項(xiàng)式，確定其展開式各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，進(jìn)而可確定其最大值.【題目詳解】因?yàn)槎?xiàng)式展開式的各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，易知當(dāng)或時(shí)，最大，即二項(xiàng)展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的為第三項(xiàng)和第四項(xiàng).故第三項(xiàng)為；第四項(xiàng)為.故選C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)，熟記二項(xiàng)式定理即可，屬于?？碱}型.12、A【解題分析】分析：由，且，變形可得利用導(dǎo)數(shù)求其最值；詳解：，且a＋b＝1，∴．

令，解得，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增；令，解得此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減．

∴當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值即最小值，點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，屬中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、（2），（4）【解題分析】

由新定義逐一核對(duì)四個(gè)命題得答案．【題目詳解】解：對(duì)于（1），當(dāng)時(shí)，，命題（1）錯(cuò)誤；

對(duì)于（2），設(shè)，則，則，命題（2）正確；

對(duì)于（3），若，則錯(cuò)誤，如，滿足，但；

對(duì)于（4），設(shè)，

則，

，

，

由，

得恒成立，（4）正確．

∴正確的命題是（2）（4）．

故答案為（2），（4）．【題目點(diǎn)撥】本題是新定義題，考查了命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了絕對(duì)值的不等式，是中檔題．14、.【解題分析】分析：利用余弦定理，設(shè),設(shè)AC=BC=m，則．由余弦定理把m表示出來(lái)，利用四邊形OACB面積為S=．轉(zhuǎn)化為三角形函數(shù)問題求解最值．詳解：△ABC為等腰直角三角形．∵OA=2OB=4，不妨設(shè)AC=BC=m，則．由余弦定理，42+22﹣2m2=16，∴．.當(dāng)時(shí)取到最大值.故答案為.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查余弦定理和三角形的面積的求法，考查三角恒等變換和三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本題的關(guān)鍵是設(shè)，再建立三角函數(shù)的模型.15、【解題分析】因?yàn)橹本€ax+y+2=0與雙曲線的一條漸近線y=x平行，所以-a=2，(或者-a=-2),則a=-2,(a=2,)假設(shè)a=2,則利用平行線間距離公式解得為16、或或或【解題分析】

利用組合數(shù)公式得出關(guān)于的不等式，解出的取值范圍，即可得出正整數(shù)的取值.【題目詳解】，由組合數(shù)公式得，得，整理得，即，解得，由題意可知且，因此，不等式的解為或或或.故答案為：或或或.【題目點(diǎn)撥】本題考查組合不等式的求解，解題的關(guān)鍵就是利用組合數(shù)公式列出不等式，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）直線的普通方程為，曲線的直角坐標(biāo)方程為；（2）.【解題分析】

(1)直接利用參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程公式得到答案.(2)計(jì)算圓心到直線的距離，判斷相離，再利用公式得到答案.【題目詳解】解：（1）直線的普通方程為，曲線的直角坐標(biāo)方程為（2）曲線的圓心到直線的距離所以直線與圓相離，則曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最小值為【題目點(diǎn)撥】本題考查了參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程，將圓上的點(diǎn)到直線的距離轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離是解題的關(guān)鍵.18、當(dāng)矩形溫室的左側(cè)邊長(zhǎng)為40m，后側(cè)邊長(zhǎng)為20m時(shí)，花卉種植面積達(dá)到最大，最大面積為648m【解題分析】解：設(shè)溫室的邊長(zhǎng)分別為：x，y則：xy=800………………（1分）S=(x-4)(y-2),(x>0)………（3分）=xy-4y-2x+8=800-=808-(3200∵x>0∴3200x+2x≥23200當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立∴S≤648…………………（6分）此時(shí)x=40y=20，最大的種植面積為：648m219、（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）存在點(diǎn),當(dāng)時(shí)，二面角等于.【解題分析】

試題分析：（Ⅰ）證明：連接，由為正三棱柱為正三角形，又平面平面平面.易得丄平面.（Ⅱ）假設(shè)存在點(diǎn)滿足條件，設(shè).由丄平面，建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為．試題解析：（Ⅰ）證明：連接，因?yàn)闉檎庵?，所以為正三角形，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，又平面平面，平面平面，所以平面，所以.因?yàn)?，所以，所以在中，，在中，，所以，?又，所以丄平面，面，所以.（Ⅱ）假設(shè)存在點(diǎn)滿足條件，設(shè).取的中點(diǎn)，連接，則丄平面，所以，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，得，同理，平面的一個(gè)法向量為，則，取，∴.∴，解得，故存在點(diǎn),當(dāng)時(shí)，二面角等于.20、(I)；(Ⅱ)，或【解題分析】

（I）由，可計(jì)算出首項(xiàng)和公差，進(jìn)而求得通項(xiàng)公式．（Ⅱ）由，并結(jié)合（1）可計(jì)算出首項(xiàng)和公比，代入等比數(shù)列的求和公式可求得.【題目詳解】(I)設(shè)等差數(shù)列的公差為，∵．∴，，解得，，∴．(Ⅱ)設(shè)等比數(shù)列的公比為，，，聯(lián)立解得，，∴，或．【題目點(diǎn)撥】本