2024屆山西省忻州市忻州一中數(shù)學(xué)高二下期末復(fù)習(xí)檢測(cè)模擬試題含解析

2024屆山西省忻州市忻州一中數(shù)學(xué)高二下期末復(fù)習(xí)檢測(cè)模擬試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知α，β表示兩個(gè)不同的平面，l為α內(nèi)的一條直線，則“α∥β是“l(fā)∥β”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件2．有，，，四種不同顏色的花要（全部）栽種在并列成一排的五個(gè)區(qū)域中，相鄰的兩個(gè)區(qū)域栽種花的顏色不同，且第一個(gè)區(qū)域栽種的是顏色的花，則不同栽種方法種數(shù)為（）A．24 B．36 C．42 D．903．設(shè)，，則（）A． B．C． D．4．已知展開式中常數(shù)項(xiàng)為1120，實(shí)數(shù)是常數(shù)，則展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和是A． B． C． D．5．某研究機(jī)構(gòu)在對(duì)具有線性相關(guān)的兩個(gè)變量和進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析時(shí)，得到如表數(shù)據(jù)．由表中數(shù)據(jù)求得關(guān)于的回歸方程為，則在這些樣本點(diǎn)中任取一點(diǎn)，該點(diǎn)落在回歸直線下方的概率為（）468101212356A． B． C． D．6．已知函數(shù)為奇函數(shù),則（）A． B． C． D．7．已知函數(shù)的圖象如圖所示，則的解析式可能是A． B．C． D．8．若命題“存在，使”是假命題，則非零實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．9．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且a=1，B=45°，S△ABC=2，則△ABC的外接圓的直徑為（）A．5 B． C． D．10．設(shè)集合A＝{x|x2－3x＜0}，B＝{x|－2≤x≤2}，則A∩B＝()A．{x|2≤x＜3}B．{x|－2≤x＜0}C．{x|0＜x≤2}D．{x|－2≤x＜3}11．已知隨機(jī)變量X的分布列如下表所示則的值等于A．1 B．2 C．3 D．412．在的展開式中的系數(shù)是（）A．40 B．80 C．20 D．10二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為__________．14．已知常數(shù)，則______．15．已知向量，，若與垂直，則實(shí)數(shù)__________．16．若隨機(jī)變量的分布列如表所示，則______.01Pa三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知正四棱柱中，底面邊長(zhǎng)為2，，點(diǎn)在線段上.（1）求異面直線與所成角的大小；（用反三角函數(shù)值表示）（2）若直線平面所成角大小為，求多面體的體積.18．（12分）（1）集合，或，對(duì)于任意，定義，對(duì)任意，定義，記為集合的元素個(gè)數(shù)，求的值；（2）在等差數(shù)列和等比數(shù)列中，，，是否存在正整數(shù)，使得數(shù)列的所有項(xiàng)都在數(shù)列中，若存在，求出所有的，若不存在，說明理由；（3）已知當(dāng)時(shí)，有，根據(jù)此信息，若對(duì)任意，都有，求的值.19．（12分）在直角坐標(biāo)系中，直線經(jīng)過點(diǎn)，其傾斜角為，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸非負(fù)半軸為極軸，與直角坐標(biāo)系取相同的長(zhǎng)度單位，建立極坐標(biāo)系，設(shè)曲線C的極坐標(biāo)方程為．（1）若直線與曲線C有公共點(diǎn)，求的取值范圍：（2）設(shè)為曲線C上任意一點(diǎn)，求的取值范圍．20．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知圓經(jīng)過極點(diǎn)，且其圓心的極坐標(biāo)為.（1）求圓的極坐標(biāo)方程；（2）若射線分別與圓和直線交于點(diǎn)，（點(diǎn)異于坐標(biāo)原點(diǎn)），求線段的長(zhǎng).21．（12分）某連鎖經(jīng)營(yíng)公司所屬5個(gè)零售店某月的銷售額和利潤(rùn)額資料如下表商店名稱ABCDE銷售額x(千萬元)35679利潤(rùn)額y(百萬元)23345（1）畫出散點(diǎn)圖．觀察散點(diǎn)圖，說明兩個(gè)變量有怎樣的相關(guān)性.(2)用最小二乘法計(jì)算利潤(rùn)額y對(duì)銷售額x的回歸直線方程．(3)當(dāng)銷售額為4(千萬元)時(shí)，估計(jì)利潤(rùn)額的大小.其中22．（10分）隨著電商的快速發(fā)展，快遞業(yè)突飛猛進(jìn)，到目前，中國(guó)擁有世界上最大的快遞市場(chǎng).某快遞公司收取快遞費(fèi)的標(biāo)準(zhǔn)是：重量不超過的包裹收費(fèi)10元；重量超過的包裹，在收費(fèi)10元的基礎(chǔ)上，每超過（不足，按計(jì)算）需再收5元.該公司將最近承攬的100件包裹的重量統(tǒng)計(jì)如下：公司對(duì)近60天，每天攬件數(shù)量統(tǒng)計(jì)如下表：以上數(shù)據(jù)已做近似處理，并將頻率視為概率.（1）計(jì)算該公司未來5天內(nèi)恰有2天攬件數(shù)在101~300之間的概率；（2）①估計(jì)該公司對(duì)每件包裹收取的快遞費(fèi)的平均值；②根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，公司將快遞費(fèi)的三分之一作為前臺(tái)工作人員的工資和公司利潤(rùn)，其余的用作其他費(fèi)用.目前前臺(tái)有工作人員3人，每人每天攬件不超過150件，日工資100元.公司正在考慮是否將前臺(tái)工作人員裁減1人，試計(jì)算裁員前后公司每日利潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望，若你是決策者，是否裁減工作人員1人？

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】試題分析：利用面面平行和線面平行的定義和性質(zhì)，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷．解：根據(jù)題意，由于α，β表示兩個(gè)不同的平面，l為α內(nèi)的一條直線，由于“α∥β，則根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理可知，則必然α中任何一條直線平行于另一個(gè)平面，條件可以推出結(jié)論，反之不成立，∴“α∥β是“l(fā)∥β”的充分不必要條件．故選A．考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷；平面與平面平行的判定．2、B【解題分析】分析：可以直接利用樹狀圖分析解答.詳解：這一種有12種，類似AC,各有12種，共36種，故答案為：B.點(diǎn)睛：(1)本題主要考查排列組合，考查計(jì)數(shù)原理，意在考查學(xué)生對(duì)這些基礎(chǔ)知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)本題可以利用排列組合解答，分類討論比較復(fù)雜.也可以利用樹狀圖解答，比較直觀.3、A【解題分析】

根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得,,根據(jù)不等式的性質(zhì)可知;通過比較與1的大小關(guān)系,即可判斷,從而可選出正確答案.【題目詳解】解:,,則,故選:A.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性.在比較對(duì)數(shù)的大小時(shí),常常結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小.對(duì)于,若,則(1)當(dāng)時(shí),;(2)當(dāng)時(shí),;(3)當(dāng)時(shí),;若,則(1)當(dāng)時(shí),;(2)當(dāng)時(shí),;(3)當(dāng)時(shí),.4、C【解題分析】分析：由展開式通項(xiàng)公式根據(jù)常數(shù)項(xiàng)求得，再令可得各項(xiàng)系數(shù)和．詳解：展開式通項(xiàng)為，令，則，∴，，所以展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為或．故選C．點(diǎn)睛：賦值法在求二項(xiàng)展開式中系數(shù)和方面有重要的作用，設(shè)展開式為，如求所有項(xiàng)的系數(shù)和可令變量，即系數(shù)為，而奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為，偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)為，還可以通過賦值法證明一些組合恒等式．5、A【解題分析】分析：求出樣本點(diǎn)的中心，求出的值，得到回歸方程得到5個(gè)點(diǎn)中落在回歸直線下方的有（，共2個(gè)，求出概率即可．詳解：故，解得：，

則

故5個(gè)點(diǎn)中落在回歸直線下方的有，共2個(gè)，

故所求概率是，

故選A．點(diǎn)睛：本題考查了回歸方程問題，考查概率的計(jì)算以及樣本點(diǎn)的中心，是一道基礎(chǔ)題．6、A【解題分析】

根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì),利用計(jì)算得到,再代入函數(shù)計(jì)算【題目詳解】由函數(shù)表達(dá)式可知，函數(shù)在處有定義，則，，則，.故選A.【題目點(diǎn)撥】解決本題的關(guān)鍵是利用奇函數(shù)性質(zhì),簡(jiǎn)化了計(jì)算,快速得到答案.7、C【解題分析】

根據(jù)且，可依次排除，從而得到答案.【題目詳解】由圖象知，且中，，不合題意；中，，不合題意；中，，不合題意；本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)圖象的識(shí)別，常用方法是利用排除法得到結(jié)果，排除時(shí)通常采用特殊位置的符號(hào)來進(jìn)行排除.8、C【解題分析】

根據(jù)命題真假列出不等式,解得結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)槊}“存在，使”是假命題,所以,解得:,因?yàn)?故選:.【題目點(diǎn)撥】本題考查命題真假求參數(shù),注意已知條件非零實(shí)數(shù)是正確解答本題的關(guān)鍵,考查學(xué)生分析求解能力,難度較易.9、C【解題分析】分析：由三角形面積公式可得，再由余弦定理可得，最后結(jié)合正弦定理即可得結(jié)果.詳解：根據(jù)三角形面積公式得，，得，則，即，，故正確答案為C.點(diǎn)睛：此題主要考三角形面積公式的應(yīng)用，以及余弦定理、正弦定理在計(jì)算三角形外接圓半徑的應(yīng)用等有關(guān)方面的知識(shí)與技能，屬于中低檔題型，也是?？伎键c(diǎn).此類題的題型一般有：1.已知兩邊和任一邊，求其他兩邊和一角，此時(shí)三角形形狀唯一；2.已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角，此時(shí)三角形形狀不一定唯一.10、C【解題分析】

求出集合A中不等式的解集，結(jié)合集合B，得到兩個(gè)集合的交集．【題目詳解】A={x|x2﹣3x＜0}={x|0＜x＜3}，∵B={x|﹣2≤x≤2}，∴A∩B={x|0＜x≤2}，故選：C．【題目點(diǎn)撥】求集合的交、并、補(bǔ)時(shí)，一般先化簡(jiǎn)集合，再由交、并、補(bǔ)的定義求解；在進(jìn)行集合的運(yùn)算時(shí)要盡可能地借助Venn圖和數(shù)軸使抽象問題直觀化．一般地，集合元素離散時(shí)用Venn圖表示；集合元素連續(xù)時(shí)用數(shù)軸表示，用數(shù)軸表示時(shí)要注意端點(diǎn)值的取舍．11、A【解題分析】

先求出b的值，再利用期望公式求出E(X)，再利用公式求出.【題目詳解】由題得，所以所以.故答案為：A【題目點(diǎn)撥】(1)本題主要考查分布列的性質(zhì)和期望的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)若(a、b是常數(shù))，是隨機(jī)變量，則也是隨機(jī)變量，，.12、A【解題分析】

把按照二項(xiàng)式定理展開，可得的展開式中的系數(shù).【題目詳解】解：由的展開式中，，令，可得，可得的展開式中的系數(shù)是：，故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查二項(xiàng)式展開式及二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題型.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解題分析】

先求出拋物線的準(zhǔn)線方程，再求點(diǎn)(2,-1)到準(zhǔn)線的距離得解.【題目詳解】由題得拋物線的準(zhǔn)線方程為，所以點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為.故答案為：2【題目點(diǎn)撥】本題主要考查拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平.14、1【解題分析】

由二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)可得，再結(jié)合數(shù)列極限的求法即可得解.【題目詳解】因?yàn)?，則，所以，故答案為：1.【題目點(diǎn)撥】本題考查了二項(xiàng)式系數(shù)及數(shù)列極限，屬基礎(chǔ)題.15、-1【解題分析】

由題意結(jié)合向量垂直的充分必要條件得到關(guān)于k的方程，解方程即可求得實(shí)數(shù)k的值.【題目詳解】由平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得：，與垂直，則，即：，解得：.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，向量垂直的充分必要條件等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.16、【解題分析】

先由分布列，根據(jù)概率的性質(zhì)求出，再求出期望，根據(jù)方差的計(jì)算公式，即可得出結(jié)果.【題目詳解】由分布列可得：，解得，所以，因此，所以.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查求離散型隨機(jī)變量的方差，熟記計(jì)算公式即可，屬于?？碱}型.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解題分析】

（1）利用異面直線所成角的定義再結(jié)合正四棱柱中的性質(zhì)可得直線與所成的角即為所求然后在三角形利用余弦定理即可得解．（2）由于多面體的不規(guī)則性故可利用因此需利用直線與平面所成角為來確定點(diǎn)的位置后問題就解決了．【題目詳解】（1）連接則由于在正四棱柱中故異面直線與所成角即為直線與所成的角正四棱柱中，底面邊長(zhǎng)為2，，，異面直線與所成角即為（2）正四棱柱中面，直線與平面所成角為，，，，即多面體的體積為．【題目點(diǎn)撥】本題考查異面直線所成的角和幾何體體積的求解．解題的關(guān)鍵是第一問要利用圖形的性質(zhì)將異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角；第二問對(duì)于不規(guī)則圖形體積的求解常采用規(guī)則圖形的體積差來求解（比如本題中的多面體的體積轉(zhuǎn)化為正三棱柱的體積減去三棱錐的體積）.18、（1），；（2）為正偶數(shù)；（3）；【解題分析】

（1）由題意得：集合表示方程解的集合，由于或，即可得到集合的元素個(gè)數(shù)；利用倒序相加法及，即可得到答案；（2）假設(shè)存在，對(duì)分奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況進(jìn)行討論；（3）利用類比推理和分類計(jì)數(shù)原理可得的值.【題目詳解】（1）由題意得：集合表示方程解的集合，由于或，所以方程中有個(gè)，個(gè)，從而可得到解的情況共有個(gè)，所以.令，所以，所以，所以，即.（2）當(dāng)取偶數(shù)時(shí)，中所有項(xiàng)都是中的項(xiàng).由題意：均在數(shù)列中，當(dāng)時(shí)，，說明數(shù)列的第項(xiàng)是數(shù)列中的第項(xiàng).當(dāng)取奇數(shù)時(shí)，因?yàn)椴皇钦麛?shù)，所以數(shù)列的所有項(xiàng)都不在數(shù)列中.綜上所述：為正偶數(shù).（3）當(dāng)時(shí)，有①當(dāng)時(shí)，②又對(duì)任意，都有③所以即為的系數(shù)，可?、僦小ⅱ谥械?；或①中、②中的；或①中、②中的；或①中的、②中的；所以.【題目點(diǎn)撥】本題第（1）問考查對(duì)集合新定義的理解；第（2）問考查等比數(shù)列的控究性問題；第（3）問考查類比推理與計(jì)數(shù)原理相結(jié)合；對(duì)邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力要求較高，屬于難題.19、（1）；（2）．【解題分析】試題分析：（1）將極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程，再利用直線與圓的位置關(guān)系進(jìn)行求解；（2）利用三角換元法及三角恒等變換進(jìn)行求解．試題解析：（I）將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程為直線l的參數(shù)方程為將代入整理得直線l與曲線C有公共點(diǎn)，的取值范圍是（II）曲線C的方程可化為其參數(shù)方程為為曲線上任意一點(diǎn)，的取值范圍是．考點(diǎn)：1．極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程與普通方程的互化．20、（1）；（2）【解題分析】

(1)將圓心極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)，可得圓是以為圓心，半徑為2的圓，寫出標(biāo)準(zhǔn)方程，，再轉(zhuǎn)化成極坐標(biāo)方程即可（2）將代入可求得，再根據(jù)直線的參數(shù)方程進(jìn)行消參，得到普通方程，再將普通方程轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程，算出，可求得答案【題目詳解】解：（1）圓是以為圓心，半徑為2的圓.其方程是，即，可得其極坐標(biāo)方程為，即；（2）將代入得，直線的普通方程為，其極坐標(biāo)方程是，將代入得，故.【題目點(diǎn)撥】對(duì)于圓的普通方程和參數(shù)方程及極坐標(biāo)方程，應(yīng)熟練掌握，平時(shí)應(yīng)熟記四種極坐標(biāo)方程及對(duì)應(yīng)的普通方程：，做題時(shí)才能游刃有余，本題第二問巧妙地運(yùn)用了極徑來求解長(zhǎng)度問題，體現(xiàn)了極坐標(biāo)處理解析幾何問題的優(yōu)越性21、（1）見解析（2）（3）2.4(百萬元)【解題分析】

（1）根據(jù)所給的這一組數(shù)據(jù)，得到5個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，把這幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)在直角坐標(biāo)系中描出對(duì)于的點(diǎn)，即可得到散點(diǎn)圖，可判斷為正相關(guān)；（2）根據(jù)這組數(shù)據(jù)，利用最小二乘法求得的值，即可求解回歸直線的方程；（3）利用作出的回歸直線方程，把的值代入方程，估計(jì)出對(duì)應(yīng)的的值.【題目詳解】（1）根據(jù)所給的這一組數(shù)據(jù)，得到5個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)：，把這幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)在直角坐標(biāo)系中描出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，得到如下的散點(diǎn)圖：（2）設(shè)回歸直線的方程是：，由表格中的數(shù)據(jù)，可得，又由，即∴y對(duì)銷售額x的回歸直線方程為（3）當(dāng)銷售額為4(千萬元)時(shí)，利潤(rùn)額為：＝2.4(百萬元).【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了回歸直線方程的求解及其應(yīng)用，其中解答中正確求得線性回歸直線的方程的系數(shù)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.22、（1）（2）①平均值可估計(jì)為15元.②公司不應(yīng)將前臺(tái)工作人員裁員1人.【解題分析】分析：（1）利用古典概型概率公式可估計(jì)樣本中包裹件數(shù)在之間的概率為，服從二項(xiàng)分布，從而可得結(jié)果；（2）①整理所給數(shù)據(jù)，直接利用平均值公式求解即可；②若不裁員，求出公司每日利潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望，若裁員一人，求出公司每日利潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望，比較裁員前后公司每日利潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望即可得結(jié)果.詳解：（1）樣本中包裹件數(shù)在101~300之間的天數(shù)為36，頻率，故可估計(jì)概率為，顯然未來5天中，包裹件數(shù)在101~300之間的天數(shù)服從二項(xiàng)分布，即，故所求概率為（2）①樣本中快遞費(fèi)用及包裹件數(shù)如下表：包裹重量（單位：）12345快遞費(fèi)（單位：元）1015202530包裹件數(shù)43301584故樣本中每件快遞收取的費(fèi)用的平均值為，故該公司對(duì)每件快遞收取的費(fèi)用的平均值可估計(jì)為15元.②根據(jù)題意及（2）①，攬件數(shù)每增加1，公司快遞收入增加15（