2024屆安徽省黃山市“八校聯(lián)盟”數(shù)學(xué)高二下期末預(yù)測(cè)試題含解析

2024屆安徽省黃山市“八校聯(lián)盟”數(shù)學(xué)高二下期末預(yù)測(cè)試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．“已知函數(shù)，求證：與中至少有一個(gè)不少于.”用反證法證明這個(gè)命題時(shí)，下列假設(shè)正確的是（）A．假設(shè)且B．假設(shè)且C．假設(shè)與中至多有一個(gè)不小于D．假設(shè)與中至少有一個(gè)不大于2．已知復(fù)數(shù)滿足,則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在的象限是()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．“”是“方程表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．給出下列四個(gè)說法：①命題“都有”的否定是“使得”；②已知，命題“若，則”的逆命題是真命題；③是的必要不充分條件;④若為函數(shù)的零點(diǎn)，則，其中正確的個(gè)數(shù)為（）A． B． C． D．5．曲線的圖像（）A．關(guān)于軸對(duì)稱B．關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,但不關(guān)于直線對(duì)稱C．關(guān)于軸對(duì)稱D．關(guān)于直線對(duì)稱，關(guān)于直線對(duì)稱6．甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去向老師詢問數(shù)學(xué)考試的成績(jī)老師說：你們四人中有兩位優(yōu)秀、兩位良好，我現(xiàn)在給乙看甲、丙的成績(jī)，給甲看丙的成績(jī)，給丁看乙的成績(jī)，看后乙對(duì)大家說：我還是不知道我的成績(jī).根據(jù)以上信息，則（）A．甲可以知道四人的成績(jī) B．丁可以知道四人的成績(jī)C．甲、丁可以知道對(duì)方的成績(jī) D．甲、丁可以知道自己的成績(jī)7．現(xiàn)有4種不同品牌的小車各2輛(同一品牌的小車完全相同),計(jì)劃將其放在4個(gè)車庫中（每個(gè)車庫放2輛則恰有2個(gè)車庫放的是同一品牌的小車的不同放法共有（）A．144種 B．108種 C．72種 D．36種8．已知m∈R，若函數(shù)f(x)=1x+1-mx-m-3(-1<x?0)A．-94,-2 B．（-99．已知為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，過點(diǎn)作斜率為的直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，延長(zhǎng)、交拋物線于、兩點(diǎn)設(shè)直線的斜率為，則（）A．1 B．2 C．3 D．410．體育場(chǎng)南側(cè)有4個(gè)大門,北側(cè)有3個(gè)大門,某學(xué)生到該體育場(chǎng)練跑步,則他進(jìn)出門的方案有()A．12種 B．7種 C．24種 D．49種11．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為，若，則的形狀為A．正三角形 B．等腰三角形或直角三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形12．是（）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．用反證法證明命題“如果，那么”時(shí)，應(yīng)假設(shè)__________.14．已知定點(diǎn)和曲線上的動(dòng)點(diǎn)，則線段的中點(diǎn)的軌跡方程為________15．已知函數(shù)的值域?yàn)?，函?shù)的單調(diào)減區(qū)間為，則________.16．對(duì)于無理數(shù),用表示與最接近的整數(shù),如,.設(shè)，對(duì)于區(qū)間的無理數(shù),定義,我們知道,若,和,則有以下兩個(gè)恒等式成立：①；②,那么對(duì)于正整數(shù)和兩個(gè)無理數(shù),,以下兩個(gè)等式依然成立的序號(hào)是______；①；②.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）2018年6月19日凌晨某公司公布的年中促銷全天交易數(shù)據(jù)顯示，天貓年中促銷當(dāng)天全天下單金額為1592億元.為了了解網(wǎng)購者一次性購物情況，某統(tǒng)計(jì)部門隨機(jī)抽查了6月18日100名網(wǎng)購者的網(wǎng)購情況，得到如下數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表，已知網(wǎng)購金額在2000元以上(不含2000元)的頻率為0.4.網(wǎng)購金額(元)頻數(shù)頻率50.05150.15250.25300.3合計(jì)1001(Ⅰ)先求出的值，再將圖中所示的頻率分布直方圖繪制完整；(Ⅱ)對(duì)這100名網(wǎng)購者進(jìn)一步調(diào)查顯示：購物金額在2000元以上的購物者中網(wǎng)齡3年以上的有35人，購物金額在2000元以下(含2000元)的購物者中網(wǎng)齡不足3年的有20人，請(qǐng)?zhí)顚懴旅娴牧新?lián)表，并據(jù)此判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.025的前提下認(rèn)為網(wǎng)購金額超過2000元與網(wǎng)齡在3年以上有關(guān)？網(wǎng)齡3年以上網(wǎng)齡不足3年總計(jì)購物金額在2000元以上35購物金額在2000元以下20總計(jì)100參考數(shù)據(jù)：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.0763.8415.0246.6357.87910.828參考公式：其中.（Ⅲ）從這100名網(wǎng)購者中根據(jù)購物金額分層抽出20人給予返券獎(jiǎng)勵(lì)，為進(jìn)一步激發(fā)購物熱情，在和兩組所抽中的8人中再隨機(jī)抽取2人各獎(jiǎng)勵(lì)1000元現(xiàn)金，求組獲得現(xiàn)金獎(jiǎng)的數(shù)學(xué)期望.18．（12分）已知函數(shù)（1）設(shè)的最大值為，求的最小值；（2）在（1）的條件下，若，且，求的最大值.19．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，.（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）令，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.20．（12分）已知不等式的解集為．（1）求集合；（2）設(shè)實(shí)數(shù)，證明：．21．（12分）已知的展開式中第五項(xiàng)的系數(shù)與第三項(xiàng)的系數(shù)的比是．（Ⅰ）求展開式中各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和；（Ⅱ）求展開式中中間項(xiàng)．22．（10分）某手機(jī)代工廠對(duì)生產(chǎn)線進(jìn)行升級(jí)改造評(píng)估，隨機(jī)抽取了生產(chǎn)線改造前、后100個(gè)生產(chǎn)班次的產(chǎn)量進(jìn)行對(duì)比，改造前、后手機(jī)產(chǎn)量（單位：百部）的頻率分布直方圖如下：（1）記表示事件：“改造前手機(jī)產(chǎn)量低于5000部”，視頻率為概率，求事件的概率；（2）填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有的把握認(rèn)為手機(jī)產(chǎn)量與生產(chǎn)線升級(jí)改造有關(guān)：手機(jī)產(chǎn)量部手機(jī)產(chǎn)量部改造前改造后（3）根據(jù)手機(jī)產(chǎn)量的頻率分布直方圖，求改造后手機(jī)產(chǎn)量的中位數(shù)的估計(jì)值（精確到0.01）.參考公式：隨機(jī)變量的觀測(cè)值計(jì)算公式：，其中.臨界值表：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】分析：因?yàn)榕c中至少有一個(gè)不少于的否定是且，所以選B.詳解：因?yàn)榕c中至少有一個(gè)不少于的否定是且，故答案為：B.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查反證法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平.(2)兩個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)大于等于a的否定是兩個(gè)數(shù)都小于a.2、A【解題分析】

把已知變形等式，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案.【題目詳解】由，得，∴復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，在第一象限．故選：A．【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.3、B【解題分析】

解得方程表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的m的范圍即可解答.【題目詳解】表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線?,解得1<m<5,故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查雙曲線的方程，是基礎(chǔ)題，易錯(cuò)點(diǎn)是不注意4、C【解題分析】

對(duì)于①②③④分別依次判斷真假可得答案.【題目詳解】對(duì)于①，命題“都有”的否定是“使得”，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，命題“若，則”的逆命題為“若，則”正確；對(duì)于③，若則，若則或，因此是的充分不必要條件，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，若為函數(shù)，則，即，可令，則，故為增函數(shù)，令，顯然為減函數(shù)，所以方程至多一解，又因?yàn)闀r(shí)，所以，則④正確，故選C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查真假命題的判斷，難度中等.5、D【解題分析】

構(gòu)造二元函數(shù)，分別考慮與、、、、的關(guān)系，即可判斷出相應(yīng)的對(duì)稱情況.【題目詳解】A．，所以不關(guān)于軸對(duì)稱；B．，，所以關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，也關(guān)于直線對(duì)稱；C．，所以不關(guān)于軸對(duì)稱；D．，所以關(guān)于直線對(duì)稱，同時(shí)也關(guān)于直線對(duì)稱.故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查曲線與方程的綜合應(yīng)用，難度一般.若曲線關(guān)于軸對(duì)稱，則將曲線中的換成，此時(shí)曲線的方程不變；若曲線關(guān)于軸對(duì)稱，則將曲線中的換成，此時(shí)曲線的方程不變；若曲線關(guān)于對(duì)稱，則將曲線中的換成、換成，此時(shí)曲線的方程不變；若曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則將曲線中的換成、換成，此時(shí)曲線的方程不變.6、D【解題分析】

先由乙不知道自己成績(jī)出發(fā)得知甲、丙和乙、丁都是一優(yōu)秀、一良好，那么甲、丁也就結(jié)合自己看的結(jié)果知道自己成績(jī)了.【題目詳解】解：乙看后不知道自己成績(jī)，說明甲、丙必然是一優(yōu)秀、一良好，則乙、丁也必然是一優(yōu)秀、一良好；甲看了丙的成績(jī)，則甲可以知道自己和丙的成績(jī)；丁看了乙的成績(jī)，所以丁可以知道自己和乙的成績(jī)，故選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查了推理與證明，關(guān)鍵是找到推理的切入點(diǎn).7、C【解題分析】

根據(jù)題意，分3步進(jìn)行分析：①、在4種不同品牌的小車任取2個(gè)品牌的小車，②、將取出的2個(gè)品牌的小車任意的放進(jìn)2個(gè)車庫中，③、剩余的4輛車放進(jìn)剩下的2個(gè)車庫，相同品牌的不能放進(jìn)同一個(gè)車庫，分別分析每一步的情況數(shù)目，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．【題目詳解】解：根據(jù)題意，分3步進(jìn)行分析：①、在4種不同品牌的小車任取2個(gè)品牌的小車，有C42種取法，②、將取出的2個(gè)品牌的小車任意的放進(jìn)2個(gè)車庫中，有A42種情況，③、剩余的4輛車放進(jìn)剩下的2個(gè)車庫，相同品牌的不能放進(jìn)同一個(gè)車庫，有1種情況，則恰有2個(gè)車庫放的是同一品牌的小車的不同放法共有C42A42×1＝72種，故選：C．點(diǎn)睛：能用分步乘法計(jì)數(shù)原理解決的問題具有以下特點(diǎn)：(1)完成一件事需要經(jīng)過n個(gè)步驟，缺一不可．(2)完成每一步有若干種方法．(3)把各個(gè)步驟的方法數(shù)相乘，就可以得到完成這件事的所有方法數(shù)．8、B【解題分析】

通過參變分離、換元法，把函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化成直線y=m與拋物線的交點(diǎn)個(gè)數(shù).【題目詳解】∵-1<x≤0,∴0<x+1≤1，∵函數(shù)f(x)在-1<x≤0有兩個(gè)不同零點(diǎn)?方程m=(1x+1)2∴m=t2-3t在t≥1有且僅有兩個(gè)不同的根?y=m∴-【題目點(diǎn)撥】通過換元把復(fù)雜的分式函數(shù)轉(zhuǎn)化為熟知的二次函數(shù)，但要注意換元后新元的取值范圍.9、D【解題分析】

設(shè)，，聯(lián)立直線方程與拋物線方程可得，設(shè)，，則，，設(shè)AC，BD所在的直線方程可得，，由此可得的值．【題目詳解】設(shè)過點(diǎn)F作斜率為的直線方程為：，

聯(lián)立拋物線C：可得：，

設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為：，，

則，

設(shè)，，

則，同理，

設(shè)AC所在的直線方程為，

聯(lián)立，得，

，同理，，

則．

故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查斜率的計(jì)算，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．10、D【解題分析】第一步，他進(jìn)門，有7種選擇；第二步，他出門，有7種選擇．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得他進(jìn)出門的方案有7×7＝49(種)．11、C【解題分析】

根據(jù)題目分別為角A，B，C的對(duì)邊，且可知，利用邊化角的方法，將式子化為，利用三角形的性質(zhì)將化為，化簡(jiǎn)得，推出，從而得出的形狀為直角三角形．【題目詳解】由題意知，由正弦定理得又展開得，又角A，B，C是三角形的內(nèi)角又綜上所述，的形狀為直角三角形，故答案選C．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了解三角形的相關(guān)問題，主要根據(jù)正余弦定理，利用邊化角或角化邊，若轉(zhuǎn)化成角時(shí)，要注意的應(yīng)用．12、B【解題分析】

利用象限角的定義直接求解，即可得到答案．【題目詳解】由題意，，所以表示第二象限角，故選B．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了角所在象限的判斷，考查象限角的定義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查了推理能力與計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

由反證法的定義得應(yīng)假設(shè)：【題目詳解】由反證法的定義得應(yīng)假設(shè)：故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題主要考查反證法的證明過程，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.14、【解題分析】

通過中點(diǎn)坐標(biāo)公式，把點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)移到上，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入曲線方程，整理可得點(diǎn)的軌跡方程?！绢}目詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)是線段的中點(diǎn)，所以解得，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入曲線方程可得，整理得，所以點(diǎn)的軌跡方程為故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查中點(diǎn)坐標(biāo)公式，相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程的方法，屬于中檔題。15、【解題分析】

由的值域?yàn)?，，可得，由單調(diào)遞減區(qū)間為，，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可求．【題目詳解】由的值域?yàn)椋?，可得，，，，由單調(diào)遞減區(qū)間為，，可知及是的根，且，把代入可得，，解可得，或，當(dāng)時(shí)，可得，當(dāng)時(shí)，代入可得不符合題意，故，故答案為：．【題目點(diǎn)撥】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系的應(yīng)用，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論思想，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力．16、①，②..【解題分析】

根據(jù)新定義,結(jié)合組合數(shù)公式,進(jìn)行分類討論即可.【題目詳解】當(dāng)時(shí),由定義可知：,,當(dāng)時(shí),由定義可知：,,故①成立；當(dāng)時(shí),由定義可知：,,當(dāng)時(shí),由定義可知：,故②成立.故答案為：①，②.【題目點(diǎn)撥】本題考查了新定義題,考查了數(shù)學(xué)閱讀能力,考查了組合數(shù)的計(jì)算公式,考查了分類討論思想.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)見解析;(Ⅱ)在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.025的前提下認(rèn)為網(wǎng)購金額超過2000元與網(wǎng)齡在3年以上有關(guān)．（Ⅲ）1.【解題分析】

(Ⅰ)由題意可知2000元以上（不含2000元）的頻率為0.4，所以網(wǎng)購金額在(2500，3000]的頻率為0.4?0.3=0.1，由此再結(jié)合頻率分布直方圖與頻率分布表可分別求得的值。再由數(shù)據(jù)補(bǔ)全頻率分布直方圖。(Ⅱ)先補(bǔ)全2×2列聯(lián)表，由表中數(shù)據(jù)求得K2。（Ⅲ）在(2000，2500]組獲獎(jiǎng)人數(shù)X為0，1，2，求得概率及期望?！绢}目詳解】（Ⅰ）因?yàn)榫W(wǎng)購金額在2000元以上（不含2000元）的頻率為0.4，所以網(wǎng)購金額在(2500，3000]的頻率為0.4?0.3=0.1，即q=0.1，且y=100×0.1=10，從而x=15，p=0.15，相應(yīng)的頻率分布直方圖如圖2所示．（Ⅱ）相應(yīng)的2×2列聯(lián)表為：由公式K2=，因?yàn)?.56>5.024，所以據(jù)此列聯(lián)表判斷，在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.025的前提下認(rèn)為網(wǎng)購金額超過2000元與網(wǎng)齡在3年以上有關(guān)．（Ⅲ）在(2000，2500]和(2500，3000]兩組所抽出的8人中再抽取2人各獎(jiǎng)勵(lì)1000元現(xiàn)金，則(2000，2500]組獲獎(jiǎng)人數(shù)X為0，1，2，且，故(2000，2500]組獲得現(xiàn)金獎(jiǎng)的數(shù)學(xué)期望+1000+2000=1．【題目點(diǎn)撥】本題綜合考查頻數(shù)分布表、頻率分布直方圖、補(bǔ)全2×2列聯(lián)表、卡方計(jì)算及應(yīng)用、隨機(jī)變量分布列及期望，需要對(duì)概念公式熟練運(yùn)用，同時(shí)考查學(xué)生的運(yùn)算能力。18、(1)(2)2【解題分析】

運(yùn)用不等式性質(zhì)求出最小值根據(jù)不等式求最大值【題目詳解】（1）∵，∴（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”號(hào)）∴（2）∵（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”號(hào)），（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”號(hào)），（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”號(hào)），∴（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”號(hào)）∴（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”號(hào)）∴的最大值為2.【題目點(diǎn)撥】本題考查了根據(jù)絕對(duì)值的應(yīng)用求出不等式的解集，運(yùn)用不等式性質(zhì)求解是本題關(guān)鍵，注意題目中的轉(zhuǎn)化。19、(1).(2)證明見解析.【解題分析】試題分析：（I）當(dāng)時(shí)，，整理得，當(dāng)n=1時(shí)，有.數(shù)列是以為公比，以為首項(xiàng)的等比數(shù)列．即可求數(shù)列的通項(xiàng)公式．（II）由（I）有，則,用裂項(xiàng)相消法可求其前n項(xiàng)和.試題解析：（I）當(dāng)時(shí)，有，解得.當(dāng)時(shí)，有，則整理得：數(shù)列是以為公比，以為首項(xiàng)的等比數(shù)列．即數(shù)列的通項(xiàng)公式為：．（II）由（I）有，則故得證.20、（1）；（2）證明見解析.【解題分析】

（1）對(duì)分、、三種情況討論，去絕對(duì)值，分別解出不等式，可得出不等式的解集；（2）證法一：由題意得出，，將不等式兩邊作差得出，由此可得出所證不等式成立；證法二：利用分析法得出所證不等式等價(jià)于，由題意得出，，判斷出的符號(hào)，可得出所證不等式成立.【題目詳解】（1）當(dāng)時(shí)，不等式化為：，解得；當(dāng)時(shí)，不等式化為：，解得；當(dāng)時(shí)，不等式化為：，解得.綜上可知，；（2）證法一：因?yàn)?，，所以?而，所以；證法二：要證，只需證：，只需證：，因?yàn)?，，所以?所以成立，所以成立.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用分類討論法解絕對(duì)值不等式，以及利用分析法和比較法證明不等式，證明時(shí)可結(jié)合不等式的結(jié)構(gòu)合理選擇證明方法，考查分類討論思想和邏輯推理能