新疆昌吉市2024屆高二數(shù)學第二學期期末調(diào)研試題含解析

新疆昌吉市2024屆高二數(shù)學第二學期期末調(diào)研試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．一盒中裝有5張彩票，其中2張有獎，3張無獎，現(xiàn)從此盒中不放回地抽取2次，每次抽取一張彩票．設第1次抽出的彩票有獎的事件為A，第2次抽出的彩票有獎的事件為B，則()A． B． C． D．2．二項式的展開式中，常數(shù)項為（）A．64 B．30 C．15 D．163．若數(shù)列滿足（，為常數(shù)），則稱數(shù)列為調(diào)和數(shù)列.已知數(shù)列為調(diào)和數(shù)列，且，則（）A．10 B．20 C．30 D．404．A．30 B．24 C．20 D．155．三棱錐的棱長全相等，是中點，則直線與直線所成角的正弦值為（）A． B． C． D．6．在區(qū)間上隨機取一個數(shù)，使直線與圓相交的概率為（）A． B． C． D．7．如圖所示陰影部分是由函數(shù)、、和圍成的封閉圖形，則其面積是（）A． B． C． D．8．已知矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，F(xiàn)為線段CD上一動點（不含端點），現(xiàn)將△ADF沿直線AF進行翻折，在翻折過程中不可能成立的是（）A．存在某個位置，使直線AF與BD垂直 B．存在某個位置，使直線AD與BF垂直C．存在某個位置，使直線CF與DA垂直 D．存在某個位置，使直線AB與DF垂直9．定義運算＝ad－bc，若復數(shù)z滿足＝－2，則（）A．1－i B．1＋i C．－1＋i D．－1－i10．用數(shù)字0,1,2,3,4組成沒有重復數(shù)字且大于3000的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)有（）A．250個 B．249個 C．48個 D．24個11．已知正方體的棱長為2，P是底面上的動點,，則滿足條件的點P構(gòu)成的圖形的面積等于（）A． B． C． D．12．用反證法證明命題：若整系數(shù)一元二次方程有有理數(shù)根，那么、、中至少有一個是偶數(shù)時，下列假設中正確的是（）A．假設、、都是偶數(shù) B．假設、、都不是偶數(shù)C．假設、、至多有一個偶數(shù) D．假設、、至多有兩個偶數(shù)二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知X的分布列如圖所示，則X-101P0.20.3a（1），（2），（3），其中正確的個數(shù)為________.14．已知向量.若與共線，則在方向上的投影為______________.15．已知函數(shù)，若，則________16．已知復數(shù)的共軛復數(shù)是，且，則的虛部是__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）（衡水金卷2018年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試模擬試卷）如圖，在三棱柱中，側(cè)棱底面，且，是棱的中點，點在側(cè)棱上運動.（1）當是棱的中點時，求證：平面；（2）當直線與平面所成的角的正切值為時，求二面角的余弦值.18．（12分）已知函數(shù)（且），.（1）函數(shù)的圖象恒過定點，求點坐標；（2）若函數(shù)的圖象過點，證明：方程在上有唯一解.19．（12分）設為虛數(shù)單位，為正整數(shù)，（1）證明：；（2），利用（1）的結(jié)論計算．20．（12分）為回饋顧客，新華都購物商場擬通過摸球兌獎的方式對500位顧客進行獎勵，規(guī)定：每位顧客從一個裝有4個標有面值的球的袋中一次性隨機摸出2個球（球的大小、形狀一模一樣），球上所標的面值之和為該顧客所獲的獎勵額.（1）若袋中所裝的4個球中有1個所標的面值為40元，其余3個所標的面值均為20元，求顧客所獲的獎勵額的分布列及數(shù)學期望；（2）商場對獎勵總額的預算是30000元，并規(guī)定袋中的4個球由標有面值為20元和40元的兩種球共同組成，或標有面值為15元和45元的兩種球共同組成．為了使顧客得到的獎勵總額盡可能符合商場的預算且每位顧客所獲的獎勵額相對均衡．請對袋中的4個球的面值給出一個合適的設計，并說明理由．提示：袋中的4個球由標有面值為a元和b元的兩種球共同組成，即袋中的4個球所標的面值“既有a元又有b元”．21．（12分）某醫(yī)藥開發(fā)公司實驗室有瓶溶液，其中瓶中有細菌，現(xiàn)需要把含有細菌的溶液檢驗出來，有如下兩種方案：方案一：逐瓶檢驗，則需檢驗次；方案二：混合檢驗，將瓶溶液分別取樣，混合在一起檢驗，若檢驗結(jié)果不含有細菌，則瓶溶液全部不含有細菌；若檢驗結(jié)果含有細菌，就要對這瓶溶液再逐瓶檢驗，此時檢驗次數(shù)總共為.(1)假設，采用方案一，求恰好檢驗3次就能確定哪兩瓶溶液含有細菌的概率；(2)現(xiàn)對瓶溶液進行檢驗，已知每瓶溶液含有細菌的概率均為.若采用方案一.需檢驗的總次數(shù)為,若采用方案二.需檢驗的總次數(shù)為.(i)若與的期望相等.試求關于的函數(shù)解析式;(ii)若,且采用方案二總次數(shù)的期望小于采用方案一總次數(shù)的期望.求的最大值.參考數(shù)據(jù)：22．（10分）2016年10月16日，在印度果阿出席金磚國家領導人第八次會議時，發(fā)表了題為《堅定信心，共謀發(fā)展》的重要講話，引起世界各國的關注，為了了解關注程度，某機構(gòu)選取“70后”和“80后”兩個年齡段作為調(diào)查對象，進行了問卷調(diào)查，共調(diào)查了120名“80后”，80名“70后”，其中調(diào)查的“80后”有40名不關注，其余的全部關注；調(diào)查的“70”后有10人不關注，其余的全部關注.（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成下列2×2列聯(lián)表：關注不關注合計“80后”“70后”合計（2）根據(jù)2×2列聯(lián)表，能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下，認為“關注與年齡段有關”？請說明理由。參考公式：K2=（n=a+b+c+d）附表：P（K2≥k0）0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】

由題意，第1次抽出的彩票有獎，剩下4張彩票，其中1張有獎，3張無獎，即可求出．【題目詳解】由題意，第1次抽出的彩票有獎，剩下4張彩票，其中1張有獎，3張無獎，所以．故選：D．【題目點撥】本題考查條件概率，考查學生的計算能力，比較基礎．2、C【解題分析】

求出二項展開式的通項公式，由此求得常數(shù)項.【題目詳解】依題意，二項式展開式的通項公式為，當，故常數(shù)項為，故選C.【題目點撥】本小題主要考查二項式展開式的通項公式，屬于基礎題.3、B【解題分析】分析：由題意可知數(shù)列是等差數(shù)列，由等差數(shù)列的性質(zhì)得，得詳解：數(shù)列為調(diào)和數(shù)列為等差數(shù)列，由等差數(shù)列的求和公式得，由等差數(shù)列的性質(zhì)故選B點睛：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應用，解題時要認真審題，通過合理的轉(zhuǎn)化建立起已知條件和考點之間的聯(lián)系是解題關鍵.4、A【解題分析】

根據(jù)公式：計算即可.【題目詳解】因為，故選：A.【題目點撥】本題考查排列數(shù)的計算，難度較易.5、C【解題分析】分析：取中點，連接，由三角形中位線定理可得，直線與所成的角即為直線與直線所成角，利用余弦定理及平方關系可得結(jié)果.詳解：如圖，取中點，連接，分別為的中點，則為三角形的中位線，，直線與所成的角即為直線與直線所成角，三棱錐的棱長全相等，設棱長為，則，在等邊三角形中，為的中點，為邊上的高，，同理可得，在三角形中，，，直線與直線所成角的正弦值為，故選C.點睛：本題主要考查異面直線所成的角，屬于中檔題題.求異面直線所成的角的角先要利用三角形中位線定理以及平行四邊形找到，異面直線所成的角，然后利用直角三角形的性質(zhì)及余弦定理求解，如果利用余弦定理求余弦，因為異面直線所成的角是直角或銳角，所以最后結(jié)果一定要取絕對值.6、C【解題分析】

先求出直線和圓相交時的取值范圍，然后根據(jù)線型的幾何概型概率公式求解即可．【題目詳解】由題意得，圓的圓心為，半徑為，直線方程即為，所以圓心到直線的距離，又直線與圓相交，所以，解得．所以在區(qū)間上隨機取一個數(shù)，使直線與圓相交的概率為．故選C．【題目點撥】本題以直線和圓的位置關系為載體考查幾何概型，解題的關鍵是由直線和圓相交求出參數(shù)的取值范圍，然后根據(jù)公式求解，考查轉(zhuǎn)化和計算能力，屬于基礎題．7、B【解題分析】

根據(jù)定積分的幾何意義得到陰影部分的面積?！绢}目詳解】由定積分的幾何意義可知：陰影部分面積故選B.【題目點撥】本題考查定積分的幾何意義和積分運算，屬于基礎題．8、C【解題分析】

連結(jié)BD，在中，可以作于O，并延長交CD于F，得到成立，得到A正確；由翻折中，保持不變，可得到B正確；根據(jù)翻折過程中，，可得到C錯誤；根據(jù)翻折過程中，保持不變，假設成立，得到平面ABD，結(jié)合題中條件，進而可得出結(jié)果.【題目詳解】對于A，連結(jié)BD，在中，可以作于O，并延長交CD于F，則成立，翻折過程中，這個垂直關系保持不變，故A正確；對于B，在翻折過程中，保持不變，當時，有平面，從而，此時，AD＝1，AB＝2，BD＝，故B正確；對于C，在翻折過程中，保持不變，若成立，則平面CDF，從而，AD＝1，AC＝，得CD＝2，在翻折過程中，，即CD＜2，所以，CD＝2不成立，C不正確；對于D，在翻折過程中，保持不變，若成立，則平面ABD，從而，設此時，則BF＝，BD＝，只要，BD就存在，所以D正確選C．【題目點撥】本題主要考查空間中直線與直線的位置關系，熟記線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理即可，屬于常考題型.9、D【解題分析】分析：直接利用新定義，化簡求解即可.詳解：由＝ad－bc，則滿足＝－2，可得：，，則.故選D.點睛：本題考查新定義的應用，復數(shù)的除法運算法則的應用，以及共軛復數(shù)，考查計算能力.10、C【解題分析】先考慮四位數(shù)的首位，當排數(shù)字4,3時，其它三個數(shù)位上課從剩余的4個數(shù)任選4個全排，得到的四位數(shù)都滿足題設條件，因此依據(jù)分類計數(shù)原理可得滿足題設條件的四位數(shù)共有個，應選答案C。11、A【解題分析】

P是底面上的動點，因此只要在底面上討論即可，以為軸建立平面直角坐標系，設，根據(jù)已知列出滿足的關系．【題目詳解】如圖，以為軸在平面內(nèi)建立平面直角坐標系，設，由得，整理得，設直線與正方形的邊交于點，則點在內(nèi)部（含邊界），易知，，∴，．故選A．【題目點撥】本題考查空間兩點間的距離問題，解題關鍵是在底面上建立平面直角坐標系，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題去解決．12、B【解題分析】分析：本題考查反證法的概念，邏輯用語，否命題與命題的否定的概念，邏輯詞語的否定．根據(jù)反證法的步驟，假設是對原命題結(jié)論的否定，故只須對“b、c中至少有一個偶數(shù)”寫出否定即可．解答：解：根據(jù)反證法的步驟，假設是對原命題結(jié)論的否定“至少有一個”的否定“都不是”．即假設正確的是：假設a、b、c都不是偶數(shù)故選B．點評：一些正面詞語的否定：“是”的否定：“不是”；“能”的否定：“不能”；“都是”的否定：“不都是”；“至多有一個”的否定：“至少有兩個”；“至少有一個”的否定：“一個也沒有”；“是至多有n個”的否定：“至少有n+1個”；“任意的”的否定：“某個”；“任意兩個”的否定：“某兩個”；“所有的”的否定：“某些”．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解題分析】

由分布列先求出，再利用公式計算和即可.【題目詳解】解：由題意知：，即；綜上，故（1）正確，（2）（3）錯誤，正確的個數(shù)是1.故答案為：1.【題目點撥】本題考查了離散型隨機變量的期望和方差，屬于基礎題.14、【解題分析】

先根據(jù)與共線求出的值，再利用向量的投影公式求在方向上的投影.【題目詳解】∵∴.又∵與共線，∴，∴，∴，∴在方向上的投影為.故答案為：【題目點撥】本題主要考查向量共線的坐標表示和向量的投影的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題.15、【解題分析】

考慮的奇偶性，利用奇偶性解決問題.【題目詳解】令，則有，且定義域為，關于原點對稱，所以是奇函數(shù)，則，即，所以.【題目點撥】本題考查類奇偶函數(shù)的運用，難度較易.關鍵是先構(gòu)造出奇偶函數(shù)，然后利用新函數(shù)的值去分析結(jié)果.16、【解題分析】

設復數(shù)，代入等式得到答案.【題目詳解】設復數(shù)故答案為【題目點撥】本題考查了復數(shù)的化簡，共軛復數(shù)，復數(shù)的模，意在考查學生的計算能力和對復數(shù)知識的靈活運用.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）.【解題分析】試題分析：（1）取線段的中點，連結(jié)．可得四邊形是平行四邊形，，即可證明平面；（2）以為原點，，，所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，利用向量法二面角的余弦值.試題解析：(1)取線段的中點，連結(jié).∵,∴，且.又為的中點，∴,且.∴,且.∴四邊形是平行四邊形.∴.又平面平面,∴平面.(2)∵兩兩垂直，∴以為原點，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，如圖,∵三棱柱中，平面，∴即為直線與平面所成的角.設，則由，得.∴.∴,設平面的一個法向量為，則令，得，即.又平面的一個法向量為,∴,又二面角的平面角為鈍角，∴二面角的余弦值為.18、(1)；(2)證明見解析.【解題分析】試題分析：(1)結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)的圖象恒過定點；(2)由題意結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的值域即可證得題中的結(jié)論.試題解析：（1）解：∵當時，，說明的圖象恒過點.（2）證明：∵過，∴，∴，∵分別為上的增函數(shù)和減函數(shù)，∴為上的增函數(shù)，∴在上至多有一個零點，又，∴在上至多有一個零點，而，，∴在上有唯一解.19、(1)證明見解析.(2).【解題分析】分析：（1）利用數(shù)學歸納法先證明，先證明當時成立，假設當時，命題成立，只需證明當時，命題也成立，證明過程注意三角函數(shù)和差公式的應用；（2）由（1）結(jié)論得，結(jié)合誘導公式與特殊角的三角函數(shù)可得結(jié)果.詳解：（1）1°當時，左邊，右邊，所以命題成立2°假設當時，命題成立，即，則當時，所以，當時，命題也成立綜上所述，（為正整數(shù)）成立（2）由（1）結(jié)論得點睛：本題主要考查復數(shù)的運算、誘導公式、特殊角的三角函數(shù)、歸納推理的應用以及數(shù)學歸納法證明，屬于中檔題.利用數(shù)學歸納法證明結(jié)論的步驟是:(1)驗證時結(jié)論成立；（2）假設時結(jié)論正確，證明時結(jié)論正確（證明過程一定要用假設結(jié)論）；（3）得出結(jié)論.20、（1）分布列見解析；期望為50；（2）應該選擇面值設計方案“”，即標有面值元和面值元的球各兩個【解題分析】

（1）設顧客獲得的獎勵額為，隨機變量的可能取值為,分別求出對應概率，列出分布列并求出期望即可；（2）分析可知期望為60元，討論兩種方案：若選擇“”的面值設計，只有“”的面值組合符合期望為60元，求出方差；當球標有的面值為元和元時，面值設計是“”符合期望為60元，求出方差，比較兩種情況的方差，即可得出結(jié)論.【題目詳解】解：（1）設顧客獲得的獎勵額為，隨機變量的可能取值為.，，所以的分布列如下：所以顧客所獲的獎勵額的期望為（2）根據(jù)商場的預算，每個顧客的平均獎勵額為元.所以可先尋找使期望為60元的可能方案：當球標有的面值為元和元時，若選擇“”的面值設計，因為元是面值之和的最大值，所以期望不可能為；若選擇“”的面值設計，因為元是面值之和的最小值，所以期望不可能為.因此可能的面值設計是選擇“”，設此方案中顧客所獲得獎勵額為，則的可能取值為..的分布列如下：所以的期望為的方差為當球標有的面值為元和元時，同理可排除“”、“”的面值