2024屆山大附屬中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末綜合測試模擬試題含解析

2024屆山大附屬中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末綜合測試模擬試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．4名男歌手和2名女歌手聯(lián)合舉行一場音樂會，出場順序要求兩名女歌手之間恰有一名男歌手，共有出場方案的種數(shù)是（）A． B． C． D．2．函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，其圖象如圖所示，記的導(dǎo)函數(shù)為，則不等式的解集為（）A． B．C． D．3．在三棱錐P-ABC中，，，，若過AB的平面將三棱錐P-ABC分為體積相等的兩部分，則棱PA與平面所成角的正弦值為（）A． B． C． D．4．已知函數(shù)，若的兩個極值點(diǎn)的等差中項在區(qū)間上，則整數(shù)（）A．1或2 B．2 C．1 D．0或15．已知函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，且對任意有，則使得成立的的取值范圍是（）A． B． C． D．6．利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的過程，由到時，左邊增加了（）A．1項 B．項 C．項 D．項7．“”是“”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．非充分非必要條件8．已知命題p：“?x∈[1,e]，a>lnx”，命題q：“?x∈R，x2-4x+a=0””若“A．(1,4] B．(0,1] C．[-1,1] D．(4,+∞)9．設(shè)函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)a的值為（）A． B． C．或 D．10．已知，都是實(shí)數(shù)，那么“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件11．下列說法正確的是()A．“f(0)”是“函數(shù)

f（x）是奇函數(shù)”的充要條件B．若

p：，，則：，C．“若，則”的否命題是“若，則”D．若為假命題，則p，q均為假命題12．已知，則（）A．18 B．24 C．36 D．56二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若實(shí)數(shù)，滿足線性約束條件，則的最大值為_____________；14．已知隨機(jī)變量，且，則______.15．復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位）的虛部是______．16．若直線l經(jīng)過點(diǎn)，且一個法向量為，則直線l的方程是________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)函數(shù).(1)求不等式的解集；(2)若存在使不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍18．（12分）已知函數(shù)，分別在下列條件下，求函數(shù)圖象經(jīng)過第二、三、四象限的概率.（1）設(shè)且；（2）實(shí)數(shù)滿足條件19．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求函數(shù)在上的最大值；（2）令，若在區(qū)間上為單調(diào)遞增函數(shù)，求的取值范圍；（3）當(dāng)時，函數(shù)的圖象與軸交于兩點(diǎn)，且，又是的導(dǎo)函數(shù).若正常數(shù)滿足條件.證明：.20．（12分）已知函數(shù)．（1）若函數(shù)在處取得極值，求的值和函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若關(guān)于的不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．21．（12分）已知復(fù)數(shù)（a，），（c，）.（1）當(dāng)，，，時，求，，；（2）根據(jù)（1）的計算結(jié)果猜想與的關(guān)系，并證明該關(guān)系的一般性22．（10分）如圖，在以為頂點(diǎn)的多面體中，平面，，.（1）請在圖中作出平面，使得且，并說明理由；（2）證明：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】

利用捆綁法：先從4名男歌手中選一名放在兩名女歌手之間，并把他們捆綁在一起看作一個元素和剩余的3名男歌手進(jìn)行全排列，利用排列組合的知識和分步計數(shù)原理求解即可.【題目詳解】根據(jù)題意，分兩步進(jìn)行：先從4名男歌手中選一名放在兩名女歌手之間，同時對兩名女歌手進(jìn)行全排列有種選擇；再把他們捆綁在一起看作一個元素和剩余的3名男歌手進(jìn)行全排列有種選擇，由分步計數(shù)原理可得，共有出場方案的種數(shù)為.故選：D【題目點(diǎn)撥】本題考查利用捆綁法和分步乘法計數(shù)原理，結(jié)合排列數(shù)公式求解排列組合問題；考查運(yùn)算求解能力和邏輯推理能力；分清排列和組合和兩個計數(shù)原理是求解本題的關(guān)鍵；屬于中檔題、常考題型.2、A【解題分析】

根據(jù)導(dǎo)數(shù)大于0時函數(shù)單調(diào)遞增，導(dǎo)數(shù)小于0時原函數(shù)單調(diào)遞減，確定函數(shù)的單調(diào)性【題目詳解】解：由圖象可知，即求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，從而有解集為，故選：．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是識圖，屬于基礎(chǔ)題．3、A【解題分析】

由題構(gòu)建圖像，由，想到取PC中點(diǎn)構(gòu)建平面ABD，易證得平面ABD，所以PA與平面所成角即為，利用正弦函數(shù)定義，得答案.【題目詳解】如圖所示，取PC中點(diǎn)為D連接AD，BD，因?yàn)檫^AB的平面將三棱錐P-ABC分為體積相等的兩部分，所以即為平面ABD；又因?yàn)椋?，又，所以，且，所以平面ABD，所以PA與平面所成角即為，因?yàn)椋?，所以．故選：A【題目點(diǎn)撥】本題考查立體幾何中求線面角，應(yīng)優(yōu)先作圖，找到或證明到線面垂直，即可表示線面角，屬于較難題.4、B【解題分析】

根據(jù)極值點(diǎn)個數(shù)、極值點(diǎn)與導(dǎo)函數(shù)之間的關(guān)系可確定的取值范圍，結(jié)合為整數(shù)可求得結(jié)果.【題目詳解】由題意得：.有兩個極值點(diǎn)，，解得：或.方程的兩根即為的兩個極值點(diǎn)，，綜上可得：，又是整數(shù)，.故選：.【題目點(diǎn)撥】本題考查極值與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，關(guān)鍵是明確極值點(diǎn)是導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，從而利用根與系數(shù)關(guān)系構(gòu)造方程.5、A【解題分析】∵函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，∴函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，∴函數(shù)為偶函數(shù)．又對任意有，∴函數(shù)在上為增函數(shù)．又，∴，解得.∴的取值范圍是.選A．6、D【解題分析】

分別計算和時不等式左邊的項數(shù)，相減得到答案.【題目詳解】時，不等式左邊：共有時，：共有增加了故答案選D【題目點(diǎn)撥】本題考查了數(shù)學(xué)歸納法的項數(shù)問題，屬于基礎(chǔ)題型.7、A【解題分析】

畫出曲線和的圖像，根據(jù)圖像觀察即可得結(jié)果.【題目詳解】在平面直角坐標(biāo)系中畫出曲線和的圖像，如圖：表示的點(diǎn)是圖中圓上及圓內(nèi)部的點(diǎn)，表示的點(diǎn)是圖中正方形上及正方形內(nèi)部的點(diǎn)，所以“”是“”的充分非必要條件，故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題考查充分性和必要性的判斷，找出集合包含關(guān)系是快速判斷的重點(diǎn)，可以數(shù)形結(jié)合畫出曲線圖像，通過圖像觀察包含關(guān)系，本題是中檔題.8、A【解題分析】

通過判斷命題p和q的真假，從而求得參數(shù)的取值范圍.【題目詳解】解：若命題p：“?∈[1,e]，a>ln則a>ln若命題q：“?x∈R，x2則Δ=16-4a≥0，解得a≤4，若命題“p∧q”為真命題，則p，q都是真命題，則a>1a≤4解得：1<a≤4．故實(shí)數(shù)a的取值范圍為(1,4]．故選A．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查復(fù)合命題與簡單命題之間的關(guān)系，利用條件先求出命題p，q的等價條件是解決本題的關(guān)鍵．9、B【解題分析】分析：根據(jù)分段函數(shù)分成兩個方程組求解，最后求兩者并集.詳解：因?yàn)?，所以所以選B.點(diǎn)睛：求某條件下自變量的值，先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后求出相應(yīng)自變量的值，切記代入檢驗(yàn)，看所求的自變量的值是否滿足相應(yīng)段自變量的取值范圍.10、D【解題分析】；，與沒有包含關(guān)系，故為“既不充分也不必要條件”.11、C【解題分析】

根據(jù)四種命題之間的關(guān)系，對選項中的命題分析、判斷即可．【題目詳解】對于A，f（0）＝0時，函數(shù)f（x）不一定是奇函數(shù)，如f（x）＝x2，x∈R；函數(shù)f（x）是奇函數(shù)時，f（0）不一定等于零，如f（x），x≠0；是即不充分也不必要條件，A錯誤；對于B，命題p：，則￢p：?x∈，x2﹣x﹣1≤0，∴B錯誤；對于C，若α，則sinα的否命題是“若α，則sinα”，∴Ｃ正確．對于D，若p∧q為假命題，則p，q至少有一假命題，∴Ｄ錯誤；故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查了命題真假的判斷問題，涉及到奇函數(shù)的性質(zhì)，特稱命題的否定，原命題的否命題，復(fù)合命題與簡單命題的關(guān)系等知識，是基礎(chǔ)題．12、B【解題分析】，故，.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、8【解題分析】分析：先作可行域，再根據(jù)目標(biāo)函數(shù)所表示直線，平移可得最大值取法.詳解：作可行域，則直線過點(diǎn)A（2，1）時取最大值8.點(diǎn)睛：線性規(guī)劃的實(shí)質(zhì)是把代數(shù)問題幾何化，即數(shù)形結(jié)合的思想.需要注意的是：一，準(zhǔn)確無誤地作出可行域；二，畫目標(biāo)函數(shù)所對應(yīng)的直線時，要注意與約束條件中的直線的斜率進(jìn)行比較，避免出錯；三，一般情況下，目標(biāo)函數(shù)的最大或最小值會在可行域的端點(diǎn)或邊界上取得.14、0.9【解題分析】

根據(jù)正態(tài)分布性質(zhì)計算概率．【題目詳解】由正態(tài)分布密度曲線知，又，所以，所以.【題目點(diǎn)撥】本題考查正態(tài)分布的性質(zhì)，由正態(tài)分布曲線的對稱性得若，則，．15、【解題分析】

分子和分母同時乘以分母的共軛復(fù)數(shù),化簡復(fù)數(shù),即可求得虛部.【題目詳解】復(fù)數(shù)的虛部是:.故答案為:.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算,以及復(fù)數(shù)的基本概念的應(yīng)用,其中解答中熟練應(yīng)用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則化簡是解答的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.16、【解題分析】

根據(jù)法向量得直線斜率，再根據(jù)點(diǎn)斜式得直線方程【題目詳解】因?yàn)橹本€一個法向量為，所以直線l的斜率為，因此直線l的方程是故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查直線方程，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解題分析】

本題需要分類討論，對去絕對值的兩種情況分類討論。可以先令，在對進(jìn)行分類討論求出最小值，最后得出的取值范圍?！绢}目詳解】(1)由得，∴∴不等式的解集為(2)令則，∴∵存在x使不等式成立，∴【題目點(diǎn)撥】在遇到含有絕對值的不等式的時候，一定要根據(jù)函數(shù)解析式去絕對值的幾種情況進(jìn)行分類討論。18、（1）；（2）【解題分析】

（1）分別求出從中任取兩個不同的數(shù)所構(gòu)成的直線條數(shù)及滿足圖象經(jīng)過第二、三、四象限的直線條數(shù)，由古典概型概率公式求解；（2）由題意畫出圖形，再由測度比是面積比得答案．【題目詳解】（1）從中任取兩個不同的數(shù)，所構(gòu)成直線的條數(shù)為條，滿足圖象經(jīng)過第二、三、四象限的直線有與兩條，所求概率；（2）滿足約束條件的區(qū)域的面積為，若函數(shù)的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，則，所占區(qū)域面積為．所求概率為．【題目點(diǎn)撥】本題考查古典概型與幾何概型的概率計算，考查數(shù)形結(jié)合思想和數(shù)據(jù)處理能力．19、(1)-1；(2)；(3)參考解析【解題分析】試題分析：（1），可知在[,1]是增函數(shù)，在[1,2]是減函數(shù)，所以最大值為f(1).(2)在區(qū)間上為單調(diào)遞增函數(shù),即在上恒成立．，利用分離參數(shù)在上恒成立，即求的最大值．（3）有兩個實(shí)根，，兩式相減，又，．要證：，只需證：，令可證．試題解析：（1）函數(shù)在[,1]是增函數(shù)，在[1,2]是減函數(shù)，所以．（2）因?yàn)椋?，因?yàn)樵趨^(qū)間單調(diào)遞增函數(shù)，所以在（0，3）恒成立，有=，（）綜上：（3）∵，又有兩個實(shí)根，∴，兩式相減，得，∴,于是．要證：，只需證：只需證：．(*)令，∴(*)化為，只證即可．在（0，1）上單調(diào)遞增，，即．∴．（其他解法根據(jù)情況酌情給分）20、(1)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是;(2).【解題分析】試題分析：（1）由，解得令得減區(qū)間，得增區(qū)間;(2)關(guān)于的不等式在上恒成立，等價于函數(shù)的最小值大于等于零..試題解析：（Ⅰ）由題意知，，且，解得.此時，令，解得或，令，解得，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是（Ⅱ），當(dāng)時，在上恒成立，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴當(dāng)時，；當(dāng)時，令，解得，令，解得，則函數(shù)在區(qū)間（）上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，即，解得；綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.21、（1），，（2）猜想，見解析【解題分析】

（1）由復(fù)數(shù)模的定義計算模，對，可先求出，再計算模；（2）由（1）猜測，用復(fù)數(shù)的一般形式進(jìn)行證明即可．【題目詳解】（1）由題知，，所以所以（2）猜想證明：因?yàn)?，，所以因?yàn)椋?，所以猜想成?【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)的簡單運(yùn)算和合情推理，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，導(dǎo)向?qū)Πl(fā)展數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)的關(guān)注.22、（1）見解析；（2）見解析【解題分析】

（1）取中點(diǎn)，連接，則平面即為所求平面，