等差數(shù)列的運(yùn)算和性質(zhì)專題

等差數(shù)列的運(yùn)算和性質(zhì)專題復(fù)習(xí)【方法總結(jié)1】(1)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，共涉及五個(gè)量a1，an，d，n，Sn，知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè)，體現(xiàn)了用方程的思想解決問(wèn)題．(2)數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式在解題中起到變量代換作用，而a1和d是等差數(shù)列的兩個(gè)基本量，用它們表示已知和未知是常用方法．【方法總結(jié)2】1.一般地，運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)，可以化繁為簡(jiǎn)、優(yōu)化解題過(guò)程．但要注意性質(zhì)運(yùn)用的條件，如m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)，需要當(dāng)序號(hào)之和相等、項(xiàng)數(shù)相同時(shí)才成立．2.將性質(zhì)與前n項(xiàng)和公式結(jié)合在一起，采用整體思想，簡(jiǎn)化解題過(guò)程．3.等差數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項(xiàng)公式的推廣：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．(2)若{an}為等差數(shù)列，且m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．(3)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差為md(4)數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m(5)S2n－1＝(2n－1)an.(6)若n為偶數(shù)，則S偶－S奇＝eq\f(nd,2)；若n為奇數(shù)，則S奇－S偶＝a中(中間項(xiàng))．【方法總結(jié)3】1.公差不為0的等差數(shù)列，求其前n項(xiàng)和的最值，一是把Sn轉(zhuǎn)化成n的二次函數(shù)求最值；二是由an≥0或an≤0找到使等差數(shù)列的前n項(xiàng)和取得最小值或最大值的項(xiàng)數(shù)n，代入前n項(xiàng)和公式求最值．求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值，2.常用的方法：(1)利用等差數(shù)列的單調(diào)性，求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)；(2)利用性質(zhì)求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)，便可求得和的最值；(3)利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn＝An2＋Bn(A、B為常數(shù))為二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值．【規(guī)律總結(jié)】一個(gè)推導(dǎo)：利用倒序相加法推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，①Sn＝an＋an－1＋…＋a1，②①＋②得：.兩個(gè)技巧：已知三個(gè)或四個(gè)數(shù)組成等差數(shù)列的一類問(wèn)題，要善于設(shè)元．(1)若奇數(shù)個(gè)數(shù)成等差數(shù)列且和為定值時(shí)，可設(shè)為…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，….(2)若偶數(shù)個(gè)數(shù)成等差數(shù)列且和為定值時(shí)，可設(shè)為…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，其余各項(xiàng)再依據(jù)等差數(shù)列的定義進(jìn)行對(duì)稱設(shè)元．四種方法：等差數(shù)列的判斷方法(1)定義法：對(duì)于n≥2的任意自然數(shù)，驗(yàn)證an－an－1為同一常數(shù)；(2)等差中項(xiàng)法：驗(yàn)證2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)都成立；(3)通項(xiàng)公式法：驗(yàn)證an＝pn＋q；(4)前n項(xiàng)和公式法：驗(yàn)證Sn＝An2＋Bn.注：后兩種方法只能用來(lái)判斷是否為等差數(shù)列，而不能用來(lái)證明等差數(shù)列．熱點(diǎn)一等差數(shù)列基本量的計(jì)算1.【2013年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（安徽卷文科）】設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，則=（）（A）（B）（C）（D）22,【2013年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（廣東卷）理】在等差數(shù)列中,已知,則_____.203．（2012年高考遼寧文）在等差數(shù)列{an}中,已知a4+a8=16,則a2+a10=（）A．12 B．16 C．20 D．244．（2012年高考北京文）已知為等差數(shù)列,為其前項(xiàng)和.若,,則________;=________.5.（2012年高考重慶理）在等差數(shù)列中,,則的前5項(xiàng)和=（）A．7B．15C．20D．6．（2012年高考福建理）等差數(shù)列中,,則數(shù)列的公差為 （）A．1 B．2 C．3 D．47．（2012年高考廣東理）已知遞增的等差數(shù)列滿足,,則__________8.【2013年普通高等學(xué)校統(tǒng)一考試試題大綱全國(guó)理科】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為.已知，且成等比數(shù)列，求的通項(xiàng)公式.9.【2013年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（福建卷）文科】已知等差數(shù)列的公差=1，前項(xiàng)和為.(=1\*ROMANI)若；(=2\*ROMANII)若10．（2012年高考（山東文））已知等差數(shù)列的前5項(xiàng)和為105,且.(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)對(duì)任意,將數(shù)列中不大于的項(xiàng)的個(gè)數(shù)記為.求數(shù)列的前m項(xiàng)和.解:(I)由已知得:解得,所以通項(xiàng)公式為.(II)由,得,即.∵,∴是公比為49的等比數(shù)列,∴.熱點(diǎn)二等差數(shù)列性質(zhì)的綜合應(yīng)用11.【2013年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（上海卷）文】在等差數(shù)列中，若，則．1512．（2012年高考遼寧理）在等差數(shù)列{an}中,已知a4+a8=16,則該數(shù)列前11項(xiàng)和S11=（）A．58 B．88 C．143 D．17613．（2012年高考江西理）設(shè)數(shù)列都是等差數(shù)列,若,則_____3514．（2012年高考四川文）設(shè)函數(shù),是公差不為0的等差數(shù)列,,則（）A．0B．7 C．14 D．2115.（2012年高考大綱理）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,則數(shù)列的前100項(xiàng)和為（）A． B． C． D．16．（2012年高考山東理）在等差數(shù)列中,.(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)對(duì)任意,將數(shù)列中落入?yún)^(qū)間內(nèi)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)記為,求數(shù)列的前項(xiàng)和.17.【2013年高考新課標(biāo)Ⅱ數(shù)學(xué)（文）卷】已知等差數(shù)列｛an｝的公差不為零，a1=25，且，，成等比數(shù)列.（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式（Ⅱ）求+a4+a7+…+a3n-2.熱點(diǎn)三等差數(shù)列的定義與應(yīng)用18.【2013年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（遼寧卷）理科】下面是關(guān)于公差的等差數(shù)列的四個(gè)命題：其中的真命題為（）（A）（B）（C）（D）19．（2012年高考四川理）設(shè)函數(shù),是公差為的等差數(shù)列,,則（）A． B． C． D．20．（2012年高考浙江理）設(shè)Sn是公差為d(d≠0)的無(wú)窮等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,則下列命題錯(cuò)誤的是（）A．若d<0,則數(shù)列{Sn}有最大項(xiàng)B．若數(shù)列{Sn}有最大項(xiàng),則d<0C．若數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列,則對(duì)任意的nN*,均有Sn>0D．若對(duì)任意的nN*,均有Sn>0,則數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列21.【2013年普通高等學(xué)校統(tǒng)一考試試題新課標(biāo)Ⅱ數(shù)學(xué)（理）卷】等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知S10=0，S15=25，則nSn的最小值為_(kāi)_______.-【考點(diǎn)模擬】一．扎實(shí)基礎(chǔ)1.在等差數(shù)列中，2a4+a7=3，則數(shù)列的前9項(xiàng)和等于（）（A）9 （B）6 （C）3 （D）122.設(shè)等差數(shù)列前n項(xiàng)和為，若為的兩根，則的值是（）A．B．7C．D．-73.已知為等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，若，，則等于（）A．288B．90C．1564.在等差數(shù)列中，，則此數(shù)列的前10項(xiàng)的和＝（）（A）10（B）20（C）40（D）805.已知數(shù)列是等差數(shù)列，且，則的值為（） A． B． C． D．6.設(shè)是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，，則的值為()7.為等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，已知?jiǎng)t（A）（B）（C）（D）8.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列中，，則的最小值為（）A.7B.8C.99.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則的值為.28二．能力拔高10.已知等差數(shù)列，公差為d，前n項(xiàng)和為，，則下列結(jié)論中不正確的是（）A．B．C．D．d<011.等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足S4+a25=5,則一定有（）A.a6是常數(shù) B.S7是常數(shù) C.a13是常數(shù) D.S13是常數(shù)12.已知為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，，，則=（）A．-36B．0C．36D．7213.在等差數(shù)列中，，其前項(xiàng)和為，若，則的值等于（）A．B．C．D．14.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為且滿足則中最大的項(xiàng)為（）15.已知等差數(shù)列滿足，，則前n項(xiàng)和取最大值時(shí)，n的值為A.20B.21C16.若是等差數(shù)列，首項(xiàng)公差，，且,則使數(shù)列的前n項(xiàng)和成立的最大自然數(shù)n是 （） A．4027 B．4026 C．4025 D．402417.公差為d，各項(xiàng)均為正整數(shù)的等差數(shù)列{an}中，若a1=1，an=73，，則n+d的最小值等于.18.在數(shù)列中，若對(duì)任意的，都有（為常數(shù)），則稱數(shù)列為比等差數(shù)列，稱為比公差．現(xiàn)給出以下命題：①等比數(shù)列一定是比等差數(shù)列，等差數(shù)列不一定是比等差數(shù)列；②若數(shù)列滿足，則數(shù)列是比等差數(shù)列，且比公差；③若數(shù)列滿足，，（），則該數(shù)列不是比等差數(shù)列；④若是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，則數(shù)列是比等差數(shù)列．其中所有真命題的序號(hào)是.19.已知是一個(gè)公差大于0的等差數(shù)列，且滿足.（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）令，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)于任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值.三．提升自我20.已知數(shù)列是1為首項(xiàng)、2為公差的等差數(shù)列，是1為首項(xiàng)、2為公比的等比數(shù)列．設(shè)，，則當(dāng)Tn>2013時(shí)，n的最小值是（）（A）7 （B）9 （C）10 （D）