數(shù)學(xué)分析中不等式的證明方法與舉例論文

長(zhǎng)春工業(yè)大學(xué)碩士學(xué)位論文定義：設(shè)在上可積，對(duì)任何,在上也可積，于是，由，，定義了一個(gè)以積分上限為自變量的函數(shù)，稱為變上限的定積分.類似地，又可以定義變下限的定積分：,,與統(tǒng)稱為變限積分.定理：若在上連續(xù)，則其變限積分作為關(guān)于的函數(shù)，在上處處可導(dǎo)，且,更一般的有.例1.證明柯西不等式.證明：構(gòu)造變上限輔助函數(shù).顯然在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且.所以在上單調(diào)減少，則，即.得到.例2.設(shè)在上連續(xù)，且單調(diào)遞增，試證明.證明：構(gòu)造變上限輔助函數(shù)：.顯然，對(duì)，,.因?yàn)閱握{(diào)遞增，則，則單調(diào)遞增，所以,.因此.2利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式定理:設(shè)函數(shù)在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),則有(1)如果在內(nèi),那么,函數(shù)在上單調(diào)增加.(2)如果在內(nèi),那么,函數(shù)在上單調(diào)減少.例1.證明不等式：，.證明：設(shè)則，故當(dāng)時(shí)，，嚴(yán)格遞增；當(dāng)，，嚴(yán)格遞減.又因?yàn)樵谔庍B續(xù)，則當(dāng)時(shí)，.即.故得證.例2.證明.證明：記，則，所以單調(diào)遞增，于是由知.即.3利用微分中值定理證明不等式拉格朗日中值定理:設(shè)函數(shù)滿足如下條件:在閉區(qū)間上連續(xù)；(2)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得.柯西中值定理:設(shè)函數(shù)和滿足：(1)在上都連續(xù)；(2)在內(nèi)都可導(dǎo)；(3)和不同時(shí)為零；(4)，則存在,使得.例1．設(shè)在上有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，證明.證明：令，由拉格朗日中值定理知.從而.所以.例2.當(dāng)時(shí),試證不等式.證明:構(gòu)造函數(shù).則在區(qū)間上滿足拉格朗中值定理,且.故有,.即.又,則.即.例3.設(shè)，，求證.證明：令，,由題設(shè)條件可知，在上滿足柯西中值定理.則,.故.由于，,則,故.由此得證.4利用積分中值定理證明不等式積分第一中值定理：若函數(shù)在上連續(xù)，則至少存在一點(diǎn)，使得.積分第二中值定理：設(shè)函數(shù)在上可積，若為單調(diào)函數(shù)，則，使得.例1．設(shè)為上的非負(fù)單調(diào)非增連續(xù)函數(shù)（即當(dāng)時(shí)，），證明對(duì)于,有下面的不等式成立.證明：由積分第一中值定理有.,.從而.因此可得.即.又因,所以,故.例2.設(shè)在上連續(xù)，且單調(diào)遞增，試證明.證明：要證該不等式只需證明.由于單調(diào)遞增，利用積分第二中值定理，則存在，使.故.即.5利用泰勒公式證明不等式定理:若函數(shù)在上存在直至n階連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，在內(nèi)存在階導(dǎo)函數(shù),則對(duì)任意給定的，，至少存在一點(diǎn),使得:.例1.設(shè)在存在二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，，并且當(dāng)時(shí)，，求證：.證明:由于在上有二階連續(xù)導(dǎo)函，因此對(duì)任何，利用和在點(diǎn)的二階泰勒公式可得..由可得.又,所以.而時(shí),，故.又由的任意性知例2．設(shè)在上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，，證明.證明：將在處泰勒展開，.兩邊在上積分并注意到，得.從而得.6利用函數(shù)極值證明不等式極值的第一充分條件：設(shè)在點(diǎn)連續(xù)，在某鄰域內(nèi)可導(dǎo).(1)若當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),則在點(diǎn)取得極小值.(2)若當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí)，則在點(diǎn)取得極大值.極值的第二充分條件：設(shè)在的某鄰域內(nèi)一階可導(dǎo)，在處二階可導(dǎo)，且，.(1)若，則在取得極大值.(2)若，則在取得極小值.例1.證明：當(dāng)，n為自然數(shù)時(shí)，.證明：構(gòu)造輔助函數(shù).則.當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，除時(shí)外，均有，故在時(shí)單調(diào)遞增，在時(shí)單調(diào)遞減，因此在上取最大值.于是有.例2.設(shè),求證：，都有不等式.證明:令.有=.令，則.而.又因?yàn)?故.故在處取得極小值，又因?yàn)?.所以在區(qū)間[0,1]上的最大值為1，最小值為.因此.7利用函數(shù)凹凸性證明不等式定義:設(shè)為定義在區(qū)間上的函數(shù)，若對(duì)上的任意兩點(diǎn)，，和任實(shí)數(shù)總有,則稱為上的凸函數(shù).反之，如果總有,則稱為上的凹函數(shù).定理:設(shè)為區(qū)間上的二階可導(dǎo)函數(shù)，則在上為凸（凹）函數(shù)的充要條件是（），.例1.證明:.證明:構(gòu)造函數(shù)，，這時(shí),,所以在(0,+∞)上是凸函數(shù).所以,時(shí)，有.即.故.例2：（著名的均值不等式）設(shè)求證：.證明：設(shè),則.所以在上為凹函數(shù)，則由凹函數(shù)性質(zhì)可知.即.即.8利用冪級(jí)數(shù)展開式證明不等式證明方法:根據(jù)幾個(gè)重要的初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式，如下：；；；；．例1.當(dāng)，證明.證明：因分別可寫成冪級(jí)數(shù)展開式，有：．則不等式左邊的一般項(xiàng)為，右邊的一般項(xiàng)為，而當(dāng)時(shí)，所以，. 9利用著名不等式證明不等式柯西不等式：設(shè)為任意實(shí)數(shù)（）則，其中當(dāng)且僅當(dāng)成比例時(shí)等號(hào)才成立.施瓦茲不等式：若上可積，則．若上連續(xù)，其中當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)使得時(shí)等號(hào)才成立（不同時(shí)為零）.詹森不等式：若為上凸函數(shù)，則對(duì)任意，，，有.例1.設(shè)，，，…，．求證：．證明：由柯西不等式．兩邊同時(shí)除以即得證．例2.已知，在上連續(xù)，為任意實(shí)數(shù)，求證.證明:所要證明的式子左端第一項(xiàng)應(yīng)用施瓦茲不等式.同理可得.兩式相加得.即得證.例3.證明不等式其中均為正數(shù).證明：設(shè).則.故在時(shí)為嚴(yán)格凸函數(shù).依詹森不等式有.從而.即.又因,所以.即參考文獻(xiàn)：[1]裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問(wèn)題與方法[M].北京：高等教育出版社,2006.[2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（上冊(cè)）[M].北京：高等教育出版社，2001.[3]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（下冊(cè)）[M].北京：高等教育出版社，2001.[4]錢吉林等主編.數(shù)學(xué)分析題解精粹.[M]武漢：崇文書局，2011.[5]蒙詩(shī)德.數(shù)學(xué)分析中證明不等式的常用方法[J].赤峰學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2009，25(9).[6]賀彰雄.不等式證明的幾種常見方法.湖北教育學(xué)報(bào)[J].2007，10(1).[7]王曉峰，李靜.證明不等式的若干方法.數(shù)理醫(yī)藥學(xué)雜志[J].2008.12(1).致謝畢業(yè)論文設(shè)計(jì)的這段時(shí)間是我學(xué)生生涯中非常重要的時(shí)光之一.通過(guò)這次論文寫作，我不僅學(xué)到了很多專業(yè)知識(shí)，而且我的其他能力方面都有一定提高.所以，借此論文結(jié)束之際，向所有幫助過(guò)我的人表示我最誠(chéng)摯的敬意和感謝.本論文是在付老師的指導(dǎo)下和同學(xué)們的幫助下幾經(jīng)修改而完成的.所以,首先要感謝我的指導(dǎo)老師,我從她身上不僅學(xué)到了許多的專業(yè)知識(shí)，更感受到她在工作中的兢兢業(yè)業(yè)，生活中的平易近人.此外，她嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度和忘我的工作精神更值得我去學(xué)習(xí).同時(shí)，還要感謝我的同學(xué),他們給我提供了很多有價(jià)值的材料和寶貴意見，所以我的論文才得以順利完成.總之，衷心地感謝所有幫助過(guò)我的人！THEPROOFMETHODSANDEXAMPLESOFINEQUALITYOFMATHEMATICALANALYSISAbstractInequalityisaveryimportanttoolinmathematicalanalysis.Atthesametimeitisoneofthemainproblemsinthemathematicalanalysisstudy.Butthemethodsarevarious.Sothesystemicclassificationandsummaryfortheproofmethodsofinequalitystillhasgreatpracticalsignificance.Thispaperfirstsimplyintroducesthebackgroundofinequality,thenmainlydiscussesthedifferentproofmethodsofinequalities,andclassifiesthedifferentproofmethods.Atthesametimesummarizesvariousskillsintheinequalityproblem-solvingbydemonstratings