小學奧數(shù)題庫《幾何》幾何圖形梯形4星題（含詳解）全國通用版

幾何-幾何圖形-梯形-4星題

課程目標

知識點考試要求具體要求考察頻率

梯形B1理.解梯形的定義少考

2認.識梯形的高，并會求梯形的面

積

知識提要

梯形

?定義

只有一組對邊平行的四邊形叫做梯形.

?特殊梯形的性質(zhì)

等腰梯形的兩條腰相等、兩條對角線相等、兩個底角也相等;

直角梯形有兩個角是直角.

?公式

梯形的面積二（上底+下底）X高+2

精選例題

梯形

1.有一個等腰梯形的紙片，上底長度為2015,下底長度為2016.用該紙片剪出一些等腰梯

形，要求剪出的梯形的兩個底邊分別在原來梯形的底邊上，剪出的梯形的兩個銳角等于原來梯

形的銳角，那么最多可以剪出個同樣的等腰梯形.

【答案】4029

【分析】如圖，將大等腰梯形分成2n+l個等腰梯形，由于底角相等，大小等腰梯形的上

下底之差也相等（相差一個平行四邊形），設小等腰梯形上底為x,有

n(2x+1)+x=2015,

所以n的最大值是2014,最多可以剪出4029個.

2.任何一個直角三角形都有這樣的性質(zhì)：以兩個直角邊為邊長的正方形的面積之和等于以斜

邊為邊長的正方形的面積.這就是著名的勾股定理，在西方又被稱為畢達哥拉斯定理.勾股定

理有著悠悠4000年的歷史，出現(xiàn)了數(shù)百個不同的證明，魏晉時期的中國古代數(shù)學家劉徽給出

發(fā)如下列圖所示的簡潔而美妙的證明方法，如下列圖那么是以這具方法為根底設計的劉徽模式

勾股拼圖板：

劉徽模式勾股拼圖板的5個組塊.還可以拼成一個如下圖的梯形，如果其中的直角三角形直角

邊分別為3厘米與4厘米，那么，這個梯形的上下底分別為厘米與厘米.

【答案】I；T

【分析】根據(jù)題意，不難得出下列圖:

根據(jù)三角形4BF與三角形BFG相似，可以得出

315

BG=0B=T

即得出

155

上底=0；=5-彳=,;

1535

下底=AD+BG=5+—=

3.如圖，四邊形EFC/J是平行四邊形，如果梯形4BCD的面積是320,四邊形4BG"的面積

是80,那么三角形。CC的面積是.

【答案】45

【分析】四邊形48GH的面積是80,

SABGH=SAEGH+SABEG-

連接EG、EC,

D

可得

^AEGH=S△AEH+S△HEG,

因為

S△HEG=S△HEC,

那么

^AEGH=S△AEH+S△HEC=S△AEC=S△A￡Dt

連接DF,

Dt

可得

S△BGE=S△BDF=S△FBC，

那么

S△AED+S△FBC=SABGH=SAEGH+S△BEG=80,

所以

SCDEF=320-80=240,

那么

(AE+FBy.EF=80X2:240=2:3,

那么

DC:AB=3:5,

所以

S△—320+8x3=120,

所以

SADQC—120-r8X3—45.

4.下列圖中，△/IBC的面積為100平方厘米，A4BC的面積為72平方厘米.M為CD邊的

中點，ZMHB=9O°.4B=20厘米.那么MH的長度為_______厘米.

【答案】8.6

【分析】如下列圖，根據(jù)給定的條件易求得DE=7.2cm,CF=10cm,那么

MH=(7.2+10)+2=8.6(cm).

5.如下列圖所示，48=24厘米，長方形BDEF中的EF=15厘米，陰影ABCE的面積是60

平方厘米，那么△DCE的面積是平方厘米.

【答案】30

【分析】如下列圖所示，連接4。，那么三角形B5的面積等于三角形46的面積，所以

CD=60X2+24=5（厘米），CS=15-5=10（厘米），又因為三角形CCE和三角形

BCE同高，且CB是CO的2倍，所以三角形BCE的面積是三角形DCE面積的2倍，所以三

角形。CE的面積是60+2=30（平方厘米）.

6.如圖，等腰梯形4BCD中，交于。點的兩條對角線互相垂直，三角形EC8是直角三角形，

。。比4。長20厘米.三角形40E的面積是250平方厘米，那么梯形48co的面積為多少平

方厘米？

E

A

D

O

【答案】2450

【分析】設40=x厘米，那么。。=。+20）厘米，由于4BCD是等腰梯形且4CJLBD,

故ABOC與△4。。都是等腰直角三角形，推出AEOC也是等腰直角三角形，所以DO=x

厘米，OE=（x+20）厘米，所以DE=20厘米，

S△ADE=20xx4-2=250（平方厘米），

所以%=25,

4C=2x4-20=2x25+20=70（厘米），

SABCD=70X70-2=2450（平方厘米）.

7.如圖，Z-ABE=/.DCF=90°,48=3,DC=5,BC=6fBE=EF=FC,4F交DE于0,

那么三角形OEF的面積是多少？

15

【答案】16

；x(3+5)x6-；x3x2-；x5x4n

■八_LL■j_L*Sc3x2OASAADE

【分析】連接4D,AAEF=-2~=3,OF=s~^5,

TX5X2

8.如圖，梯形48C。的上底4。長為3厘米，下底BC長為9厘米，而三角形48。的面積為

12平方厘米.那么梯形48co的面積為多少平方厘米？

【答案】64

【分析】△4。。與ABC。的面積比為4。平方與BC平方的比，即為

1

9：81=?

而△CC。與△48。的面積相等為12,又

SBCOS△xSADCO=SAADOXSABCO=12x12=144,

AABO

因為144+9=4x4,所以

sAADO=4,

那么

S△=4XX9=36,

BCO

而梯形486的面積為△4）0、4BC0、AABO.△C。。的面積和，即為

4+36+12+12=64（平方厘米）.

即梯形ABCD的面積為64平方厘米.

△4OF：SADOE2

9.四邊形ABCD中AD||BC,AD:BC=1::2,S=1:3,SABEF=24cm1求△/OF

的面積.

匹

【答案】12cm2

【分析】延長4。到G,使得DG=4D,連接GC,那么4BCG為平行四邊形.

了

連接FG、EG,那么

1

S△AEG+S△BEC=5s平行四邊形.BCG，

1

s△AFG+S△8FC=/平行四邊形48CG?

所以

sAAEG+S△BEC=S△AFG+S△BFC-

因此

s△AEG-SAAPG=s&BFC-S2BEC-

但

S>AEG=2S&AED，

S△AFG=2S△Apt),

S△BFC-S&BEC=24.

所以

2s△AED-2sbAFD=24,

即

sAAED-SAAFD=12.

但

S△4OF：S△DOE=1:3,

即

sAAED-SAAFD=S△DOE-SAAOF

=3S△AOF-S△AOF

=2S△AOF

=12cm2

10.圖中/BCD是梯形，三角形/IDE面積是1.8,三角形的面積是9,三角形BC尸的面

積是27.那么陰影局部面積是多少？

【答案】4.8

【分析】設的面積為“上〃，的面積為嚇〃，的面積為“左〃，

△OCF的面積為“右〃.

左=右=9；上*下=左乂右=9乂9=81,而下=27,所以上=81+27=3.

△4OE的面積為1.8,那么的面積為1.2,那么

EF:DF=S△AEF：SAAED=1-2:3=0.4.

△CEF與△CDF的面積比也為EF與DF的比,所以有\(zhòng)[{S}」\vartriangle{{ACE}}}

=0.4\times{S}_{\vartriangle{{ACD}}}$=0.4\times(3+9)=4.8.\]

即陰影局部面積為4.8.

11.如下列圖，&F分別是梯形4BCC的下底BC和腰CD上的點，DF=FC,并且甲、乙、

丙3個三角形面積相等.梯形4BCD的面積是40平方厘米.求圖中陰影局部的面積.

【答案】16平方厘米.

【分析】因為三角形4尸￡?和三角形CFE的面積相等，DF=FC,那么4到CO的距與E到

CC的距離相等，所以四邊形40CE是平行四邊形，那么陰影局部的面積是平行四邊形4EC/)

的面積的一半，設三角形4BE的面積為1份，那么平行四邊形4ECQ的面積為

(1+1)X2=4份，梯形4BCD的面積為5份，陰影局部的面積為

40+5X2=16(平方厘米).

12.如下圖，梯形48CC的上底4/)長10厘米，下底BC長15厘米.如果EF與上、下底平

行，那么EF的長度為多少？

BC

【答案】12厘米.

BC

由于EO||BC,因此黑=黎=|,即E。=：XBC=：x15=6（厘米）.

同理，。尸也等于6厘米，所以七尸=后。+。尸=6+6=12（厘米）.

13.有一大一小兩塊正方形試驗田，他們的周長相差40米，面積相差220平方米，那么小正

方形試驗田的面積是多少平方米？

圖a

【答案】36

【分析】根據(jù)條件，我們將兩個正方形試驗田的一個頂點對齊，畫出示意圖（如圖a）,將

大正方形在小正方形外的局部分割成兩個直角梯形，再拼成一個長方形（如圖用.

由于兩個正方形的周長相差40米，從而它們的每邊相差40+4=10米，即圖b中的長方形

的寬是10米.又因為長方形的面積是兩個正方形的面積之差，即為220平方米，從而長方形

的長為：220+10=22（米）.由圖可知，長方形的長是大正方形與小正方形的邊長之和，長方

形的寬為大正方形與小正方形的邊長之差，從而小正方形的邊長為：

（22-10）+2=6（米）.所以小正方形的面積為：6X6=36（平方米）.

14.如圖，以4。為直徑的半圓。內(nèi)接一個等腰梯形48CD,梯形的上底是60,下底是100,

以梯形上底和腰為直徑向外作半圓，形成的陰影局部的面積是多少？5取3.14）

【答案】2258

【分析】由可得，陰影局部的面積為梯形面積加以4工BC、C。為直徑的半圓面積減去以

4。為直徑的半圓面積，作。E垂直于8C,根據(jù)勾股定理可得梯形的高0E為40,那么

AB2=BF2+AF7-=402+202=2000,陰影局部的面積為:

15.如圖，BD,CF將長方形分成4塊，紅色三角形面積是4平方厘米，黃色三角形面

積是6平方厘米.問：綠色四邊形面積是多少平方厘米？

【答案】11

【分析】連接8尸，四邊形BCDF為梯形，那么ABFE的面積與黃色△CDE的面積相等為

6.

S△FEDxS△BCE=S△BFExS△CDE=6x6=36,

所以

S48CE=36+4=9.

sABCD=S△BEC+S△CDE=9+6=15.

又因為BD是長方形ABCD的對角線,

sAABD=SABCD=15

所以

S綠色四邊形4BEF=SAABD-S紅色AFED=15-4=11.

綠色四邊形面積為11平方厘米.

16.如下圖，正六邊形的面積是6,那么陰影局部的面積是多少？

【答案】2：

【分析】方法一：連結陰影局部的對角線，如圖1所示.

圖1

這條輔助線平分陰影局部，也正好把正六邊形平分成兩個等腰梯形.那么每個梯形的面積為

6+2=3.

要求出陰影局部的面積，只需求出其中的一半即可.

畫出其中一個梯形，給它的各個頂點標上字母，如圖2所示，△BCD和△4BD是一對等高三

角形，并且底邊BC是4。的2倍，所以△BCD的面積是A4BD面積的2倍，于是4BCD

面積為

2

3x—=2.

因此正六邊形中的陰影局部面積為

12

1-X2=2-.

方法二：利用正六邊形中的格點，將其分割，如圖3所示.

觀察圖形可知，這時正六邊形被分割成18個三角形，這些三角形面積全都相等.陰影局部由

8個三角形組成，所以陰影局部面積為

2

6+18x8=21

圖3

17.如圖，小正方形4BC。放在大正方形EFGH的上面.小正方形的邊長為4厘米，且梯形

AEHD的面積是28平方厘米，那么梯形AFGD的面積多少平方厘米？

【答案】98

［分析］S>IEHD=(4+EH)X4+2=28(平方厘米)，所以EH=10厘米，所以

SAFGD=(4+10)X(4+10)-2=98(平方厘米).

18.如圖，四邊形48CD是梯形，四邊形4BFC是平行四邊形，四邊形CCEF是正方形，四邊

形4G"F是長方形.又知4c=14厘米，BC=22厘米，那么，陰影局部的總面積是多少平方

厘米？

H

【答案】56

【分析】陰影局部的面積與三角形ABF的面積相等,

S△ABF=S△

=ADxEF+2

=ADxFC^2

=ADx(BC-C產(chǎn))+2

=14x(22-14)+2

=56

19.如圖，長方形ABC。的面積是2011平方厘米，梯形4"GE的頂點尸在BC上，。是腰EC

的中點.試求梯形/FGE的面積.

【答案】2011平方厘米.

【分析】連接。匕三角形4DF的面積是長方形面積的一半，三角形力。”的面積也是梯形

的面積的一半，所以梯形的面積是2011.

E

20.E、M分別為直角梯形ZBCC兩邊上的點，且CQ、CP、ME彼此平行，假設4C=5,

BC=7,AE=5,EB=3.求陰影局部的面積.

AD

p

【答案】25

【分析】連接CE、DE.由于DQ、CP、ME彼此平行，所以四邊形CCQP是梯形，且ME

與該梯形的兩個底平行，那么三角形QME與DEM、三角形PME與CEM的面積分別相等，

所以三角形PQM的面積與三角形CDE的面積相等.而三角形CDE的面積根據(jù)條件很容易求

出來.由于"BCD為直角梯形，且4C=5,BC=7,AE=5,EB=3,所以三角形CDE的面

積為：

111

(5+7)x(5+3)x--5x5x--3x7x-=25.

所以三角形PQM的面積為25.

21.如圖由兩個正方形組成，邊長分別是4厘米、5厘米，陰影局部的面積是多少？

【答案】9.5平方厘米.

【分析】整體考慮，兩個正方形面積和減去一個梯形的面積就是陰影面積.所以陰影局部的

面積為4x4+5X5-(2+5)x(4+5)+2=9.5(平方厘米).

22.如圖，在一個梯形內(nèi)有兩個三角形的面積分別為1。與12,梯形的上底長是下底長的那

么余下陰影局部的面積是多少？

【答案】23

【分析】不妨設上底長2,那么下底長3,那么上面局部的三角形的高為10+2X2=10,

下面局部的三角形的高為12+3X2=8,那么梯形的高為10+8=18.

所以梯形的面積為

1

-X(2+3)X18=45,

所以余下陰影局部的面積為

45-10-12=23.

23.下列圖中哪些是三角形？哪些是長方形？哪些是平行四邊形？哪些是菱形？

【答案】見解析.

【分析】三角形有2個：4和7；長方形有2個：1和2（正方形也屬于長方形）；平行四

邊形有4個：1、2、3、6（正方形、長方形、菱形也屬于長方形）；菱形有2個：1和6（正

方形也屬于菱形）.

24.如下圖，ED垂直于等腰梯形4BC0的上底4/5,并交BC于G,4E平行于BD,

ZDCB=45°,且三角形48。和三角形EOC的面積分別是75、45,那么三角形的面積

是多少？

【答案】30

【分析】的ACDE的底邊是EC,高是CG；所求的△4ED的底邊是ED,高是4C；它們

有公共的底邊E2另一個的三角形是△482如果能找到一個以E。為底邊的三角形，它的

面積等于△48C的面積，那么底邊ED就成了這三個三角形的公共底邊.

圖I

如圖1,連結BE.由于4EII8。，把△48。作等積變換，變成4BDE,此時△BDE以DE

為底邊以8G為高，且面積是75.這樣一來，這3個三角形有相同的底邊DE.于是來看看它

們的高BG、CG、4。之間有什么關系.

由于四邊形4BCD是等腰梯形，如圖2所示，再作分別從4D出發(fā)與BC垂直的垂線4H、

DG.

容易看出，BH=GC,AD=HG,因此BG=B"+"G=GC+4D.

在等式兩邊同時乘以DE+2,可得BGXDE+2=(GC+AD)XDE+2.

用乘法分配律得BGXDE+2=GCXDE+2+4DXCE+2.

而SABDE=BGXDE?2,SADEC=CGXDE?2,SAAED=4。XDE+2,因此所求的三角形的面

積就是75-45=30.

25.如圖，48CD長方形中，陰影局部是直角三角形且面積為54,。。的長是16,。8的長是

9.那么四邊形。EC。的面積是多少？

【答案】119.625

【分析】因為連接ED知道△4B。和△EDO的面積相等即為54,又因為OD:OB=16:9,

所以△4。/）的面積為

54+9X16=96,

根據(jù)四邊形的對角線性質(zhì)知道：△BE。的面積為：

54x54+96=30.375,

所以四邊形OECC的面積為：

54+96-30.375=119.625.

26.在下列圖中，48=8厘米，CC=4厘米，BC=6厘米，三角形4FB比三角形EFC的面積

大18平方厘米.求E。的長.

【答案】2

【分析】

梯形4BCD面積=（8+4）x6+2=36（平方厘米）,

三角形EC8面積=36-18=18（平方厘米），

EC=18-5-6x2=6（厘米），

5。=6-4=2（厘米）.

27.如圖，4BCD是邊長為8厘米的正方形，梯形4EBD的對角線相交于0,三角形40E的面

積比三角形BOD的面積小16平方厘米，那么梯形AEBD的面積是多少平方厘米？

【答案】48

【分析】如下列圖，將梯形4EBD內(nèi)4個三角形的面積分別記為①、②、③、④.

在梯形4EB”中，有AEBD、A48D同底等高，所以有

s△=s△,

EBDABD

即

③+②=①+②.

顯然有

①二③.

由題意知

S△-5A=16,

BODAOE

即

②-④=16,

于是有

(①+②)-(③+④)=16.

①+②=SA=^x8x8=32,

ABD.

所以

③+④=(①+②)-16=16.

所以有

s梯形AEBD=(①+②)+(③+④)=32+16=48(平方厘米).

28.下列圖是邊長為1的正方形和一個梯形拼成的“火炬”.梯形的上底長1.5米，4為上底的

中點，B為下底的中點，線段48恰好是梯形的高，長為0.5米，CO長為丟米.那么圖中陰影

局部的面積是多少平方米？

17

【答案】24

【分析】方法一：將下列圖中一些點標上字母.延長4B交正方形邊E尸于H點，我們先求

出梯形〃CK與正方形/FEC的面積和，再求出三角形4尸”與梯形的面積和，將前者與

后者做差所得到的值即為所求陰影局部的面積.

1

s梯物/CK=2X(1.54-1)x0.5=0.625

S正方形/FEC=1X1=1

1

SAAFH=-xAHxFH

11

=5X(4B+BH)x(-FF)

1