正方形模型-對(duì)角互補(bǔ)模型

（挑戰(zhàn)壓軸）專題L7正方形模型-對(duì)角互補(bǔ)模型

【方法技巧】

在正方形ABCD中，0為兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，點(diǎn)E,F分別在AB、BC上，若

NEOF為直角，OE、OF分別與DA、AB的延長線交于點(diǎn)G、H,則▲AOEgBOF,

▲AOG且▲BOH,AOGH是等腰直角三角形，S四邊形。

LMIf】

【典例1]（2021秋?泉港區(qū)期末）如圖，在正方形4BCD中，AC交8。于O,尸在4c上,

連線。F,過F作FE_L。尸交于G,交AB于E.

（1）求證：DF=EF；

（2）若F為OC中點(diǎn)，求證：FG=EG.

【變式1-1]（2020?呼倫貝爾）已知：如圖，在正方形ABC。中，對(duì)角線AC,BD相交于

點(diǎn)。，點(diǎn)E,F分別是邊BC,C￡＞上的點(diǎn)，且/EOF=90°.

求證：CE=DF.

BEC

【變式1-2］（2021春?寧陽縣期末）如圖，已知四邊形A8CO是正方形，對(duì)角線AC、BD

相交于O.

（1）如圖1,設(shè)E、F分別是A。、AB上的點(diǎn)，且NEOF=90°,線段AF、8F和EF之

間存在一定的數(shù)量關(guān)系.請(qǐng)你用等式直接寫出這個(gè)數(shù)量關(guān)系；

（2）如圖2,設(shè)反尸分別是AB上不同的兩個(gè)點(diǎn)，且NEO尸=45°,請(qǐng)你用等式表示線

段AE、BF和EF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【典例2】（2022春?沂源縣期中）如圖，在正方形A8CO中，點(diǎn)。是對(duì)角線AC,8。的交

點(diǎn)，過點(diǎn)。作射線。M,ON分別交BC,C￡＞于點(diǎn)E,F,且NEOF=90°,OC,EF交

于點(diǎn)G.有下列結(jié)論：

①△COEg/\￡?OF；

@CF=BE；

③四邊形CEOF的面積為正方形ABCD面積的工；

4

@OF2+OE2^EF2.

其中正確的是（）

A.①②③④B.①②③C.①②④D.③④

【變式2-1］（2021秋?錦江區(qū)期末）如圖，正方形A8CO的對(duì)角線相交于點(diǎn)O,以點(diǎn)。為

頂點(diǎn)的正方形OEG尸的兩邊0E,。尸分別交正方形ABCD的兩邊AB,BC于點(diǎn)M,N,記

△AOM的面積為Si，△CON的面積為S2,若正方形的邊長A8=10,Si=16,則S2的大小

A.6B.7C.8D.9

【變式2-2]（2021?重慶）如圖，正方形ABC。的對(duì)角線AC,8。交于點(diǎn)O,M是邊AO

上一點(diǎn)，連接OM,過點(diǎn)。作ONLOM,交C。于點(diǎn)N.若四邊形MOM）的面積是1,

則AB的長為（）

A.1B.&C.2D.242

【變式2-3]（2014春?巴南區(qū)校級(jí)期末）如圖，正方形ABCZ）,點(diǎn)P是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，

連接BP,過P作PQ_LBP,PQ交CD于。,連接BQ交AC于G,若AP=&,。為

CD中點(diǎn)，則下列結(jié)論：

①NPBC=NPQD；?BP=PQ-,③NBPC=NBQC；④正方形ABC。的面積是16；

【W(wǎng)】

1.（2022春?龍勝縣期中）如圖，兩個(gè)邊長相等的正方形48C￡＞和OEFG,若將正方形OEFG

繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)150°,則兩個(gè)正方形的重疊部分四邊形OMCN的面積（）

A.不變B.先增大再減小

C.先減小再增大D,不斷增大

2.（2021春?正陽縣期中）將n個(gè)邊長都為1cm的正方形按如圖所示的方法擺放，點(diǎn)Ai、

出、…4分別是正方形對(duì)角線的交點(diǎn)，則2021個(gè)正方形形成的重疊部分的面積和為（）

A.—cm2B.505cm2

4

C.2021D.（,L）2021a/2

44

3.（2021秋?蓮池區(qū)期末）如圖，點(diǎn)。是正方形ABC。的對(duì)稱中心，射線。M,ON分別交

正方形的邊A。，CD于E,F兩點(diǎn)，連接EF,已知AO=2,NEOF=90；

（1）以點(diǎn)E,O,F,。為頂點(diǎn)的圖形的面積為一；

4.（2021?蘭州模擬）如圖，在邊長為8的正方形A8C。中，對(duì)角線ACB。交于點(diǎn)O,點(diǎn)E

是邊C。上方一點(diǎn)，且NCEO=90°,若DE=2,則EO的長為

E

5.(2021?深圳模擬)如圖，正方形ABC。的對(duì)角線交于點(diǎn)O,點(diǎn)E、尸分別在A8、8C上

(AE<BE),且NEO尸=90°,OE、DA的延長線交于點(diǎn)M,OF、AB的延長線交于點(diǎn)

N,連接MN.

(1)求證：0M=0N；

(2)若正方形ABC。的邊長為6,OE=EM,求MN的長.

6.(2010?石家莊二模)在圖1到圖3中，點(diǎn)。是正方形ABCC對(duì)角線AC的中點(diǎn)，AMPN

為直角三角形，NMPN=90；正方形A8CO保持不動(dòng)，沿射線AC向右平移，平

移過程中P點(diǎn)始終在射線AC上，且保持PM垂直于直線AB于點(diǎn)E,PN垂直于直線BC于

點(diǎn)尸.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)。重合時(shí)，0E與OF的數(shù)量關(guān)系為；

(2)如圖2,當(dāng)P在線段OC上時(shí)，猜想OE與。尸有怎樣的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系？并

對(duì)你的猜想結(jié)果給予證明；

(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)P在AC的延長線上時(shí)，OE與OF的數(shù)量關(guān)系為;位置關(guān)系

(挑戰(zhàn)壓軸)專題1.7正方形模型-對(duì)角互補(bǔ)模型

【方法技巧】

在正方形ABCD中，。為兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，點(diǎn)E,F分別在AB、BC上，若

NEOF為直角，OE、OF分別與DA、AB的延長線交于點(diǎn)G、H,則AAOE名BOF,

▲AOG四▲BOH,AOGH是等腰直角三角形，S四邊形=；s正方形.

]

【典例1]（2021秋?泉港區(qū)期末）如圖，在正方形A8CO中，AC交8。于O,尸在AC上,

連線。尸，過尸作房1?。尸交80于G,交AB于E.

（1）求證：DF=EF；

（2）若尸為OC中點(diǎn)，求證：FG=EG.

【答案】⑴略（2）略

【解答】證明：（1）如圖1,連接8尸,

圖1

?.?四邊形ABC。是正方形，

：.DC=BC,N￡>AC=Nft4C=45°,ACLBD,

在△D4F和△8AF中，

fDA=BA

<ZDAF=ZBAF-

AF=AF

：./\DAF^/\BAF(SAS),

:.DF=BF,ZADF=ZABF,

?:NDAE=NDFE=90°,

/.ZADF+ZAEF=180°,

VZAEF+ZBEF=180°,

???/ADF=NBEF,

：.NABF=NBEF,

：.BF=EF=DF；

(2)如圖2,過點(diǎn)E作E”_LAC于H,

圖2

：.Z.EHF=ZDOF=90°,

AZDFO+ZFDO=90°=NDFO+NEFH,

:"FDO=/EFH,

在△￡>FO和中，

<ZFD0=ZEFH

,NDOF=NEHF，

DF=EF

:?△DFOQAFEH(A4S),

:?DO=FH,

???尸為oc中點(diǎn)，

：.FO=CF,

：.OH=OF,

*：BD〃HE,

.F0FG

??麗演，

：.FG=GE.

【變式1?1】（2020?呼倫貝爾）已知：如圖，在正方形A3CD中，對(duì)角線AC,3。相交于

點(diǎn)。，點(diǎn)E,尸分別是邊3C,CD上的點(diǎn)，且NE。尸=90°.

求證：CE=DF.

【答案】略

【解答】證明：?.?四邊形ABCO為正方形,

：.OD=OC,NOOF=/OCE=45°,ZCOD=90°,

.,.ZDOF+ZCOF=90°,

Z￡OF=90°,即/。0后+/0)尸=90°,

：.ZCOE=ZDOF,

.?.△COE絲△OOF(ASA),

：.CE=DF.

【變式1-2](2021春?寧陽縣期末)如圖，已知四邊形ABCO是正方形，對(duì)角線AC、BD

相交于O.

(1)如圖1,設(shè)E、尸分別是A。、43上的點(diǎn)，且/EOF=90°,線段AF、3尸和EF之

間存在一定的數(shù)量關(guān)系.請(qǐng)你用等式直接寫出這個(gè)數(shù)量關(guān)系；

(2)如圖2,設(shè)E、尸分別是A8上不同的兩個(gè)點(diǎn)，且NE。尸=45°,請(qǐng)你用等式表示線

圖1圖2

【答案】(1)EF2=AF2+BF2(2)EF1=BF1+AEL

【解答】解：(1)EF2=AFi+BF2.

理由：如圖1,；四邊形ABCQ是正方形，

：.OA=OB,NOAE=NOBF=45°,AC±BD,

...NEOF=/4OB=90",

:.NEOA=NFOB,

在AEOA和△FOB中，

"ZE0A=ZF0B

-OA=OB，

Z0AE=Z0BF

:.叢EOAm叢FOB(ASA),

：.AE=BF,

在RtA￡AF中，EF1=AE2+AF2^AF2+BF2：

(2)在8c上取一點(diǎn)H,使得5H=AE.

???四邊形ABC。是正方形，

：.OA=OB,NOAE=NOBH,ZAOB=90a,

在△O4E和△08”中，

'OA=OB

<ZOAE=ZOBH

AE=BH

：./\OAE^/\OBH(SAS),

：.AE=BH,NAOE=NBOH,OE=OH,

VZEOF=45°,

/.ZAOE+ZBOF=45°,

；.NBOF+NBOH=45°,

:.NFOE=NFOH=45°,

在△尸OE和△尸0”中?，

"OF=OF

<ZFOE=ZFOH>

OE=OH

...△尸OE四△尸OH(SAS),

:.EF=FH,

■:NFBH=90°,

：.FH2=BF2+BH2,

：.EF1=BF1+AEr,

【典例2】（2022春?沂源縣期中）如圖，在正方形A8CO中，點(diǎn)。是對(duì)角線AC,的交

點(diǎn)，過點(diǎn)O作射線OM,ON分別交8C,C￡＞于點(diǎn)E,F,且/EOF=90°,OC,EF交

于點(diǎn)G.有下列結(jié)論：

①△COE絲ZWO尸；

②CF=BE；

③四邊形CEOF的面積為正方形ABCD面積的?！；

4

@OF2+OE2=EF2.

其中正確的是（）

A.①②③④B.①②③C.①②④D.③④

【答案】A

【解答】解：①在正方形A8c。中，OC=OD,ZCOD=90°,NOOC=/OC3=45°,

VZEOF=90°,

NCOE=NEOF-ZCOF=900-NCOF,

：.ZCOE=ZDOF,

在△COE和△OOF中，

"Z0CE=Z0DF

?OC=OD，

ZC0E=ZD0F

:.XCOE9XDOF（.ASA）,故①正確；

②;△COE絲△OOF,

：.CE=DF,

:四邊形ABC。為正方形，

：.BC=CD,

：.BE=CF,故②正確；

③由①全等可得四邊形CEOF的面積與△口?￡＞面積相等，

...四邊形CEOF的面積為正方形ABCD面積的工，故③正確：

4

④在Rt^EC廠中，ZEOF=90°,根據(jù)勾股定理，得：

。爐+0產(chǎn)=￡1尸，故④正確；

綜上所述，iE確的是①②③④，

故選：A.

【變式2-1］（2021秋?錦江區(qū)期末）如圖，正方形A8CO的對(duì)角線相交于點(diǎn)O,以點(diǎn)。為

頂點(diǎn)的正方形OEGF的兩邊OE,OF分別交正方形ABC。的兩邊AB,BC于點(diǎn)M,N,

記△AOM的面積為Si，△CON的面積為S2，若正方形的邊長AB=10,Si=16,則出

A.6B.7C.8D.9

【答案】D

【解答】解：???四邊形ABCO和四邊形0ABe都是正方形，

：.OB=OC,/O&4=/OCB=45°,/BOC=/AOC=90°,

：.ZA'OB=ZCOC.

在△OB"與△口?'中，

，ZOBA=ZOCB

,OB=OC，

ZBOM=ZNOC

:.△OBM92OCN(ASA),

.,.Si+S2=SA0Afi=Ax10X10=25,

4

；.S2=25-16=9,

故選：D.

【變式2-2]（2021?重慶）如圖，正方形ABCO的對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)O,歷是邊4。

上一點(diǎn)，連接OM,過點(diǎn)。作。NLOM,交CQ于點(diǎn)N.若四邊形MONO的面積是1,

則A8的長為（）

A.1B.A/2C.2D.272

【答案】C

【解答】解：：四邊形ABCO是正方形，

:.NMDO=NNCO=45°,OD=OC,/OOC=90",

：.ZDON+ZCON=90°,

'：ON±OM,

.?.NMON=90°,

AZDON+ZDOM=90°,

NDOM=4CON,

在△OOM和△CON中，

"ZDOM=ZCON

<OD=OC，

1ZMDO=ZNCO

：./\DOM^/\CON(ASA),

V四邊形MOND的面積是1,四邊形MOND的面積=Z\DOM的面積+Z\QON的面積,

四邊形MOND的面積=Z\CCW的面積+4DON的面積=Z\OOC的面積，

...△OOC的面積是I,

二正方形ABCD的血積是4,

：.AB2=4,

：.AB=2,

故選：C.

【變式2-3］（2014春?巴南區(qū)校級(jí)期末）如圖，正方形ABC￡>,點(diǎn)P是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，

連接BP,過P作PQ_LBP,PQ交CD于Q,連接8Q交AC于G,若AP=&,。為

CO中點(diǎn)，則下列結(jié)論：

①NPBC=NPQD；②BP=PQ；③NBPC=NBQC；④正方形ABC。的面積是16；

【答案】A

【解答】解：

?.?四邊形A8CD是正方形,

:.NBCQ=90°,

'：PQ±PB,

：.ZBPQ=90°,

.,.ZB/je+ZBC<2=180°,

.?.8、C、0、P四點(diǎn)共圓，

:./PBC=NPQD,NBPC=/BQC,...①正確；③正確:

過P作PM_LAO于M,PE1M8于E,PFJ_OC于凡則E、P、F三點(diǎn)共線,

???四邊形A8CO是正方形,

：.AB=AD=DC=BC,ZDAC=ZBAC,NAM8=90°,

：.ZMAE=ZPEA-ZPMA=90°,PM=PE,

二四邊形AMPE是正方形，

：.AM=PM=PE=AE,

,:AP=?

.?.在RtaAEP中，由勾股定理得：AE1+PE1=(&)2

解得：AE=AM=PE=PM=\,

，OF=1,

設(shè)AB=BC=CD=AD^a,

貝I]BE=PF=a-1,

■:ZBEP=ZPFQ=ZBPQ=90°,

:.NBPE+NEBP=9Q°,NEPB+NFPQ=9Q°,

:.NEBP=NFPQ,

在△BEP和△PFQ中

'NEBP=NFPQ

<BE=PF，

ZBEP=ZPFQ

:./XBEPmAPFQ(ASA),

：.PE=FQ=\,BP=PQ,...②正確；

：.DQ=\+\=2,

?.?。為CD中點(diǎn)，

：.DC=2DQ=4,

正方形A8C0的面積是4X4=16?.④正確；

故選：A.

UM***】

1.（2022春?龍勝縣期中）如圖，兩個(gè)邊長相等的正方形ABCD和OEFG,若將正方形OEFG

繞點(diǎn)。按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)150。，則兩個(gè)正方形的重疊部分四邊形OMCN的面積（）

A.不變B.先增大再減小

C.先減小再增大D.不斷增大

【答案】A

【解答】解：???四邊形4BCQ、四邊形PEFG是兩個(gè)邊長相等正方形，

.?./3OC=NEOG=90°,NOBC=NOCZ）=45°,OB=OC,

NBOC-NCOM=NEOG-NCOM,

即/BOM=/COM

V在△80M和△CON中

<ZB0M=ZC0N

?OB=OC，

Z0BM=Z0CN

.,.△BOM絲△CON,

??.兩個(gè)正方形的重疊部分四邊形OMCN的面積是S^COM+S^CNO=S/\COM+S^BOM=S&BOC

4

即不管怎樣移動(dòng)，陰影部分的面積都等于上Sm方形ABCD，

4

故選：A.

2.（2021春?正陽縣期中）將〃個(gè)邊長都為1c機(jī)的正方形按如圖所示的方法擺放，點(diǎn)4、

A2、…A”分別是正方形對(duì)角線的交點(diǎn)，則2021個(gè)正方形形成的重疊部分的面積和為（）

A.—cm1B.505cm2

4

C.2。21/D.(A)2021cm2

44

【答案】B

【解答】解：如圖，過正方形A8C。的中心。作OM_LCO于M,作。NJ_8c于M

則NEOM=NFCW,OM=ON,且NEMO=NFNO=90°,

：./\OEM^/\OFN（ASA）,

則四邊形OECF的面積就等于正方形OMCN的面積,

則OMCN的面積是1,

,陰影部分面積等于正方形面積的工，即是工，

44

.?.則2021個(gè)正方形重疊形成的重疊部分的面積和=2020X工=505（cw2）.

4

故選：B.

3.（2021秋?蓮池區(qū)期末）如圖，點(diǎn)。是正方形48。的對(duì)稱中心，射線OM,ON分別交

正方形的邊AD,CD于E,尸兩點(diǎn)，連接EF,已知AO=2,Z￡OF=90°.

（1）以點(diǎn)E,O,F,。為頂點(diǎn)的圖形的面積為；

【答案】(1)[(2)&

【解答】解：(1)連接4。，。。，

VZ￡OF=90°,

：.ZEOD+ZFOD=9Q",

?.,四邊形A8C￡>是正方形，。是中心,

AZAOD=90°,

：.ZEOI)+ZAOE=90°,

；.NFOD=NAOE,

"：AO=DO,/D4O=/4OO=45°,

△。尸O(ASA),

??S四邊形EOU。-S^\ADOf

9：AD=2,

S/\ADO=—X4=1,

4

?5四邊形￡"￡>=1,

故答案為：1;

(2)設(shè)AE=x,則ED=2-x,

在中，后產(chǎn)=/+(2-x)2=2^-4x+4=2(x-1)2+2,

.?.當(dāng)X=1時(shí),EF有最小值圾,

故答案為：&.

4.（2021?蘭州模擬）如圖，在邊長為8的正方形A8C。中，對(duì)角線AC8。交于點(diǎn)O,點(diǎn)E

是邊CO上方一點(diǎn)，且NCEO=90°,若DE=2,則E0的長為.

E

K

［答案］V30W2

【解答】解：如圖所示，過。作OFLEO,交EC的延長線于凡

RtZ\EO尸中，/CEO+/尸=90°,

ZCED=90°,

AZCEO+ZOED=90°,

：./OED=4F,

?.,四邊形A8c。是正方形，

AZCOD=ZDOE+ZCOE=9Q°,DO=CO,

又,：NCOF+NCOE=90°,

：.ZDOE=ZCOF,

在△￡>(?￡：和△COF中,

，ZOED=ZF

<ZDOE=ZCOF.

DO=CO

:.ADOEmACOF(AAS),

:.EO=FO,DE=CF=2,

又：NEO尸=90°,

，A￡OF是等腰直角三角形，

?正方形A8CZ)的邊長為8,

RtAC￡>￡中，CE=VCD2-DE2=V82-22=>

:?EF=WI^+2,

AO￡，=cos45°后/=亞(2/15+2)=V30+A/2?

2

故答案為：V30+V2.

5.（2021?深圳模擬）如圖，正方形A8C。的對(duì)角線交于點(diǎn)。，點(diǎn)尸分別在A8、BC±.

（AEVBE）,且NEO尸=90°,OE、D4的延長線交于點(diǎn)M,AB的延長線交于點(diǎn)

N,連接MN.

（1）求證：OM=ON；

（2）若正方形A8CD的邊長為6,OE=EM,求MN的長.

【答案】（1）略（2）MN=?OM=3y]~^

【解答】解：（1）：四邊形ABCD是正方形,

：.OA=OB,ZDAO=45°,ZOBA=45Q,

/.ZOAM=ZOBN=135°,

VZEOF=90°,ZAOB=90°,

，/AOM=/BON,

：./^OAM^/\OBN(ASA),

JOM=ON；

?.?正方形的邊長為6,

JOH=HA=39

???E為OM的中點(diǎn)，

:?HM=6,

則OM=N§2+62=3，^,

.，.MN=&OM=