非線性系統(tǒng)的李導(dǎo)數(shù)運(yùn)算

第二章李導(dǎo)數(shù)李括號(hào)運(yùn)算與分布為了盡快的涉及非線性系統(tǒng)的幾何理論，我們將以較短的篇幅介紹李導(dǎo)數(shù)的概念與李括號(hào)運(yùn)算。2.1向量場(chǎng)若f(x)是n維函數(shù)向量，即f(x，…,x)TOC\o"1-5"\h\z11 nf(X,...,x)2 1 nf(x,...,x)n1 n它的每一^分量f(x)都是變量x二(x,....,x)T的函數(shù)。從幾何觀點(diǎn)i 1n看，即是對(duì)狀態(tài)空間中每一個(gè)點(diǎn)(對(duì)應(yīng)一個(gè)狀態(tài))對(duì)應(yīng)一個(gè)確定的向量即映射f:Rn―>Rn。即可以想象從每一個(gè)點(diǎn)x“發(fā)射”出一個(gè)向量，因而從整體上看形成一個(gè)由向量構(gòu)成的場(chǎng)。2.2李導(dǎo)數(shù)2.2李導(dǎo)數(shù)給定一個(gè)光滑的標(biāo)量函數(shù)h(x)和一個(gè)向量場(chǎng)f(x)，則可以定義標(biāo)量函數(shù)沿向量場(chǎng)的導(dǎo)數(shù)稱為李導(dǎo)數(shù),或稱為h對(duì)f的李導(dǎo)數(shù)。它是一個(gè)新的標(biāo)量函數(shù)記為L(zhǎng)h。f設(shè)h(x):Rn >R為一光滑標(biāo)量函數(shù)；f(x):Rn——>Rn為Rn上的一個(gè)光滑的向量場(chǎng)；g(x):Rn——>Rn為Rn上的另一個(gè)光滑的向量場(chǎng)；Lh(x)-挈.f(x)-(警,霽，…,型).f(x)TOC\o"1-5"\h\zf ox ox ox ox1 2 n—dh(x).f(x)— 或記為Vh(x).f(x)。ox ii—1 i同理有：Lh(x)=Vh(x)-g(x)=dh(x)-g(x)—工°h(x).g(x)=...g dx ii—1 i多重李導(dǎo)數(shù)可以遞歸地定義為：

LLh(x)=L(Lh(x))=色土竺”.g(x)gf gfLkh(x)二L(L-1LLh(x)=L(Lh(x))=色土竺”.g(x)gf gfdxd(Lkh(x))LLkh(x)=L(Lkh(x))= f ?g(x)gf gf dx又定義：Lh(x)=h(x)；同理：Loh(x)=h(x)fg上標(biāo)”0”意味著不求導(dǎo)，因?yàn)長(zhǎng)h(x)=L(Loh(x))適合遞歸式子。李括號(hào)運(yùn)算若f(x)與g(x)為Rn上的兩個(gè)向量場(chǎng),兩同維的向量f(x),g(x)的李括號(hào)運(yùn)算定義為：[f，g](x)占.f-f.g=Vg.f-Vf.gdx dx或記為adg，它是一^新的向量場(chǎng)。dg=dxdgi

ddg=dxdgi

dx

埜

dx1dgi

dx

dg2

dx2dxndgdxndgndx2dg ndx1同理可知f也是一個(gè)nxn的矩陣。dxJacobian陣。李括號(hào)運(yùn)算也可以多次重復(fù)進(jìn)行，例如：dgndxnnxn矩卩車它們分別稱為流形映射到g和f的[f,[f,g]],...,[f[f,...[f,g]]]或ad(adg),...,ad(ad...(adg))也可采用遞歸記法：ff ff fadkg(x)=[f,adk-1g](x) k>1

當(dāng)k=1時(shí)adg(x)=[f,ad0g(x)](x)=[f,g](x)ff因而可以定義： adog(x)=g(x)李括號(hào)運(yùn)算具有下列性質(zhì)在R域上是雙線性的，即若f,f,g,g是向量場(chǎng)，且r,r是實(shí)數(shù)，則121212有: [rf+rf,g]=r[f,g]+r[f,g]2222[f,rg+rg]=r[f,g]+r[f,g]2222是斜可交換的,即:[f，g]=-[g，f]⑶滿足Jacobian恒等式，即若f,g,p是向量場(chǎng)，則[f，[g，p]]+[g，[p，f]]+[p，[f，g]]=0協(xié)向量場(chǎng)的微分運(yùn)算對(duì)于一個(gè)向量場(chǎng)f,常常采用與其對(duì)偶的協(xié)向量場(chǎng)①，兩者都定義在Rn的開集V上，但f是列向量場(chǎng)，而3是行向量場(chǎng)，即①(x)=[①(x),①(x),...,①(x)]。它是Rn空間的對(duì)偶空間，記為(Rn)*。2 n定義一種新的運(yùn)算，稱為協(xié)向量場(chǎng)3沿向量場(chǎng)f的李導(dǎo)數(shù)，即(T'TQ3TQxL①(x)=d：?,f)=[—f +3(x)Q3TQxQx其中上標(biāo)"T"表示轉(zhuǎn)置。以上三種運(yùn)算可以統(tǒng)一起來(lái)統(tǒng)稱為李導(dǎo)數(shù)，只是：Lh(x)是指光滑標(biāo)量函數(shù)沿向量場(chǎng)的李導(dǎo)數(shù)，得到的仍是一個(gè)標(biāo)量f函數(shù)。adg(x)是光滑的向量場(chǎng)沿向量場(chǎng)的李導(dǎo)數(shù)，得到的是一個(gè)新的向f量場(chǎng)。L3(x)是協(xié)向量場(chǎng)沿向量場(chǎng)的李導(dǎo)數(shù)，得到的是一個(gè)新的協(xié)向量場(chǎng)。這三種李導(dǎo)數(shù)有下列關(guān)系：

L?g；'=：：L畀，g-；+?，[f，g]；其中f,g表示向量場(chǎng)；3表示協(xié)向量場(chǎng)；表示內(nèi)積。2.6運(yùn)算法則以上三種李導(dǎo)數(shù)運(yùn)算,經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的推導(dǎo)，可以得到下列運(yùn)算規(guī)則:(1)如果f是一^向量場(chǎng)，a,九為實(shí)值函數(shù)，則L九(x)=(L九(x))a(x)若f,g是向量場(chǎng)，a,卩是實(shí)值函數(shù)，則[af,Pg](x)=a(x)卩(x)[f,g](x)+(L卩(x))a(x)g(x)-(La(x))卩(x)f(x)fg若f,g是向量場(chǎng)，九是實(shí)值函數(shù)，則L 九(x)二LL九(x)-LL九(x)[f,g] fg gf⑷若f是向量場(chǎng)，3是協(xié)向量場(chǎng)，a,卩是實(shí)值函數(shù)，.則LafLaf+(LP(x))a(x)3(x)若f是向量場(chǎng)，九是實(shí)值函數(shù)，則Ld九(x)=dL九(x)

ff(5)若f,g是向量場(chǎng),3是協(xié)向量場(chǎng)，則L g：(x)=(L^3(x),g(x).：+：：3(x),[f,g](x)；：此式即上述已提到的三種李導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系。2.7分布(Distributions)(1)分布的意義定義在Rn開集U上的光滑向量場(chǎng)f可以直觀地看作是一種光滑映射，即對(duì)于U上每一點(diǎn)x賦以n維光滑向量f(x)?，F(xiàn)在假設(shè)定義在同樣的開集U上有d個(gè)光滑的向量場(chǎng)f1，…,fd，并且注意到在U中任意給定的點(diǎn)x,向量f](x)，…,fd(x)張成了一個(gè)向量空間，該向量空間是f(x)內(nèi)被定義的那個(gè)向量空間(即Rn)的子空間。若f(x)，…,尢(x)是光滑的，則對(duì)開集UGRn上的每一點(diǎn)x來(lái)說(shuō)，1d子空間由某些光滑的向量場(chǎng)來(lái)張成，于是稱它為光滑分布。所以分布是在某種意義下的子空間的集合，也是向量場(chǎng)的集合，記為△=spanf],…，fd}要注意△記分布整體，而記A(x)記△在x點(diǎn)上的“值”(即某一個(gè)子空間)從分布是一個(gè)向量空間，一個(gè)Rn的子空間的觀點(diǎn)出發(fā)，則可列出分布的一些特性。(2)分布的一些特性：(I)如果A】和A2是分布，則A】+A2也是分布，稱為分布的和，即若 A1(x)=spanf】(x),…，fd(x)}A(x)=span(g1(x),...,ge(x)}當(dāng)x指定時(shí)，上兩式均表示子空間。因此(A]+A2)()=spanf(x…，fd[x),g(x), ge[x)}也表示某子空間。故A=A1+A2二spanif】，…,f,g,…,g}d】e同理若A1和A2是分布，則a1nA2也是分布，稱為分布的交，即由下式確定(a1na2)Q=a(x)na2[x)包容：若對(duì)所有x,有A](x)二A2(x),記為A1=A2稱為A1包容A2。所以若對(duì)所有x,f(x)gA(x),則稱向量場(chǎng)f屬于分布A，記feA。若一個(gè)矩陣F，它具有n行，每一行的各項(xiàng)均是x的光滑函數(shù),則它的每一列就可看成是光滑的向量場(chǎng)。這種矩陣就可表示成由它的列張成的光滑分布。其在每一點(diǎn)x上的“值”就是矩陣F在x點(diǎn)上的“象”,即A(x)=Im(F(x))分布在點(diǎn)x處的維數(shù)就是A(x)子空間的維數(shù)，顯然若分布被看成

是某矩陣F的列所張成的子空間的集合，則分布在點(diǎn)x處的維數(shù)就是矩陣F(x)的秩。若一個(gè)分布它在U中任何x上的維數(shù)不變，即dim(A(x))=const ， xeU則稱分布是非奇異的，否則稱變維分布。若在某點(diǎn)xo處及其xo的鄰域Uo上分布是非奇異的，則稱x0為正則點(diǎn)，否則稱奇異點(diǎn)兩個(gè)光滑分布的和仍是光滑分布，而兩個(gè)光滑分布的交不一定是光滑的?？捎煞蠢f(shuō)明：Ai=span|ij A2=span(A{AA2)(r)= 若xx豐0所以(A]PlA2)(x)=A1(x)=A2(x)=spanl卜,若xx=0所以A與A的交是不光滑的，因?yàn)椴豢赡茉赗2上找到一個(gè)光滑的向量場(chǎng)，12它除了x=0的線上不為零之外，其余各處均為零。1(3)對(duì)合分布(I)定義：若T和t是屬于分布A的任意兩個(gè)向量場(chǎng)，且由t和t1212構(gòu)成的李括號(hào)It,t］所得到的向量場(chǎng)仍然屬于分布A，則這樣的分布12tt]eAtt]eA12即：當(dāng)且僅當(dāng)teA,teA=12稱△為對(duì)合分布。(II)判別對(duì)合分布的方法：考慮非奇異分布A，則A中的任意兩個(gè)向量場(chǎng)t,teA均可12表示成T1(x)=fc.(x)f.(x).=1爲(wèi)(x)=fdi(x)f.(x)i=1其中A(x)=spa則可容易推導(dǎo)得：L,t Xx)eA 等價(jià)于[i, fjlxi=1其中A(x)=spa則可容易推導(dǎo)得：L,t Xx)eA 等價(jià)于[i, fjlx)eA (對(duì)所有1<i,j<d)ij所以有：當(dāng)且僅當(dāng)S f.h)eA(對(duì)所有1<i,j<d)分布A是對(duì)合的。因此實(shí)際上只要證明對(duì)非奇異分布ranfd(x)]=rankIf3 fd(￥)[/,/?Kx)]對(duì)所有x和所有1<i,j<d成立(111)一些推論①一維分布總是對(duì)合分布：因?yàn)锳=spanf},f是非零向量場(chǎng)則由因而f，f]=f-f -f=0dx dxranf}=1rankf,f,f?=rankf,o}=1rankf}=rank{f,f,f?=1故結(jié)論得證②二維分布不一定是對(duì)合的考慮在R3空間中的二維分布A=s〃af丿}「2x2-Tf1(x)=1, f2(x)=00_x2_1f-f2由于S，f2]唱-0=00000001100=0_x2_1000所以有rankf1,所以有rankf1,f2)=2rankf1?f2f訂2?=rank2x2101000=3X21_因而該分布不是對(duì)合的。③兩個(gè)對(duì)合分布的和不一定是對(duì)合的；(可由上面的例子說(shuō)明，因?yàn)橐痪S分布是對(duì)合的，但兩個(gè)一維分布的和不一定對(duì)合)，但兩個(gè)對(duì)合分布的交仍是對(duì)合分布。(IV)對(duì)偶分布(協(xié)分布)在很多情況下，為了應(yīng)用的方便起見，常常采用所謂對(duì)偶分布或協(xié)分布。上面提到分布A是用列向量場(chǎng)來(lái)定義的。而對(duì)偶分布是用其對(duì)偶物行向量場(chǎng)來(lái)定義的，所以對(duì)于某一給定的點(diǎn)X，協(xié)分布是對(duì)偶空間的一個(gè)子空間。若叫,W2,…,叫表示一組行向量場(chǎng)(即協(xié)向量場(chǎng))則協(xié)分布表示為Q=spab，...,叫}對(duì)于U中給定的點(diǎn)X，協(xié)分布是中的一個(gè)子空間，記為Q(x)=spa )?…,?d(x)}所以如果給定一個(gè)分布A，則對(duì)于U中的每一個(gè)點(diǎn)X，有A(x)，它是Rn的子空間；aC)的所有零化向量的集合構(gòu)成了對(duì)偶空間特定的子空間，即它是A。)的正交補(bǔ)，是Qn)的子空間。即可用式子表示成A丄(x)={『wQn):V①*,U＞二0,對(duì)所有uGA(x)}A丄(x)也稱為△(X)的零化子。式中V①*,U＞表示行向量3*與列向量V的內(nèi)積。類似的，若給定一個(gè)協(xié)分布Q,則協(xié)分布Q的正交補(bǔ)Q丄可表示成0丄G)={VGRn:V①*,u＞二0,對(duì)所有W*GQ(X)}

要注意的是由此構(gòu)成的協(xié)分布可能失掉光滑性，即原分布是光滑的，而其正交補(bǔ)不一定保證也是光滑的。2.8Frobenius定理考慮偏微分方程CGRn)即若已知即若已知span^dk、,dk2…,dk”_d其中： 1<j<n-d九.(x)是需要求解的未知函數(shù)jf1(x)，…,fd(x)是已知向量場(chǎng)所以竺?是未知函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，是一個(gè)行向量?，F(xiàn)在要問(wèn)此偏微分方程是否有解。以上問(wèn)題如果用幾何的觀點(diǎn)來(lái)敘述，則表示如下：一^非奇異的d維分布A:A=spaf],…,fd}定義在Rn的開集U上，對(duì)于U上的每一點(diǎn)x0及其鄰域U0，f/x),…,乙6)是定義在U0上的光滑向量場(chǎng)。如果在U0上定義的(n-d)個(gè)實(shí)光滑函數(shù)，人G)九…九d(x)1 2 n-d能使span^dk,d九2…,d、_d}=A丄，那末就稱這個(gè)分布A是完全可積的?；蛘呔唧w一點(diǎn)說(shuō)就是矩陣FG)的列所張成的分布是完全可積的?，F(xiàn)在的問(wèn)題是在什么條件下分布A是完全可積的？Frobenius定理：一個(gè)分布當(dāng)且僅當(dāng)它是對(duì)合的，則是完全可積的。該定理的證明應(yīng)分兩部分，即需證明條件的必要性與充分性。必要性：即若這樣的解k.存在，(即A是完全可積的)來(lái)推導(dǎo)出A是對(duì)合的。nd則有色 f.(x)=：. dkfl =0xgU0,1<j<n—d,1<i<d

采用李導(dǎo)數(shù)記號(hào)即：l右.(x]=o再由李括號(hào)運(yùn)算法則可得：L[fi,f叫C)=LfLfk.(X)_ 勺x]=0由于上式中的兩項(xiàng)為零。故有fk]■=L[fi,f)=0_礙,fk甲!「礙,fk必2。)d九]d2衛(wèi)fi,f幾—dC)d九dn—d{d{dXl?d九2…,d九 }=A丄1 2 n-d因?yàn)橐阎猻pan所以所有[f,fk]一定是A中的一個(gè)向量，根據(jù)對(duì)合分布的判別法則可知A是對(duì)合的。充分性：充分性可以從構(gòu)造上來(lái)證明，即若條件滿足,偏微分方程的n-d個(gè)獨(dú)立函數(shù)是如何一定能被構(gòu)造出來(lái)的。因?yàn)榉植糀=spanif[，…,fd}對(duì)應(yīng)的子空間A(x)是非奇異的，且其維數(shù)為d，于是總可以找到另外的同樣定義在開集U0上的向量場(chǎng)集合f，…f，它是原來(lái)A(x)向量場(chǎng)集合的補(bǔ)集，即在每一點(diǎn)xGU0,d+1 n有span{f(x),…f(x),f(x),…f(x)}=Rn1 d d+1 n并假設(shè)向量場(chǎng)中的函數(shù)均是光滑的，再令0f(x0)是常微分方程tx=f(x)在x(0)=x0初始條件下的解。即x(t)=0f(x0)，它是x和t的tp光滑函數(shù)，換句話說(shuō)，它滿足一0f(x)=f(0f(x))，0f(x)=x。0f(x)ptt t 0 t可以稱為流函數(shù)。因此，對(duì)任意給定的x0，以及x0的領(lǐng)域U0上的任意x，總可以找到充分小的t，使下列映射關(guān)系成立，0f:xT0f(x)它是一個(gè)局部微分同胚映射〔所以其逆映射也存在，即0f】】=0f。因t —t此對(duì)于充分小的t，S,有0f(x)=0f(0f(x))成立。這樣偏微分方程的t+s ts解可以用向量場(chǎng)f,…,f的流函數(shù)的恰當(dāng)組合來(lái)構(gòu)成，這些流函數(shù)是1n

TOC\o"1-5"\h\z0f1(x),f2(x),???，0f(x)?，F(xiàn)在來(lái)考慮映射，F(xiàn):UTRn(z，…,z)t1 t2 tn ￡ 1_