非參數(shù)統(tǒng)計翻譯7

第七章中位數(shù)和百分位數(shù)的置信區(qū)間7.1舊方法：以t分布為基礎計算均值置信區(qū)間我們知道如何用t公式找出平均值u的95%的置信區(qū)間。x土x土t0.025\：n利用R中t檢驗函數(shù)很容易計算該置信區(qū)間。然而，當以假設為基礎的常規(guī)理論不被滿足時，我們可以轉而尋找總體中位數(shù)M的95%的置信區(qū)間來替代非參數(shù)。這不是簡單的任務，但如果你能遵循置信區(qū)間構造邏輯，它是可行的。此外，該程序可以很容易地推廣到除中位數(shù)外的百分數(shù)(例如，我們可以找到四分之一分位數(shù)置信區(qū)間，80%分位數(shù)置信區(qū)間等)。7.2中位數(shù)M的非參數(shù)置信區(qū)間回顧構造置信區(qū)間的基本概念：利用95%的置信區(qū)間來估計一些總體非參數(shù)°,我們需要找到兩個常數(shù)c和c，使得12p(c<0<c)=0.95.12區(qū)間(c,c)被認為是非參數(shù)0在95%的置信度下的置信區(qū)間。在總體均值M下，我12們想要找到中位數(shù)的上極限Ml和下極限Mu使得p(M<M<M)=0.95.L U假設我們的樣本包括n個變量值XXX?我們知道任何一個變量值下降高于或1, 2, n(低于)中位數(shù)M的概率為0.5。我們已經(jīng)建立了，它的樣本值都在中位數(shù)以上，T統(tǒng)計量將是一個隨機變量并且服從x?B(n,0.50)二項式抽樣分布。從尋找中位數(shù)M邊界置信區(qū)間開始，由于p二0.5，所以我們可以充分利x?B(n,0.50)二項式抽樣分布是對稱分布這一事實，任何變量值高于中位數(shù)M或低于中位數(shù)M概率都是相同的。(如果p豐0.5，則不滿足)。為了說明這一點，這里有三種P二0.5的不同的二項式抽樣分布，

己一5匚①0o0 10 20 30 40 己一5匚①0o0 10 20 30 40 50Numberofsiiccess50Numberofsuccess100 150 200將變量值X⑴,X(2), X(n)按從小到大的順序排列(即X(1)<X⑵<X⑶<?……X(n))。由于對稱性，但這些數(shù)據(jù)按順序放置時，在每個端點處，中位數(shù)M的置信區(qū)間的端點的數(shù)值相同。因為只有觀察有限數(shù)量的樣本，這將導致考慮在可能的間隔內的有限數(shù)量。所以對于(MM)可能的函數(shù)值有L,U(X(1),x(n))，(x(2),x(n-1))，(x(3),X(n一2))，....下面我們來看一個例子。例：睡眠模式。關于阿格紐睡眠模式的研究。通過測量16個年齡在50歲和60歲之間身心健康的男性在0級睡眠的時間占總睡眠時間的百分比。以下是相關數(shù)據(jù)：0.070.691.741.901.992.413.073.083.103.533.714.01&11&239.1010.16找到在0級睡眠時間真實中位數(shù)百分比的95%的置信區(qū)間。我們將輸入的數(shù)據(jù)轉換成一個R向量，然后儲存它：〉x<-c(0.07,0.69,1.74,1.90,1.99,2.41,3.07,3.08,3.10,3.53,3.71,+4.01,8.11,8.23,9.10,10.16)x.sorted<-sort(x)x.sorted[1]0.070.691.741.901.992.413.073.083.103.533.714.01[13]8.118.239.1010.16M置信區(qū)間可能取值有(0.07,10.16), (0.69,9.10)， (1.74,8.23)等。剩下的唯一要做的是找到與這些區(qū)間關聯(lián)的置信度水平。我們希望為我們的答案，找到最窄的置信區(qū)間。邏輯。為了展示這是如何工作，我們考慮區(qū)間(0.07,10.16)。這是最大的置信區(qū)間，如果M不在數(shù)據(jù)的范圍之內，它將無法覆蓋M。如果發(fā)生這種情況，那么要么所有的樣本值都高于M或都低于M，所以超過M隨機樣本的變量值必須滿足T=0(都不滿足)或者T=16(都滿足)。因為T服從二項分布x?B(16,0.5),所以概率為dbinom(0,16,.5)+dbinom(16,16,.5)[1]3.051758e-05因此“未能覆蓋”的概率，覆蓋概率，或置信水平是1-(dbinom(0,16,.5)+dbinom(16,16,.5))[1]0.9999695區(qū)間(0.07,10.16)是M的99.99695%的置信區(qū)間。這實現(xiàn)了我們所期望的95%的置信水平，但是該區(qū)間可能太寬。如果我們移動到下一個最寬的區(qū)間(0.69,9.10)呢？因為該區(qū)間更窄，所以它的置信水平就更低。但是，如果它仍然在95%以上，那么說明它比區(qū)間(0.07，10.16)更好。通過使用上述相同的邏輯，除非T>1或T<15，否則區(qū)間(0.69,9.10)將無法覆蓋M。區(qū)間(0.69,9.10)的覆蓋概率為>1-sum(dbinom(c(0,1,15,16),16,0.5))[1]0.9994812如果你希望看到這趨勢發(fā)展。如果繼續(xù)這個過程，將得到以下的結果:CutpointlocationsIntervalendpointsConfidencelevel0infromeachend(0.07,10.16)0.99996951infromeachend(0.69,9.10)0.99948122infroineachend(1.74,8.23)0.99581903infromeachend(1.90, 1)0.97872924infromeachend(1.99,丄01)0.9231873因此，M的95%的置信區(qū)間是。因此我們知道年齡在50歲至60歲之間的健康男性0級睡眠時間占總睡眠時間的中位數(shù)百分比的95%置信區(qū)間是(1.90,&11)。注意事項:1?當樣本n非常小的和樣本二項分布x?B(n,0.5)是高度離散的，實際的置信水平與95%的置信水平有一些差別。(由明尼蘇達大學的查爾斯?格耶和格倫?麥所提出的一個著名的模糊置信區(qū)間方法試圖解決這個問題，這里不再贅述。)上面的方法是比較保守，也就是說，它產生的置信水平，將永遠不會低于既定置信水平的區(qū)間。然而，這可能會導致一個間隔較寬(不太精確)置信水平。3?該過程可以概括為尋找置信區(qū)間百分比的中位數(shù)(50%分位數(shù))等。下面是定制R函數(shù)，自動化上面的過程，并發(fā)現(xiàn)對于任何百分位數(shù)都是廣義非參數(shù)置信區(qū)間。pctile?ci<-function(x,p=0.5,conf.level=0?95){Producesanexactconfidenceintervalonthe100*pthpercentile,basedonthebinomialtest,wheretiedvaluesareexcluded.#、isthevectorofobservations.'p*isthepercentileofinterest(e.g.p=0.5->50thpercentile=median)?'conf?1evel'istheconfidencelevel(between0and1)forthereturnedCT?delta<-(max(x)-min(x))/lelOxgrid<-c(x,x+deltarx-delta)value?in.ci<-rep(NA,length(xgrid))for(iiiin1:length(xgrid)){xl<-c(sum(x<xgrid[iii])tsum(x>xgrid[iii]));n<-sum(xl)value?in.ci[iii]<-binom?test(xl,ntp,alternative= sided",conf?1evel)$p??1evel}-'ci<-c(min(xgrid[value?in?ci])[,max(xgrid[value?in?ci]))result<-as.data?f工ame(list(percentile=p,lower=ci[1]rupper=ci[2]))class(resuit)<-ntable11result下面是在載入一個R函數(shù)執(zhí)行后，前面的例子：〉x<-c(0.07,0.69,1.74,1.90,1.99,2.41,3.07,3.08,3.10,3.53,+3.71,4.01,8.11,8.23,9.10,10.16)>pctile.ci(x)percentilelowerupper0.51.98.114?如果n過小或者所要求的百分位是太極端了，上述過程可以分解(即無法產生可信限)。例如，它可能會為一個給定的數(shù)據(jù)集來計算總體中位數(shù)的置信區(qū)間，但它可能無法找到一個百分之九十八分位數(shù)的置信區(qū)間。5?如果n很小，這些方法相對來說是粗糙的，但它們仍然是有用的。7.3采用大樣本正態(tài)逼近中位數(shù)/百分位數(shù)置信區(qū)間回顧一下，如果二項分布x?B(n,p)并且滿足np>10,(1-n)p>10,那么近似正態(tài)分布:T逼近芒(u=np,6=^(1-n)p)因此用這些大樣本，我們可以用一個95%的正態(tài)分布捕獲“區(qū)域”，以確定其中95%置信區(qū)間的邊界。步驟如下：檢驗是否滿足np>10且(1-n)p>10將這些變量值按從小到大的順序的排列(記為X(1)<X⑵<X⑶<…….X(n))要計算人口百分位數(shù)95%的置信區(qū)間，找到下列指數(shù)：L=np—1.96\：：np(1-p)?將L四舍五入到高階整數(shù)。U=np+1.96*np(1-p).將U四舍五入到高階整數(shù)。4?百分位數(shù)的95%的置信區(qū)間是((X(l),X(U)).例：犯罪率。一位犯罪學家為研究在美國中型縣中教育水平和犯罪率水平之間的關系,收集的數(shù)據(jù)為84個縣中隨機抽取。將兩個變量進行測量：樣本中至少具有高中文憑的百分比，以及犯罪率(報告為每10萬居民的犯罪數(shù)量)。該數(shù)據(jù)出現(xiàn)在我們的庫的文本文件crimerate.txt中。發(fā)現(xiàn)并解釋在所有大中型美國的縣中犯罪率分布的75%分位數(shù)的90%的置信區(qū)間。解決方案：我們讀取該文本文件到名為crimerateR的數(shù)據(jù)框，檢查這兩個變量的名稱，然后提取犯罪率變量轉換成自身的向量：〉site<-"/hughesmr/sta333/crimerate.txt"crimerate<-read.table(site,header=TRUE)names(crimerate)[1]"rate""pct.diploma"rate<-crimerate$rate現(xiàn)在我們按照步驟求四分之三分位數(shù)的置信區(qū)間：1?檢驗是否滿足np>10且(1-n)p>10:length(rate)*0.75>10[1]TRUElength(rate)*(1-0.75)>10[1]TRUE2.將這些變量值按從小到大的順序的排列:>sort.rate<-sort(rate)3?求出90%置信區(qū)間相應的端點有序索引:L<-length(mte)*0.75+qnorm(0.05)*sqrt(length(rmte)*0?75*(1-0?75))U<一length(rate)*0?75+qnorm(0?95)*sqrt(length(rate)*0?75*(1一0?75))L[1]56?47219U[1]69?52781ceiling(c(LrU)) #theRfunctionceiling()alwaysroundsup[1]57704?找到90%的置信區(qū)間indices<-ceiling(c(L,U))sort.rate[indices][1]82209697對于調查的所有的中型美國縣中犯罪率的四分之三位數(shù)90%的置信區(qū)間是每10萬居民犯罪數(shù)在8220到9697之間。注：以下是采用7.2節(jié)所述的精確的二項分布方法求得的相同的置信區(qū)間pctile.ci(rate,p=0.75,conf.level=0.90)percentilelowerupper0.75 8179 9697因此，正太逼近效果是相當不錯的。當n值越大時，逼近效果更好。使用R做下列各題。使用盡可能通用的R代碼指令，并且還盡可能高效。1?成年美國人每天睡眠時間平均7.8小時。您認為大學生睡眠少于這個平均值，那么你收集的在邁阿密的15名大學生進行隨機抽樣，并獲得其準確的每天的睡眠量(以小時計),數(shù)據(jù)如下：6.74.56.48.65.58.25.97.54.46.06.38.37.35.710.1將這些觀測值按從小到大順序排列，并將區(qū)間(4.5，8.6)，作為對穆大學生的天真實睡眠時間的置信區(qū)間，計算相關的置信水平。b.找到M以90%的置信區(qū)間。使用R函數(shù)pctile.ci()。解釋在文中的時間間隔。2根據(jù)R中uwecsample數(shù)據(jù)，其中包含從UWEC本科生樣本的當前數(shù)據(jù)。我們尤其對學生高中百分位排名（根據(jù)數(shù)據(jù)變量HSP）感興趣。找到所有UWEC本科生中位數(shù)高中排名百分位數(shù)均值的95%的置信區(qū)間。使用已建立的R函數(shù)pctile.ci（）。并解釋在文中的置信區(qū)間。你怎樣解釋a和b結果的差異找到所有UWEC本科生的高中排名的70%百分位數(shù)的95%的置信區(qū)間。（我知道這聽起來很繞口，但仔細想一分鐘）。并解釋在文中的置信區(qū)間。第8章配對數(shù)據(jù)測試：符號檢驗8.1成對樣本我們現(xiàn)在要看看幾個用于分析成對（或匹配）方法樣本?并以這樣的方式收集兩個總體的隨機樣本，這樣每個樣本的每個值可以與其他樣本確定的值有效配對或匹配。這通常是通過對一組受試者測量相同屬性的兩倍（即在兩種不同的情況下）來完成。例：猴子的刺激一位生理學家想知道猴子更喜歡的大腦區(qū)域A的刺激，還是大腦區(qū)域B的刺激。在實驗中，14只獼猴被指導按下兩個鍵。當燈亮起時，壓在燈1上的總是導致區(qū)域A的刺激;壓在燈2上的總是導致區(qū)域B的刺激。學習按下鍵之后，對猴子進行15分鐘的測試，記錄下在段時間內按下兩個鍵的頻率。頻率越高，優(yōu)先級越高。數(shù)據(jù)顯示在右邊。這是成對的數(shù)據(jù)的一個例子，因為每個測試者（猴）都被測試了兩次。

SubjectBarIBar2120402182532438斗1427553162621715328293891525109181125321231281335338.2舊方法:成對t檢驗以及使用t檢驗求置信區(qū)間29H。：H。：M1_M2—0vs.Ha：MH。：M1_M2—0vs.Ha：MHo：M1_M2—0vs.Ha：M1-M2工0 （雙側檢驗）1-卩2>0 （上尾檢驗）1-M2<0 （下尾檢驗）這里u是第一總體均值，u是第二總體均值。回顧一下那些成對數(shù)據(jù)，我們12可以對每個匹配對di=x1i-x2i形成樣本差異。然后對總體均值之差d的估計,我們據(jù)此求出相應的SE標準誤差。dt檢驗統(tǒng)計量和95%置信區(qū)間分別由下式給出d—0t二 和d土t xSESE 0.025dd這些都可以在R中使用t檢驗、采用配對為真選項來完成。例：厭食癥的治療.神經(jīng)性厭食癥是在年輕女性中一個嚴重的飲食失調癥。接受家庭治療之前和接收家庭治療之后的文件anorexiatherapy,txt數(shù)據(jù)提供的17名年輕厭食癥婦女的重量(磅)家庭治療對厭食癥的年輕女性平均重量有沒有顯著作用呢？解決方案。在研究的問題上沒有特定的方向，所以我們將采用雙側檢驗。把文件讀入R的數(shù)據(jù)框(命名為anorexiatherapy)后，我們運行測試：site<-"http://www?users?muohlo?edu/hughesmr/sta333/anorexiatherapy?txtnanorexiatherapy<-read?table(site,header=TRUE)attach(anorexiatherapy)t?test(wt?beforefwt?after,paired=TRUE)Pairedt-testdata: wt.beforeandwt?aftert=一4?1849,df=16,p-value=0?0007003alternativehypothesis:truedifferenceinmeansisnotequalto095percentconfidenceinterval:一10?944712 一3?584700sampleestimates:meanofthedifferences一7?264706該數(shù)據(jù)由兩個數(shù)值列（wt.before和wt,after）構成的。我們在t檢驗中引入雙邊檢驗來測試配對t檢驗。自由度為16的t統(tǒng)計值是-4.185，并且p值是0.0007。因為p〈0.05,則拒絕原假設H°。因此說明家庭治療對厭食癥的年輕女性平均重量有顯著性影響。相應的95%置信區(qū)間為u u 為（-10.94磅，-3.58磅）。wt.before wt.after該時間間隔pwt.before-pwt.after是完全負值，所以我們認為，在治療之前，真實的平均體重比治療后的3.58磅到10.96磅低。但要記住????配對t檢驗是一種參數(shù)檢驗。為什么呢？由于調查結果的有效性取決于對差分值的總體正態(tài)假設。在非參數(shù)統(tǒng)計，但是，我們要拿出兩個總體進行比較的一種方式（治療后治療前，如權重與權重;大腦區(qū)域A對腦區(qū)域B的激勵水平，等等），不需要這個假設。這是本節(jié)的主題。8.3符號檢驗配對樣本符號檢驗是最簡單非參數(shù)檢驗之一。它是用于相同的受試者（如上面給出的兩個例子）重復測量的配對樣本使用。符號檢驗唯一的假設是：1?將樣本隨機采集。該數(shù)據(jù)是在（x,y）成對數(shù)據(jù)形式，其中：?X是第一個樣本的配對數(shù)據(jù)值i?Y是第二個樣本的配對數(shù)據(jù)值i2?測量值至少是有序的（即個體值至少是有序的）邏輯：對于每一個函數(shù)，從第一個配對函數(shù)值減去第二個配對函數(shù)值，然后寫下不同的符號。（也就是說，如果差值為負，記為“-”；如果差值為正，記為“+”。）如果值是一樣的，則說明它們是被束縛的：通常我們從測試中刪除這樣的對…但后來這樣的對會更多。X-Y>0T指定該配對為+TOC\o"1-5"\h\zi iX一Y<0T指定該配對為-i iX-Y=0T該值被束縛：通常從總體中去掉改組配對數(shù)據(jù)值i i通常該檢驗的原假設是，有兩個中位數(shù)值M和M之間沒有差異。如果是這樣，那X Y么“+”號（或“-”號，對于這個問題）的數(shù)量滿足n為受試者人數(shù)和p=0.5二項式抽樣分布。換句話說，符號檢驗僅僅是一個使用“+”和-”代替“成功”和“失敗”的二項式測試。假設：假設如下H:M=M H:M豐M（雙側檢驗）TOC\o"1-5"\h\z0X Y aX YH:M>M（上尾檢驗）a X YH:M<M（下尾檢驗）a X Y與之前一樣，根據(jù)相關研究問題挑選合適的H。a

檢驗統(tǒng)計量:讓T等于所有為“+”的個數(shù)。檢驗統(tǒng)計量的原分布。于解開對的數(shù)目。如果原假設H0為真,那么二項分布x?B（n'0?50），其中n等p值：根據(jù)定義，對于任意假設檢驗的p值是看到樣本值中至少有一對矛盾的H0（和同意H0）作為你的實際樣本中觀察到的概率。在這種情況下，p值將可能是來自于二項分布B（n，0.50）原分布。然后，我們將該值與預先確定的顯著性水平Q相比較。配對樣本的符號檢驗僅僅是p=0.5的二項式檢驗例如：猴子的刺激。一位生理學家想知道猴子是更喜歡大腦區(qū)域A的刺激，還是更喜歡大腦區(qū)域B的刺激。在這種情況下，研究人員沒有預測一個特定的結果，而是想知道，這兩種情況是否不同。因此，另一種假設是無方向性的，也就是說，是雙面假設：H:猴子對A和B刺激區(qū)域沒有偏好0H:有刺激區(qū)域A和B之間的偏好a?由于是成對的數(shù)據(jù)值，比較中位數(shù)符號檢驗可用于測試假設。?“+”號值的中位數(shù)（以np=14（0.5）二7）將與原假設H是一致的。0?在這種情況，多個或兩個數(shù)“+”的值將與備擇H是一致的。a我們建立了檢驗統(tǒng)計量：SubjectBar/Bar2DifferenceSignofdifference12040-20一21825-7一32438-14一41427-13一5531-26一62621+5+71532-17一82938-9一91525-10一10918-9一112532-7一123128+3+133533+2+141229-17一因此結果顯示T3。所以這些數(shù)據(jù)沒有打結，所以T的原分布是二項分布x?B(14,0.5)。我們將展示在R中我們如何使用binom.test()函數(shù)做這一切：x<-c(20,18,24,14,5,26,15,29,15,9,25,31,35,12)y<-c(40,25,38,27,31,21,32,38,25,18,32,28,33,29)d<-x-yd[1]-20-7-14-13-265-17-9-10-9-732-17T<-length(d[d〉0])T[1]3binom.test(T,length(d[d!=0]),alternative="two.sided"ded")Exactbinomialtestdata:Tandlength(d[d!=0])numberofsuccesses=3,numberoftrials=14,p-value=0.05737alternativehypothesis:trueprobabilityofsuccessisnotequalto0.595percentconfidenceinterval:0.046579290.50797568sampleestimates:probabilityofsuccess0.214285用于檢驗的p值是0.0574，這是統(tǒng)計上的邊界顯著。也就是說，有輕微顯著表明，在猴子中刺激區(qū)域A和B之間有一個偏好。由于“+”的數(shù)量較少，這表明區(qū)域B有更高的頻率，因此B區(qū)是首選。&4打結和零糊弄對于給定的題，如果X和Y觀測值是打結的又會怎樣呢？采用以下步驟處理符號檢驗的零差異。定義的差異向量d后，我們可以這樣做：d<-d[d!=0]n<-length(d)這種方法把零差異數(shù)據(jù)看做好像他們不是數(shù)據(jù)的一部分(樣本大小n相應減少)。這就是所謂的零糊弄。?大多數(shù)非參數(shù)統(tǒng)計的書籍推薦零糊弄方法（或至少先介紹它）。?從理論的角度來看，它是假設一個有效的測試H:P（XvY）二P（X>Y）0 ii iiH:P（XvY）豐P（X>Y）a ii ii（或類似的片面的替代方法）。但這些假設不是你要測試的！你要測試的假設是中位數(shù)是相同的還是不同的。為了說明這一點,考慮在猴子的例子中通過增加一百萬零差異數(shù)據(jù)到數(shù)據(jù)中以修改這些數(shù)據(jù)?！傲愫狈椒ǜ嬖V我們，扔掉那些零數(shù)據(jù)，做同樣的分析，得到p值=0.0574,—個輕微顯著的結果?但是對于整個數(shù)據(jù)集來說，在100萬個數(shù)據(jù)中，只有14個數(shù)據(jù)有不同的反應，我們得到完全相同的兩個大腦反應區(qū)域。這是比較中位數(shù)的原假設的最有利的證據(jù)。并且是非常顯著的證據(jù)用以推翻“零糊弄”測試的原假設這個故事的寓意：在解釋顯著性檢驗中，我們僅有p值小于0.05這是遠遠不夠的。更重要的是我們要知道原假設是什么。拒絕任何無科學價值的虛無假設。因此，零糊弄是一種隱蔽的做假。雖然被廣泛接受，但是是假的。之所以大家喜歡它是因為比起其他策略，它產生的p值往往小于0.5，即使它是假的，每個人都喜歡得到“統(tǒng)計量顯著”的結果 那么，該怎么辦？當打結數(shù)據(jù)的數(shù)量非常小時（也就是說，數(shù)據(jù)少于5%）,實行“零糊弄”通常是可行。（換句話說，你欺騙一點，沒有人會注意到。）這里有一些其他的方法來處理很多打結數(shù)據(jù)的情況。通常需要考慮以下幾點：?如果只有2個受試者與打結數(shù)據(jù)掛鉤，做一個（+）號和一個（-）號。?一般來說，如果有偶數(shù)個受試者與打結數(shù)據(jù)掛鉤，做一半的（+）符號，做一半的（-）符號。?抖動。打結通常是處理那些對離散數(shù)據(jù)測量的響應的結果。因此，一個更精確的方法來避開解打結，添加自身移動或抖動的無窮小數(shù)列到每個變量值中，在這些變量值中抖動是積極的還是消極的概率為1。例如，再次考慮猴子示例的數(shù)據(jù)：x<-c（20,18,24,14,5,26,15,29,15,9,25,31,35,12）y