小學(xué)數(shù)學(xué)6年級(jí)培優(yōu)奧數(shù)講義 第04講-分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)求和（含解析）

第04講分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)求和

學(xué)習(xí)目標(biāo)

?①會(huì)找通項(xiàng)，并能利用通項(xiàng)來(lái)裂項(xiàng)；

?②在通項(xiàng)不易找到時(shí)，會(huì)觀察、改造、運(yùn)用公式來(lái)做適當(dāng)變形或先進(jìn)行一部分運(yùn)算使新的

通項(xiàng)易于找到，從而進(jìn)一步裂項(xiàng)。

費(fèi)0知識(shí)梳理加

一、“裂差”型運(yùn)算

將算式中的項(xiàng)進(jìn)行拆分，使拆分后的項(xiàng)可前后抵消，這種拆項(xiàng)計(jì)算稱為裂項(xiàng)法?裂項(xiàng)分為分

數(shù)裂項(xiàng)和整數(shù)裂項(xiàng)，常見(jiàn)的裂項(xiàng)方法是將數(shù)字分拆成兩個(gè)或多個(gè)數(shù)字單位的和或差。遇到裂項(xiàng)

的計(jì)算題時(shí)，要仔細(xì)的觀察每項(xiàng)的分子和分母，找出每項(xiàng)分子分母之間具有的相同的關(guān)系，找

出共有部分，裂項(xiàng)的題目無(wú)需復(fù)雜的計(jì)算，一般都是中間部分消去的過(guò)程，這樣的話，找到相

鄰兩項(xiàng)的相似部分，讓它們消去才是最根本的。

(1)對(duì)于分母可以寫(xiě)作兩個(gè)因數(shù)乘積的分?jǐn)?shù)，即_L形式的，這里我們把較小的數(shù)寫(xiě)在前面,

axb

即那么有—L=—!—己一3

axbb-aab

(2)對(duì)于分母上為3個(gè)或4個(gè)連續(xù)自然數(shù)乘積形式的分?jǐn)?shù)，即：

--------!--------，----------!---------形式的，我們有：

〃x(〃+1)x(〃+2)〃x(〃+1)x(〃+2)x(〃+3)

??x(n+1)x(n+2)2nx(n+1)(〃+1)(〃+2)

%x伽+1)x(〃+2)x(〃+3)3〃x(〃+1)x(〃+2)(n+l)x(n+2)x(〃+3)

二、“裂和”型運(yùn)算

常見(jiàn)的裂和型運(yùn)算主要有以下兩種形式:

/、、a+bab11a2b*1ab

(1)----=----+----=-+—(2)-------=----+----=—+—

axbaxbaxbbaaxbaxhaxbba

裂和型運(yùn)算與裂差型運(yùn)算的對(duì)比：

裂差型運(yùn)算的核心環(huán)節(jié)是“兩兩抵消達(dá)到簡(jiǎn)化的目的”，裂和型運(yùn)算的題目不僅有“兩兩抵

消”型的，同時(shí)還有轉(zhuǎn)化為“分?jǐn)?shù)湊整”型的，以達(dá)到簡(jiǎn)化目的。

典例分析..

----+-----+-----+-----+-----=

1x22x33x44x55x6

例2、

11+21+2+31+2+---+100

例3、

例4、計(jì)算:1-+2—F3—F4----1■,?,+20-----

261220

例公小+八已+…+品前

9998971

例6、-----------1-------------1------------------F???H

1x2x32x3x43x4x5--------99x100x101

例7、計(jì)算:----------------------1------------------------1-----------------------F???H-------------------------------

Ix2x4x52x3x5x63x4x6x710x11x13x14

12+3222+4232+52982+1002

例8、計(jì)算:------------>4F+,,,+

22-1----32-1-----42-1------------992-1

111111

例9、計(jì)算:---------1----------+??.-!---------------+-------1------1"...+—

2x34x598x99515299

實(shí)戰(zhàn)演練

＞課堂狙擊

1、.一+」

10x1111x1259x60

111+L-L+-L+-L+-L)X|28=

2、計(jì)算:(8+24+4880120168224288

3、計(jì)算：T7獲T而方+藪而+2001x2003x2005

I5II192997019899

4、計(jì)算:—+—+—+—+—+???+------------1------------

2612203097029900

6_______

1x2x3Ix2x3x4Ix2x3x4x5Ix2x3x4x5x6Ix2x3x4x5x6x7

1222T23T2"

6、計(jì)算:------1--------1---------1-----1-------------F-----------F.,?H------------------------

1x33x55x7--------17x1911x3x53x5x717x19x21

2399

7、計(jì)算:—H--------F■??H----------=)

3!4!100!-----------------

I222325O2

8、計(jì)算:-----+------+------+…+

1x33x55x799x101

(++11、2007z111、

”7^667^^H------------------1---------------)------------(----------------1------------------F.......H----------------)

2006x22007x120081x20062x20052006x1

＞課后反擊

2222

1、------------1----------F???H-----------1-----------=

10x99x85x44x3

251251251251251

2、----------1-----------4----------------F

4x88x1212x162000x20042004x2008

4號(hào)3245671

3、V|:-------+---------1-----------1-------------1-------------1--------------1-----=

2x55x77x1111x1616x2222x2929

4、計(jì)算：2008—+2009—+2010—+2011—+2012—=

1854108180270

5______L—+—L.+」—+..+」—+__1_

Ix2x3x42x3x4x53x4x5x66x7x8x97x8x9x10

5719

6、計(jì)算:-----------1-----------+...+-----------

1x2x32x3x48x9x10

234100

7、+十+…+

1x(1+2)(1+2)x(1+2+3)(l+2+3)x(l+2+3+4)(1+2+...+99)x(!+2+--.+100)

111111

32-152-172-192-1112-1132-1--------------

I2+2222+32182+192192+202

9、------------1-------------+.........H-------------------F---------------

1x22x318x1919x20

直擊賽場(chǎng)

（迎春杯初賽）計(jì)算：25x1—匚+―匚+―匚+…+1

1、

（1x33x55x723x25

2、（走美杯初賽）:+小4+4+*+專+專+專=

3、（走美杯初賽）計(jì)算：g2_?___1____1111i_

%一丘一與一打一瓦一石一五一拓

571719、

4、(迎春杯初賽)計(jì)算：1155x(--------1---------1-???+---------1---------)

2x3x43x4x58x9x109x10x11

重點(diǎn)回顧

常見(jiàn)的裂項(xiàng)思想:

(1)對(duì)于分母可以寫(xiě)作兩個(gè)因數(shù)乘積的分?jǐn)?shù)，即形式的，這里我們把較小的數(shù)寫(xiě)在前面,

axb

即那么有」_=_匚己一3

axhb-aah

(2)對(duì)于分母上為3個(gè)或4個(gè)連續(xù)自然數(shù)乘積形式的分?jǐn)?shù)，即：

--------5-------，------------5-----------形式的，我們有：

〃x(〃+1)x(〃+2)nx(n+1)x(〃+2)x(〃+3)

(〃+1)x(〃+2)2x(/2+1)("+1)("+2)

〃x(〃+l)x(〃+2)x(〃+3)3+1)x(〃+2)(〃+1)x(〃+2)x(〃+3)

axbaxbaxbba

+人22及ab

(4)------=--a--+----=-+—

axbaxbaxbba

?名師點(diǎn)撥篇

裂差型裂項(xiàng)的三大關(guān)鍵特征:

(1)分子全部相同，最簡(jiǎn)單形式為都是1的，復(fù)雜形式可為都是x(x為任意自然數(shù))的,

但是只要將X提取出來(lái)即可轉(zhuǎn)化為分子都是1的運(yùn)算。

(2)分母上均為幾個(gè)自然數(shù)的乘積形式，并且滿足相鄰2個(gè)分母上的因數(shù)“首尾相接”

(3)分母上幾個(gè)因數(shù)間的差是一個(gè)定值。

學(xué)霸經(jīng)驗(yàn)

＞本節(jié)課我學(xué)到

＞我需要努力的地方是

第04講分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)求和

教學(xué)目標(biāo)

?①會(huì)找通項(xiàng)，并能利用通項(xiàng)來(lái)裂項(xiàng);

?②在通項(xiàng)不易找到時(shí)，會(huì)觀察、改造、運(yùn)用公式來(lái)做適當(dāng)變形或先進(jìn)行一部分運(yùn)算使新的

通項(xiàng)易于找到，從而進(jìn)一步裂項(xiàng)。

VV知識(shí)梳理

一、“裂差”型運(yùn)算

將算式中的項(xiàng)進(jìn)行拆分，使拆分后的項(xiàng)可前后抵消，這種拆項(xiàng)計(jì)算稱為裂項(xiàng)法.裂項(xiàng)分為分

數(shù)裂項(xiàng)和整數(shù)裂項(xiàng)，常見(jiàn)的裂項(xiàng)方法是將數(shù)字分拆成兩個(gè)或多個(gè)數(shù)字單位的和或差。遇到裂

項(xiàng)的計(jì)算題時(shí)，要仔細(xì)的觀察每項(xiàng)的分子和分母，找出每項(xiàng)分子分母之間具有的相同的關(guān)系，

找出共有部分，裂項(xiàng)的題目無(wú)需復(fù)雜的計(jì)算，一般都是中間部分消去的過(guò)程，這樣的話，找

到相鄰兩項(xiàng)的相似部分，讓它們消去才是最根本的。

(1)對(duì)于分母可以寫(xiě)作兩個(gè)因數(shù)乘積的分?jǐn)?shù)，即—［形式的，這里我們把較小的數(shù)寫(xiě)在前面,

axb

即—=-(---)

axhh-aab

(2)對(duì)于分母上為3個(gè)或4個(gè)連續(xù)自然數(shù)乘積形式的分?jǐn)?shù)，即：

〃X(〃+1)X5+2)72x(H4-1)X(〃+2)X(〃+3)

+1)x(〃+2)2nx(n+Y)(〃+1)(〃+2)

----------------------=一1--------------z------------------------]

〃x(〃+1)x(〃+2)x(〃+3)3〃x(〃+1)x(〃+2)(〃+1)x(力+2)x(〃+3)

二、“裂和”型運(yùn)算

常見(jiàn)的裂和型運(yùn)算主要有以下兩種形式:

+bab11/及ab

(1)-----=------+-----=-+—(2)--------=------+-----=-+-

axbaxbaxbbaaxhaxhaxhha

裂和型運(yùn)算與裂差型運(yùn)算的對(duì)比:

裂差型運(yùn)算的核心環(huán)節(jié)是“兩兩抵消達(dá)到簡(jiǎn)化的目的”，裂和型運(yùn)算的題目不僅有“兩兩抵

消”型的，同時(shí)還有轉(zhuǎn)化為“分?jǐn)?shù)湊整”型的，以達(dá)到簡(jiǎn)化目的。

典例分析

1111

例1、H----------+-------F------+------

1^22x33x44x55x6

15

【解析】原式=4-…十

166

提醒學(xué)生注意要乘以（分母差）分之一，如改為：*為，計(jì)算過(guò)程就要

變?yōu)?

111]

例2、-4---------+

11+21+2+31+2+.--+100

【解析】本題為典型的“隱藏在等差數(shù)列求和公式背后的分?jǐn)?shù)裂差型裂項(xiàng)”問(wèn)題。此類問(wèn)題需要

從最簡(jiǎn)單的項(xiàng)開(kāi)始入手，通過(guò)公式的運(yùn)算尋找規(guī)律。從第一項(xiàng)開(kāi)始，對(duì)分母進(jìn)行等差數(shù)列求和

運(yùn)算公式的代入有齊擊1_1_2

172-(l+2)x2-2^3

22

2222=2x(—)=?

原式=----------1------------1-------+---H------------------

1x22x33x4100x101101101

111111

例3、1+一+一+一+一+一+一

3610152128

【解析】原式"達(dá)+金+

-----------------------F,??H-------------------------------------------

1+2+3+41+2+3+4+5+6+7

222]_111

1+-----+-----+…+---=--2-+一—F.??+-

2x33x47x81433

"c1r1,121

例4、計(jì)算:1-+2-+3—+4—+-??+20——

261220420

【解析】=+2+3++20)+f-+-+—+—+-..+^—1

、,(261220420J

_L_L_L_L..._^

=210+1x2+2x3+3x4+4x5++20x21

=210+「—1

223342021

=210+1--=210—

2121

1[1

例5、

1x2x32x3x47x8x9

【解析】首先分析出/一'/「+_111

(〃一+2（7?-l）x7?x（7?4-1）2（77-1）x72〃X（k+l）

35

-144

999897

例6、一++"+???+

1)<2x32x3x43x4x599x100x101

_100_1_1001_1001

【解析】99

1x2x31x2x31x2x32x31x2x32x3

98__100-2_1002_1001

2x3x42x3x42x3x42x3x42x3x43x4

97__100-3_1003_1001

3x4x53x4x53x4x53x4x53x4x54x5

1_100-99_10099_1001

99x100x10199x100x10199x100x10199x100x10199x100x101100x101

府十—100=100100100一七3x14

工[-----H------------------F-------------4~...4---------------H-------------F...+）

1x2x32x3x43x4x599x100x101100x101

=\00x-x（-———---）=24—

22101002101101

34512

例7、計(jì)算:+++???4----------------------------

1x2x4x52x3x5x63x4x6x710x11x13x14

【解析】觀察可知原式每一項(xiàng)的分母中如果補(bǔ)上分子中的數(shù)，就會(huì)是5個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積,

所以可以先將每一項(xiàng)的分子、分母都乘以分子中的數(shù).即:

324252122

原式=+++...+-------------

1x2x3x4x52x3x4x5x63x4x5x6x710x11x12x13x14

現(xiàn)在進(jìn)行裂項(xiàng)的話無(wú)法全部相消，需要對(duì)分子進(jìn)行分拆，考慮到每一項(xiàng)中分子、分母

的對(duì)稱性，可以用平方差公式：32=1x5+4,42=2x6+4,52=3x7+4

3252122

原式=+++.?.+-------------

1x2x3x4x52x3x4x5x63x4x5x6x710x11x12x13x14

1x5+42x6+43x7+410x14+4

=----------------------------F--------------------------+---------------------------+???+------------------------------------

Ix2x3x4x52x3x4x5x63x4x5x6x710x11x12x13x14

_(1111)

<2x3x43x4x54x5x611x12x13)

<4444

+-------------------------H--------------------------------1------------------------------F???H-------------------------------------

11x2x3x4x52x3x4x5x63x4x5x6x710x1lx12x13x14

]]

10x11x12x1311x12x13x14

4---------

122x12x132411x12x13x14811x12x13x14

82x11x14

]___175

8-368-616

123I+3222+4232+52982+1002

例8、計(jì)算:--------+----------+---------+...+--------------

22-132-142-1992-1

【解析】中=更22+422032+5234+工1020.434c4

------二—,-----=—，....J—=2-，—=2-9—=2—

32-1842-11533881515

4

可見(jiàn)原式=2號(hào)+2/+2高+…+2

992-1

ccc/1111

=2x98+4x------1---------1--------F??-----------

11x32x43x598x100

=196+4x1x11

2I

=1…96+2cx1+-1------1-------1--

I299100

199

=196+3-2x

9900

4751

=198

4950

111111

例9、計(jì)算:-----+-----+…+H--------1---------1-------1-------=

2x34x598x99515299

【解析】原式e+2

\111

----1-----F,??H-------++2x----+-------!-???+—

2450)-(rr-^)^525498

111

+----1------F??H

492627--------49

11

+2xH-----------F???4------4------

^)(i284850

1

+--------1-----------F,??H---------十一

2513142450

—+—+???++—?-?+—1+2x1―+―4-...+-|+--

241216245025

------1---------F--------------1--------r,?-------------------

241278125025

—+—+—+2x1二+二+-I+--------

246810125025

—+—+------------

24645025

149

=1H-------

502550

實(shí)戰(zhàn)演練

＞課堂狙擊

1、

10x1111x1259x60

【解析】原式=(《-()+『11

5)++(----------)—-----

5960106012

C6所J1111111、…

2、Vr?(—I-----1-------1------1-------1-------1--------1-----)x128—

8244880120168224288

【解析】原式=(—1

L+----+---+???+—5—)x128

2x44x66x816x18

…——-)x128=(--—)x64

224461618218=2吟

3、計(jì)算：/石+號(hào)3+號(hào)…+1

2001x2003x2005

11

【解析】原式3x5++??.+

3x55x72001x20032003x2005

j_x<J________1____1004003

4XIU3-2003x2005J-12048045

1511192997019899

4、計(jì)算:—I111F???++

2612203097029900

123456

---------1----------------1----------------------1----------------------------1---------------------------------F-----------------------------------

1x21x2x31x2x3x41x2x3x4x5Ix2x3x4x5x6Ix2x3x4x5x6x7

rA/J+廠/石13—14—15—16—17—1

【解析】原式=——+-----+---------+-----------+-------------+----------------

1x21x2x31x2x3x41x2x3x4x51x2x3x4x5x61x2x3x4x5x6x7

十十“.十...一

1x21x21x2x31x2x3Ix2x3x4Ix2x3x4x5x6x7

111

=-----+----------------------------------

1x21x21x2x3x4x5x6x7

=1__1_5039

~~5040~5040

122228r2324211

6、計(jì)算:-----+------+------+…++---------+…+

1x33x55x717x19Jx3x53x5x717x19x21)

2”22442929

【解析】-----------1-----------+???+++

1x3x53x5x7--------17x19x21U33x53x55x7+17x1919x21

2242829

=---------1-----------1------------1-------1-----------------------------

1x33x55x717x1919x21

所以原式=±+￡+.?.+2822428

---------F---------1------------F???H-------------

17x191x33x55x717x19

29__1512-133379

-19x21-b^3--399-399

2399

7、計(jì)算:H-------F??---------

3!4!100!

【解析】原式為階乘的形式，較難進(jìn)行分析，但是如果將其寫(xiě)成連乘積的形式，題目就豁然開(kāi)

朗了.

99

原式=--------------1--------------------+.，，+

1x2x3Ix2x3x4Ix2x3x…xlOO

3-14-1100-1

-------+--------------------------------

1x2x31x2x3x41X2X3X---X100

=------------+------------------+???+--------------------------------

1x21x2x31x2x3Ix2x3x4Ix2x3x…x99Ix2x3x---xlOO

1___________1________j___1

-T72-1X2X3X...X100-2-l00!

I22232502

8、計(jì)算:----+----+-----+…+

1x33x55x799x101

【解析】式子中每一項(xiàng)的分子與分母初看起來(lái)關(guān)系不大，但是如果將其中的分母根據(jù)平方差公

式分別變?yōu)?2-1,42-1,62-1,……，1002-1,可以發(fā)現(xiàn)如果分母都加上1,那么恰好都是

分子的4倍，所以可以先將原式乘以4后進(jìn)行計(jì)算，得出結(jié)果后除以4就得到原式的值了.

原式二+6210()2]

+??-+

4|^22-142-162-11002-1)

=31+」_+1+-_+1+，_+...+1+一_

22-14--162-1100--1

1111

=-x|50+-------4---------+---------+…+

4I1x33x55x799x101

1

=-x

4

=1x50^

4101

11

9、+…+^_+。_磔(__+__+_+_1_)

1x20072x20062006x22007x120081x20062x20052006x1

【解析】原式=費(fèi)火1、2007z11、

----------------1------------------F…+-------)------(F…H)

1x20072x20062007x120081x2006-----2006x1

2008/111、200711、

x(++…+)(z+...+)

20081x20072x20062007x120081x20062006x1

1/200820082008、1/20072007、

x(++…+)(+…+)

20081x20072x20062007x120081x20062006x1

「世+―L+L_L+..L+...+」_+~

20081200722006200711200620061

-Lx［d+-UL-L+…+，+1）一（!+，+…+，+!）］

2008I200722006200711200620061

11

x（------1------

2008200720072015028

＞課后反擊

2222

1、4--------+???H------------F-------=

10x99x85x44x3

111111117

【解析】原式=2x-------+-----------1-??.+----------1------=2x

91089453415

、生+生251251

2L+W+…+2000x2004+2004x2008

4x88x1212x16

【解析】原式----------1------------1-----------F???H----------------------1--------------------

161x22x33x4500x501501x502

空X1.111111

-"I------------P--------+...+

16I22334501502

251501501叱21

-.......x........--------15—

-16502~3232

」自3245671

3o、V|?-----+------+--------F-------H-----------1----------F—=

2x55x77x1111x1616x2222x2929

【解析】原式=;1+泊+;-*?2+《-導(dǎo)?*/=;

4、計(jì)算：2008—+2009—+2010—+2011—+2012—=

1854108180270

111

［解析】原式=2008+2009+2010+2011+2012+上+上+一+-----+——

3x66x99x1212x1515x18

.2010x5+lx++

9122356

=10050—

54

11111

5、++…+6x7x8x9+7x8x9xl0

Ix2x3x42x3x4x53x4x5x6

［解析】原式一-2x3-2x3x4+2x3x4-3x4x5+…+7x8x9-8x9x10

=lxf_!_________O=_Q9.

311x2x38x9xl0j2160

【解析】如果式子中每一項(xiàng)的分子都相同，那么就是一道很常見(jiàn)的分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)的題目.但是本題

中分子不相同，而是成等差數(shù)列，且等差數(shù)列的公差為2.相比較于2,4,6,……這一公差

為2的等差數(shù)列（該數(shù)列的第"個(gè)數(shù)恰好為"的2倍）,原式中分子所成的等差數(shù)列每一項(xiàng)都比其

大3,所以可以先把原式中每一項(xiàng)的分子都分成3與另一個(gè)的和再進(jìn)行計(jì)算.

3+23+43+16

原式=++…+

1x2x32x3x48x9x10

=3X-----------1-------------F???H-------------|+2X|-----------1---------------F???H-------------

(1x2x32x3x48x9xl0j11x2x32x3x48x9x10

11

-------1-------+...+

2x33x49x10

也可以直接進(jìn)行通項(xiàng)歸納.根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可知分子的通項(xiàng)公式為2〃+3,所以

2〃+323再將每一項(xiàng)的西|國(guó)與

---------------\---------------=-----------------------------1----------------------------------

〃x(〃+l)x(〃+2)(〃+l)x(〃+2)〃x(〃+l)x(〃+2)

3分別加在一起進(jìn)行裂項(xiàng).后面的過(guò)程與前面的方法相同.

---------------+----------------------------------1--------------------------------------------+,??4--------------------------------------------------------------

1x(1+2)(1+2)x(1+2+3)(1+2+3)x(l+2+3+4)(l+2+―+99)x(l+2+???+100)

【解析】21__13=1_______1

1x(1+2)1~1+2(14-2)x(14-24-3)-1+2-1+2+3

_____________100_____________