2014年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標(biāo)ⅱ）

2014年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標(biāo)Ⅱ）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1．（5分）已知集合A={﹣2，0，2}，B={x|x2﹣x﹣2=0}，則A∩B=（）A．? B．{2} C．{0} D．{﹣2} 2．（5分）=（）A．1+2i B．﹣1+2i C．1﹣2i D．﹣1﹣2i 3．（5分）函數(shù)f（x）在x=x0處導(dǎo)數(shù)存在，若p：f′（x0）=0：q：x=x0是f（x）的極值點(diǎn)，則（）A．p是q的充分必要條件 B．p是q的充分條件，但不是q的必要條件 C．p是q的必要條件，但不是q的充分條件 D．p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件 4．（5分）設(shè)向量，滿足|+|=，|﹣|=，則?=（）A．1 B．2 C．3 D．5 5．（5分）等差數(shù)列{an}的公差為2，若a2，a4，a8成等比數(shù)列，則{an}的前n項(xiàng)和Sn=（）A．n（n+1） B．n（n﹣1） C． D． 6．（5分）如圖，網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長為1（表示1cm），圖中粗線畫出的是某零件的三視圖，該零件由一個底面半徑為3cm，高為6cm的圓柱體毛坯切削得到，則切削掉部分的體積與原來毛坯體積的比值為（）A． B． C． D． 7．（5分）正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面邊長為2，側(cè)棱長為，D為BC中點(diǎn)，則三棱錐A﹣B1DC1的體積為（）A．3 B． C．1 D． 8．（5分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的x，t均為2，則輸出的S=（）A．4 B．5 C．6 D．7 9．（5分）設(shè)x，y滿足約束條件，則z=x+2y的最大值為（）A．8 B．7 C．2 D．1 10．（5分）設(shè)F為拋物線C：y2=3x的焦點(diǎn)，過F且傾斜角為30°的直線交于C于A，B兩點(diǎn)，則|AB|=（）A． B．6 C．12 D．7 11．（5分）若函數(shù)f（x）=kx﹣lnx在區(qū)間（1，+∞）單調(diào)遞增，則k的取值范圍是（）A．（﹣∞，﹣2] B．（﹣∞，﹣1] C．[2，+∞） D．[1，+∞） 12．（5分）設(shè)點(diǎn)M（x0，1），若在圓O：x2+y2=1上存在點(diǎn)N，使得∠OMN=45°，則x0的取值范圍是（）A．[﹣1，1] B．[﹣，] C．[﹣，] D．[﹣，] 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13．（5分）甲、乙兩名運(yùn)動員各自等可能地從紅、白、藍(lán)3種顏色的運(yùn)動服中選擇1種，則他們選擇相同顏色運(yùn)動服的概率為．14．（5分）函數(shù)f（x）=sin（x+φ）﹣2sinφcosx的最大值為．15．（5分）偶函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=2對稱，f（3）=3，則f（﹣1）=．16．（5分）數(shù)列{an}滿足an+1=，a8=2，則a1=．三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17．（12分）四邊形ABCD的內(nèi)角A與C互補(bǔ)，AB=1，BC=3，CD=DA=2．（1）求C和BD；（2）求四邊形ABCD的面積．18．（12分）如圖，四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)．（Ⅰ）證明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）設(shè)AP=1，AD=，三棱錐P﹣ABD的體積V=，求A到平面PBC的距離．19．（12分）某市為了考核甲、乙兩部門的工作情況，隨機(jī)訪問了50位市民，根據(jù)這50位市民對兩部門的評分（評分越高表明市民的評價越高）繪制的莖葉圖如圖：（Ⅰ）分別估計(jì)該市的市民對甲、乙兩部門評分的中位數(shù)；（Ⅱ）分別估計(jì)該市的市民對甲、乙兩部門的評分高于90的概率；（Ⅲ）根據(jù)莖葉圖分析該市的市民對甲、乙兩部門的評價．20．（12分）設(shè)F1，F(xiàn)2分別是C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)且MF2與x軸垂直，直線MF1與C的另一個交點(diǎn)為N．（1）若直線MN的斜率為，求C的離心率；（2）若直線MN在y軸上的截距為2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．21．（12分）已知函數(shù)f（x）=x3﹣3x2+ax+2，曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，2）處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為﹣2．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）證明：當(dāng)k＜1時，曲線y=f（x）與直線y=kx﹣2只有一個交點(diǎn)．三、選修41：幾何證明選講22．（10分）如圖，P是⊙O外一點(diǎn)，PA是切線，A為切點(diǎn)，割線PBC與⊙O相交于點(diǎn)B，C，PC=2PA，D為PC的中點(diǎn)，AD的延長線交⊙O于點(diǎn)E，證明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）AD?DE=2PB2．四、選修44，坐標(biāo)系與參數(shù)方程23．在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，半圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ，θ∈[0，]（Ⅰ）求C的參數(shù)方程；（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)D在半圓C上，半圓C在D處的切線與直線l：y=x+2垂直，根據(jù)（1）中你得到的參數(shù)方程，求直線CD的傾斜角及D的坐標(biāo)．五、選修45：不等式選講24．設(shè)函數(shù)f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）證明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范圍．2014年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標(biāo)Ⅱ）參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1．（5分）已知集合A={﹣2，0，2}，B={x|x2﹣x﹣2=0}，則A∩B=（）A．? B．{2} C．{0} D．{﹣2} 【考點(diǎn)】1E：交集及其運(yùn)算．【專題】5J：集合．【分析】先解出集合B，再求兩集合的交集即可得出正確選項(xiàng)．【解答】解：∵A={﹣2，0，2}，B={x|x2﹣x﹣2=0}={﹣1，2}，∴A∩B={2}．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查交的運(yùn)算，理解好交的定義是解答的關(guān)鍵．2．（5分）=（）A．1+2i B．﹣1+2i C．1﹣2i D．﹣1﹣2i 【考點(diǎn)】A5：復(fù)數(shù)的運(yùn)算．【專題】5N：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)．【分析】分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)1+i化簡即可．【解答】解：化簡可得====﹣1+2i故選：B．【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的化簡，分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)是解決問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．3．（5分）函數(shù)f（x）在x=x0處導(dǎo)數(shù)存在，若p：f′（x0）=0：q：x=x0是f（x）的極值點(diǎn)，則（）A．p是q的充分必要條件 B．p是q的充分條件，但不是q的必要條件 C．p是q的必要條件，但不是q的充分條件 D．p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件 【考點(diǎn)】29：充分條件、必要條件、充要條件．【專題】5L：簡易邏輯．【分析】根據(jù)可導(dǎo)函數(shù)的極值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，利用充分條件和必要條件的定義即可得到結(jié)論．【解答】解：函數(shù)f（x）=x3的導(dǎo)數(shù)為f'（x）=3x2，由f′（x0）=0，得x0=0，但此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，無極值，充分性不成立．根據(jù)極值的定義和性質(zhì)，若x=x0是f（x）的極值點(diǎn)，則f′（x0）=0成立，即必要性成立，故p是q的必要條件，但不是q的充分條件，故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，利用函數(shù)單調(diào)性和極值之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，比較基礎(chǔ)．4．（5分）設(shè)向量，滿足|+|=，|﹣|=，則?=（）A．1 B．2 C．3 D．5 【考點(diǎn)】9O：平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算．【專題】5A：平面向量及應(yīng)用．【分析】將等式進(jìn)行平方，相加即可得到結(jié)論．【解答】解：∵|+|=，|﹣|=，∴分別平方得+2?+=10，﹣2?+=6，兩式相減得4?=10﹣6=4，即?=1，故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查向量的基本運(yùn)算，利用平方進(jìn)行相加是解決本題的關(guān)鍵，比較基礎(chǔ)．5．（5分）等差數(shù)列{an}的公差為2，若a2，a4，a8成等比數(shù)列，則{an}的前n項(xiàng)和Sn=（）A．n（n+1） B．n（n﹣1） C． D． 【考點(diǎn)】83：等差數(shù)列的性質(zhì)．【專題】54：等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】由題意可得a42=（a4﹣4）（a4+8），解得a4可得a1，代入求和公式可得．【解答】解：由題意可得a42=a2?a8，即a42=（a4﹣4）（a4+8），解得a4=8，∴a1=a4﹣3×2=2，∴Sn=na1+d，=2n+×2=n（n+1），故選：A．【點(diǎn)評】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式，屬基礎(chǔ)題．6．（5分）如圖，網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長為1（表示1cm），圖中粗線畫出的是某零件的三視圖，該零件由一個底面半徑為3cm，高為6cm的圓柱體毛坯切削得到，則切削掉部分的體積與原來毛坯體積的比值為（）A． B． C． D． 【考點(diǎn)】L!：由三視圖求面積、體積．【專題】5F：空間位置關(guān)系與距離．【分析】由三視圖判斷幾何體的形狀，通過三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的體積即可．【解答】解：幾何體是由兩個圓柱組成，一個是底面半徑為3高為2，一個是底面半徑為2，高為4，組合體體積是：32π?2+22π?4=34π．底面半徑為3cm，高為6cm的圓柱體毛坯的體積為：32π×6=54π切削掉部分的體積與原來毛坯體積的比值為：=．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查三視圖與幾何體的關(guān)系，幾何體的體積的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．7．（5分）正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面邊長為2，側(cè)棱長為，D為BC中點(diǎn)，則三棱錐A﹣B1DC1的體積為（）A．3 B． C．1 D． 【考點(diǎn)】LF：棱柱、棱錐、棱臺的體積．【專題】5F：空間位置關(guān)系與距離．【分析】由題意求出底面B1DC1的面積，求出A到底面的距離，即可求解三棱錐的體積．【解答】解：∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面邊長為2，側(cè)棱長為，D為BC中點(diǎn)，∴底面B1DC1的面積：=，A到底面的距離就是底面正三角形的高：．三棱錐A﹣B1DC1的體積為：=1．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查幾何體的體積的求法，求解幾何體的底面面積與高是解題的關(guān)鍵．8．（5分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的x，t均為2，則輸出的S=（）A．4 B．5 C．6 D．7 【考點(diǎn)】EF：程序框圖．【專題】5K：算法和程序框圖．【分析】根據(jù)條件，依次運(yùn)行程序，即可得到結(jié)論．【解答】解：若x=t=2，則第一次循環(huán)，1≤2成立，則M=，S=2+3=5，k=2，第二次循環(huán)，2≤2成立，則M=，S=2+5=7，k=3，此時3≤2不成立，輸出S=7，故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查程序框圖的識別和判斷，比較基礎(chǔ)．9．（5分）設(shè)x，y滿足約束條件，則z=x+2y的最大值為（）A．8 B．7 C．2 D．1 【考點(diǎn)】7C：簡單線性規(guī)劃．【專題】59：不等式的解法及應(yīng)用．【分析】作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識，通過平移即可求z的最大值．【解答】解：作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域，由z=x+2y，得y=﹣，平移直線y=﹣，由圖象可知當(dāng)直線y=﹣經(jīng)過點(diǎn)A時，直線y=﹣的截距最大，此時z最大．由，得，即A（3，2），此時z的最大值為z=3+2×2=7，故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法．10．（5分）設(shè)F為拋物線C：y2=3x的焦點(diǎn)，過F且傾斜角為30°的直線交于C于A，B兩點(diǎn)，則|AB|=（）A． B．6 C．12 D．7 【考點(diǎn)】K8：拋物線的性質(zhì)．【專題】5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)斜式求出直線的方程，代入拋物線的方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系，由弦長公式求得|AB|．【解答】解：由y2=3x得其焦點(diǎn)F（，0），準(zhǔn)線方程為x=﹣．則過拋物線y2=3x的焦點(diǎn)F且傾斜角為30°的直線方程為y=tan30°（x﹣）=（x﹣）．代入拋物線方程，消去y，得16x2﹣168x+9=0．設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）則x1+x2=，所以|AB|=x1++x2+=++=12故選：C．【點(diǎn)評】本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡單性質(zhì)的應(yīng)用，弦長公式的應(yīng)用，運(yùn)用弦長公式是解題的難點(diǎn)和關(guān)鍵．11．（5分）若函數(shù)f（x）=kx﹣lnx在區(qū)間（1，+∞）單調(diào)遞增，則k的取值范圍是（）A．（﹣∞，﹣2] B．（﹣∞，﹣1] C．[2，+∞） D．[1，+∞） 【考點(diǎn)】6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【專題】38：對應(yīng)思想；4R：轉(zhuǎn)化法；51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】求出導(dǎo)函數(shù)f′（x），由于函數(shù)f（x）=kx﹣lnx在區(qū)間（1，+∞）單調(diào)遞增，可得f′（x）≥0在區(qū)間（1，+∞）上恒成立．解出即可．【解答】解：f′（x）=k﹣，∵函數(shù)f（x）=kx﹣lnx在區(qū)間（1，+∞）單調(diào)遞增，∴f′（x）≥0在區(qū)間（1，+∞）上恒成立．∴k≥，而y=在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞減，∴k≥1．∴k的取值范圍是：[1，+∞）．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化方法，屬于中檔題．12．（5分）設(shè)點(diǎn)M（x0，1），若在圓O：x2+y2=1上存在點(diǎn)N，使得∠OMN=45°，則x0的取值范圍是（）A．[﹣1，1] B．[﹣，] C．[﹣，] D．[﹣，] 【考點(diǎn)】JE：直線和圓的方程的應(yīng)用．【專題】5B：直線與圓．【分析】根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．【解答】解：由題意畫出圖形如圖：點(diǎn)M（x0，1），要使圓O：x2+y2=1上存在點(diǎn)N，使得∠OMN=45°，則∠OMN的最大值大于或等于45°時一定存在點(diǎn)N，使得∠OMN=45°，而當(dāng)MN與圓相切時∠OMN取得最大值，此時MN=1，圖中只有M′到M″之間的區(qū)域滿足MN=1，∴x0的取值范圍是[﹣1，1]．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，直線與直線設(shè)出角的求法，數(shù)形結(jié)合是快速解得本題的策略之一．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13．（5分）甲、乙兩名運(yùn)動員各自等可能地從紅、白、藍(lán)3種顏色的運(yùn)動服中選擇1種，則他們選擇相同顏色運(yùn)動服的概率為．【考點(diǎn)】C8：相互獨(dú)立事件和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式．【專題】5I：概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】所有的選法共有3×3=9種，而他們選擇相同顏色運(yùn)動服的選法共有3種，由此求得他們選擇相同顏色運(yùn)動服的概率．【解答】解：所有的選法共有3×3=9種，而他們選擇相同顏色運(yùn)動服的選法共有3種，故他們選擇相同顏色運(yùn)動服的概率為=，故答案為：．【點(diǎn)評】本題主要考查相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，屬于基礎(chǔ)題．14．（5分）函數(shù)f（x）=sin（x+φ）﹣2sinφcosx的最大值為1．【考點(diǎn)】GP：兩角和與差的三角函數(shù)；HW：三角函數(shù)的最值．【專題】56：三角函數(shù)的求值；57：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】直接利用兩角和與差三角函數(shù)化簡，然后求解函數(shù)的最大值．【解答】解：函數(shù)f（x）=sin（x+φ）﹣2sinφcosx=sinxcosφ+sinφcosx﹣2sinφcosx=sinxcosφ﹣sinφcosx=sin（x﹣φ）≤1．所以函數(shù)的最大值為1．故答案為：1．【點(diǎn)評】本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，三角函數(shù)最值的求解，考查計(jì)算能力．15．（5分）偶函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=2對稱，f（3）=3，則f（﹣1）=3．【考點(diǎn)】3K：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)與判斷．【專題】51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性和對稱性的性質(zhì)，得到f（x+4）=f（x），即可得到結(jié)論．【解答】解：法1：因?yàn)榕己瘮?shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=2對稱，所以f（2+x）=f（2﹣x）=f（x﹣2），即f（x+4）=f（x），則f（﹣1）=f（﹣1+4）=f（3）=3，法2：因?yàn)楹瘮?shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=2對稱，所以f（1）=f（3）=3，因?yàn)閒（x）是偶函數(shù)，所以f（﹣1）=f（1）=3，故答案為：3．【點(diǎn)評】本題主要考查函數(shù)值的計(jì)算，利用函數(shù)奇偶性和對稱性的性質(zhì)得到周期性f（x+4）=f（x）是解決本題的關(guān)鍵，比較基礎(chǔ)．16．（5分）數(shù)列{an}滿足an+1=，a8=2，則a1=．【考點(diǎn)】8H：數(shù)列遞推式．【專題】11：計(jì)算題．【分析】根據(jù)a8=2，令n=7代入遞推公式an+1=，求得a7，再依次求出a6，a5的結(jié)果，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，求出a1的值．【解答】解：由題意得，an+1=，a8=2，令n=7代入上式得，a8=，解得a7=；令n=6代入得，a7=，解得a6=﹣1；令n=5代入得，a6=，解得a5=2；…根據(jù)以上結(jié)果發(fā)現(xiàn)，求得結(jié)果按2，，﹣1循環(huán)，∵8÷3=2…2，故a1=故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了數(shù)列遞推公式的簡單應(yīng)用，即給n具體的值代入后求數(shù)列的項(xiàng)，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17．（12分）四邊形ABCD的內(nèi)角A與C互補(bǔ)，AB=1，BC=3，CD=DA=2．（1）求C和BD；（2）求四邊形ABCD的面積．【考點(diǎn)】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【專題】56：三角函數(shù)的求值．【分析】（1）在三角形BCD中，利用余弦定理列出關(guān)系式，將BC，CD，以及cosC的值代入表示出BD2，在三角形ABD中，利用余弦定理列出關(guān)系式，將AB，DA以及cosA的值代入表示出BD2，兩者相等求出cosC的值，確定出C的度數(shù)，進(jìn)而求出BD的長；（2）由C的度數(shù)求出A的度數(shù)，利用三角形面積公式求出三角形ABD與三角形BCD面積，之和即為四邊形ABCD面積．【解答】解：（1）在△BCD中，BC=3，CD=2，由余弦定理得：BD2=BC2+CD2﹣2BC?CDcosC=13﹣12cosC①，在△ABD中，AB=1，DA=2，A+C=π，由余弦定理得：BD2=AB2+AD2﹣2AB?ADcosA=5﹣4cosA=5+4cosC②，由①②得：cosC=，則C=60°，BD=；（2）∵cosC=，cosA=﹣，∴sinC=sinA=，則S=AB?DAsinA+BC?CDsinC=×1×2×+×3×2×=2．【點(diǎn)評】此題考查了余弦定理，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，以及三角形面積公式，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．18．（12分）如圖，四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)．（Ⅰ）證明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）設(shè)AP=1，AD=，三棱錐P﹣ABD的體積V=，求A到平面PBC的距離．【考點(diǎn)】LF：棱柱、棱錐、棱臺的體積；LS：直線與平面平行；MK：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算．【專題】5F：空間位置關(guān)系與距離．【分析】（Ⅰ）設(shè)BD與AC的交點(diǎn)為O，連結(jié)EO，通過直線與平面平行的判定定理證明PB∥平面AEC；（Ⅱ）通過AP=1，AD=，三棱錐P﹣ABD的體積V=，求出AB，作AH⊥PB角PB于H，說明AH就是A到平面PBC的距離．通過解三角形求解即可．【解答】解：（Ⅰ）證明：設(shè)BD與AC的交點(diǎn)為O，連結(jié)EO，∵ABCD是矩形，∴O為BD的中點(diǎn)∵E為PD的中點(diǎn)，∴EO∥PB．EO?平面AEC，PB?平面AEC∴PB∥平面AEC；（Ⅱ）∵AP=1，AD=，三棱錐P﹣ABD的體積V=，∴V==，∴AB=，PB==．作AH⊥PB交PB于H，由題意可知BC⊥平面PAB，∴BC⊥AH，故AH⊥平面PBC．又在三角形PAB中，由射影定理可得：A到平面PBC的距離．【點(diǎn)評】本題考查直線與平面垂直，點(diǎn)到平面的距離的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．19．（12分）某市為了考核甲、乙兩部門的工作情況，隨機(jī)訪問了50位市民，根據(jù)這50位市民對兩部門的評分（評分越高表明市民的評價越高）繪制的莖葉圖如圖：（Ⅰ）分別估計(jì)該市的市民對甲、乙兩部門評分的中位數(shù)；（Ⅱ）分別估計(jì)該市的市民對甲、乙兩部門的評分高于90的概率；（Ⅲ）根據(jù)莖葉圖分析該市的市民對甲、乙兩部門的評價．【考點(diǎn)】BA：莖葉圖；BB：眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)；CB：古典概型及其概率計(jì)算公式．【專題】5I：概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】（Ⅰ）根據(jù)莖葉圖的知識，中位數(shù)是指中間的一個或兩個的平均數(shù)，首先要排序，然后再找，（Ⅱ）利用樣本來估計(jì)總體，只要求出樣本的概率就可以了．（Ⅲ）根據(jù)（Ⅰ）（Ⅱ）的結(jié)果和莖葉圖，合理的評價，恰當(dāng)?shù)拿枋黾纯桑窘獯稹拷猓海á瘢┯汕o葉圖知，50位市民對甲部門的評分有小到大順序，排在排在第25，26位的是75，75，故樣本的中位數(shù)是75，所以該市的市民對甲部門的評分的中位數(shù)的估計(jì)值是75．50位市民對乙部門的評分有小到大順序，排在排在第25，26位的是66，68，故樣本的中位數(shù)是=67，所以該市的市民對乙部門的評分的中位數(shù)的估計(jì)值是67．（Ⅱ）由莖葉圖知，50位市民對甲、乙部門的評分高于90的比率分別為，故該市的市民對甲、乙兩部門的評分高于90的概率得估計(jì)值分別為0.1，0.16，（Ⅲ）由莖葉圖知，市民對甲部門的評分的中位數(shù)高于乙部門的評分的中位數(shù)，而且由莖葉圖可以大致看出對甲部門的評分標(biāo)準(zhǔn)差要小于乙部門的標(biāo)準(zhǔn)差，說明該市市民對甲部門的評價較高、評價較為一致，對乙部門的評價較低、評價差異較大．【點(diǎn)評】本題主要考查了莖葉圖的知識，以及中位數(shù)，用樣本來估計(jì)總體的統(tǒng)計(jì)知識，屬于基礎(chǔ)題．20．（12分）設(shè)F1，F(xiàn)2分別是C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)且MF2與x軸垂直，直線MF1與C的另一個交點(diǎn)為N．（1）若直線MN的斜率為，求C的離心率；（2）若直線MN在y軸上的截距為2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．【考點(diǎn)】K4：橢圓的性質(zhì)．【專題】5E：圓錐曲線中的最值與范圍問題．【分析】（1）根據(jù)條件求出M的坐標(biāo)，利用直線MN的斜率為，建立關(guān)于a，c的方程即可求C的離心率；（2）根據(jù)直線MN在y軸上的截距為2，以及|MN|=5|F1N|，建立方程組關(guān)系，求出N的坐標(biāo)，代入橢圓方程即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）∵M(jìn)是C上一點(diǎn)且MF2與x軸垂直，∴M的橫坐標(biāo)為c，當(dāng)x=c時，y=，即M（c，），若直線MN的斜率為，即tan∠MF1F2=，即b2==a2﹣c2，即c2+﹣a2=0，則，即2e2+3e﹣2=0解得e=或e=﹣2（舍去），即e=．（Ⅱ）由題意，原點(diǎn)O是F1F2的中點(diǎn)，則直線MF1與y軸的交點(diǎn)D（0，2）是線段MF1的中點(diǎn)，設(shè)M（c，y），（y＞0），則，即，解得y=，∵OD是△MF1F2的中位線，∴=4，即b2=4a，由|MN|=5|F1N|，則|MF1|=4|F1N|，解得|DF1|=2|F1N|，即設(shè)N（x1，y1），由題意知y1＜0，則（﹣c，﹣2）=2（x1+c，y1）．即，即代入橢圓方程得，將b2=4a代入得，解得a=7，b=．【點(diǎn)評】本題主要考查橢圓的性質(zhì)，利用條件建立方程組，利用待定系數(shù)法是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大，有一定的難度．21．（12分）已知函數(shù)f（x）=x3﹣3x2+ax+2，曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，2）處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為﹣2．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）證明：當(dāng)k＜1時，曲線y=f（x）與直線y=kx﹣2只有一個交點(diǎn)．【考點(diǎn)】6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【專題】53：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立方程即可求a；（Ⅱ）構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）﹣kx+2，利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)和極值之間的關(guān)系即可得到結(jié)論．【解答】解：（Ⅰ）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=3x2﹣6x+a；f′（0）=a；則y=f（x）在點(diǎn)（0，2）處的切線方程為y=ax+2，∵切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為﹣2，∴f（﹣2）=﹣2a+2=0，解得a=1．（Ⅱ）當(dāng)a=1時，f（x）=x3﹣3x2+x+2，設(shè)g（x）=f（x）﹣kx+2=x3﹣3x2+（1﹣k）x+4，由題設(shè)知1﹣k＞0，當(dāng)x≤0時，g′（x）=3x2﹣6x+1﹣k＞0，g（x）單調(diào)遞增，g（﹣1）=k﹣1，g（0）=4，當(dāng)x＞0時，令h（x）=x3﹣3x2+4，則g（x）=h（x）+（1﹣k）x＞h（x）．則h′（x）=3x2﹣6x=3x（x﹣2）在（0，2）上單調(diào)遞減，在（2，+∞）單調(diào)遞增，∴在x=2時，h（x）取得極小值h（2）=0，g（﹣1）=k﹣1，g（0）=4，則g（x）=0在（﹣∞，0]有唯一實(shí)根．∵g（x）＞h（x）≥h（2）=0，∴g（x）=0在（0，+∞）上沒有實(shí)根．綜上當(dāng)k＜1時，曲線y=f（x）與直線y=kx﹣2只有一個交點(diǎn)．【點(diǎn)評】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及函數(shù)交點(diǎn)個數(shù)的判斷，利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的計(jì)算能力．三、選修41：幾何證明選講22．（10分）如圖，P是⊙O外一點(diǎn)，PA是切線，A為切點(diǎn)，割線PBC與⊙O相交于點(diǎn)B，C，PC=2PA，D為PC的中點(diǎn)，AD的延長線交⊙O于點(diǎn)E，證明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）AD?DE=2PB2．【考點(diǎn)】N4：相似三角形的判定；NC：與圓有關(guān)的比例線段．【專題】17：選作題；5Q：立體幾何．【分析】（Ⅰ）連接OE，OA，證明OE⊥BC，可得E是的中點(diǎn)，從而BE=EC；（Ⅱ）利用切割線定理證明PD=2PB，PB=BD，結(jié)合相交弦定理可得AD?DE=2PB2．【解答】證明：（Ⅰ）連接OE，OA，則∠OAE=∠OEA，∠OAP=90°，∵PC=2PA，D為PC的中點(diǎn)，∴PA=PD，∴∠PAD=∠PDA，∵∠PDA=∠CDE，∴∠OEA+∠CDE=∠OAE+∠PAD=90°，∴OE⊥BC，∴E是的中點(diǎn)，∴BE=EC；（Ⅱ）∵PA是切線