2024年+九年級數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)+圓綜合解答題+專題訓(xùn)練+

2024年春九年級數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)《圓綜合解答題》專題訓(xùn)練（附答案）1．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB、CD是⊙O的直徑，E是DA長線上一點，且(1)求證：CE是⊙O的切線；(2)若DE=35，tanB=12．如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑作⊙O交BC于點D．過點D作DE⊥AC，垂足為E，延長CA交⊙O于點F．(1)求證：DE是⊙O的切線；(2)若tanB=12，⊙O3．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，直徑DE⊥AB于點F，交BC于點M，DE的延長線與AC的延長線交于點N，連接AM．（1）求證：AM＝BM；（2）若AM⊥BM，DE＝8，∠N＝15°，求BC的長．4．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，D是⊙O上的一點，CO平分∠BCD，CE⊥AD，垂足為E，AB與CD相交于點F．

(1)求證：CE是⊙O的切線；(2)當(dāng)⊙O的半徑為5，sinB=355．如圖1，銳角△ABC內(nèi)接于⊙O，∠BAC=60°，若⊙O的半徑為23．(1)求BC的長度；(2)如圖2，過點A作AH⊥BC于點H，若AB+AC=12，求AH的長度．6．如圖，AB是⊙O的直徑，M是OA的中點，弦CD⊥AB于點M，過點D作DE⊥CA交CA的延長線于點E．(1)連接AD，則∠AOD=_______；(2)求證：DE與⊙O相切；(3)點F在BC?上，∠CDF=45°，DF交AB于點N．若DE=6，求FN7．如圖，AB是⊙O的直徑，點C為⊙O上一點，OF⊥BC，垂足為F，交⊙O于點E，AE與BC交于點H，點D為OE的延長線上一點，且∠ODB=∠AEC．(1)求證：BD是⊙O的切線；(2)求證：CE(3)若⊙O的半徑為52，sinA=35，求8．如圖，在△ABC中，∠C=90°，點O在AC上，以O(shè)A為半徑的⊙O交AB于點D，BD的垂直平分線交BC于點E，交BD于點F，連接DE．（1）求證：直線DE是⊙O的切線；（2）若AB=5，BC=4，OA=1，求線段DE的長．9．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD與AB交于點E，過點B的切線BP與CD的延長線交于點P，連接OC，CB．(1)求證：AE·EB=CE·ED；(2)若⊙O的半徑為3，OE=2BE，CEDE=95，求10．如圖，菱形ABCD中，AB=4，以AB為直徑作⊙O，交AC于點E，過點E作EF⊥AD于點F．(1)求證：EF是⊙O的切線；(2)連接OF，若∠BAD=60°，求OF的長．(3)在（2）的條件下，若點G是⊙O上的一個動點，則線段CG的取值范圍是什么？11．如圖，點C在以AB為直徑的半圓O上（點C不與A，B兩點重合），點D是弧AC的中點、DE⊥AB于點E，連接AC交DE于點F，連接OF，過點D作半圓O的切線DP交BA的延長線于點P(1)求證：AC∥(2)求證：AC=2DE；(3)連接CE，CP，若AE∶EO=1∶2，求CECP12．如圖1，AB為⊙O直徑，CB與⊙O相切于點B，D為⊙O上一點，連接AD、OC，若AD//（1）求證：CD為⊙O的切線；（2）如圖2，過點A作AE⊥AB交CD延長線于點E，連接BD交OC于點F，若AB=3AE=12，求BF的長．13．已知：如圖，在⊙O中，∠PAD=∠AEP，AF=CF，AB是⊙O的直徑，CD⊥AB于點G．

(1)求證：AP是⊙O的切線．(2)若AG=4，tan∠DAG=2，求△ADE(3)在（2）的條件下，求DQ的長．14．如圖，已知AB是⊙O的直徑，點E是⊙O上異于A，B的點，點F是弧EB的中點，連接AE，AF，BF，過點F作FC⊥AE交AE的延長線于點C，交AB的延長線于點D，∠ADC的平分線DG交AF于點G，交FB于點H(1)求證：CD是⊙O的切線；(2)求sin∠FHG的值；(3)若GH＝42，HB＝2，求⊙O15．如圖，⊙O的兩條弦AB、CD互相垂直，垂足為E，且AB=CD．(1)求證：AC=BD．(2)若OF⊥CD于F，OG⊥AB于G，問，四邊形OFEG是何特殊四邊形？并說明理由．(3)若CE=1，DE=3，求16．【問題提出】如圖1，△ABC為⊙O內(nèi)接三角形，已知BC=a，圓的半徑為R，探究a，R，sin∠A

【解決問題】如圖2，若∠A為銳角，連接BO并延長交⊙O于點D，連接DC，則∠A=∠D，在△DBC中，BD為⊙O的直徑，BC=a，所以BD=2R,∠BCD=90°．所以在Rt△DBC中建立a，R，sin所以在⊙O內(nèi)接三角形△ABC中，a，R，sin∠A類比銳角求法，當(dāng)∠A為直角和鈍角時都有此結(jié)論．【結(jié)論應(yīng)用】已知三角形△ABC中，∠B=60°,AC=4，則△ABC外接圓的面積為________．17．已知，AB為⊙O的直徑，PA，PC是⊙O的的切線，切點分別為A，C，過點C作CD//AB交⊙O于（1）如圖，當(dāng)P，D，O共線時，若半徑為r，求證CD=r；（2）如圖，當(dāng)P，D，O不共線時，若DE=2，CE=8，求tan∠POA18．如圖1，已知矩形ABCD中AB=23，AD=3，點E為射線BC上一點，連接DE，以DE為直徑作⊙（1）如圖2，當(dāng)BE=1時，求證：AB是⊙O的切線（2）如圖3，當(dāng)點E為BC的中點時，連接AE交⊙O于點F，連接CF，求證：CF=CD（3）當(dāng)點E在射線BC上運動時，整個運動過程中CF長度是否存在最小值？若存在請直接寫出CF長度的最小值；若不存在，請說明理由．19．已知四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，直徑AC與對角線BD相交于點E，作CH⊥BD于H，CH與過A點的直線相交于點F，∠FAD=∠ABD.

（1）求證：AF為⊙O的切線；（2）若BD平分∠ABC，求證：DA=DC；（3）在（2）的條件下，N為AF的中點，連接EN，若∠AED+∠AEN=135°，⊙O的半徑為22，求EN20．如圖1，直線l1⊥l2于點M，以l1上的點O為圓心畫圓，交l1于點A，B，交l2于點C，D，OM＝4，CD＝6，點E為弧AD上的動點，CE交AB于點F，AG⊥CE于點G，連接DG（1）求⊙O的半徑長；（2）若∠CAD＝40°，求劣弧弧AD（3）如圖2，連接DE，是否存在常數(shù)k，使CE?DE=k·EG成立？若存在，請求出k的值；若不存在，請說明理由（4）若DG∥AB，則DG的長為；（5）當(dāng)點G在AD的右側(cè)時，請直接寫出△ADG面積的最大值．參考答案1．（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠CAB+∵∠CED=∠CAB∴∠CED+∴∠DCE=∴CD⊥CE，∵CD是⊙O的直徑，即OC是⊙O半徑，∴CE是⊙O的切線；（2）由（1）知，CD⊥CE，在Rt△ABC和Rt△DEC中，∵∠B=∠D，tanB=∴tan∠B=∴CD=2CE，在Rt△CDE中，CD2+C∴2CE2解得CE=3（負(fù)值舍去），即線段CE的長為3．2．解：（1）∵OB=OD，∴∠ABC=∠ODB，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ODB=∠ACB，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，OD是半徑，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切線．（2）連接BF、AD，∵⊙O的半徑為5，AB為直徑，∴AB=10，∠ADB=90°，∠BFC=90°，∵tanB=12，設(shè)AD=x在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD2+B解得：x=25或x=?2∴BD=2x=45∵AB=AC，∠ADB=90°，∴BD=CD，∴BC=2BD=85由（1）知，OD∥AC，∴∠ODB=∠C，∵OB=OD，∴∠B=∠ODB=∠C，∴tanC=tanB=在Rt△BCF中，BF2+C解得BF=8或BF=?8（舍去），∴CF=2BF=16．3．（1）證明：∵直徑DE⊥AB于點F，∴AF＝BF，∴AM＝BM；（2）連接AO，BO，如圖，由（1）可得AM＝BM，∵AM⊥BM，∴∠MAF＝∠MBF＝45°，∴∠CMN＝∠BMF＝45°，∵AO＝BO，DE⊥AB，∴∠AOF＝∠BOF＝12∵∠N＝15°，∴∠ACM＝∠CMN+∠N＝60°，即∠ACB＝60°，∵∠ACB＝12∴∠AOF＝∠ACB＝60°．∵DE＝8，∴AO＝4．在Rt△AOF中，由sin∠AOF=AFAO在Rt△AMF中，AM＝2AF＝26．得BM=AM＝在Rt△ACM中，由tan∠ACM=AMCM∴BC＝CM+BM＝22+24．（1）證明：∵弧AC∴∠ADC=∠B．∵OB=OC，∴∠B=∠OCB．∵CO平分∠BCD，∴∠OCB=∠OCD，∴∠ADC=∠OCD．∵CE⊥AD，∴∠ADC+∠ECD=90°，∴∠OCD+∠ECD=90°，即CE⊥OC．∵OC為⊙O的半徑，∴CE是⊙O的切線．

（2）連接OD，得OD=OC，∴∠ODC=∠OCD．∵∠OCD=∠OCB=∠B，∴∠ODC=∠B，∵CO=CO，∴△OCD≌△OCB，∴CD=CB．∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴AC=AB?sin∴CB=A∴CD=8，∴CE=CD?sin5．解：（1）連接OB，OC，過點O作OD⊥BC于點D，∴BD=CD=12BC∵∠A=60°，∴∠BOC=2∠A=120°，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB=180°?∠BOC2∵OB=23，∴BD=OB?cos30°=23×32∴BC=2BD=6．（2）設(shè)點G為此三角形ABC內(nèi)切圓的圓心（角平分線的交點），過G分別向AB，AC，BC作垂線GM，GN，GQ，∵GM=GN=GQ，CQ=CN，BQ=BM，AM=AN，∴AM+AN=AB+AC-BC=6，∴AM=AN=3．在Rt△AGM中，∵∠GAM=30°，∴GM=3，∴S△ABC=12BC?AH=S△ABG+S△BCG+S△=12AB?GM+12BC?GQ+12=12GM（AB+AC+CB=93，∵BC=6,S△ABC=12BC?∴AH=33．6．（1）解：如圖1，連接OD，AD，∵AB是⊙O的直徑，CD⊥AB，∴AB垂直平分CD，∵M是OA的中點，∴OM=1∴cos∠DOM=∴∠DOM=60°，即∠AOD=60°；故答案為：60°；（2）解：∵CD⊥AB，AB是⊙O的直徑，∴CM=MD，∵M是OA的中點，∴AM=MO，又∵∠AMC=∠DMO，∴△AMC≌∴∠ACM=∠ODM，∴CA∥OD，∵DE⊥CA，∴∠E=90°，∴∠ODE=180°?∠E=90°，∴DE⊥OD，∴DE與⊙O相切；（3）如圖2，連接CF，CN，∵OA⊥CD于M，∴M是CD中點，∴NC=ND，∵∠CDF=45°，∴∠NCD=∠NDC=45°，∴∠CND=90°，∴∠CNF=90°，由（1）可知∠AOD=60°，∴∠ACD=1在Rt△CDE中，∠E=90°，∠ECD=30°，DE=6∴CD=DE在Rt△CND中，∠CND=90°，∠CDN=45°，CD=12∴CN=CD?sin∵∠AOD=60°，OA=OD，∴△OAD是等邊三角形，∴∠OAD=60°，∠CAD=2∠OAD=120°，∴∠CFD=180°?∠CAD=60°，在Rt△CNF中，∠CNF=90°，∠CFN=60°，CN=6∴FN=CN7．（1）證明：如圖1所示，∵∠ODB=∠AEC，∠AEC=∠ABC，∴∠ODB=∠ABC，∵OF⊥BC，∴∠BFD=90°，∴∠ODB+∠DBF=90°，∴∠ABC+∠DBF=90°，即∠OBD=90°，∴BD⊥OB，∵AB是⊙O的直徑，∴BD是⊙O的切線；（2）證明：連接AC，如圖2所示，∵OF⊥BC，∴弧BE∴∠CAE=∠ECB，∵∠CEA=∠HEC，∴△AEC∽△CEH，∴CEEH∴CE（3）解：連接BE，如圖3所示，∵AB是⊙O的直徑，∴∠AEB=90°，∵⊙O的半徑為52，sin∴AB=5，BE=AB?sin∴EA=A∵弧BE∴BE=CE=3，∵CE∴EH=9∴在Rt△BEH中，BH=∵∠A=∠C，∴sinC=∵OF⊥BC，垂足為F，∴在Rt△CFE中，F(xiàn)E=CE?∴CF=C∴BF=CF=12∴OF=B∵∠ODB=∠ABC，∴tan∠ODB=∴BFDF∴BF∴125∴DF=2888．解：（1）連接OD，如圖，∵EF垂直平分BD，∴ED=EB，∴∠EDB=∠B，∵OA=OD，∴∠A=∠ODA，∵∠A+∠B=90°，∴∠ODA+∠EDB=90°，∴∠ODE=90°，∴OD⊥DE，∴直線DE是⊙O的切線；（2）作OH⊥AD于H，如圖，則AH=DH，在Rt△OAB中，sinA=BCAB=45在Rt△OAH中，sinA=OHOA=4∴OH=45∴AH=12?(∴AD=2AH=65∴BD=5﹣65=19∴BF=12BD=19在Rt△ABC中，cosB=45在Rt△BEF中，cosB=BFBE=4∴BE=54×1910=∴線段DE的長為1989．(（1）證明：連接AD，∵∠A=∠BCD，∠AED=∠CEB，∴Δ∴AECE∴AE·EB=CE·ED；（2）解：∵⊙O的半徑為3，∴OA=OB=OC=3，∵OE=2BE，∴OE=2，BE=1，AE=5，∵CEDE∴設(shè)CE=9x，DE=5x，∵AE·EB=CE·ED，∴5×1=9x·5x，解得：x1=1∴CE=9x=3，DE=5x=5過點C作CF⊥AB于F，∵OC=CE=3，∴OF=EF=1∴BF=2，在RtΔOCF中，∵∠CFO=90°，∴CF∴CF=22在RtΔCFB中，∵∠CFB=90°，∴tan∵CF⊥AB于F，∴∠CFB=90°，∵BP是⊙O的切線，AB是⊙O的直徑，∴∠EBP=90°，∴∠CFB=∠EBP，在ΔCFE和Δ∠CFB=∠PBEEF=BE∴Δ∴EP=CE=3，∴DP=EP?ED=3?5:解：（1）證明：如圖，連接OE．∵四邊形ABCD是菱形∴∠CAD=∠CAB

∵OA=OE∴∠CAB=∠OEA

∴∠CAD=∠OEA∴OE∥∵EF⊥AD∴OE⊥EF又∵OE是⊙O的半徑∴EF是⊙O的切線．（2）解：如圖，連接BE．∵AB是⊙O的直徑∴∠AEB=90°∵∠BAD=60°∴∠CAD=∠CAB=30°

在Rt△ABE中，AE=AB·cos30°=2在Rt△AEF中，EF=AE·sin30°=3在Rt△OEF中，OE=∴OF=OE2（3）解：如圖，過點C作CM垂直AB，交AB延長線于點M，由（2）知，∠BAD=60°∴∠ACB=∠CAB=30°∴AB=BC=4，BM=2，∴AM=6∴OC=OM2+CM∵CG近=27∴線段CG的取值范圍是：211．（1）證明：連接OD，∵D為弧AC的中點，∴OD⊥AC，又∵DP為⊙O的切線，∴OD⊥DP，∴AC∥（2）證明：∵DE⊥AB，∴∠DEO=90°，由（1）可知OD⊥AC，設(shè)垂足為點M，∴∠OMA=90°，∴∠DEO=∠OMA，AC=2AM，又∵∠DOE=∠AOM，OD=OA，∴△ODE≌△OAMAAS∴DE=AM，∴AC=2AM=2DE；（3）解：連接OD，OC，CE，CP，∵∠ODP=∠OED=90°，∠DOE=∠DOP，∴△DOE∽∴OD∴OD∵OC=OD，∴OC∴OC又∵∠COE=∠POC，∴△COE∽∴CE∵AE:EO=1:2，∴OE∴OE∴CE12．解：（1）連接OD∵CB與⊙O相切于點B，∴OB⊥BC∵AD//OC∵OA=OD，∴∠A=∠ADO=∠COB=∠DOC，∴△DOC≌△BOCSAS∴∠ODC=∠OBC=90°，∴OD⊥DC又OD為⊙O半徑，∴CD為⊙O的切線（2）解：設(shè)CB=x∵AE⊥EB，∴AE為⊙O的切線，∴CD、CB為⊙O的切線，∴ED=AE=4,CD=CB=x,∠DOC=∠BCO，∴BD⊥OC過點E作EM⊥BC于M，則EM=12,CM=x?4，∴(4+x)解得x=9，∴CB=9，∴OC=6∵AB是直徑，且AD∥OC∴∠OFB=∠ADB=∠OBC=90°又∵∠COB=∠BOF∴△OBF∽△OCB，∴OB∴BF=13．（1）證明：如圖所示，連接AC，∵AB是⊙O的直徑，CD⊥AB，∴弧AD∴∠AEP=∠ADC，∵∠PAD=∠AEP，∴∠PAD=∠ADC，∴AP∥CD，∴AP⊥AB，∵AB是⊙O的直徑，∴AP是⊙O的切線；

（2）解：如圖所示，連接BD，∵AF=CF，

∴∠FAC=∠FCA，∴弧CE∵弧∴弧AD∴∠ADG=∠QDG，∵AB⊥CD，∴∠AGD=∠QGD=90°，又∵OG=OG，∴△AGD≌△OGDASA∴QG=AG=4，∠DQG=∠DAG，在Rt△ADG中，tan∴DG=2AG=8，∴QD=D連接OD，過點E作EH⊥AB于H，設(shè)圓O的半徑為r，則OG=r?4，在Rt△ODG中，由勾股定理得O∴r2解得r=10，∴AB=20，∴BQ=12，∵∠AEQ=∠DBQ，∴△AQE∽△DQB，∴QEBQ=AQ∴QE=12∵∠EQH=∠DQG=∠DAG，∴在Rt△EQH中，tan∴EH=2QH，∵EH∴4QH∴QH=12∴EH=24∴S△ADE===70.4．

（3）解：由（2）得DQ=4514．（1）證明：連接OF．∵OA＝OF，∴∠OAF＝∠OFA，∵EF=∴∠CAF＝∠FAB，∴∠CAF＝∠AFO，∴OF∥AC，∵AC⊥CD，∴OF⊥CD，∵OF是半徑，∴CD是⊙O的切線．（2）∵AB是直徑，∴∠AFB＝90°，∵OF⊥CD，∴∠OFD＝∠AFB＝90°，∴∠AFO＝∠DFB，∵∠OAF＝∠OFA，∴∠DFB＝∠OAF，∵GD平分∠ADF，∴∠ADG＝∠FDG，∵∠FGH＝∠OAF+∠ADG，∠FHG＝∠DFB+∠FDG，∴∠FGH＝∠FHG＝45°，∴sin∠FHG=sin（3）解：過點H作HM⊥DF于點M，HN⊥AD于點N．∵HD平分∠ADF，∴HM＝HN，S△DHF∶S△DHB=FH∶HB=DF∶DB∵△FGH是等腰直角三角形，GH＝4∴FH＝FG＝4，∴DFDB設(shè)DB＝k，DF＝2k，∵∠FDB＝∠ADF，∠DFB＝∠DAF，∴△DFB∽△DAF，∴DF2＝DB?DA，∴AD＝4k，∵GD平分∠ADF

∴FG∴AG＝8，∵∠AFB＝90°，AF＝12，F(xiàn)B＝6，∴AB=∴⊙O的直徑為615．（1）證明：∵AB=CD，∴弧AB∴弧AB?弧∴AC=BD；（2）解：四邊形OFEG是正方形.理由如下：∵AB⊥CD，OF⊥CD，OG⊥AB，∴∠AED=∠OGE=∠OFE=90°，∴四邊形OFEG是矩形．如圖，連接OA，OD．∵OF⊥CD，OG⊥AB，∴CF=DF，AG=BG．∵CD=AB，∴AG=DF．∵OG=OA2?AG2，∴OG=OF，∴四邊形OFEG是正方形；（3）解：∵CE=1，DE=3，∴CD=4，∴CF=DF=2，∴EF=CF-CE=2-1=1．∵四邊形OFEG是正方形，∴OF=EF=1．在Rt△OED中，OD=O∴⊙O的半徑為5．16．:解：【解決問題】如圖，連接BO并延長交⊙O于點D，連接DC，則∠A=∠D，在△DBC中，∵BD為⊙O的直徑，BC=a，∴BD=2R,∠BCD=90°，∴sinD=∴sinA=故答案為：sinD=a【結(jié)論應(yīng)用】解：設(shè)△ABC外接圓的半徑為R，∵∠B=60°,AC=4，∴sinB=∴32解得：R=4∴△ABC外接圓的面積為π×4故答案為：1617．（1）證明：連接OC，∵PA，PC是⊙O的切線，切點分別為A，C，∴PA=PC，∠PAO=∠PCO=90°，在RtΔPAO和RtΔPCO中，{PA=PC∴RtΔPAO≌RtΔPCO(HL)，∴∠POA=∠POC，∵CD//AB，∴∠CDO=∠DOA，∴∠CDO=∠COD，∴CD=OC=r；（2）解：設(shè)OP交CD于E，連接OC，過O作OH⊥CD于點H，由（1）可知，RtΔPAO≌RtΔPCO，∴∠POA=∠POC，∵CD//AB，∴∠CEO=∠EOA，∴∠CEO=∠COE，∴CE=CO=8，∴CD=CE+ED=10，∵OH⊥CD∴CH=DH=5，∴EH=DH?DE=3，在RtΔCHO中，∴OH=O在RtΔOHE中，∴tan∠POA=∴tan∠POA=18．解：（1）如圖，過點O作OM⊥AB，且OM的反向延長線交CD于點N．由題意可知四邊形BCNM為矩形，∴MN=AD=3，∵O為圓心，即O為DE中點，∴N為DC中點，即線段ON為△DEC中位線，又∵CE=BC?BE=3?1=2，∴ON=1∴OM=MN-ON=3-1=2．在Rt△DEC中，DE=C∴OD=DE=OM=2．即AB為⊙O的切線．（2）設(shè)⊙O與AD交于點G，連接CG、EG、DF、FG，∵DE為直徑，∴∠EGD=∠EFD=90°．∴∠GEC=90°，∴CG為直徑．∴∠CFG=∠CDG=90°，∵E為BC中點，∴G為AD中點，在Rt△AFD中，F(xiàn)G為中線，∴AG=DG=FG，在Rt△CFG和Rt△CDG中，F(xiàn)G=DGCG=CG∴△CFG?△CDG(HL)．∴CF=CD．（3）如圖，取AD中點H，連接CH、FH、FD．由（2）可知FH=1在Rt△CDH中，CH=C∵CF≥CH?FH=57∴當(dāng)F點在CH上時CF長有最小值，最小值為57219．解：（1）∵AC為⊙O的直徑，∴∠ADC=90°，∴∠DAC+∠DCA=90°．∵弧AD∴∠ABD=∠DCA．∵∠FAD=∠ABD，∴∠FAD=∠DCA，∴∠FAD+∠DAC=90°，∴CA⊥AF，∴AF為⊙O的切線．

（2）連接OD．∵弧AD∴∠ABD=12∠AOD∵弧DC∴∠DBC=12∠DOC∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∴∠DOA=∠DOC，∴DA=DC．

（3