安徽省“皖江名校聯(lián)盟”2024屆高三上學期12月月考數(shù)學試題（解析版）

第20頁/共20頁安徽省皖江名校聯(lián)盟2024屆高三上學期12月月考數(shù)學（在此卷上答題無效）本試卷共4頁，22題.全卷滿分150分，考試時間120分鐘.考生注意事項：1.答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知復數(shù)，則的共軛復數(shù)是（）A.2 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先利用復數(shù)的乘方運算化簡，再利用共軛復數(shù)的定義求解.【詳解】解：，則共軛復數(shù)是.故選：D2.集合，集合，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先求解出集合，再分別驗證四個選項即可.【詳解】集合，，或，，，，所以，故選項A不正確；，故選項B不正確；或，故選項C不正確；，故選項D正確；故選：D.3.函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由函數(shù)圖象的平移變換結(jié)合奇函數(shù)定義可解.詳解】關(guān)于點對稱，故將的圖像向左平移1個單位長度，再向下平移2個單位長度后，圖像關(guān)于原點對稱，（事實上為奇函數(shù)），故選：B.4.已知向量，若，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)向量的坐標運算求出，，再根據(jù)向量垂直的坐標表示即可求出．【詳解】因為，所以，，由可得，，即，整理得：．故選：D．5.2022年11月29日神舟十五號載人飛船發(fā)射任務取得圓滿成功，開啟了我國空間站應用發(fā)展的新階段.在太空站內(nèi)有甲，乙、丙三名航天員，按照一定順序依次出倉進行同一試驗、每次只派一人、每人最多出倉一次，且時間不超過10分鐘.若第一次試驗不成功，返倉后派下一人重復進行試驗，若試驗成功終止試驗.已知甲，乙，丙10分鐘內(nèi)試驗成功的概率分別為，，，每人試檢能否成功相互獨立，則試驗成功的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】法一：利用對立事件的概率求解；法二：設試驗任務成功的事件，甲成功的事件，甲不成功乙成功的事件，甲乙都不成功丙成功的事件，由事件，，互斥求解.【詳解】解：法一：試驗任務不成功的的概率是，所以成功概率是法二：不妨設按照甲乙丙順序依次出倉進行試驗，設試驗任務成功的事件，甲成功的事件，甲不成功乙成功的事件，甲乙都不成功丙成立的事件，，，，因為事件，，互斥，所以試驗任務成功的概率.故選：D.6.在中，，BC邊上的高等于,則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】試題分析：設,故選C.考點：解三角形.7.已知數(shù)列對任意滿足，則（）A.3032 B.3035 C.3038 D.3041【答案】C【解析】【分析】由數(shù)列的遞推關(guān)系求解即可.【詳解】因為，所以，兩式相減得：，令得，所以，所以，當時，.故選：C.8.在中，，，E，F(xiàn)，G分別為三邊，，的中點，將，，分別沿，，向上折起，使得A，B，C重合，記為，則三棱錐的外接球表面積的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設，，由題設．將放在棱長為x，y，z長方體中，可得的關(guān)系式，三棱錐的外接球就是長方體的外接球，利用基本不等式結(jié)合球的表面積公式求解.【詳解】設，，由題設.三棱錐中，，，，將放在棱長為x，y，z的長方體中，如圖，則有，三棱錐的外接球就是長方體的外接球，所以，由基本不等式，當且僅當時等號成立，所以外接球表面積.故選：B.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題解決的難點是根據(jù)題意得到三棱錐的特征，從而放置到相應的長方體中，由此得解.二、選擇題：本大題共4個小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分.9.已知數(shù)列的前項和為，則下列說法正確的是（）A. B.數(shù)列是遞增數(shù)列C.數(shù)列的最小項為和 D.滿足的最大正整數(shù)【答案】ABD【解析】【分析】先根據(jù)求出，即可判斷選項A、B；再利用二次函數(shù)性質(zhì)可判斷選項C；最后根據(jù)解不等式即可判斷選項D.詳解】當時，；當時，；.數(shù)列是遞增數(shù)列，故選項A、B正確；，當或時最小，即數(shù)列的最小項為和，故選項C錯誤，令，得，，即滿足的最大正整數(shù)，故選項D正確.故選：ABD10.設，，滿足，則下列說法正確的是（）A.的最大值是 B.的最小值是9C.的最小值是 D.的最小值是1【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)正實數(shù)a，b滿足，結(jié)合基本不等式和二次函數(shù)求最值即可判斷.【詳解】解：對于A，正實數(shù)a，b滿足，所以，則，即，當且僅當，即等號成立，所以有最大值，故A錯誤；對于B，，當且僅當時等號成立，則有最小值9，故B正確；對于C，正實數(shù)a，b滿足，則，故，所以，則當時，有最小值，故C正確；對于D，結(jié)合C可知，，則當時，有最小值，故D錯誤.故選：BC.11.已知圓臺的軸截面如圖所示，其上、下底面圓的半徑分別為1和3，母線長為4，E是母線的中點，則（）A.圓臺的側(cè)面積為B.圓臺的內(nèi)切球的表面積為C.圓臺的體積為D.在圓臺側(cè)面上從到的最短路徑的長度為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)圓臺、球、最短距離等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】軸截面梯形的上底為2，下底為6，高為，母線長為，設側(cè)面展開圖的扇環(huán)對應的圓心為，，，所以側(cè)面展開圖是半圓環(huán)（如圖），所以圓臺的側(cè)面積，圓臺的體積.因為梯形有半徑為的內(nèi)切圓（兩組對邊的和相等），所以圓臺的內(nèi)切球半徑為，表面積為.在圓臺側(cè)面上從到的最短路徑，在展開圖中是線段.故選：ACD12.已知函數(shù)，則（）A.時，函數(shù)在上單調(diào)遞增B.時，若有3個零點，則實數(shù)的取值范圍是C.若直線與曲線有3個不同的交點，，，且，則D.若存在極值點，且，其中，則【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)求導后公式及結(jié)合的取值情況可對A項判斷；，求出再結(jié)合函數(shù)極大小值即可對B項判斷；求出函數(shù)的二階導數(shù)，從而求出對稱中心點即可對C項判斷；根據(jù)函數(shù)存在極值點再結(jié)合令，求出，即可對D項判斷.【詳解】對于A：求導，當時，有2個不相等的實根，，在區(qū)間上，單調(diào)遞減，故選項A錯誤.對于B：當時，令，得，，若有3個零點，則極大值，極小值，實數(shù)的取值范圍是，故選項B正確.對于C：令二階導數(shù)，得，則三次函數(shù)的對稱中心是.當直線與曲線有3個不同的交點，，，且時，點一定是對稱中心，所以，故選項C錯誤.對于D：若存在極值點，則，，.令，得，因為，于是，所以，化簡得：，因為，故，于是，即.故選項D正確.故選：BD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.在一次籃球比賽中，某支球隊共進行了8場比賽，得分分別為29，30，38，25，37，40，42，32，那么這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為______.【答案】39【解析】【分析】根據(jù)第75百分位數(shù)的定義計算可得答案.【詳解】8場比賽的得分從小到大排列為：25，29，30，32，37，38，40，42，因為，所以第75百分位數(shù)為.故答案為：3914.設向量和滿足，，則的值為__________.【答案】2【解析】【分析】根據(jù)平面向量的模及數(shù)量積運算量即可解答.【詳解】因為，所以，，所以.故答案為：215.已知函數(shù)，若不等式恒成立，則的最小值為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)求出其單調(diào)性，且，從而可得，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性從而求解.【詳解】由函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，所以，，由函數(shù)單調(diào)性可得.所以，構(gòu)造函數(shù)，，當時，，在區(qū)間單調(diào)遞增，所以，所以恒成立，構(gòu)造函數(shù)，，當，，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當，，在區(qū)間上單調(diào)遞減；所以當時取得極大值也是最大值，因此，所以，的最小值為.故答案為：.16.若是關(guān)于的方程（a，b都是整數(shù)）的一個實根，則__________.【答案】0【解析】【分析】由，轉(zhuǎn)化為，利用待定系數(shù)法法求解.【詳解】因為，所以，所以，又，所以，又因為，所以，，則.故答案為：0四、解答題：本大題共6小題，共70分、解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.函數(shù)的部分圖象如圖所示.（1）求函數(shù)的解析式；（2）將函數(shù)的圖象向左平移個單位，再將所得圖象上各點的橫坐標縮短為原來的倍，縱坐標不變，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)在上的值域.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)圖象易得和周期，結(jié)合可得結(jié)果；（2）根據(jù)平移和伸縮變換可得，進而由整體法即可求解函數(shù)的值域.【小問1詳解】觀察圖象可得，函數(shù)的周期，解得，即，由，得，即，，而，則，所以函數(shù)的解析式是.【小問2詳解】將的圖象向左平移個單位長度，可得到函數(shù)的圖象，再將所得圖象上各點的橫坐標縮短為原來的，縱坐標不變，得到函數(shù)的圖象，則，當時，，則，所以，因此在上的值域為.18.從2021年秋季學期起，安徽省啟動實施高考綜合改革，實行高考科目“”模式，“3”指語文、數(shù)學、外語三門統(tǒng)考學科，以原始分數(shù)計入高考成績；“1”指考生從物理、歷史兩門學科中“首選”一門學科，以原始分數(shù)計入高考成績；“2”指考生從政治、地理、生物、生物四門學科中“再選”兩門學科，以等級分計入高考成績.按照方案，再選學科的等級分賦分規(guī)則如下，將考生原始成績從高到低劃分為A，B，C，D，E五個等級，各等級人數(shù)所占比例及賦分區(qū)間如下表：等級ABCDE人數(shù)比例15%35%35%13%2%賦分區(qū)間將各等級內(nèi)考生的原始分依照等比例轉(zhuǎn)換法分別轉(zhuǎn)換到賦分區(qū)間內(nèi)，得到等級分，轉(zhuǎn)換公式為，其中，分別表示原始分區(qū)間的最低分和最高分，，分別表示等級賦分區(qū)間的最低分和最高分，表示考生的原始分，表示考生的等級分，規(guī)定原始分為時，等級分為.某次生物考試的原始分最低分為45，最高分為94，呈連續(xù)整數(shù)分布，分成五組：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.已知第一、二組的頻率之和為0.3，第一組和第五組的頻率相同.（1）根據(jù)頻率分布直方圖求a，b的值，并估計此次生物考試原始分的平均值；（2）按照等級分賦分規(guī)則，估計此次考試生物成績A等級的原始分區(qū)間；（3）用估計的結(jié)果近似代替原始分區(qū)間，若某學生生物成績的原始分為83，試計算其等級分.【答案】（1），平均分為69.5分；（2）；（3）89分.【解析】【分析】（1）由題設及直方圖列方程組求參數(shù)，再根據(jù)直方圖求平均值；（2）由區(qū)間占比和成績等級占比分析出等級的原始分區(qū)間最低分所在區(qū)間，并求出最低分，即可得結(jié)果；（3）根據(jù)賦分轉(zhuǎn)換公式求等級分即可.【小問1詳解】由題意知：，解得，故每組的頻率依次為：0.05，0.25，0.45，0.2，0.05，所以生物原始分的平均值等于分.【小問2詳解】由頻率分布直方圖知，原始分成績位于區(qū)間的占比為，位于區(qū)間的占比為，因為成績等級占比為，所以等級的原始分區(qū)間最低分位于區(qū)間，估計等級的原始分區(qū)間的最低分為分，已知最高分為94，所以估計此次考試生物成績等級的原始分區(qū)間為.【小問3詳解】由，解得，該學生的等級分為89分.19.如圖，在四棱錐中，底面是邊長為4的菱形，，，點在線段上，，平面平面．（1）求四面體的體積；（2）求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）取的中點，連接，過點作的平行線，易證，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得平面，從而可得平面，以點為原點，建立空間直角坐標系，取的中點，連接，根據(jù)求得點得坐標，根據(jù)，求出，再根據(jù)錐體得體積公式即可得解；（2）利用向量法求解即可.【小問1詳解】取的中點，連接，過點作的平行線，在菱形中，為等邊三角形，又底面是邊長為4的菱形，，且，又平面平面，平面平面平面，平面，又平面，又平面，又，如圖以點原點，建立空間直角坐標系，，取的中點，連接，則，，，設，則，由，得，即，設，則，，，；【小問2詳解】設平面的一個法向量為，由，得取，又，∴直線與平面所成角的正弦值為：.20.記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，滿足.（1）求；（2）若角的平分線交于點，且，求面積的最小值.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）由已知結(jié)合正弦定理邊化角即可求解;（2）表示出所求面積后運用基本不等式即可求解.【詳解】（1）由已知和正弦定理可得：，所以.又因為，，所以或者.當時，，；當時，與題設不符.綜上所述，.（2）面積，由是角平分線，，因為，得，即，由基本不等式，，當且僅當時等號成立.所以面積.故面積的最小值.21.已知數(shù)列滿足，.（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（2）設，證明：對任意成立.【答案】（1）證明見解析，（2