理論力學(xué)課件：剛體的平面運(yùn)動(dòng)

剛體的平面運(yùn)動(dòng)8.1剛體平面運(yùn)動(dòng)的概述8.2剛體平面運(yùn)動(dòng)的分解平面運(yùn)動(dòng)方程8.3平面圖形上各點(diǎn)的速度8.4平面圖形上各點(diǎn)的加速度思考題

8.1剛體平面運(yùn)動(dòng)的概述

車輪沿直線軌道的滾動(dòng)(見圖8-1(a)),曲柄連桿機(jī)構(gòu)中連桿AB的運(yùn)動(dòng)(見圖8-1(b))等,這些剛體的運(yùn)動(dòng)既不是平動(dòng),也不是定軸轉(zhuǎn)動(dòng),但它們運(yùn)動(dòng)時(shí)有一個(gè)共同的特征,即其上任意一點(diǎn)與某固定平面的距離始終保持不變。換句話說,剛體內(nèi)各點(diǎn)都在與這固定平面平行的各平面內(nèi)運(yùn)動(dòng),剛體的這種運(yùn)動(dòng)稱為平面運(yùn)動(dòng)。圖8-1

對(duì)圖8-2所示的做平面運(yùn)動(dòng)的剛體,作與固定平面Ⅰ平行的平面Ⅱ,平面Ⅱ與剛體相交截得一平面圖形S。剛體運(yùn)動(dòng)時(shí),平面圖形S將始終在平面Ⅱ內(nèi)運(yùn)動(dòng)。在剛體內(nèi)任取一垂直于平面圖形S的線段A1A2,顯然線段A1A2做平動(dòng)。這樣,線段A1A2與平面圖形S的交點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)就代表線段A1A2的運(yùn)動(dòng)。同理,圖形S內(nèi)點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)就代表了直線B1B2的運(yùn)動(dòng)。因而圖形S內(nèi)各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)就分別代表了剛體內(nèi)各相應(yīng)直線的運(yùn)動(dòng),即圖形S的運(yùn)動(dòng)就代表了整個(gè)剛體的運(yùn)動(dòng)。所以剛體的平面運(yùn)動(dòng)可簡(jiǎn)化為平面圖形S在其自身平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)。圖8-2

8.2剛體平面運(yùn)動(dòng)的分解平面運(yùn)動(dòng)方程

在平面圖形S上任取兩點(diǎn)A、B,其位置可由連線AB來確定,如圖8-3所示。圖形S從初始位置Ⅰ運(yùn)動(dòng)到位置Ⅱ(位置Ⅰ、Ⅱ分別用AB、A1B1確定),可分兩步完成:先使線段AB平移至A1B2,再使A1B2繞A1點(diǎn)轉(zhuǎn)過角度Δφ后到A1B1位置。此過程表明平面運(yùn)動(dòng)可分解為平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng),也就是說,平面運(yùn)動(dòng)是平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)的合成運(yùn)動(dòng)。圖8-3

為描述平面圖形S在其自身平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng),可在固定平面內(nèi)選取靜坐標(biāo)系Oxy,在S上的A點(diǎn)(基點(diǎn))處取坐標(biāo)系A(chǔ)x'y',如圖8-4所示。圖8-4

由于平面圖形在其自身平面內(nèi)的位置完全可由圖形上任意直線段AB的位置來確定,而此直線AB的位置可由點(diǎn)A的兩個(gè)坐標(biāo)xA、yA

和線段AB與x軸的夾角φ來確定。當(dāng)圖形S運(yùn)動(dòng)時(shí),xA、yA

和φ都隨時(shí)間而變化,且是時(shí)間t的單值連續(xù)函數(shù),即

式(8-1)稱為平面圖形S的運(yùn)動(dòng)方程,即剛體的平面運(yùn)動(dòng)方程。其中前兩式描述的是圖形的平動(dòng)部分,而第三式描述的是圖形的轉(zhuǎn)動(dòng)部分。圖8-5

可得結(jié)論:平面圖形的運(yùn)動(dòng)可分解為平面圖形隨基點(diǎn)的平動(dòng)和平面圖形繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng),其中平動(dòng)的速度和加速度與基點(diǎn)的選擇有關(guān),而轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度和角加速度與基點(diǎn)的選擇無關(guān)。

8.3平面圖形上各點(diǎn)的速度

1.基點(diǎn)法(速度合成法)由于平面圖形S的運(yùn)動(dòng)可分解為隨基點(diǎn)的平動(dòng)(牽連運(yùn)動(dòng))和繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)(相對(duì)運(yùn)動(dòng)),因此,圖形S內(nèi)任一點(diǎn)的速度可根據(jù)點(diǎn)的速度合成定理來確定。

設(shè)圖形S在某瞬時(shí)的位置如圖8-6所示。已知此瞬時(shí)圖形上點(diǎn)A的速度為vA,圖形的角速度為ω,根據(jù)點(diǎn)的速度合成定理,圖形上任一點(diǎn)B的速度為

由于圖形的牽連運(yùn)動(dòng)是隨基點(diǎn)A的平動(dòng),而相對(duì)運(yùn)動(dòng)是繞基點(diǎn)A的轉(zhuǎn)動(dòng),因此圖形上任一點(diǎn)B的牽連速度ve就等于基點(diǎn)A的速度vA(見圖8-7(a)示),即圖8-6圖8-7

而點(diǎn)B的相對(duì)速度vr

等于以AB為半徑、繞點(diǎn)A做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度vBA,即vr

=vBA,其大小vBA=AB·ω,方向垂直于轉(zhuǎn)動(dòng)半徑AB,指向由ω的轉(zhuǎn)向確定,如圖8-7(b)所示。將ve

=vA、vr

=vBA代入上式,有

式(8-2)表明:平面圖形上任一點(diǎn)的速度等于基點(diǎn)的速度與該點(diǎn)繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的速度的矢量和。這種求圖形上任一點(diǎn)速度的方法,稱為合成法,又稱基點(diǎn)法。

【例8-1】圖8-8所示的AB桿,A端沿墻面下滑,B端沿地面向右運(yùn)動(dòng)。在圖示位置,桿與地面間的夾角為30°,這時(shí)B點(diǎn)的速度vB=10cm/s,試求該瞬時(shí)端點(diǎn)A的速度vA和桿中點(diǎn)D的速度vD。圖8-8

１圖8-9

式(8-3)表明:平面圖形上任意兩點(diǎn)的速度在這兩點(diǎn)連線上的投影相等。這個(gè)規(guī)律稱為速度投影定理,應(yīng)用此定理分析平面圖形上點(diǎn)的速度的方法稱為速度投影法。式(8-3)為投影方程式,可求解一個(gè)未知量。如果已知圖形上一點(diǎn)A的速度,又知另一點(diǎn)B的速度方向,則B點(diǎn)速度大小應(yīng)用此定理求解非常方便。

【例8-3】求例8-1題中AB桿A端的速度。

解速度分析如圖8-8所示,將vA

、vB投影到AB線上,由速度投影定理,得

解得

此方法與基點(diǎn)法求得的結(jié)果相同。

3.速度瞬心法

用合成法求平面圖形上任一點(diǎn)速度時(shí),若選取速度為零的點(diǎn)作為基點(diǎn),則圖形上任一點(diǎn)的速度就等于該圖形繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的速度,這樣可使計(jì)算簡(jiǎn)化。

一般情況下,每一瞬時(shí),平面圖形上(或其延伸部分)都唯

一地存在一個(gè)速度為零的點(diǎn)。設(shè)某瞬時(shí)圖形上某一點(diǎn)A的速度為vA,圖形的角速度為ω,如圖8-10所示。圖8-10

在圖8-11所示的瞬時(shí),盡管圖形上各點(diǎn)的速度分布規(guī)律與剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)各點(diǎn)速度分布規(guī)律相同,但圖形的瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)與剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)并不相同,因?yàn)樗残腃具有瞬時(shí)性,圖形的運(yùn)動(dòng)可看成是繞一系列瞬心的瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)。因此速度瞬心又稱為速度瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)中心。圖8-11

速度瞬心法是求解平面圖形上任意點(diǎn)速度的常用方法。應(yīng)用此方法應(yīng)先確定瞬心的位置,下面介紹幾種確定速度瞬心位置的方法。

(1)已知某瞬時(shí)圖形上A、B兩點(diǎn)速度方向。由于圖形上各點(diǎn)的速度應(yīng)垂直于各點(diǎn)至瞬心的連線,所以過A、B兩點(diǎn)分別作速度方向的垂線,兩直線的交點(diǎn)C就是圖形的瞬心,如圖8-12所示。圖8-12

(2)已知某瞬時(shí)圖形上A、B兩點(diǎn)的速度vA、vB,速度方向均垂直于連線AB,大小不等。不論vA、vB的指向相同(見圖8-13(a))或相反(見圖8-13(b)),圖形的瞬心C都在連線AB的延長(zhǎng)線和速度vA、vB兩矢端連線的交點(diǎn)上。

(3)已知某瞬時(shí)圖形上A、B兩點(diǎn)的速度相同,即vA=vB

。顯然圖形的速度瞬心在無窮遠(yuǎn)處。圖形做瞬時(shí)平動(dòng)時(shí),在該瞬時(shí)圖形上各點(diǎn)的速度都相等,角速度ω=0,如圖8-14所示。需要指出,瞬時(shí)平動(dòng)不同于前面所講的剛體的平動(dòng),瞬時(shí)平動(dòng)只表明該瞬時(shí)圖形上各點(diǎn)的速度相等。１圖8-13圖8-14

(4)平面圖形沿另一固定面上做純滾動(dòng)時(shí),因接觸點(diǎn)的速度為零,故接觸點(diǎn)就是圖形的速度瞬心,如圖8-15所示。圖8-1

【例8-4】圖8-16所示的滾壓機(jī)構(gòu)的滾子沿水平面做純滾動(dòng)。曲柄OA長(zhǎng)r=10cm,以n=30r/min等轉(zhuǎn)速繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)。滾子半徑R=10cm,連桿AB長(zhǎng)為17.32cm。求當(dāng)曲柄與水平面夾角α=60°,且連桿AB與曲柄垂直時(shí),滾子的角速度。圖8-1

【例8-5】圖8-17所示為一曲柄滑塊機(jī)構(gòu)。設(shè)曲柄OA以勻角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng),曲柄OA長(zhǎng)為R,連桿AB長(zhǎng)為l。求任意瞬時(shí)滑塊B的速度及連桿AB的角速度。圖8-17

【例8-6】在圖8-18所示機(jī)構(gòu)中,已知各桿長(zhǎng)OA=20cm、AB=80cm、DB=60cm、O1D=40cm,OA桿轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω0=10rad/s。求圖示位置時(shí)桿ωBD、ωO1D及桿BD的中點(diǎn)M的速度。圖8-18

8.4平面圖形上各點(diǎn)的加速度

下面介紹用基點(diǎn)法求平面圖形內(nèi)各點(diǎn)加速度的方法。圖8-19所示的平面圖形在做平面運(yùn)動(dòng),其上O點(diǎn)的加速度為aO,圖形轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度、角加速度分別為ω、α。選點(diǎn)O為基點(diǎn),則其上任一點(diǎn)M的加速度可由牽連運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)時(shí)點(diǎn)的加速度合成定理求得。圖8-19

圖形上M點(diǎn)的絕對(duì)加速度為

【例8-7】圖8-20所示為外嚙合行星齒輪機(jī)構(gòu),其中曲柄OO'=l,以勻角速ω1繞定軸O轉(zhuǎn)動(dòng),大齒輪Ⅰ固定,行星輪Ⅱ的半徑為r,在輪Ⅰ上只滾不滑。求圖示位置輪緣上A、B兩點(diǎn)的加速度aA及aB(A點(diǎn)在OO'的延長(zhǎng)線上,而B點(diǎn)位于通過O'點(diǎn)并與OO'垂直的半徑上)。圖8-20

【例8-8】車輪沿直線做純滾動(dòng),如圖8-21所示。已知輪心的速度為vO、加速度aO

,輪子半徑R。求車輪上速度瞬心的加速度。圖8-21

圖8-22

思考題

8-1火車在水平彎道上行駛時(shí),車輪的運(yùn)動(dòng)是不是平面運(yùn)動(dòng)?8-2剛體的平面運(yùn)動(dòng)可以分解為平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng),那么剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)是不是平面運(yùn)動(dòng)的特殊情況?剛體的平動(dòng)是否也一定是平面運(yùn)動(dòng)的特殊情況?8-3在思考題8-3圖所示的兩運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)中,試分別指出各剛體作何種運(yùn)動(dòng)?思考題8-3圖

8-4已知O1A=O2B,機(jī)構(gòu)在思考題8-4圖所示瞬時(shí),ω1和ω2、α1和α2是否相等?思考題8-4圖

8-5已知某瞬時(shí)圖形上O點(diǎn)的加速度為a0,圖形的角速度ω=0,角加速度為α0,如思考題8-5圖所示,試指出圖形上過O點(diǎn)并垂直于a0的直線mn上各點(diǎn)加速度的方向。

思考題8-5圖

8-6正方形平面圖形ABCD在自身平面內(nèi)運(yùn)動(dòng),A、B、C、D四點(diǎn)速度大小相等,方向如思考題8-6圖所示。問這兩種情況的速度分布是否可能。思考題8