（課件）5.4.2正弦函數(shù)余弦函數(shù)的性質(zhì)

第五章三角函數(shù)TrigonometricFunction

5.4.2正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)周

始

而

復5.4.2正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)5.4.2正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)1.通過周期性的研究，培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng)．2．借助奇偶性、對稱性及圖象的關系，提升直觀想象素養(yǎng).核心素養(yǎng)學習目標1.了解周期函數(shù)、周期、最小正周期的定義．2．會求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期．3．掌握y＝sinx，y＝cosx的奇偶性和對稱性，會判斷簡單三角函數(shù)的奇偶性和對稱性．問題1：類比以往對函數(shù)性質(zhì)的研究，你認為應研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的哪些性質(zhì)？根據(jù)研究函數(shù)的經(jīng)驗，我們要研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、最值等.5.4.2正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)定義域:R

值域:[-1,1]一、周期性一周有七天一年有四季晝夜更替周而復始的變化規(guī)律周期性三角函數(shù)是刻畫“周而復始”現(xiàn)象的數(shù)學模型周期性

一般地，設函數(shù)

f(x)的定義域為D，如果存在一個非零常數(shù)T，使得對每一個x∈D都有x+T∈D，且

f(x+T)=f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期.問題2：什么是周期函數(shù)？什么是周期？問題3：正弦函數(shù)是否為周期函數(shù)？依據(jù)是什么？（從形和數(shù)方面）一、周期性周期性問題3：正弦函數(shù)是否為周期函數(shù)？依據(jù)是什么？（從形和數(shù)方面）橫坐標每隔_____個單位長度，圖象會重復出現(xiàn)。x6yo--12345-2-3-41

利用誘導公式________________.圖形代數(shù)一、周期性2πsin(x+2kπ)=sinx(k∈Z)即自變量x的值增加2π整數(shù)倍時所對應的函數(shù)值，與x所對應的函數(shù)值相等.周期性問題4：正弦函數(shù)周期是多少？由sin(x+2kπ)=sinx(k∈Z)，得正弦函數(shù)周期為2kπ(k∈Z且k≠0)追問：正弦函數(shù)周期唯一么？對于一般的周期函數(shù)f(x)

，如果常數(shù)T是這個函數(shù)的一個周期,那么kT(k∈Z,k≠0)

也是

f(x)

的周期.一、周期性2π，4π，6π以及-2π，-4π，-6π等周期性問題5：在正弦函數(shù)的所有周期中，是否存在一個最小的正數(shù)？正弦函數(shù)周期為2kπ(k∈Z且k≠0)，

如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù),那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期.

如果不加特別說明，今后本書中所涉及的周期，都是指最小正周期.并不是所有的周期函數(shù)都有最小正周期，例如常函數(shù).一、周期性當k=1時得到最小的正數(shù)為2π.注：周期性問題6：你能類比正弦函數(shù)的周期性，討論：①余弦函數(shù)是否為周期函數(shù)？依據(jù)是什么？周期是多少？最小正周期是多少？②知道了一個函數(shù)的周期，對研究它的圖象和性質(zhì)有什么幫助？余弦函數(shù)是周期函數(shù)，2kπ(k∈Z，且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π.x6yo--12345-2-3-41

y=cosx一、周期性周期性【解析】(1)?x∈R，有3sin(x＋2π)＝3sinx，由周期函數(shù)的定義可知，函數(shù)y＝3sinx的周期為2π．【解析】(2)令z＝2x，由x∈R得z∈R，且y＝cosz的周期為2π，即cos（z＋2π）＝cosz，于是cos(2x＋2π)＝cos2x，所以cos2(x＋π)＝cos2x，x∈R．由周期函數(shù)的定義可知，函數(shù)y＝cos2x的周期為π．一、周期性【例1】求下列函數(shù)的周期：

周期性【例1】求下列函數(shù)的周期：

一、周期性周期性追問：根據(jù)例1，你能發(fā)現(xiàn)這些函數(shù)的周期與解析式中哪些量有關嗎？函數(shù)的周期與自變量x的系數(shù)有關

最小正周期為：T＝(

ω>0)一、周期性周期性一、周期性周期性【例1】求下列函數(shù)的周期：2π．π．

最小正周期為：T＝(

ω>0)

一、周期性二、奇偶性+對稱性問題7：觀察正弦曲線和余弦曲線具有怎樣的對稱性?關于原點對稱關于y軸對稱圖形代數(shù)追問：反映出正、余弦函數(shù)的什么性質(zhì)?怎么用代數(shù)證明？正弦函數(shù)是奇函數(shù)余弦函數(shù)是偶函數(shù)奇偶性+對稱性x6yo--12345-2-3-41

問題8：觀察正弦曲線和余弦曲線，它們還有其他對稱軸和對稱中心么？

追問：找出正弦函數(shù)在的對稱軸和對稱中心.

二、奇偶性+對稱性奇偶性+對稱性x6yo--12345-2-3-41

問題8：觀察正弦曲線和余弦曲線，它們還有其他對稱軸和對稱中心么？

二、奇偶性+對稱性追問：找出正弦函數(shù)在的對稱軸和對稱中心.

奇偶性+對稱性

問題8：觀察正弦曲線和余弦曲線，它們還有其他對稱軸和對稱中心么？x6yo--12345-2-3-41

y=cosx

二、奇偶性+對稱性奇偶性+對稱性【例2】：求函數(shù)的對稱軸和對稱中心

二、奇偶性+對稱性奇偶性+對稱性三、課堂達標A．周期為π的奇函數(shù)

B．周期為π的偶函數(shù)C．周期為2π的奇函數(shù)D．周期為2π的偶函數(shù)

4．若函數(shù)y＝f(x)是以2為周期的函數(shù)，且f(5)＝6，則f(1)＝________6四、課堂小結這堂課你收獲了什么知識？你是怎樣獲得這些知識的？在獲得這些知識過程中用到了哪些思想方法？你還有哪些疑惑？知識方面：思想方法：正弦函數(shù)余弦函數(shù)函數(shù)圖象定義域值域[-1,1][-1,1]周期2π2π奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)對稱性對稱軸對稱中心RR四、課堂小結四、課堂小結這堂課你收獲了什么知識？你是怎樣獲得這些知識的？在獲得這些知識過程中用到了哪些思想方法？你還有哪些疑惑？知識方面：

1、y＝sinx，y＝cosx