線性代數(shù)自測(cè)題2及答案1

PAGEPAGE8線性代數(shù)第4-5章自測(cè)題(參考答案)一、填空題(本大題6小題,每小題3分,共18分)1、設(shè)三階矩陣有一個(gè)特征值為，且及的主對(duì)角線元素的和為，則的其余兩個(gè)特征值分別為__0,-1____。2、二次型的矩陣形式為；3、設(shè)為正交矩陣，為陣的特征根，則=0___；4、已知4階方陣A相似于B，且A的特征值為2，3，4，5，I為4階單位陣，則___24_____________；5、設(shè)四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為3，已知是它的三個(gè)解向量，且，則該方程組的通解為；6、已知向量組，，，，則該向量組的秩是___4___。二、單項(xiàng)選擇題(本題分6小題,每小題3分,共18分)1、設(shè)三階方陣的特征值為、、,，則是(D)滿秩陣;秩;秩;。2、階方陣能與對(duì)角矩陣相似的充分必要條件是(C)是實(shí)對(duì)稱矩陣.;的個(gè)特征值互不相等;具有個(gè)線性無關(guān)的特征向量;的特征向量?jī)蓛烧弧?、若二次型是正定的，則正確的是（C）A的每一個(gè)元素皆正;A的奇數(shù)階前主子式為負(fù);A的特征值皆正;（D）以上都不對(duì)。4、為正交陣，為對(duì)角陣，矩陣為（A）（A）對(duì)稱陣.;（B）正交陣；（C）不一定為對(duì)稱陣；（D）以上均不對(duì)。5、“再添加一個(gè)向量后，向量組線性無關(guān)”是“向量組線性無關(guān)”的（A）（A）充分條件.;（B）必要條件；（C）充分必要條件；（D）既不充分條件也不必要條件。6、設(shè)A為n階對(duì)稱陣，P為n階可逆，x是A的對(duì)應(yīng)特征值λ的特征向量，則對(duì)應(yīng)λ的特征向量是（C）（A）.;（B）；（C）；（D）。三、解答下列各題（本大題共8小題，每小題6分，總計(jì)48分）1、對(duì)矩陣,求正交矩陣,使得：解(1)，特征值可求得對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量,,構(gòu)造正交矩陣和對(duì)角矩陣：，則有．2、設(shè),,,求向量組的秩。解：因?yàn)?故線性無關(guān)，該向量組的秩為。3、設(shè),,,,求向量組的一個(gè)最大無關(guān)組。解：或?yàn)樽畲鬅o關(guān)組。4、求的基礎(chǔ)解系。解：，，,, 5、確定實(shí)數(shù)的取值范圍，使二次型為正定的。解：，,,故當(dāng),正定。6、設(shè)是的矩陣，且的秩若已知方程組（不全為零）其兩個(gè)解向量為試求方程組的通解。解：記則，又，故方程的通解為： 的通解為：的實(shí)數(shù)）。7、設(shè),,,，問向量能不能由向量組線性表出？為什么？設(shè)令,對(duì)作初等變換，可見，由于方程組無解，故不能由向量組線性表出。8、試確定方程在平面直角坐標(biāo)系中所代表的曲線的名稱。解：設(shè)二次型，，得。當(dāng)時(shí)，可求得；當(dāng)時(shí)，可求得；所以經(jīng)正交變換可化成的標(biāo)準(zhǔn)形為，所繪曲線化成，它代表橢圓。四、證明下列各題（本大題共3題，每題5-6分，共16分）1、設(shè)向量組線性無關(guān)，而,線性相關(guān)，證明：如果都不能由線性表出，則向量組與向量組,等價(jià)。證明：由于,線性相關(guān),有不全為的數(shù)，使由于線性無關(guān)，故不全為。若則可由線性表出，與已知矛盾，故此情形不存在。同樣不會(huì)有。因此 由此據(jù)式知可由線性表出，中的其它向量顯然可由線性表出，故可由線性表出。同理可由線性表出，因而與等價(jià)。 2、設(shè)λ是方陣A的特征值，X是A的屬于λ的特征向量，證明：（P120例8）3、設(shè)向量組線性無關(guān)，而向量組線性相關(guān)，證明向量V必可依線性表出，且表出式是唯一確定的。證：向量組線性相關(guān)，故有不全為零的數(shù)，使…………….…（*）由反證法可以證明。若，則就不全為零，而，即有