中考數(shù)學(xué)思想方法之轉(zhuǎn)化思想（學(xué)生版+解析版）（共3個(gè)）

方程中的轉(zhuǎn)化思想

知識(shí)方法精講

1.轉(zhuǎn)化思想

轉(zhuǎn)化不僅是一種重要的解題思想，也是一種最基本的思維策略，更是一種有效的數(shù)學(xué)思

維方式。所謂的轉(zhuǎn)化思想方法，就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時(shí)采用某種手段將問題通過

變換使之轉(zhuǎn)化，進(jìn)而達(dá)到解決的一種方法。一般總是將復(fù)雜問題通過變換轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問題；

將難解的問題通過變換轉(zhuǎn)化為容易求解的問題;將未解決的問題通過變換轉(zhuǎn)化為已解決的問

題?？傊D(zhuǎn)化在數(shù)學(xué)解題中幾乎無(wú)處不在，轉(zhuǎn)化的基本功能是：生疏化成熟悉，復(fù)雜化成

簡(jiǎn)單，抽象化成直觀，含糊化成明朗。說到底，轉(zhuǎn)化的實(shí)質(zhì)就是以運(yùn)動(dòng)變化發(fā)展的觀點(diǎn)，以

及事物之間相互聯(lián)系，相互制約的觀點(diǎn)看待問題，善于對(duì)所要解決的問題進(jìn)行變換轉(zhuǎn)化，使

問題得以解決。實(shí)現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化的方法有：待定系數(shù)法，配方法，整體代入法以及化動(dòng)為靜，

由抽象到具體等轉(zhuǎn)化思想。

2.一元一次方程的解

定義：使一元一次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元一次方程的解.

把方程的解代入原方程，等式左右兩邊相等.

3.二元一次方程組的解

（1）定義：一般地，二元一次方程組的兩個(gè)方程的公共解，叫做二元一次方程組的解.

（2）一般情況下二元一次方程組的解是唯一的.數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)與出發(fā)點(diǎn)，當(dāng)遇到

有關(guān)二元一次方程組的解的問題時(shí)，要回到定義中去，通常采用代入法，即將解代入原方程

組，這種方法主要用在求方程中的字母系數(shù).

4.解二元一次方程組

（1）用代入法解二元一次方程組的一般步驟：①?gòu)姆匠探M中選一個(gè)系數(shù)比較簡(jiǎn)單的方程，

將這個(gè)方程組中的一個(gè)未知數(shù)用含另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示出來.②將變形后的關(guān)系式

代入另一個(gè)方程，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程.③解這個(gè)一元一次方程，求

出式或y）的值.④將求得的未知數(shù)的值代入變形后的關(guān)系式中，求出另一個(gè)未知數(shù)的值.⑤

把求得的x、y的值用“{”聯(lián)立起來，就是方程組的解.

（2）用加減法解二元一次方程組的一般步驟：①方程組的兩個(gè)方程中，如果同一個(gè)未知數(shù)

的系數(shù)既不相等又不互為相反數(shù)，就用適當(dāng)?shù)臄?shù)去乘方程的兩邊，使某一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相

等或互為相反數(shù).②把兩個(gè)方程的兩邊分別相減或相加，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元

一次方程.③解這個(gè)一元一次方程，求得未知數(shù)的值.④將求出的未知數(shù)的值代入原方程

組的任意一個(gè)方程中，求出另一個(gè)未知數(shù)的值.⑤把所求得的兩個(gè)未知數(shù)的值寫在一起，

就得到原方程組的解，用I'、的形式表示.

ly=b

5,解三元一次方程組

(1)三元一次方程組的定義：方程組含有三個(gè)未知數(shù)，每個(gè)方程中含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都

是1,并且一共有三個(gè)方程，像這樣的方程組叫做三元一次方程組.

(2)解三元一次方程組的一般步驟：

①首先利用代入法或加減法，把方程組中一個(gè)方程與另兩個(gè)方程分別組成兩組，消去兩組

中的同一個(gè)未知數(shù)，得到關(guān)于另外兩個(gè)未知數(shù)的二元一次方程組.②然后解這個(gè)二元一次

方程組，求出這兩個(gè)未知數(shù)的值.③再把求得的兩個(gè)未知數(shù)的值代入原方程組中的一個(gè)系

數(shù)比較簡(jiǎn)單的方程，得到一個(gè)關(guān)于第三個(gè)未知數(shù)的一元一次方程.④解這個(gè)一元一次方程,

求出第三個(gè)未知數(shù)的值.⑤最后將求得的三個(gè)未知數(shù)的值用“廣合寫在一起即可.

6.解一元二次方程-直接開平方法

形如苫2=;,或(nx+m)2=p(p2o)的一元二次方程可采用直接開平方的方法解一元二次方

程.

如果方程化成r=?的形式，那么可得工=土布；

如果方程能化成(nx+m)2=p(p，0)的形式，那么土4段.

注意：①等號(hào)左邊是一個(gè)數(shù)的平方的形式而等號(hào)右邊是一個(gè)非負(fù)數(shù).

②降次的實(shí)質(zhì)是由一個(gè)二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程.

③方法是根據(jù)平方根的意義開平方.

7.解一元二次方程-配方法

(1)將一元二次方程配成(x+m)2=〃的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二

次方程的方法叫配方法.

(2)用配方法解一元二次方程的步驟：

①把原方程化為。了+樂女=。(“W0)的形式；

②方程兩邊同除以二次項(xiàng)系數(shù)，使二次項(xiàng)系數(shù)為1，并把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊；

③方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；

④把左邊配成一個(gè)完全平方式，右邊化為一個(gè)常數(shù)；

⑤如果右邊是非負(fù)數(shù)，就可以進(jìn)一步通過直接開平方法來求出它的解，如果右邊是一個(gè)負(fù)

數(shù)，則判定此方程無(wú)實(shí)數(shù)解.

8.解一元二次方程-公式法

(1)把x=.b±Jb-4ac,(方2_4ac20)叫做一元二次方程ax2+Z>x+c=0(.WO)的求根

2a

公式.

(2)用求根公式解一元二次方程的方法是公式法.

(3)用公式法解一元二次方程的一般步驟為：

①把方程化成一般形式，進(jìn)而確定a,b,c?的值(注意符號(hào))；

②求出廬-4℃的值(若房-4℃<0,方程無(wú)實(shí)數(shù)根)；

③在房-4改20的前提下，把°、氏c的值代入公式進(jìn)行計(jì)算求出方程的根.

注意：用公式法解一元二次方程的前提條件有兩個(gè)：①a#0;@b2-4ac^0.

9.解一元二次方程-因式分解法

(1)因式分解法解一元二次方程的意義

因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡(jiǎn)便易用，是解一元二次方程

最常用的方法.

因式分解法就是先把方程的右邊化為0,再把左邊通過因式分解化為兩個(gè)一次因式的積的形

式，那么這兩個(gè)因式的值就都有可能為0,這就能得到兩個(gè)一元一次方程的解，這樣也就把

原方程進(jìn)行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題了(數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想).

(2)因式分解法解一元二次方程的一般步驟：

①移項(xiàng)，使方程的右邊化為零；②將方程的左邊分解為兩個(gè)一次因式的乘積：③令每個(gè)因

式分別為零，得到兩個(gè)一元一次方程；④解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就都是原方程

的解.

10.根的判別式

利用一元二次方程根的判別式(△=序-4")判斷方程的根的情況.

一元二次方程。，+%升0=0(aWO)的根與△=拄-4ac有如下關(guān)系：

①當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根：

②當(dāng)△=()時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

③當(dāng)△<()時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根.

上面的結(jié)論反過來也成立.

11.根與系數(shù)的關(guān)系

（1）若二次項(xiàng)系數(shù)為1,常用以下關(guān)系：XI，X2是方程/+*+4=0的兩根時(shí)，X\+X2--p>

x\X2—q,反過來可得P=-（X1+X2），q—x\xi,前者是已知系數(shù)確定根的相關(guān)問題，后者

是已知兩根確定方程中未知系數(shù).

（2）若二次項(xiàng)系數(shù)不為1,則常用以下關(guān)系：XI，X2是一元二次方程a/+fex+c=O（”W0）

的兩根時(shí)，X\+X2=_A,X1X2=—,反過來也成立，即也■=-（X1+X2）,—=X1X2.

aaaa

（3）常用根與系數(shù)的關(guān)系解決以下問題：

①不解方程，判斷兩個(gè)數(shù)是不是一元二次方程的兩個(gè)根.②已知方程及方程的一個(gè)根，求

另一個(gè)根及未知數(shù).③不解方程求關(guān)于根的式子的值，如求，力2+北2等等.④判斷兩根的

符號(hào).⑤求作新方程.⑥由給出的兩根滿足的條件，確定字母的取值.這類問題比較綜合,

解題時(shí)除了利用根與系數(shù)的關(guān)系，同時(shí)還要考慮aWO,△》（）這兩個(gè)前提條件.

12.分式方程的解

求出使分式方程中令等號(hào)左右兩邊相等且分母不等于0的未知數(shù)的值，這個(gè)值叫方程的解.

注意：在解方程的過程中因?yàn)樵诎逊质椒匠袒癁檎椒匠痰倪^程中，擴(kuò)大了未知數(shù)的取值范

圍，可能產(chǎn)生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解.

13.分式方程的增根

（1）增根的定義：在分式方程變形時(shí)，有可能產(chǎn)生不適合原方程的根，即代入分式方程后

分母的值為0或是轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好是原方程未知數(shù)的允許值之外的值的根，叫做

原方程的增根.

（2）增根的產(chǎn)生的原因：對(duì)于分式方程，當(dāng)分式中，分母的值為零時(shí)，無(wú)意義，所以分式

方程，不允許未知數(shù)取哪些使分母的值為零的值，即分式方程本身就隱含著分母不為零的條

件.當(dāng)把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程以后，這種限制取消了，換言之，方程中未知數(shù)的值范圍

擴(kuò)大了，如果轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好是原方程未知數(shù)的允許值之外的值，那么就會(huì)出現(xiàn)

增根.

（3）檢驗(yàn)增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最簡(jiǎn)公分母，看最簡(jiǎn)公分母

是否為0,如果為0,則是增根；如果不是0,則是原分式方程的根.

一.選擇題（共11小題）

1.（2021春?松江區(qū)期末）下列方程中，有實(shí)數(shù)解的是（）

A.x2+1=0B.x+—=1C?+3=—xD.-----=0

xx~+2x

2.（2021?盂縣一模）將關(guān)于x的一元二次方程/一夕工十夕二。變形為、2=px—%就可以將

丁表示為關(guān)于x的一次多項(xiàng)式，從而達(dá)到“降次”的目的，又如工3=%.、2=必夕工一0）=_,

我們將這種方法稱為“降次法”，通過這種方法可以化簡(jiǎn)次數(shù)較高的代數(shù)式.根據(jù)“降次法”,

已知：x2-x-l=0,且x>0,則V+1的值為（）

A.1+75B.1-75C.3-V5D.3+石

3.（2020?高青縣二模）己知a,4是方程/+2020%+1=0的兩個(gè)根，則

（1+2022a+a2\a（3+夕）的值為（）

A.-4040B.4044C.-2022D.2020

4.方程組[2'+丁]"的解為1,則被遮蓋的兩個(gè)數(shù)M、N分別為（）

[x+y=3[y=N

A.4,2B.1,3C.2,3D.2,4

5.設(shè)占，X2是方程W-3x+l=0的兩根，則丙+?=（）

A.bB.6C.3D.5

6.（2021秋?宣化區(qū)期末）一元二次方程x（x-2）=2-x的根是（）

A.x=-1B.x=2C.X]=1,x2=2D.x=-1,x2=2

7.（2020?浙江自主招生）方程也+l）（x-4）+雙x+2）（5-x）=6的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.大于2

8.下列無(wú)理方程中，有實(shí)數(shù)解的方程是（）

A.Jx-10—-x=1B.y/x—\=—2

C.V3x+2+V2x-l+l=0D.77^T=2

9.用代入法解方程組[&時(shí)，將方程①代入②中，所得的方程正確的是（）

[3冗+2y8

A.3x+4y-3=8B.3x+4x-6=8C.3x-2x-3=8D.3x+2x-6=8

f3x-l）

----<r+4

10.（2021?元陽(yáng)縣模擬）若關(guān)于X的一元一次不等式組2的解集為且關(guān)

于y的分式方程匕殳二=2有正數(shù)解，則所有滿足條件的整數(shù)a的值為（）

y-\\-y

A.6.7,8,9B.6,7,8C.7,8D.6,8

x,+x2+x3=q(1)

x2+x3+x4=a2(2)

11.〈工3+/+毛=%(3),其中a1，a2,%,aAf%是常數(shù),且q>%>%>4>%，則玉，

%+/+%=4(4)

x5+xt+x2=a5(5)

x2,x3,x4,x5的大小順序是()

A.X,>x2>x3>x4>x5B.x4>x2>X,>x3>x5

C.x3>Xj>x4>x2>x5D.x5>x3>%|>x4>x2

二.填空題（共3小題）

12.（2021秋?鼓樓區(qū)校級(jí)期中）已知關(guān)于x的一元一次方？3x+l=2x+〃?的解為x=-4,

那么關(guān)于y的一元一次方程得（y-2）+l=2（y-2）+機(jī)的解為.

y=x2+hx+c

13.（2021秋?虹口區(qū)校級(jí)月考）無(wú)論上取何值，關(guān)于x、y方程組『ki都只有

kx-y=-+k

一組解，則b+c=.

14.己知等式（24-78*+（34-88）=8》+10對(duì)一切實(shí)數(shù)》都成立，則/=,B=.

三.解答題（共4小題）

15.（2021秋?三元區(qū)期中）為了響應(yīng)“踐行核心價(jià)值觀，傳遞青春正能量”的號(hào)召，小穎

決定走入社區(qū)號(hào)召大家參加“傳遞正能量志愿服務(wù)者”.假定從一個(gè)人開始號(hào)召，每一個(gè)人

每周能夠號(hào)召相同的機(jī)個(gè)人參加，被號(hào)召參加的人下一周會(huì)繼續(xù)號(hào)召，兩周后，將有121

人被號(hào)召成為“傳遞正能量志愿服務(wù)者”.

（1）求出"？的值；

（2）經(jīng)過計(jì)算后，小穎、小紅、小麗三人開始發(fā)起號(hào)召，但剛剛開始，她們就發(fā)現(xiàn)了同題,

實(shí)際號(hào)召過程中，不是每一次號(hào)召都可以成功，而她們?nèi)说某晒β室哺鞑幌嗤?，已知小紅

的成功率比小穎的兩倍少10%,第一周后小麗比小穎多號(hào)召成功4人，三人一共號(hào)召成功

19人，其中小穎號(hào)召成功了〃人.求出N值，并分別求出她們?nèi)颂?hào)召的成功率.

16.（2021秋?介休市期中）（1）解方程：3（X-2）2=2-X.

（2）下面是小明解一元二次方程的過程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù).

解：2/+4x-8=0

二次系數(shù)化為1,得x2+2x-4=0…第一步

移項(xiàng)，得/+2工=4...第二步

配方，得f+2x+4=4+4,即（x+2『=8…第三步

由止匕可得X+2=±2JL..第四步

所以，玉=2+2近，々=-2-2及…第五步

任務(wù)：

①上面小明同學(xué)的解法中運(yùn)用“配方法”將該一元二次方程“降次”為兩個(gè)一元一次方程,

體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是—，其中“配方法”所依據(jù)的一個(gè)數(shù)學(xué)公式是—；

②“第二步”變形的依據(jù)是—；

③上面小明同學(xué)解題過程中，從第一步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，請(qǐng)直接寫出正確的解是—；

④請(qǐng)你根據(jù)平時(shí)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，就解一元二次方程時(shí)還需要注意的事項(xiàng)為其他同學(xué)提一條意見.

17.（2021秋?南京期中）【閱讀材料】

求解一元一次方程，根據(jù)等式的基本性質(zhì)，把方程轉(zhuǎn)化為x=a的形式.求解二元一次方程

組，把它轉(zhuǎn)化為一元一次方程來解；類似的，求解三元一次方程組，把它轉(zhuǎn)化為解二元一次

方程組；求解一元二次方程，把它轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程來解；求解分式方程，把它轉(zhuǎn)化

為整式方程來解，由于“去分母”可能產(chǎn)生增根，所以解分式方程必須檢驗(yàn).各類方程的解

法不盡相同，但是它們有一個(gè)共同的基本數(shù)學(xué)思想--轉(zhuǎn)化，把未知轉(zhuǎn)化為已知.

用“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想，我們還可以解一些新的方程.例如，一元三次方程K,-6x2+8x=0,

可以通過因式分解把它轉(zhuǎn)化為必/-6%+8)=0,解方程x=0和/-6X+8=0,可得方程

x3-6x°+8x=0的解.

【直接應(yīng)用】

方程j?-6x?+8x=0的解是%=0,x2=，x}=.

【類比遷移】

解方程：Vx+2=x.

【問題解決】

如圖，在矩形Z8C。中，AD=S,AB=2,點(diǎn)P在X。上，若PB+PC=10,求力尸的長(zhǎng).

18.(2021秋?海珠區(qū)期末)閱讀材料：對(duì)于非零實(shí)數(shù)a,b,若關(guān)于x的分式如二辿心

X

的值為零，則解得再=a,x2=b.又因?yàn)?、_")/_.=廠-("+6.+.=才+或_伍+6),

XXX

所以關(guān)于x的方程工+藝=。+6的解為芭，x2=b.

x

f+22

(1)理解應(yīng)用：方程土上=3+*的解為：玉=—,%=——；

x3

(2)知識(shí)遷移：若關(guān)于x的方程x+3=5的解為$=〃，x2=b,求的值；

x

(3)拓展提升：若關(guān)于%的方程工=2一］的解為玉=/+1,馬=/+2,求公一船+2/的

x-1

值.

方程中的轉(zhuǎn)化思想

知識(shí)方法精講

1.轉(zhuǎn)化思想

轉(zhuǎn)化不僅是一種重要的解題思想，也是一種最基本的思維策略，更是一種有效的數(shù)學(xué)思

維方式。所謂的轉(zhuǎn)化思想方法，就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時(shí)采用某種手段將問題通過

變換使之轉(zhuǎn)化，進(jìn)而達(dá)到解決的一種方法。一般總是將復(fù)雜問題通過變換轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問題；

將難解的問題通過變換轉(zhuǎn)化為容易求解的問題;將未解決的問題通過變換轉(zhuǎn)化為已解決的問

題?？傊?，轉(zhuǎn)化在數(shù)學(xué)解題中幾乎無(wú)處不在，轉(zhuǎn)化的基本功能是：生疏化成熟悉，復(fù)雜化成

簡(jiǎn)單，抽象化成直觀，含糊化成明朗。說到底，轉(zhuǎn)化的實(shí)質(zhì)就是以運(yùn)動(dòng)變化發(fā)展的觀點(diǎn)，以

及事物之間相互聯(lián)系，相互制約的觀點(diǎn)看待問題，善于對(duì)所要解決的問題進(jìn)行變換轉(zhuǎn)化，使

問題得以解決。實(shí)現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化的方法有：待定系數(shù)法,配方法，整體代入法以及化動(dòng)為靜,

由抽象到具體等轉(zhuǎn)化思想。

2.一元一次方程的解

定義：使一元一次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元一次方程的解.

把方程的解代入原方程，等式左右兩邊相等.

3.二元一次方程組的解

（1）定義：一般地，二元一次方程組的兩個(gè)方程的公共解，叫做二元一次方程組的解.

（2）一般情況下二元一次方程組的解是唯一的.數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)與出發(fā)點(diǎn)，當(dāng)遇到

有關(guān)二元一次方程組的解的問題時(shí)，要回到定義中去，通常采用代入法，即將解代入原方程

組，這種方法主要用在求方程中的字母系數(shù).

4.解二元一次方程組

（1）用代入法解二元一次方程組的一般步驟：①?gòu)姆匠探M中選一個(gè)系數(shù)比較簡(jiǎn)單的方程，

將這個(gè)方程組中的一個(gè)未知數(shù)用含另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示出來.②將變形后的關(guān)系式

代入另一個(gè)方程，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程.③解這個(gè)一元一次方程，求

出式或y）的值.④將求得的未知數(shù)的值代入變形后的關(guān)系式中，求出另一個(gè)未知數(shù)的值.⑤

把求得的x、y的值用“{”聯(lián)立起來，就是方程組的解.

（2）用加減法解二元一次方程組的一般步驟：①方程組的兩個(gè)方程中，如果同一個(gè)未知數(shù)

的系數(shù)既不相等又不互為相反數(shù)，就用適當(dāng)?shù)臄?shù)去乘方程的兩邊，使某一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相

等或互為相反數(shù).②把兩個(gè)方程的兩邊分別相減或相加，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元

一次方程.③解這個(gè)一元一次方程，求得未知數(shù)的值.④將求出的未知數(shù)的值代入原方程

組的任意一個(gè)方程中，求出另一個(gè)未知數(shù)的值.⑤把所求得的兩個(gè)未知數(shù)的值寫在一起，

就得到原方程組的解，用［x=a的形式表示.

ly=b

5,解三元一次方程組

(1)三元一次方程組的定義：方程組含有三個(gè)未知數(shù)，每個(gè)方程中含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都

是1,并且一共有三個(gè)方程，像這樣的方程組叫做三元一次方程組.

(2)解三元一次方程組的一般步驟：

①首先利用代入法或加減法，把方程組中一個(gè)方程與另兩個(gè)方程分別組成兩組，消去兩組

中的同一個(gè)未知數(shù)，得到關(guān)于另外兩個(gè)未知數(shù)的二元一次方程組.②然后解這個(gè)二元一次

方程組，求出這兩個(gè)未知數(shù)的值.③再把求得的兩個(gè)未知數(shù)的值代入原方程組中的一個(gè)系

數(shù)比較簡(jiǎn)單的方程，得到一個(gè)關(guān)于第三個(gè)未知數(shù)的一元一次方程.④解這個(gè)一元一次方程,

求出第三個(gè)未知數(shù)的值.⑤最后將求得的三個(gè)未知數(shù)的值用“廣合寫在一起即可.

6.解一元二次方程-直接開平方法

形如苫2=;,或(nx+m)2=p(p2o)的一元二次方程可采用直接開平方的方法解一元二次方

程.

如果方程化成/=2的形式，那么可得苫=土布；

如果方程能化成(〃x+機(jī))?=p(p20)的形式，那么展

注意：①等號(hào)左邊是一個(gè)數(shù)的平方的形式而等號(hào)右邊是一個(gè)非負(fù)數(shù).

②降次的實(shí)質(zhì)是由一個(gè)二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程.

③方法是根據(jù)平方根的意義開平方.

7.解一元二次方程-配方法

(1)將一元二次方程配成(x+m)2=〃的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二

次方程的方法叫配方法.

(2)用配方法解一元二次方程的步驟：

①把原方程化為。了+樂女=。(“W0)的形式；

②方程兩邊同除以二次項(xiàng)系數(shù)，使二次項(xiàng)系數(shù)為1，并把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊；

③方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；

④把左邊配成一個(gè)完全平方式，右邊化為一個(gè)常數(shù)；

⑤如果右邊是非負(fù)數(shù)，就可以進(jìn)一步通過直接開平方法來求出它的解，如果右邊是一個(gè)負(fù)

數(shù)，則判定此方程無(wú)實(shí)數(shù)解.

8.解一元二次方程-公式法

(1)把x=.b±，b-4ac,(^2_4ac^0)叫做一元二次方程辦與fcr+cn。(a^O)的求根

2a

公式.

(2)用求根公式解一元二次方程的方法是公式法.

(3)用公式法解一元二次方程的一般步驟為：

①把方程化成一般形式，進(jìn)而確定a,b,c?的值(注意符號(hào))；

②求出廬-4℃的值(若房-4℃<0,方程無(wú)實(shí)數(shù)根)；

③在房-4改20的前提下，把°、氏c的值代入公式進(jìn)行計(jì)算求出方程的根.

注意：用公式法解一元二次方程的前提條件有兩個(gè)：①a#0;@b2-4ac^0.

9.解一元二次方程-因式分解法

(1)因式分解法解一元二次方程的意義

因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡(jiǎn)便易用，是解一元二次方程

最常用的方法.

因式分解法就是先把方程的右邊化為0,再把左邊通過因式分解化為兩個(gè)一次因式的積的形

式，那么這兩個(gè)因式的值就都有可能為0,這就能得到兩個(gè)一元一次方程的解，這樣也就把

原方程進(jìn)行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題了(數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想).

(2)因式分解法解一元二次方程的一般步驟：

①移項(xiàng)，使方程的右邊化為零；②將方程的左邊分解為兩個(gè)一次因式的乘積：③令每個(gè)因

式分別為零，得到兩個(gè)一元一次方程；④解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就都是原方程

的解.

10.根的判別式

利用一元二次方程根的判別式(△=序-4")判斷方程的根的情況.

一元二次方程。，+%升0=0(aWO)的根與△=拄-4ac有如下關(guān)系：

①當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根：

②當(dāng)△=()時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

③當(dāng)△<()時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根.

上面的結(jié)論反過來也成立.

11.根與系數(shù)的關(guān)系

（1）若二次項(xiàng)系數(shù)為1,常用以下關(guān)系：XI，X2是方程/+*+4=0的兩根時(shí)，X\+X2--p>

x\X2—q,反過來可得P=-（X1+X2），q—x\xi,前者是已知系數(shù)確定根的相關(guān)問題，后者

是已知兩根確定方程中未知系數(shù).

（2）若二次項(xiàng)系數(shù)不為1,則常用以下關(guān)系：XI，X2是一元二次方程a/+fex+c=O（”W0）

的兩根時(shí)，X\+X2—X\X2——<反過來也成立，即旦=-（X1+X2）,^--X\X2.

aaaa

（3）常用根與系數(shù)的關(guān)系解決以下問題：

①不解方程，判斷兩個(gè)數(shù)是不是一元二次方程的兩個(gè)根.②已知方程及方程的一個(gè)根，求

另一個(gè)根及未知數(shù).③不解方程求關(guān)于根的式子的值，如求，力2+北2等等.④判斷兩根的

符號(hào).⑤求作新方程.⑥由給出的兩根滿足的條件，確定字母的取值.這類問題比較綜合,

解題時(shí)除了利用根與系數(shù)的關(guān)系，同時(shí)還要考慮aWO,△》（）這兩個(gè)前提條件.

12.分式方程的解

求出使分式方程中令等號(hào)左右兩邊相等且分母不等于0的未知數(shù)的值，這個(gè)值叫方程的解.

注意：在解方程的過程中因?yàn)樵诎逊质椒匠袒癁檎椒匠痰倪^程中，擴(kuò)大了未知數(shù)的取值范

圍，可能產(chǎn)生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解.

13.分式方程的增根

（1）增根的定義：在分式方程變形時(shí)，有可能產(chǎn)生不適合原方程的根，即代入分式方程后

分母的值為0或是轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好是原方程未知數(shù)的允許值之外的值的根，叫做

原方程的增根.

（2）增根的產(chǎn)生的原因：對(duì)于分式方程，當(dāng)分式中，分母的值為零時(shí)，無(wú)意義，所以分式

方程，不允許未知數(shù)取哪些使分母的值為零的值，即分式方程本身就隱含著分母不為零的條

件.當(dāng)把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程以后，這種限制取消了，換言之，方程中未知數(shù)的值范圍

擴(kuò)大了，如果轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好是原方程未知數(shù)的允許值之外的值，那么就會(huì)出現(xiàn)

增根.

（3）檢驗(yàn)增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最簡(jiǎn)公分母，看最簡(jiǎn)公分母

是否為0,如果為0,則是增根；如果不是0,則是原分式方程的根.

一.選擇題（共11小題）

1.（2021春?松江區(qū)期末）下列方程中，有實(shí)數(shù)解的是（)

1_________Y12

A.x2+1=0B.x+—=1C.J2x+3=-xD.-------=0

xx+2x

【考點(diǎn)】解一元二次方程-直接開平方法；無(wú)理方程；分式方程的解

【分析】根據(jù)一元二次方程、分式方程、無(wú)理方程的解法，分別解方程即可得答案.

【解答］解：A>由x?+1=0,得/=-1,

vx2...O，

.??原方程無(wú)實(shí)數(shù)根，

故/選項(xiàng)不符合題意；

B、由x+」=l得x+l=0,

x

而爐-x+l=0的判別式a=-3<0,

.??原方程無(wú)實(shí)數(shù)根，

故8選項(xiàng)不符合題意；

C、由y/2x+3=-x得x?-2x-3=0,

解得x=3或x=-1,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=-l是原方程的根，

故C符合題意；

D、由一^-=0得x=-2,

x2+2x

經(jīng)檢驗(yàn)：x=-2是原方程增根，

二.原方程無(wú)實(shí)數(shù)根，

故。不符合題意，

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了一元二次方程、分式方程及無(wú)理方程的解，熟練應(yīng)用相關(guān)方法進(jìn)行

求解是解決本題的關(guān)鍵，特別注意分式方程和無(wú)理方程都要檢驗(yàn).

2.（2021?盂縣一模）將關(guān)于x的一元二次方程V-px+qE變形為/=必->就可以將

/表示為關(guān)于x的一次多項(xiàng)式，從而達(dá)到“降次”的目的，又如1=十/=必*-4）=…，

我們將這種方法稱為“降次法”，通過這種方法可以化簡(jiǎn)次數(shù)較高的代數(shù)式.根據(jù)“降次法”,

已知：x2-x-l=0,且x>0,則丁+1的值為（）

A.1+75B.1-75C.3-逐D.3+逐

【考點(diǎn)】解一元二次方程-公式法；高次方程

【分析】利用f=x+l,^x2+x+\=(x+l)+x+l=2x+2,用一元二次方程求根公式得

x=生色，且x>0,所以x取土叵，代入即可求得.

22

【解答】解：-x-l=O,

1±75口2,

2

x3+1=x?x2+1=x(x4-1)+1=x2+x+1=(x+1)+x+1=2x+2,

?/x>0,

刀3+1=2》+2=2.^±1+2=石+3,

2

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整體降次的思想方法，但降次后得到的是x的代數(shù)式，還要利用一元二

次方程求根公式求出x的值，代入化簡(jiǎn)后的2x+2中計(jì)算出結(jié)果.

3.(2020?高青縣二模)已知a,夕是方程/+2020》+1=0的兩個(gè)根，則

(1+2022a+。2)(3+6)的值為()

A.-4040B.4044C.-2022D.2020

【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系

【分析】由a,夕是方程一+2020》+1=0的兩個(gè)根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，可得必=1,

由一元二次方程的根的定義，可得a2+2020a+l=0,y?2+2020y5+l=0,繼而求得答案.

【解答】解：:a,￡是方程x2+2020x+l=0的兩個(gè)根，

a2+2020a+1=0,y32+2020^+1=0,鄧=\,

(1+2022a+a')(a"+6)=2a(1+夕?)=2a(-2020,)=TO40M=-4040.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及一元二次方程的解.注意為，％是方程

f+2r+1=0的兩根時(shí)，芭+/=—,，X\X2=,

4.方程組+y=M的解為1,則被遮蓋的兩個(gè)數(shù)〃、N分別為()

[x+y=3[?=N

A.4,2B.1,3C.2,3D.2,4

【考點(diǎn)】二元一次方程組的解

【分析】本題主要將X=1代入x+y=3得出N和N,再將X,y的值代入方程組即可.

【解答】解：將x=l代入x+y=3得

y=2f

y=N

:.N=2f

將>=2,x=1代入2x+y=M得

M=4.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二元一次方程的解、問題轉(zhuǎn)化等思想.

5.設(shè)西，M是方程/一3工+1=0的兩根，則+=()

A?百B.V5C.3D.5

【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系

【分析】先求出(喜+JE)2,再求其算術(shù)平方根即可.

【解答】解：:Xi，%是方程/-3x+l=0的兩根，

X1+工2=3,Xj-x2=1,

而+\[^2)2=X]+W+2dxi=3+2=5,

且4^.0，故8+，

JX]+JX]=J

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及算術(shù)平方根，主要是百+H如何變形

為玉+工2與網(wǎng)?馬的式子,

6.(2021秋?宣化區(qū)期末)一元二次方程共工-2)=2-工的根是()

A.x=-1B.x=2C.x,=1>x2=2D.x,=-1)x2=2

【考點(diǎn)】解一元二次方程-因式分解法

【分析】先移項(xiàng)得到x(x-2)+(x-2)=0,然后利用因式分解法解方程.

【解答】解：x(x-2)+(x-2)=0,

(x-2)(x+l)=0,

x-2=0或x+l=O,

所以為=2,x2=-1.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右邊化為0,再把左邊通過

因式分解化為兩個(gè)一次因式的積的形式，那么這兩個(gè)因式的值就都有可能為0,這就能得到

兩個(gè)一元一次方程的解，這樣也就把原方程進(jìn)行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一

次方程的問題了(數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想).

7.(2020?浙江自主招生)方程》(x+l)(x-4)+取x+2)(5-x)=6的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為()

A.0B.1C.2D.大于2

【考點(diǎn)】立方根

______________________45

【分析】令〃=#(x+l)(x-4),b=N(x+2)(5-x),分別求出。+6=6,?/>=—,所以。、

6是方程d-6f+史=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，△=-8<(),可知方程無(wú)解，由此可求解.

33

［解答］解：令”#(x+l)(x-4),b=#(x+2)(5-x),

33

/.a+b=6f

(a+b)(a2+b2-ab)=6,

ci~+b~—ah—1,

?;a+b=6,

/+〃+2ab=36,

：.2

3

：.a.6是方程/-&+至=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,

3

3?

?/△=--<0,

3

.??方程無(wú)解,

.?.方程無(wú)實(shí)數(shù)根，

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查立方根、一元二次方程，利用換元法和立方和公式進(jìn)行量的轉(zhuǎn)換，再構(gòu)造

一元二次方程，借助判別式求解是解題的關(guān)鍵.

8.下列無(wú)理方程中，有實(shí)數(shù)解的方程是()

A.-X-10-Vi^7=lB.VX^T=-2

C.13x+2+s/2x-1+1=0D.yjx-1=2

【考點(diǎn)】無(wú)理方程

【分析】移項(xiàng)得出Jx-io=i+Ji=嚏,兩邊平方得出x-io=i+i-x+2>/i=7,整理后得

出VT7=X-6,兩邊平方得出1-X=/-12X+36,求出x后檢驗(yàn)，即可判斷N；根據(jù)算術(shù)

平方根的非負(fù)性即可判斷3；移項(xiàng)得出^=-1-衣Z,兩邊平方得出

3X+2=1+2X-1+2A/2X-1,整理后得出2缶-1=x+2,兩邊平方得出

4(2x-l)=x2+4x+4,根據(jù)根的判別式即可判斷C；兩邊平方得出x-l=4,求出方程的解,

經(jīng)檢驗(yàn)即可判斷。.

【解答】解：A.\Jx—10—y/1—X=1,

移項(xiàng)，得Vx-10=1+x，

兩邊平方，得x-10=l+l-x+2Vi^7,

整理，得Jl-x=x-6,

兩邊平方，W1-X=X2-12X+36,

即X2-11X+35=0,

???△-(-11)2-4X1X35=121-140=-19<0,

此方程無(wú)解，

即原方程無(wú)解，故本選項(xiàng)不符合題意；

B.Jx-1=-2，

?.?不論X為何值，GT的值不能為負(fù)數(shù)，

此方程無(wú)解，故本選項(xiàng)不符合題意；

C.J3X+2+j2x-l+l=0,

移項(xiàng)，得j3x+2=-l-J2x-1,

兩邊平方，得3x+2=l+2x-l+2j2x-1,

整理，得2j2x-l=x+2,

兩邊平方，得4(2X-1)=Y+4X+4,

即x2-4x+8=0,

△=(^)2-4xlx8=-16<0,此方程無(wú)解,

所以原方程無(wú)解，故本選項(xiàng)不符合題意；

D.yjx—\=2，

兩邊平方，得x-l=4,

解得：x=5,

經(jīng)檢驗(yàn)x=5是原方程的解，

所以原方程的解是x=5,故本選項(xiàng)符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解無(wú)理方程和解一元二次方程，能把解無(wú)理方程轉(zhuǎn)化成解有理方程是解

此題的關(guān)鍵，注意：解無(wú)理方程一定要檢驗(yàn).

9.用代入法解方程組時(shí)，將方程①代入②中，所得的方程正確的是（）

A.3x+4y-3=8B.3x+4x-6=8C.3x-2x-3=8D.3x+2x-6=8

【考點(diǎn)】解二元一次方程組

【分析】將方程①代入②，然后進(jìn)行消元.

【解答】解：1=2X-3幺，

[3x+2y=8②

把①代入②得：

3x+2（2x-3）=8,

去括號(hào)得：

3x+4x-6=8.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】這是用代入法解二元一次方程組的關(guān)鍵一步“代入消元”，通過這一步，使二元一

次方程組轉(zhuǎn)化為我們熟悉的一元一次方程來解答，典型地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想.

3x-1“

----Vx+4

10.（2021?元陽(yáng)縣模擬）若關(guān)于X的一元一次不等式組2的解集為X,4,且關(guān)

X.a

于y的分式方程匕■-生生=2有正數(shù)解，則所有滿足條件的整數(shù)。的值為（）

y-\i-y

A.6.7,8,9B.6,7,8C.7,8D.6,8

【考點(diǎn)】解一元一次不等式組；分式方程的解

【分析】先求出不等式解集，根據(jù)一元一次不等式組的解集為X,。，求出a的取值范圍，進(jìn)

一步解分式方程匕■-空2,用y表示a,代入“＜9,求出y的取值范圍，再根據(jù)關(guān)

y-\\-y

于y的分式方程有正數(shù)解，求出V，這樣也就求出a的值.

3xTA

【解答】解：解不等式丁＜,

x,a

，曰卜＜9

得，《，

3a

???一元一次不等式組的解集為X,a,

:.a＜9,

解分式方程匚-生@=2,

y-\y

匚+生42,

y-\y-\

解得,a=y+5,

「.y+5＜9,

y＜4,

???關(guān)于歹的分式方程有正數(shù)解，

二.y=2或3,

當(dāng)y=2時(shí)，a=7,

當(dāng)歹=3時(shí)，a=8,

綜上所述：。的值是7或8.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查解一元一次不等式組、分式方程.掌握不等式解集的確定，轉(zhuǎn)化思想是解

題關(guān)鍵.

*+々+七=a\⑴

x2+x3+xA=a2(2)

a

11.<W+工4+工5=。3⑶，其中外,。2,%，。4，5是常數(shù)，且%＞。2＞。3＞。4＞，貝IX\，

%+工5+M=〃4(4)

工5+%+工2=6(5)

X2fx3,x4,毛的大小順序是（)

A.>x2>x3>x4>x5B.x4>x2>X]>x3>x5

C.x3>x1>x4>x2>x5D.x5>x3>x,>x4>x2

【考點(diǎn)】一元一次不等式的應(yīng)用

【分析】本方程組牽涉5個(gè)未知數(shù)西，x2,x3,x4,x5,經(jīng)觀察方程（1）與（2）、（2）

與（3）、（3）與（4）、（4）與（5）、（5）與（1）均含有相同的兩個(gè)未知數(shù)，只要做

差就會(huì)出現(xiàn)不一匕="「%"2一%=出一。3,通過%>%>/>%>°的大小關(guān)系，即可確定

x3-X1=a3-a4,x4-x2=a4-a5

再，x29x39x49毛的大小關(guān)系.

【解答】解：方程組中的方程按順序兩兩分別相減得*一匕一一毛一。3

xi-xl=a3-a4,x4-x2=a4-a5

因?yàn)閍,>a,>a3>a4>a5

所以X|>X4，x2>x5>x3>%1,x4>x2,于是有三>%>X4>x2>

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題如果直接比較不，x2,七，X,，毛的大小關(guān)系很難，那么考慮到方程（1）

與（2）、（2）與（3）、（3）與（4）、（4）與（5）、（5）與（1）均含有相同的兩個(gè)

未知數(shù)，通過比較q,a?，。3，%，%的大小就容易的多了，本題要注意并不是任何兩個(gè)

方程都能相減，需要消去兩個(gè)未知數(shù)，保留兩個(gè)未知數(shù)的差，這才是目的.

二.填空題（共3小題）

12.（2021秋?鼓樓區(qū)校級(jí)期中）已知關(guān)于x的一元一次方？2x+l=2x+〃?的解為x=T,

19

那么關(guān)于y的一元一次方程得3-2）+1=23-2）+機(jī)的解為_y=-2_.

【考點(diǎn)】一元一次方程的解

【分析】根據(jù)換元法得出y-2=2,進(jìn)而解答即可.

【解答】解：?.?關(guān)于x的一元一次方程2x+l=2x+m的解為x=-4,

19

_3

???關(guān)于》的一元一次方程歷3-2）+1=23-2）+加中的、-2=-4,

解得：y=-2,

故答案是：y=-2.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查一元一次方程的解，關(guān)鍵是根據(jù)換元法解答.

y=x2+bx^-c

13.（2021秋?虹口區(qū)校級(jí)月考）無(wú)論％取何值，關(guān)于x、y方程組k2都只有

kx—y=---Fk

一組解，則6+c=3.

【考點(diǎn)】根的判別式

【分析】將②變形后代入①可整理出關(guān)于X的一元二次方程，由方程組只有一組解，可得出

b2+(2b-4)k-4c^0,結(jié)合人可以為任何值，可得出關(guān)于，，c的二元一次方程組，解之即

可得出6,c的值，再將其代入(b+c)中即可求出結(jié)論.

y=x2+bx+c①

【解答】解：F

kx-y=----Fk?

4

由②可得出y=③，

4

將③代入①整理得：x2+(b+k)x+c+—+k.

4

y=x2+bx+c

?.?無(wú)論左取何值，關(guān)于％、y方程組k2都只有一組解，

kx-y=—+k

,4

無(wú)2

「.△=(/?+%)2-4x1x(c+—+%)=0,

4

2

即b+(2b-4)k-4c=09

|26-4=0

'[h2-4c=0f

邛=2,

[c=\

Z)+c=2+l=3.

故答案為：3.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式，牢記“當(dāng)△=()時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根”是解題的

關(guān)鍵.

14.已知等式(2N-78)x+(3/-88)=8x+10對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，則/=_?_,B=.

【考點(diǎn)】解二元一次方程組

【分析】根據(jù)條件“對(duì)于一切實(shí)數(shù)x都成立"，將原式轉(zhuǎn)化為關(guān)于/、B的二元一次方程組

解答.

【解答】解:由于等式(2，-73)x+(3Z-8B)=8x+10對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立,

解得5.

B=--

5

故答案為：

55

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程組的解法.解決本題的關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)化為關(guān)于/、8的二

元一次方程組；體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.

三.解答題（共4小題）

15.（2021秋?三元區(qū)期中）為了響應(yīng)“踐行核心價(jià)值觀，傳遞青春正能量”的號(hào)召，小穎

決定走入社區(qū)號(hào)召大家參加“傳遞正能量志愿服務(wù)者”.假定從一個(gè)人開始號(hào)召，每一個(gè)人

每周能夠號(hào)召相同的小個(gè)人參加，被號(hào)召參加的人下一周會(huì)繼續(xù)號(hào)召，兩周后，將有121

人被號(hào)召成為“傳遞正能量志愿服務(wù)者”.

（1）求出機(jī)的值；

（2）經(jīng)過計(jì)算后，小穎、小紅、小麗三人開始發(fā)起號(hào)召，但剛剛開始，她們就發(fā)現(xiàn)了同題，

實(shí)際號(hào)召過程中，不是每一次號(hào)召都可以成功，而她們?nèi)说某晒β室哺鞑幌嗤?，已知小紅

的成功率比小穎的兩倍少10%,第一周后小麗比小穎多號(hào)召成功4人，三人一共號(hào)召成功

19人，其中小穎號(hào)召成功了N人.求出N值，并分別求出她們?nèi)颂?hào)召的成功率.

【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用

【分析】（1）第一周一個(gè)人能夠號(hào)召加個(gè)人參加，可得第一周結(jié)束共有（w+1）個(gè)人參加，

第二周（加+1）個(gè)人可以號(hào)召（加+1）加個(gè)人，可得兩周后號(hào)召志愿者的人數(shù)有

[/n（w+1）+;?!+1]A,進(jìn)而列出方程即可求出"？的值；

（2）根據(jù)題意列出方程即可分別求出他們?nèi)颂?hào)召的成功率；根據(jù)小紅的成功率比小穎的

兩倍少10%,列出方程即可求出〃的值.

【解答】解：（1）根據(jù)題意，得

m[m+1）+機(jī)+1=121，

即（陽(yáng)+1）2=⑵